Wykład 6. Zmienne losowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 6. Zmienne losowe"

Transkrypt

1 Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 6. Zmienne losowe dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, WIEiT AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 1

2 Plan: Pojęcie zmiennej losowej Ilościowy opis zmiennych losowych Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4

3 Pojęcie zmiennej losowej Zmienna losowa jest to funkcja X, która przypisuje liczbę rzeczywistą x danemu wynikowi eksperymentu losowego. { e, e, X : R X ( e ) i 1 x i R Przykłady: 1) Rzut monetą: zdarzeniu orzeł przypisujemy 1; zdarzeniu reszka przypisujemy 0. ) Losowanie wyrobów: zdarzeniu brak (wadliwy) - 0, dobry 1 3) Rzut kostką: wyrzucenie 1 1, itd 4) Odcinek [a, b] na osi liczbowej wybór punktu o współrzędnej x przypisujemy np. wartość x ; wartość sin (3x+17) itp. } Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 3

4 Zmienna losowa dyskretna Gdy wartości zmiennej losowej X są izolowanymi punktami na osi liczbowej (obejmują skończony przedział wartości) Rzut monetą Błędy przy transmisji Wadliwe układy z linii produkcyjnej. Ilość połączeń przychodzących w ciągu 5 minut ciągła Gdy wartości zmiennej losowej stanowią wszystkie punkty odcinka (obejmują przedział liczb rzeczywistych) Natężenie prądu w przewodniku Temperatura Ciśnienie Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 4

5 Ilościowy opis zmiennych losowych Rozkład zmiennej losowej lub rozkład prawdopodobieństwa (tylko dla zmiennych dyskretnych) Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (tylko dla zmiennych ciągłych) Dystrybuanta (funkcja rozkładu dla zmiennych dyskretnych i ciągłych) Wielkości charakteryzujące (wartość oczekiwana, wariancja, kwantyle, itp.) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 5

6 Rozkład zmiennej losowej Rozkładem zmiennej losowej (rozkładem prawdopodobieństwa dla zmiennych dyskretnych) nazywamy zbiór par (x i,p i ) gdzie x i jest wartością zmiennej losowej X, a p i jest prawdopodobieństwem, że zmienna losowa X przyjmuje wartość x i. Przykład 4.1 Rozkład prawdopodobieństwa dla jednokrotnego rzutu monetą. Zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu orła przypisujemy x 1 =1; zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu reszki x =0. Zatem: 1 x1 1 p( X 1) p( x1 ) 1 x 0 p( X 0) p( x) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 6

7 p(x) Rozkład zmiennej losowej Przykład 4.1 cd Rozkład prawdopodobieństwa dla jednokrotnego rzutu monetą jest następującym zbiorem par: { (1, 1 ), (0, 1 )} 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 prawdopodob. zdarzenia 0,0 0,5 1,0 Zmienna losowa jest w tym przypadku skokowa (dyskretna) a jej rozkład jest też skokowy (dyskretny). X Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 7

8 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Funkcję gęstości prawdopodobieństwa wprowadza się dla zmiennych ciągłych; ma ona związek z prawdopodobieństwem: f ( x) dx P( x X x dx) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 8

9 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Funkcję gęstości prawdopodobieństwa wprowadza się dla zmiennych ciągłych; ma ona związek z prawdopodobieństwem: f ( x) dx P( x X x dx) Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa: 1. f ( x) 0. f ( x) jest unormowana f ( x) dx 1 3. f(x) ma wymiar 1/x Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 9

10 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Z definicji funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x) wynika praktyczny sposób obliczania prawdopodobieństwa, że wartość zmiennej losowej znajduje się w przedziale [a,b]: P ( a X b) f ( x) dx b a Nie ma sensu pytać, jakie jest prawdopodobieństwo, że x=a Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 10

11 f(x) Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Przykład 4. Oznaczmy przez X zmienną losową ciągłą, która opisuje natężenie prądu w cienkim przewodzie miedzianym (w jednostkach ma). Załóżmy, że zakres X wynosi [0, 0 ma] i funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana jest jako f(x)=0,05 w tym przedziale. Oblicz prawdopodobieństwo, że zmierzone natężenie prądu jest mniejsze niż 10 ma. 0,10 0,08 gestosc prawdop. 0,06 0,04 10 P( 0 X 10) f ( x) dx 0,05 dx ,5 0, Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład ,0 X

12 Ilościowy opis zmiennych losowych Dystrybuantą (funkcja rozkładu, ang. cumulative distribution function CDF) F(x) nazywamy prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x (co najwyżej daną wartość) Przykład 4.1 cd F( x) P( X x) Dystrybuanta dla rzutu monetą: F( x 0) P( X 0) F( x 1) P( X 1) 1 1 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 1

13 Ilościowy opis zmiennych losowych Dystrybuantą (funkcja rozkładu, ang. cumulative distribution function CDF) F(x) nazywamy prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x (co najwyżej daną wartość) Przykład 4.1 cd F( x) P( X x) Dystrybuanta dla rzutu monetą: F( x 0) P( X 0) F( x 1) P( X 1) 1 1 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 13

14 Własności dystrybuanty 1. 0 F( x) 1. F( ) 0 3. F( ) 1 4. x y F( x) F( y) 5. F(x) nie posiada wymiaru 6. f ( x) df( x) dx Jest funkcją niemalejącą Związek gęstości prawdopodobieństwa z dystrybuantą (dla zmiennej ciągłej) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 14

15 Przykład 4.3 Dystrybuanta dla zmiennej dyskretnej F ( x) P( X x) f ( x ) x x f (x i ) rozkład prawdopodobieństwa Na podstawie następujących wartości dystrybuanty F(x) znajdź funkcję rozkładu prawdopodobieństwa f(x) F( x) 0 1 dla 0, 0,7 x dla dla dla 0 x x x 0 Na podstawie rysunku, jedynymi punktami dla których f(x) 0 są -, 0,. f ( ) 0, 0 0, f ( 0) 0,7 0, 0, 5 f ( ) 1,0 0,7 0, 3 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 15 i i

16 Dystrybuanta dla zmiennej ciągłej t F ( t) P( X t) f ( u) du Dystrybuanta zmiennej ciągłej jest niemalejącą funkcją ciągłą a oblicza się ją jako pole pod wykresem funkcji gęstości prawdopodobieństwa. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 16

17 Numeryczne miary opisowe MIARY (parametry) OPISOWE Położenia Kwantyle (np. mediana) Moda Rozproszenia Wariancja (Odchylenie standardowe) Rozstęp Wartość oczekiwana (średnia, nadzieja matematyczna) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 17

18 F( x Charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa Fraktyl (kwantyl) x q jest to wartość zmiennej losowej, dla której dystrybuanta przyjmuje wartość q. q ) P( X x q x q f ( u) du Najczęściej stosowanym kwantylem jest mediana czyli x 0.5. ) q Przykład 4.4 Dla dyskretnego rozkładu eksperymentalnego o wynikach: 19, 1, 1, 1,,, 3, 5, 6, 7 mediana wynosi bo jest wartość środkowa uporządkowanego zbioru wartości (albo średnia arytmetyczna dwóch środkowych wielkości). Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 18

19 Charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa Moda (wartość modalna) jest to taka wartość zmiennej losowej, dla której rozkład prawdopodobieństwa (lub funkcja gęstości prawdopodobieństwa) osiąga maksimum. Rozkłady jednomodalne mają jedną modę (wielomodalne więcej niż jedną) W przykładzie 4.4 dla dyskretnego rozkładu eksperymentalnego o wynikach: 19, 1, 1, 1,,, 3, 5, 6, 7 moda wynosi 1 bo jest wartość, która pojawia się najczęściej w zbiorze wyników. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 19

20 Średnia arytmetyczna: Wartość średnia x i - elementy zbioru n elementowego (niekoniecznie różne): x = 1 n n i= 1 W przykładzie 4.4 dla dyskretnego rozkładu eksperymentalnego o wynikach: 19, 1, 1, 1,,, 3, 5, 6, 7 wartość średnia wynosi,7. x i Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 0

21 Średnia arytmetyczna Jeżeli wiele elementów ma w zbiorze tę samą wartość, to dzielimy zbiór na klasy zawierające identyczne elementy o liczebnościach n k : Przykład 4.5 x k n k f k 10, 1 0,0357 1,3 4 0,149 1,4 0, ,4 8 0,857 16,4 4 0,149 17,5 3 0, ,3 1 0,0357 1,4 0,0714,4 0,0714 5, 1 0,0357 Razem 8 x = x 1 f 1 + x f =10, 0,04+ 1,3 0, , 0,04 x =15, x Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 1 x = p k 1 n n k n n x k = p k 1 gdzie: k f =, p liczba klas p n Warunek normalizacji k f k x k n f n =

22 Charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa Moment rozkładu rzędu k względem punktu x 0 m k ( x ) ( xi x0) p( x k 0 i i ) dla zmiennych dyskretnych m k k ( x 0) ( x x0) f ( x) dx dla zmiennych ciągłych Najważniejszymi momentami są te, które są liczone względem początku układu współrzędnych czyli względem x 0 =0 (m k ) oraz momenty liczone względem X 0 =m 1 tj. względem pierwszego momentu względem początku układu współrzędnych (m 1 nazywamy wartością oczekiwaną, wartością średnią lub nadzieją matematyczną) to są momenty centralne µ k. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4

23 Charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa Wartość oczekiwana oznaczana jako: m 1, E(X), µ,, x xˆ E( X ) i x i p i dla zmiennych dyskretnych E( X ) x f ( x) dx dla zmiennych ciągłych E(X) jest współrzędną punktu, który byłby środkiem masy rozkładu prawdopodobieństwa (lub pola pod funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x)) gdyby p i traktować jak masy (lub odpowiednio f(x) jak fizyczną gęstość). Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 3

24 Własności E(X) E(X) jest operatorem liniowym co oznacza, że: 1. E( Ci X i) CiE( X i) co prowadzi w konsekwencji do: i E(C)= C E(CX)= CE(X) E(X 1 +X )=E(X 1 )+E(X ). Dla niezależnych zmiennych X 1, X, X n E( X i) E( X i) i Warunkiem koniecznym i wystarczającym by zmienne były niezależne jest Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 4 i f ( X, X,..., X n) f1( X1) f( X )... i ( X 1 n n f )

25 Własności E(X) 3. Dla funkcji zmiennej X; Y= Y(X) wartość oczekiwana E(Y) może być znaleziona przy pomocy rozkładu zmiennej X bez konieczności szukania rozkładu f(y) E ( Y) y( xi ) i p i dla zmiennych dyskretnych E( Y) y( x) f ( x) dx dla zmiennych ciągłych Można zauważyć, że dowolny moment m k (x 0 ) może być potraktowany jako wartość oczekiwana funkcji Y(X)=(X-x 0 ) k m k k ( x0) ( x x0) f ( x) dx E(( x x0) k ) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 5

26 Charakterystyki rozkładu prawdopodobieństwa Wariancja (dyspersja) oznaczana jako: σ (X), var(x), V(X), D(X). Pierwiastek z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym σ(x) ( X ) i pi ( x E( X i )) dla zmiennych dyskretnych ( X ) f ( x)( x E( X ) dx dla zmiennych ciągłych Wariancja (lub odchylenie standardowe) jest miarą rozrzutu zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej. W analizie danych doświadczalnych utożsamiamy wartość oczekiwaną pomiarów wykonanych w obecności błędów przypadkowych z wartością rzeczywistą mierzonej wielkości. Miarą błędu przypadkowego jest odchylenie standardowe bo ono określa rozrzut wyników wokół wartości rzeczywistej. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 6

27 Własności σ (X) Wariancję można obliczyć stosując wartości oczekiwane: 1. ( X ) E( X ( X ) co prowadzi w konsekwencji do: σ (C)= 0 σ (CX)= C σ (X) σ (C 1 X+C )= C 1 σ (X). Dla niezależnych zmiennych X 1, X, X n ) E ( C X ) C i i i i i ( X ) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 7

28 Wariancja σ (X) Przykład 4.6 W urnie jest 100 losów, z których połowa wygrywa. Jest 30 wygranych po 5 zł, 15 wygranych po 50 zł i 5 wygranych po 00 zł. Zawodnik wyciąga jeden los. Jaka jest wartość oczekiwana jego wygranej i wariancja (zakładając jednakowe prawdopodobieństwo wyciągnięcia każdego losu). Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 8

29 Przykład 4.6 Wariancja σ (X) W urnie jest 100 losów, z których połowa wygrywa. Jest 40 wygranych po 5 zł, 9 wygranych po 50 zł i 1 wygrana główna - 00 zł. Zawodnik wyciąga jeden los. Jaka jest wartość oczekiwana jego wygranej i wariancja (zakładając jednakowe prawdopodobieństwo wyciągnięcia każdego losu). Rozkład prawdopodobieństwa rozpatrywanej zmiennej losowej skokowej X przedstawia się następująco: Wartość oczekiwana tego rozkładu wynosi: E(X) = i x i p i = 5 0, , , ,5 = 8,5 zł Wariancja: x i p i 0,4 0,09 0,01 0,5 ( X ) i pi ( x E( X )) i (X)=(5-8,5) 0,4+(50-8,5) 0,09+(00-8,5) 0,01+(0-8,5) 0,5=56,75 9

30 Przykład 4.7 Wariancja σ (X) Zmienne losowe X 1 i X są niezależne. Znaleźć wariancję zmiennej losowej X = 5X 1 3X, jeżeli wiadomo, że (X 1 )=0,1 i (X )=1,5. Ponieważ zmienne losowe X 1 i X są niezależne, to niezależne są też zmienne 5X 1 i (-)3X. Korzystając z dwóch własności wariancji: -wariancja sumy (różnicy) niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych -stały współczynnik można wyłączyć przed znak wariancji podnosząc go do kwadratu: (X)= (5X 1-3X ) = (5X 1 ) + (3X ) = = 5 (X 1 ) + 9 (X ) = 5 0,1+9 1,5 = 16 30

31 Nierówność Czebyszewa Interpretacja wariancji wynika z nierówności Czebyszewa: Twierdzenie: Prawdopodobieństwo odchylenia wartości zmiennej losowej od oczekiwanej E(X) o a-krotną wartość odchylenia standardowego jest mniejsze bądź równe 1/a Twierdzenie to jest słuszne dla wszystkich rozkładów, które mają wariancję, a zatem i wartość oczekiwaną. Liczba a jest dowolną, dodatnią liczbą rzeczywistą. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 31

32 Wariancja jako miara rozproszenia DUŻE ROZPROSZENIE MNIEJSZE ROZPROSZENIE Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 3

33 Rozstęp jako miara rozproszenia ROZSTĘP = x max - x min Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 33

34 Praktyczne sposoby obliczania wariancji Wariancja z próby (n-elementowej): s = n 1 xi n 1 i= 1 x średnia x Wariancja z populacji (N-elementowej): μ σ = średnia z 1 N N i= 1 x populacji i μ oczekiwana Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 34

35 Praktyczne sposoby obliczania odchylenia standardowego Odchylenie standardowe próby (lub: błąd standardowy): s = 1 n 1 n i= 1 x i x Odchylenie standardowe (populacji): σ = 1 N N i= 1 x i μ Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 35

36 Cecha statystyczna Właściwość populacji, która jest przedmiotem badania statystycznego. Def. Cecha = funkcja przypisująca elementom populacji elementy zbioru wartości cechy statystycznej. W ramach badania statystycznego zbierane są wartości określonej cechy statystycznej nazwane wartościami zaobserwowanymi cechy statystycznej, lub danymi statystycznymi. Dane takie mają taki sam charakter jak cecha (ilościowy, jakościowy itp.), jednakże po przetworzeniu charakter tych danych może ulec degradacji. Zróżnicowanie wartości cechy statystycznej powoduje, że można mówić o jej rozkładzie w populacji. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 36

37 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne Zmienne cechy statystyczne to właściwości różnicujące jednostki z badanej populacji, czyli posiadające więcej niż 1 wariant. Liczba wariantów zmiennej cechy może być skończona lub nieskończona. Jeżeli liczba wariantów wynosi to cechę taką nazywamy dychotomiczną (dwudzielną, binarną). Jeżeli liczba wariantów przekracza to cechę taką nazywamy politomiczną (wielodzielną). Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 37

38 Cechy zmienne Klasyfikacja cech statystycznych ilościowe (mierzalne) np. wzrost, masa, wiek ciągłe np. wzrost, masa, wiek (w rozumieniu ilości dni między datą urodzin a datą badania) porządkowe (quasi-ilościowe) np. klasyfikacja wzrostu: (niski, średni, wysoki) skokowe (dyskretne) np. liczba posiadanych dzieci, liczba gospodarstw domowych, wiek (w rozumieniu ilości skończonych lat) jakościowe (niemierzalne) np. kolor oczu, płeć, grupa krwi Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 38

39 Cechy zmienne Klasyfikacja cech statystycznych Z praktycznego punktu widzenia istotniejszy jest podział zaproponowany przez Stevensa w 1946 roku, gdyż stwierdził on, że nie wszystkie operacje matematyczne są dopuszczalne na dowolnie wybranych cechach, a następnie zaproponował czterostopniową klasyfikację pozwalającą określić zbiór dopuszczalnych operacji w tym przekształceń statystycznych. Podstawowy podział wyróżnia 4 cechy: ilościowe (ang. quantitative) np. wzrost, masa, wiek proporcjonalne (ang. ratio) interwałowe (ang. interval) jakościowe (ang. qualitative) np. kolor oczu, płeć porządkowe (ang. ordinal) np. (niski, średni, wysoki) nominalne (ang. nominal) np. kolor oczu, płeć, grupa krwi Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 39

40 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, ilościowe, proporcjonalne Cechy proporcjonalne spełniają kryteria cech interwałowych, a ponadto muszą posiadać znaczące zero(nie powinny dopuszczać istnienia wartości ujemnych). Możemy z sensem mówić o proporcjach, czyli że jedna próba jest np. dwa razy większa od drugiej (jest to cecha multiplikatywna). Przykłady masa rezystancja temperatura wyrażona w Kelwinach, bo przyjmujemy istnienie zera i możemy twierdzić, że jedno ciało jest dwukrotnie gorętsze od drugiego długość czas trwania kolor paska na rezystorze przyjmuje np. wartości z szeregu (czarny, brązowy, czerwony, pomarańczowy, żółty, zielony, niebieski, fioletowy, szary, biały), gdyż kolory te reprezentują szereg liczbowy (0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) spełniający powyższe kryteria obecność zbiór wartości {nieobecny,obecny} przyjmując nieobecny = 0 i obecny = 1 uzyskujemy cechę binarną z wyróżnionym zerem Dopuszczalne operacje przekształcenia liniowe (addytywne i skalowalne) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 40

41 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, ilościowe, interwałowe Cechy interwałowe spełniają kryteria cech porządkowych, a ponadto dystans (interwał) pomiędzy wartościami musi być znaczący (stały). Możemy z sensem mówić o interwałach, czyli porównywać odległości między wartościami z różnych obszarów skali (jest to cecha addytywna). Przykłady temperatura wyrażona w stopniach Celsjusza lub Fahrenheita, bo możemy twierdzić, że coś jest o 0 C cieplejsze od czegoś innego, ale nie możemy stwierdzić ilokrotnie cieplejsze jest ciało o temperaturze 40 C od ciała o temperaturze 10 C. data kalendarzowa, bo możemy mówić o stałej różnicy pomiędzy kolejnymi dniami gęstość jest to cecha interwałowa logarytmiczna, bo możemy mówić o stałej różnicy pomiędzy kolejnymi dniami płeć zbiór wartości {kobieta,mężczyzna} jest to cecha binarna, w której nie można wskazać zerowej wartości Dopuszczalne operacje przekształcenia liniowe (addytywne i skalowalne) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 41

42 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, jakościowe, porządkowe Cechy porządkowe tak jak cechy nominalne jednoznacznie identyfikują wartość cechy, a ponadto są uporządkowane w rosnącej kolejności. Możemy z sensem mówić o relacjach, czyli porównywać między sobą dwie wartości (jest to cecha sortowalna). Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 4

43 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, jakościowe, porządkowe Przykłady stopień zadowolenia przyjmuje np. wartości z szeregu (nieszczęśliwy, niezadowolony, obojętny, zadowolony, szczęśliwy) jednakże nie można przyjąć, że różnica między nieszczęśliwym a niezadowolonym jest taka sama jak między obojętnym a zadowolonym wykształcenie przyjmuje np. wartości z szeregu (brak, podstawowe, gimnazjalne, zasadnicze zawodowe, średnie, wyższe zawodowe, niepełne wyższe, wyższe) stadium choroby przyjmuje np. wartości z szeregu (brak, stan początkowy, stan zaawansowany, stan terminalny) kolor w fizyce przyjmuje wartości z szeregu (fioletowy, niebieski, zielony, żółty, pomarańczowy, czerwony), odczyn Biernackiego (OB) przyjmuje wartości liczbowe, jednakże choć wartości te są porównywalne (mniej lub więcej) to nie są liniowe twardość minerałów wyrażona w skali twardości Mohsa Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 43

44 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, jakościowe, porządkowe Przykłady stopień zadowolenia wykształcenie stadium choroby kolor w fizyce odczyn Biernackiego (OB) twardość minerałów wyrażona w skali twardości Mohsa Dopuszczalne operacje przekształcenia rosnące (niezmieniające kolejności elementów i zachowujące ich różnorodność) przekształcenia niemalejące (niezmieniające kolejności elementów) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 44

45 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, jakościowe, nominalne Cechy nominalne są to cechy posiadające wartości wzajemnie się wykluczające (cecha o jednoznacznie określonych możliwych wartościach). W przeciwieństwie do cech porządkowych wartości te nie dają się sensownie uporządkować (jest to cecha jedynie jednoznaczna). Uwaga: cechy nominalne (dla niepoznaki) mogą być oznaczone kodami liczbowymi, jednakże nie czyni ich to od razu cechami porządkowymi. Przykłady płeć przyjmuje wartości ze zbioru {kobieta,mężczyzna} jednakże nie można określić, która wartość jest większa stan cywilny przyjmuje np. wartości ze zbioru {wolny, zamężny, wdowiec,rozwiedziony} grupa krwi przyjmuje wartości ze zbioru {0, A, B, AB} jednakże nie można określić, która wartość jest większa (A czy B) kolor oczu przyjmuje wartości ze zbioru {brązowe,piwne, bursztynowe, zielone, niebieskie, szare,fioletowe} numer zawodnika przyjmuje wartości ze zbioru np. {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} jednakże nie można twierdzić, że zawodnik o wyższym numerze jest lepszy od poprzedniego Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 45

46 Klasyfikacja cech statystycznych Cechy zmienne, jakościowe, nominalne Cechy nominalne są to cechy posiadające wartości wzajemnie się wykluczające (cecha o jednoznacznie określonych możliwych wartościach). W przeciwieństwie do cech porządkowych wartości te nie dają się sensownie uporządkować (jest to cecha jedynie jednoznaczna). Uwaga: cechy nominalne (dla niepoznaki) mogą być oznaczone kodami liczbowymi, jednakże nie czyni ich to od razu cechami porządkowymi. Przykłady płeć stan cywilny grupa krwi kolor oczu numer zawodnika Dopuszczalne operacje przekształcenia różnowartościowe (jeden do jednego) przekształcenia na (wiele do jednego) stratne! Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 46

47 Cechy stałe Klasyfikacja cech statystycznych Cechy stałe są to cechy statystyczne, które w danym badaniu statystycznym stanowią wspólną właściwość populacji (nie różnicują badanych jednostek). Cechy stałe stanowią tylko kryterium przynależności jednostki do określonej zbiorowości statystycznej. Cechy stałe w jednym badaniu statystycznym mogą być cechami zmiennymi w innym. Cechy stałe dzielimy na rzeczowe, przestrzenne i czasowe. Cechy rzeczowe (cechy przedmiotowe) określają co jest przedmiotem badania. Cechy przestrzenne określają gdzie (miejsce lub obszar) ulokowane były badane jednostki. Cechy czasowe określają kiedy (moment lub okres) przeprowadzane było badanie. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 47

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa 1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 1: Terminologia badań statystycznych dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka (1) Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem, badaniem

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Zmienne losowe. Statystyka w 3 Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Wykład Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy Zbiorowość statystyczna - zbiór elementów lub wyników jakiegoś procesu powiązanych ze sobą logicznie (tzn. posiadających wspólne cechy

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

Wynik pomiaru jako zmienna losowa

Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia statystyczne

Podstawowe pojęcia statystyczne Podstawowe pojęcia statystyczne Istnieją trzy rodzaje kłamstwa: przepowiadanie pogody, statystyka i komunikat dyplomatyczny Jean Rigaux Co to jest statystyka? Nauka o metodach ilościowych badania zjawisk

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość statystyczna), jednostka statystyczna, próba. Cechy: ilościowe (mierzalne),

Statystyka. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość statystyczna), jednostka statystyczna, próba. Cechy: ilościowe (mierzalne), Statystyka zbiór przetworzonych i zsyntetyzowanych danych liczbowych, nauka o ilościowych metodach badania zjawisk masowych, zmienna losowa będąca funkcją próby. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony zbiór jednostek, które

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Plan wykładu Statystyka opisowa Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii Statystyka matematyczna Podstawy estymacji Testowanie hipotez statystycznych Żródła Korzystałam z ksiażek:

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Adam Wosatko Magdalena Jakubek Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 4 Podstawy statystyki 4. Wstęp Statystyka nauka o metodach badań właściwości populacji (zbiorowości),

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej)

Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej) Charakterystyki liczbowe (estymatory i parametry), które pozwalają opisać właściwości rozkładu badanej cechy (zmiennej) 1 Podział ze względu na zakres danych użytych do wyznaczenia miary Miary opisujące

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Statystyka zbiór przetworzonych i zsyntetyzowanych danych liczbowych, nauka o ilościowych metodach

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt

Statystyka matematyczna. dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Statystyka matematyczna dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Zasady zaliczenia przedmiotu: część wykładowa Maksymalna liczba punktów do zdobycia 40. Egzamin będzie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

Próba własności i parametry

Próba własności i parametry Próba własności i parametry Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa- cd.

Statystyka opisowa- cd. 12.03.2017 Wydział Inżynierii Produkcji I Logistyki Statystyka opisowa- cd. Wykład 4 Dr inż. Adam Deptuła HISTOGRAM UNORMOWANY Pole słupka = wysokość słupka x długość przedziału Pole słupka = n i n h h,

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3.03.07 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 06/07 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Z poprzedniego wykładu

Z poprzedniego wykładu PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41

Statystyka. Wykład 4. Magdalena Alama-Bućko. 13 marca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca / 41 Statystyka Wykład 4 Magdalena Alama-Bućko 13 marca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 13 marca 2017 1 / 41 Na poprzednim wykładzie omówiliśmy następujace miary rozproszenia: Wariancja - to średnia arytmetyczna

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport

Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014 Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Graficzna prezentacja danych statystycznych

Graficzna prezentacja danych statystycznych Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych Katowice, 12 i 26 czerwca 2014 r. Dopasowanie narzędzia do typu zmiennej Dobór narzędzia do

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.6

Zadania ze statystyki, cz.6 Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z

Bardziej szczegółowo

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2, Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Pozyskiwanie wiedzy z danych

Pozyskiwanie wiedzy z danych Pozyskiwanie wiedzy z danych dr Agnieszka Goroncy Wydział Matematyki i Informatyki UMK PROJEKT WSPÓŁFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIEJ W RAMACH EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Pozyskiwanie wiedzy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Wprowadzenie Podstawowe cele analizy zbiorów danych Uogólniony opis poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład.03.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Zmienne losowe, jednowymiarowe rozkłady zmiennych losowych Pomiar jako

Bardziej szczegółowo