ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

Transkrypt

1 ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że wa wa i A n A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje w. n FAKT. Formuła A wynika logicznie z formuł A A n A jest tautologią KRZ A,, A w KRZ wtedy i tylko wtedy, gdy n Tautologie implikacyjne Prawo odrywania p q Prawo odrzucania p q q p Prawo sylogizmu hitetycznego q r r Prawa symplifikacji p q p p q q Prawo koniunkcji p q p Przykłady. Prawo sylogizmu warunkowego: q r r. Zatem p r wynika z p q, q r. Prawo odrywania: p q. Zatem q wynika z p q, p.

2 DEF. Wnioskowaniem nazywamy układ zdań, z których jedno jest wyróżnione jako wniosek, a zostałe są przesłankami. W KRZ schematy wnioskowań zapisujemy w staci A,, An albo A A An A gdzie formuły A,, A nazywamy przesłankami a formułę A wnioskiem tego schematu. n DEF. Schemat wnioskowania nazywamy niezawodnym, jeżeli wniosek wynika logicznie z przesłanek w KRZ. Niezawodne schematy wnioskowania nazywamy też logicznymi regułami wnioskowania KRZ. TW. O dstawianiu w niezawodnych schematach wnioskowania Jeżeli schemat wnioskowania W jest niezawodny, to schemat W wstający z W przez dstawienie za wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej dowolnej formuły jest niezawodny w KRZ. DEF. Wnioskowanie nazywamy dedukcyjnym, jeżeli jego schemat jest niezawodny. 2

3 Logiczne reguły wnioskowania. Reguła sylogizmu warunkowego 2.Reguła odrywania (modus nens) p q, q r p r p, p q q 3. Reguła odrzucania (modus tollens) p q, q 4. Reguła dylematu p q, p r, q r r 5.Reguły opuszczania koniunkcji p q p q p q 6. Reguła wprowadzania koniunkcji p, q p q 7. Reguły wprowadzania alternatywy 8. Reguła wprowadzania równoważności p q, q p p q 3

4 DEF. Mówimy, że formuła A jest równoważna logicznie formule B w KRZ, jeżeli w A w B dla każdego wartościowania w. FAKT. Formuła A jest równoważna formule B w KRZ wtedy i tylko wtedy, gdy formuła A B jest tautologią KRZ. TW. O równoważności. Jeżeli formuły A i B są równoważne w KRZ, a formuła C wstaje z C przez zastąpienie niektórych wystąpień formuły A formuła B, to formuły C i C są równoważne logicznie w KRZ. Rozważane dotychczas spójniki logiczne odwiadały spójnikom występującym w mowie tocznej. Możemy również ziniować abstrakcyjne spójniki logiczne przez zadanie tabelki wartości logicznych. W przypadku spójników jednoargumentowych możemy to uczynić na 2*2 = 4 ssobów, a w przypadku spójników dwuargumentowych na 2*2*2*2 = 6 ssobów. Zestawienie wszystkich funktorów jednoargumentowych: p o * p o * 2 p o * 3 p o * 4 p 4

5 Zestawienie wszystkich funktorów dwuargumentowych: p Nazwa funktora q q - falsum dwuargumentowe, i tak źle i tak źle 2 q - koniunkcja, i 3 q 4 q 5 q - binegacja, ani p ani q (negacja alternatywy) 6 q 7 q 8 q - równoważność, p wtedy i tylko wtedy, gdy q 9 q - alternatywa rozłączna albo q q 2 q - alternatywa, lub 3 q 4 q - implikacja, jeżeli p, to q 5 q - dyzjunkcja, najwyżej jedno z dwojga (negacja koniunkcji) 6 q - zawsze prawda 5

6 DEF. Mówimy, że spójnik jednoargumentowy jest iniowalny przez formułę formuła p jest równoważna logicznie formule A. Mówimy, że spójnik dwuargumentowy o jest iniowalny przez formułę A, q, gdy formuła A p, q. p jest równoważna logicznie formule FAKT a) przy mocy i można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe, b) przy mocy i można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe, c) przy mocy i można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe, d) przy mocy samej można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe, e) przy mocy samej można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe. A, gdy Niektóre inicje:. q 2. p q 3. p q q 4. q p q p q 9. p q. p p. 2. q. p p. 2. q 6

7 Ćwiczenie 2: wiadomości i umiejętności. Po ćwiczeniu 2 student winien znać inicje jęć danych w nagłówku ćwiczenia 2. Student winien siadać następujące umiejętności: badać, czy dana formuła wynika logicznie ze zbioru formuł sprawdzać, czy dany schemat wnioskowania jest niezawodny metodą tablicową i metodą nie wprost sprawdzać, czy dane rozumowanie jest dedukcyjne wykazywać, że dany spójnik logiczny jest iniowalny za mocą danego zbioru spójników, tzn. że jest iniowalny przez pewną formułę, zbudowaną z wykorzystaniem spójników z tego zbioru. 7