Analityczna postać równowagi Nasha w postaci sprzężenia zwrotnego w modelu Lanchestera

Transkrypt

1 Analityczna postać równowagi Nasha w postaci sprzężenia zwrotnego w modelu Lanchestera Dominika Machowska dominika.machowska@uni.lodz.pl Katedra Ekonometrii, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet Łódzki 19 maja 2017

2 ẋ i (t) = δx i (t) + x i (0) = x i0, i = 1,2. gdzie [ ] c o 1 xi (t)u i (t) + c d xi (t)v i (t) [ c o 1 x3 i (t)u 3 i (t) + c d x3 i (t)v 3 i (t) x i (t) - nasycony udział w rynku w czasie t dla gracza i; δ - stopa odchodzenia z rynku; ] + cg 2 (z 1(t) + z 2 (t)), t [0,T] u i (t) - ofensywne działania marketingowe w czasie t dla gracza i; c o - efektywność ofensywnych działań marketingowych; v i (t) - defensywne działania marketingowe w czasie t dla gracza i; c d - efektywność defensywnych działań marketingowych; z i (t) - ogólne działania marketingowe (generic marketing) w czasie t dla gracza i; c d Rynek rozwijający się - efektywność ogólnych działań marketingowych; x i0 - początkowy udział w rynku gracza i. 1 = x 1 (t) + x 2 (t) + ε(t). Uogólnienie modelu - [Jørgensen and Sigué, 2015]

3 Uwzględniając hipotezę o malejącym krańcowym efekcie działań marketingowych (por. [Bagwell, 2007]) zakładamy, że koszty działań marketingowych przyjmują postać gdzie β j 2 C(u i ) = β o 2 u2 i, C(v i ) = β d 2 v2 i, C(g i ) = β g 2 z2 i, i = 1,2. (1) to jednostkowe koszty działań marketingowych dla j {o,d,g}.. Całkowity zysk każdego gracza dany jest wzorem T J i (ξ i,ξ 3 i ) = 0 [ ] Πx i (t) (C(u i (t)) + C(v i (t)) + C(z i (t))) dt, (2) gdzie ξ i = (u i,v i,z i ) jest wektorem sterowań, Π stałym krańcowy zyskiem jednostkowy a x i jest rozwiązaniem nowego modelu Lanchestera.

4 Definicja 1 Funkcja ξ i jest sterowaniem dopuszczalnym gdy ξ i (,x) jest mierzalne na [0,T], ξ i (t,, ) jest funkcją Lipschitza na [0,1] [0,1] [0,1] oraz ma nieujemne wartości [0,T] [0,1] [0,1] [0,1]. zbiór sterowan dopuszczalnych jest oznaczany przez Ξ i. Definicja 2 Para (ξ 1,ξ 2 ) Ξ 1 Ξ 2 jest równowaga Nasha w postaci sprzężenia zwrotnego, jeżeli dla dowolnych (ξ 1,ξ 2 ) Ξ 1 Ξ 2 zachodzą warunki J 1 (ξ 1,ξ 2 ) J 1(ξ 1,ξ 2 ), J 2(ξ 1,ξ 2 ) J 2(ξ 1,ξ 2 ). (3)

5 Rozważmy dla i = 1,2 ciągłą i różniczkowalną funkcję V i (t,x) spełniającą równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana (HJB) dla wszystkich t [0,T] postaci { V i t = max ξ i Ξ i Πx i β o 2 u2 i β d 2 v2 i β g 2 z2 i + V ( i ] ] δx i + [c o 1 xi u i + c d xi v i [c o 1 x3 i u 3 i + c d x3 i v 3 i + c ) g(z 1 + z 2 ) x i 2 + V ( i ] ] δx 3 i + [c o 1 x3 i u 3 i + c d x3 i v 3 i [c o 1 xi u i + c d xi v i + c ) } g(z 1 + z 2 ) x 3 i 2 Z warunkiem brzegowym V i (T,x) = 0. (4)

6 Warunki konieczne: 0 jeżeli u i (t) = ( ) c o 1 xi (t) Vi (t,x) V i(t,x) jeżeli β o 0 jeżeli v i (t) = ( ) c d xi (t) Vi (t,x) V i(t,x) jeżeli β d z 0 jeżeli i (t) = ( ) c g Vi (t,x) + V i(t,x) jeżeli 2β g V i (t,x) V i(t,x) 0 V i (t,x) V i(t,x) > 0 V i (t,x) V i(t,x) 0 V i (t,x) V i(t,x) > 0 V i (t,x) + V i(t,x) 0 V i (t,x) + V i(t,x) > 0 (5) (6) (7)

7 Załóżmy, że wszystkie sterowania są dodatnie V ( ) i V i V i = Π i x i δ x i + c2 o(1 x i ) t 2β o c2 o(1 x 3 i ) 2β o c2 d x 3 i 2β d + g2 4β g + x 3 i ( Vi V i ( Vi V i ( Vi + V i )( V3 i V 3 i x 3 i x i ) )( V3 i V 3 i x 3 i x i )( V3 i + V ) 3 i + g2 x 3 i x i 8β g Załóżmy, że V i (t,x) = α(t) + φ(t)x i + ψ(t)x 3 i. Wtedy ( Vi V ) 2 i + c2 d x i 2β d ) ( Vi + V ) 2 i ( Vi V ) 2 i α(t) = 3g2 (φ(t) + ψ(t)) 2 + c2 o (φ(t) ψ(t)) 2 (8) 8β g 2β o φ(t) = Π ψ(t) = δψ(t) ( c 2 o β o c2 d β )(φ(t) ψ(t)) 2 + δφ(t) ( d ) (9) c 2 o β o c2 d β (φ(t) ψ(t)) 2 d α(t) = 0, φ(t) = 0, ψ(t) = 0.

8 Niech Wtedy η(t) = 2Π δ φ(t) = Π δ ( 1 e δ(t T)). (10) ( 1 e δ(t T)) 1 ψ(t). (11) 2 Ostatnie równanie (9) przyjmuje postać nieliniowego równania Riccatiego: ψ(t) = 9C 4 ψ2 (t) + ψ(t) (δ + 3C2 ) η(t) C 4 η2 (t). (12) Równanie Riccatiego dzięki podstawieniu µ(t) = e 1 4 ψ(t)dt (13) zostało zapisane jako równanie różniczkowego drugiego rzędu postaci µ(t) = (δ + 3C2 ) η(t) µ(t) 9C2 16 η2 (t)µ(t). (14)

9 Zauważono, że poprzez podstawienie ω(t) = µ(t)e 3CΠ 2δ 2 eδ(t T), (15) równanie (14) można zapisać jako liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach ω(t) = którego rozwiązanie jest postaci ( δ + 3CΠ ) ω(t) 9C2 Π 2 δ 4δ 2 ω(t), (16) ω(t) = e 1 2 ( 3CΠ δ +δ)t [ c 1 e 1 2 δ 2 +6CΠt + c 2 e 1 2 δ 2 +6CΠt ]. (17)

10 Wniosek 1 Rozwiązania układu równań (9) przyjmują postać ψ(t) = 2δ 9C + 2Π ( 1 e δ(t T)) 2 ( ) δ 2 + 6CΠ ke δ 2 +6CΠt 1 + ( 3δ 9C ke ) (18) δ 2 +6CΠt + 1 oraz φ(t) = 2δ 9C + 2Π ( 1 e δ(t T)) + 3δ 2 ( δ 2 + 6CΠ 9C ) ke δ 2 +6CΠt 1 ) (19) ( ke δ 2 +6CΠt + 1 dla k = e δ 2 +6CΠT δ 2 + 6CΠ δ δ 2 + 6CΠ + δ (20)

11 Twierdzenie 1 Równowagowe strategie w postaci sprzężenia zwrotnego przyjmuja postać u i (t) = c o 1 xi (t) (φ(t) ψ(t)) (21) β o v i (t) = c d xi (t) (φ(t) ψ(t)) (22) β d Jeżeli φ(0) + ψ(0) 0, wtedy z (t) = 0 dla t [0,T]. Jeżeli φ(0) + ψ(0) > 0, wtedy istnieje stała t (0,T) taka, że z i (t) = { cg (φ(t) + ψ(t)) 2β g for t [0,t ) 0 for t [t,t] (23)

12 Bagwell, K. (2007). The economic analysis of advertising. Handbook of industrial organization, 3: Erickson, G. M. (1992). Empirical analysis of closed-loop duopoly advertising strategies. Management Science, 38(12): Jørgensen, S. and Sigué, S.-P. (2015). Defensive, offensive, and generic advertising in a lanchester model with market growth. Dynamic Games and Applications, 5(4):