Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Transkrypt

1 Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych i zastosuj ją do dowodzenia przykładowych formuł, traktując, zgodnie z twierdzeniem o pełności, dowody jako reprezentacje sprawdzania tautologiczności, w zapisie których nie odnotowuje się interpretacji logicznej formuły, ale gdy v()=1 zapisuje się w wierszu (w odpowiednim miejscu drzewa tabeli semantycznej), a gdy v()=0, zapisuje się. Następnie sprawdź podane przykłady i uzasadnij odwołania do stosownych reguł wnioskowania. Tabele prawdziwościowe dla formuł są wzorami, według których określamy wartość logiczną zdania złoŝonego w zaleŝności od wartości zdań składowych: B B B B B Formuły, które są schematami tylko zadań prawdziwych nazywamy tautologiami, a takie, które są schematami tylko zdań fałszywych nazywamy kontr tautologiami lub sprzecznościami. ZauwaŜmy, Ŝe na podstawie tabel prawdziwościowych dla spójników zdaniowych dysponujemy następującą wiedzą: formuła jest tautologią, gdy dowolne zdanie o schemacie jest fałszywe, co oznacza, Ŝe jest kontrtautologią, formuła B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie B co najmniej jedno ze zdań o schematach, B jest prawdziwe, w szczególności, gdy jedna z formuł lub B jest tautologią, formuła B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie B oba zdania schematach, B są prawdziwe, w szczególności, gdy obie formuły i B są tautologiami,

2 formuła B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie B, jeŝeli zdanie o schemacie jest prawdziwe, to zdanie o schemacie B jest prawdziwe, w szczególności, jeŝeli formuła jest tautologią, to B jest teŝ tautologią, formuła B jest tautologią, gdy w dowolnym zdaniu o schemacie B oba zdania o schematach, B mają tę samą wartość logiczną, w szczególności, gdy obie formuły i B są tautologiami lub kontrtautologiami, RozwaŜmy teraz formuły poprzedzone kwantyfikatorami. Niech (x) jest dowolną formułą, w której x jest jedyną zmienną wolną. Oznaczmy zbiór wszystkich zdań, których schematem jest ta formuła przez P, gdy wszystkie zdania tego zbioru są prawdziwe, przez F, gdy są fałszywe, a przez T, gdy niektóre zdania tego zbioru są prawdziwe, a niektóre fałszywe. Wiedzę o wartościach logicznych zdań, których schematem jest formuła x(x) lub formuła x(x) reprezentuje tabela Wiedzę reprezentowaną przez powyŝszą tabelę, dla dowolnych funkcji interpretacji, moŝemy teŝ sformułować następująco: jeŝeli formuła x(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła (x) jest schematem zdań wśród których kaŝde zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie (c), gdzie wybór termu c nie zaleŝy od formuły (x), a jedynie od dziedziny argumentu x, jest więc dowolny, jeŝeli formuła x(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła (x) jest schematem zdań wśród których co najmniej jedno zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie (c), gdzie wybór termu c zaleŝy od formuły (x) i od dziedziny argumentu x, a więc moŝe być dokonany tylko raz podczas formalizacji tekstu, jeŝeli formuła x(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła (x) jest schematem zdań wśród których co najmniej jedno zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie (c), gdzie wybór termu c zaleŝy od formuły (x) i od dziedziny argumentu x, a więc moŝe być dokonany tylko raz podczas formalizacji tekstu, jeŝeli formuła x(x) jest schematem zdania prawdziwego, to formuła (x) jest schematem zdań wśród których kaŝde zdanie jest prawdzie, np. zdanie o schemacie (c), gdzie wybór termu c nie zaleŝy od formuły (x), a jedynie od dziedziny argumentu x, jest więc dowolny,

3 Przykład 1. L1. (modus ponendo ponens) ((( B) ) B) Dowód. 1. ((( B) ) B) (załdow.mwp.) 2. (( B) ) (1, (NC)) 3. B (1, (NC)) 4. ( B) (2, (K)) 5. (2, (K)) 6.1 (4, (C), zał.dod.) 6.2 sprz. 5, sprz. (6.1->6,2) 7.1 B (4, (C), zał.dod.) 7.1 sprz. 3, B sprz. (7.1->7,2) 6. sprz. (z 4 wynika sprz., 6, 7) L2. (modus tollendo tollens) ((( B) B) ) Dowód. (analogiczny jak w L1) L3. (modus tollendo ponens) ((( B) B) ) Dowód. 1. ((( B) B) ) (zał.dow.nwp.) 2. (( B) B) (1, (NC)) 3. (1, (NC)) 4. ( B) (2, (K)) 5. B (2, (K)) 6.1 (4,(), zał.dod) 6.2 sprz. 3, sprz. (6.1->6.2) 7.1 B (4, (), zał.dod.) 7.2 sprz. 5, B sprz. (7.1->7.2) 8. sprz. (z 4 wynika sprz., 6, 7)

4 L4. (prawo transpozycji) (( B) ( B )) Dowód. 1. (( B) ( B )) (zał.dow.nwp.) 2.1 ( B) ( B ) (1, (NE), zał.dod.) 2.2 ( B) (2.1, (K)) 2.3 ( B ) (2.1, (K)) 2.4 B (2.3, (NC)) 2.5 (2.3, (NC)) 2.6 (2.5, (NN)) (2.1, (C), zał.dod.) sprz. 2.6, B (2.2, (C), zał.dod.) sprz. 2.4, ( B) ( B ) (1. (NE), zał.dod.)) 3.2 ( B) (3.1, (K)) 3.3 ( B ) (3.1, (K)) 3.4 (3.2, (NC)) 3.5 B (3.2, (NC)) B (3.3, (C), zał.dod.) B (3.6.1, (NN)) sprz. 3.5, (3.3, (C), zał.dod.) sprz. 3.4, sprz. (( B) ( B )) ( B) ( B) ( B ) ( B ) B B B B B

5 L5. (prawo redukcji do absurdu) ((( B) ( B)) ) ((( B) ( B)) ) (( B) ( B)) ( B) ( B) B B L6. (prawo negacji implikacji) ( ( B) ( B)) ( ( B) ( B)) ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) B B B B B

6 L7. (prawo de Morgana dla koniunkcji) ( ( B) ( B)) ( ( B) ( B)) ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) B B B B B L8. (prawo de Morgana dla alternatywy) ( ( B) ( B)) ( ( B) ( B)) ( B) ( B) ( B) ( B) ( B) B B B B B

7 L9. (sylogizm hipotetyczny) ((( B) (B C)) ( C)) ((( B) (B C)) ( C)) (( B) (B C)) ( C) ( B) (B C) C B B C L10. (dylemat konstrukcyjny prosty) (((( C) (B C)) ( B)) C) (((( C) (B C)) ( B)) C) ((( C) (B C)) ( B)) C ( C) (B C) ( B) C B C B

8 L11. (dylemat konstrukcyjny złoŝony) (((( C) (B D)) ( B)) (C D)) (((( C) (B D)) ( B)) (C D)) ((( C) (B D)) ( B)) (C D) C D ( C) (B D) ( B) B D C B Tablice praw rachunku kwantyfikatorów L12. (prawo de Morgana dla kwantyfikatora generalnego) ( x(x) x( (x))) Dowód. (notacja linearna) 1. ( x(x) x( (x))) (zał.dow,nwp.) 2.1 ( x(x) x( (x))) (1, (NE), zał.dow.nwp)) 2.2 x(x) (2.1, (K)) 2.3 x( (x)) (2.1, (K)) 2.4 (c 1 ) (2.2, (NLLX)) 2.5 (c 1 ) (2.3, (NEX)) 2.6 sprz. 2.4, ( x(x) x( (x))) (1, (NE),zał.dow.nwp.) 3.2 x(x) (3.1, (K)) 3.3 x( (x)) (3.1, (K)) 3.4 x(x) (3.2, (NN))

9 3.5 (c 2 ) (3.3, (EX)) 3.6 (c 2 ) (3.4, (LLX)) 3.7 Sprz. 3.5, sprz. ( x(x) x( (x))) x(x) x(x) x( (x)) x( (x)) (c 1 ) x(x) (c 1 ) (c 2 ) (c 1 ) L17. (drugie prawo rozkładu kwantyfikatora generalnego na implikację) ( x((x) B(x)) ( x(x) xb(x))) Dowód. (notacja linearna) 1. ( x((x) B(x)) ( x(x) xb(x))) (zał.dow.nwp.) 2. x((x) B(x)) (1, (NC)) 3. ( x(x) xb(x)) (1, (NC)) 4. x(x) (3, (NC)) 5. xb(x) (3, (NC)) 6. (c 1 ) (4, (EX)) 7. ((c 1 ) B(c 1 )) (3, (LLX)) 8.1 (c 1 ) (7, (C),zał.dod.) 8.2 sprz. 6, B(c 1 ) (7, (C),zał.dod.) 9.2 B(c 1 ) (5, (NEX)) 9.3 sprz. 9.1, sprz.

10 ( x((x) B(x)) ( x(x) xb(x))) x((x) B(x)) ( x(x) xb(x)) x(x) xb(x) (c 1 ) ((c 1 ) B(c 1 )) (c 1 ) B(c 1 ) B(c 1 ) L33. (prawo przestawiania kwantyfikatora egzystencjalnego z generalnym) ( x y(x,y) y x(x,y)) Dowód. (notacja linearna) 1. ( x y(x,y) y x(x,y)) (zał.dow.nwp.) 2. x y(x,y) (1, (NC)) 3. y x(x,y) (1, (NC)) 4. y(c 1,y) (2, (EX)) 5. x(x,c 2 ) (3, (NLLX) 6. (c 1,c 2 ) (4, (LLX)) 7. (c 1,c 2 ) (5, (NEX)) 8. sprz. 6, 7