Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Transkrypt

1 #4 1

2 Sprawdzian! 5 listopada (ok minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja - CTG; rozkład statystyki M - Przedziały ufności dla średniej - Formułowanie hipotez (H 0, H 1 ) 2

3 Statystyki i parametry PRÓBA: <- losowanie <- POPULACJA: statystyka parametr M μ Statystyki to wartości liczbowe wyliczane na podstawie próby Parametry to wartości liczbowe opisujące populację 3

4

5

6 Rozkład normalny ( Gaussa) Rozkład symetryczny (średnia=mediana) Najwięcej przypadków skupionych wokół średniej Zmienna ciągła

7 C B A A B C

8 A > B > C A=34,13% B=13,59% C=2,15%

9 N(0,1) A=(-1,0)(0,1) B=(-2,-1),(1,2) C=(-3,-2)(2,3)

10 C B A A B C

11 N(100,10) Obszar A (90,100) (100,110) Obszar B (80,90) (110,120) Obszar C (70,80) (120,130) N(0,1) [standaryzacja] Obszar A (-1,0) (0,1) Obszar B (-2,-1) (1,2) Obszar C (-3,-2) (2,3) C B A A B C

12 Jan ma 195 cm (przykład s ) Jak bardzo prawdopodobne jest, że Jan został wylosowany z próby polskiej jeśli wzrost Polaków N (175,10)? Jak bardzo prawdopodobne jest, że wylosujemy mężczyznę o wzroście co najmniej 195 cm z próby polskiej jeśli wzrost Polaków N(175,10)? z J =( )/10=20/10=2 P(z 2)=?

13 C B A A B C

14 Jan ma 195 cm s Jak bardzo prawdopodobne jest, że Jan został wylosowany z próby hiszpańskiej jeśli wzrost Hiszpanów N (167,10)? Jak bardzo prawdopodobne jest, że wylosujemy mężczyznę o wzroście co najmniej 195 cm z próby hiszpańskiej jeśli wzrost Hiszpanów N(167,10)? z J =( )/10=28/10=2,8 P(z 2,8)=?

15 C B A A B C P(z 2,8)=?

16 P(z 2,8)=? 16

17 Jan ma 195 cm s Jak bardzo prawdopodobne jest, że Jan został wylosowany z próby duńskiej jeśli wzrost Duńczyków N (180,10)? Jak bardzo prawdopodobne jest, że wylosujemy mężczyznę o wzroście co najmniej 195 cm z próby duńskiej jeśli wzrost Duńczyków N(180,10)? z J =( )/10=15/10=1,5 P(z 1,5)=? Prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic

18 P(z 1,5)=? 18

19 Ćwiczenie 4.7. s. 158 Rozkład wyników w teście inteligencji N(110,10) H 0 µ=110 Jak bardzo prawdopodobne jest, że Ewa która uzyskała wynik A) 90 punktów z=? B) 80 punktów z=? C) 115 punktów z=? Jest normalna czyli pochodzi z populacji o N(110,10)

20 Ćwiczenie 4.7. s. 158 Rozkład wyników w teście inteligencji N(110,10) H 0 µ=110 Jak bardzo prawdopodobne jest, że Ewa która uzyskała wynik A) 90 punktów z=-2 B) 80 punktów z=-3 C) 115 punktów z= 0,5 Jest normalna czyli pochodzi z populacji o N(110,10)

21 Ćwiczenie 4.7. s. 158 Rozkład wyników w teście inteligencji N(90,10) H 0 µ=90 Jak bardzo prawdopodobne jest, że Ewa która uzyskała wynik A) 90 punktów z=? B) 80 punktów z=? C) 115 punktów z=? Jest normalna czyli pochodzi z populacji o N(110,10)

22 Ćwiczenie 4.7. s. 158 Rozkład wyników w teście inteligencji N(90,10) H 0 µ=90 Jak bardzo prawdopodobne jest, że Ewa która uzyskała wynik A) 90 punktów z=0 B) 80 punktów z=-1 C) 115 punktów z= 2,5 Jest normalna czyli pochodzi z populacji o N(110,10)

23 Z dla Ewy zależy od jej wyniku i wartości wyspecyfikowanym w założeniu (hipotezie) Wynik Ewy Hipoteza: N(110,10) 80 Z=-3 Z=-1 Hipoteza: N(90,10) 105 Z=-0,5 Z=1,5

24 Statystyki i parametry PRÓBA: <- losowanie <- POPULACJA: statystyka parametr M μ Statystyki to wartości liczbowe wyliczane na podstawie próby Parametry to wartości liczbowe opisujące populację 24

25 Estymacja Estymacja = szacowanie parametrów populacji na podstawie statystyk z próby M jest estymatorem μ s jest estymatorem σ 25

26 Co pozwala nam na estymację? Prawo Wielkich Liczb Centralne Twierdzenie Graniczne 26

27 Prawo wielkich liczb Zmienna losowa X, wartość w populacji E(x) M n = (X 1 + X 2 + X X n )/n M n E(x) dla n Czyli M n μ dla n (sformułowane przez Bernouliego w 1713r): Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa. 27

28 Przykład X = liczba wyrzuceń orła w 100 rzutach monetą E(x) = liczba rzutów * prawdopodobieństwo wyrzucenia orła E(x) = 100 * 0.5 = 50 Np: M n = ( ) / n M n 50 wraz z n 28

29 Przykład, cd n ( )/2 ( )/3 ( )/4 ( )/5 (...)/n {r} ## PRAWO WIELKICH LICZB n <- 1000; means <- cumsum(rnorm(n)) / (1 : n) plot(1 : n, means, type = "l", lwd = 3, col='blue', frame = FALSE, ylab = "średnie skumulowane", xlab = "wielkość próby") abline(h = 0) 29

30 Paradoks hazardzisty (gambler s fallacy) Po serii wysokich wyników nie należy wcale oczekiwać serii niskich wyników! Nie ważne, co się wydarzy ze średnią w skończonej liczbie powtórzeń, w nieskończonej liczbie powtórzeń oczekiwana wartość dąży do średniej. 30

31 Przykład: populacja marsjańska 3 Marsjan, każdy o innym wzroście: 1m 2m 3m Oblicz średni wzrost w populacji: μ = Oblicz wariancję w populacji: σ 2 =.. 31

32 μ = ( )/3 = 2 μ, σ σ 2 = [(1-2) 2 + (2-2) 2 + (3-2) 2 ] / 3 = 2/3 32

33 Próba losowa Zakładamy że koszty pomiaru są duże, więc dobieramy małe próby (2-elementowe) Jak losować: Ze zwracaniem? Bez zwracania? Ile możemy otrzymać prób: Ze zwracaniem? Bez zwracania? 33

34 Rozkład średnich (M) Losowanie 1 Losowanie 2 Wynik (wzrost) Statystyka M Mały Mały 1 1 Średni 1 2 Duży 1 3 Średni Mały 2 1 Średni 2 2 Duży 2 3 Duży Mały 3 1 Średni 3 2 Duży

35 Średnia w 9 próbach Średnia Częstość Procent 1 1,5 2 2,5 3 Razem

36 Średnia w 9 próbach Średnia Częstość Procent ,1 1,5 2 22, ,3 2,5 2 22, ,1 Razem

37 Średnia z rozkładu średnich μ M = ( )/9 = 2 Średnia rozkładu statystyki M (średnia średnich) jest równa średniej rozkładu zmiennej w populacji. μ M = μ 37

38 Rozproszenie rozkładu statystyki M σ 2 M = σ 2 / n σ 2 M = SS M / N SSM = (1-2) 2 + 2*(1.5-2) 2 + 3*(2-2) 2 + 2*(2.5-2) 2 + (3-2) 2 = σ M to błąd standardowy czyli Odchylenie standardowe rozkładu statystyki 38

39 Rozkład z próby Można wyliczyć dla dowolnej statystyki: Średniej Sumy Mediany... 39

40 Centralne Twierdzenie Graniczne Jeśli pobieramy kolejno próby losowe o liczebności N z populacji o dowolnym rozkładzie ze średnią μ i wariancją σ 2, to dla dostatecznie dużych prób rozkład średnich (statystyki M) będzie rozkładem normalnym o średniej μ i wariancji σ 2 /N. Gdy zmienna w populacji ma rozkład normalny, to rozkład średnich jest normalny także dla małych prób. 40

41 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ! 41