Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2"

Transkrypt

1 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski Kraków 29 III 2

2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ

3 Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór formuł języka KRZ w zbiór wartości logicznych. PRAWDA FORMUŁY KRZ FAŁSZ

4 Def 6. Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór formuł języka KRZ w zbiór wartości logicznych. V PRAWDA FORMUŁY KRZ FAŁSZ Wartościowanie przyporządkowuje każdemu zdaniu języka KRZ albo prawdę, albo fałsz. Niech α będzie dowolnym zdaniem języka KRZ, wtedy jest tak, że: v(α) = albo v(α) =

5 Jak odróżnić od siebie wartościowania?

6 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ.

7 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) sposobu przypisywania prawdy i fałszu zmiennym zdaniowym, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek).

8 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) sposobu przypisywania prawdy i fałszu zmiennym zdaniowym, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Charakterystyka prawdziwościowa spójników pozostaje taka sama, bez względu na wartościowanie, które rozważamy. NEGACJA KONIUNKCJA ALTERNATYWA IMPLIKACJA RÓWNOWAŻNOŚĆ p p p q p q p q p q p q p q p q p q

9 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz zmiennym zdaniowym języka KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) różnicy w wartościowaniach zmiennych zdaniowych języka KRZ, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Wystarczy więc skupić uwagę wyłącznie na zmiennych zdaniowych.

10 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz zmiennym zdaniowym języka KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) różnicy w wartościowaniach zmiennych zdaniowych języka KRZ, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Wystarczy więc skupić uwagę wyłącznie na zmiennych zdaniowych. Jeśli dowolne dwa wartościowania v i i v j różnią się od siebie, to istnieje przynajmniej jedna zmienna języka KRZ p m, taka, że: v i (p m ) =, zaś v j (p m ) =.

11 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań?

12 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ.

13 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych)

14 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych) Możliwych, różnych wartościowań jest zatem trochę więcej niż nieskończenie wiele (a przynajmniej więcej niż jest liczb naturalnych)

15 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych) Możliwych, różnych wartościowań jest zatem trochę więcej niż nieskończenie wiele (a przynajmniej więcej niż jest liczb naturalnych) Na szczęście, gdy rozważamy dowolną formułę języka KRZ, mamy zawsze do czynienia ze skończoną liczbą zmiennych zdaniowych!

16 V v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=,

17 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=,

18 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Czy wartościowania różnią się z uwagi na zmienną p?

19 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Czy wartościowania różnią się z uwagi na zmienną p?

20 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Z uwagi na wartość logiczną, którą przypisują zmiennej p, wartościowania v, v 2, v 3 i v 4, rozpadają się na dwie klasy: (i) takie, które przyporządkowują p wartość prawda : v α (p )= [v i v 3 ] (ii) takie, które przyporządkowują p wartość fałsz : v β (p )= [v 2 i v 4 ]

21 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Z uwagi na wartość logiczną, którą przypisują zmiennej p, wartościowania v, v 2, v 3 i v 4, rozpadają się na dwie klasy: (i) takie, które przyporządkowują p wartość prawda : v α (p )= [v i v 3 ] (ii) takie, które przyporządkowują p wartość fałsz : v β (p )= [v 2 i v 4 ] v α v β p W ten sposób udało się rozważyć wszystkie możliwe wartościowania; przynajmniej tak długo, jak długo interesuje nas jedynie zmienna p.

22 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,

23 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )=

24 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )=

25 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )=

26 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )= V δ v δ (p )=, v δ )=

27 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )= V δ v δ (p )=, v δ )=

28 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 V α V β V γ V δ

29 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 W ten sposób powstają dwa pierwsze wiersze tabelki prawdziwościowej dla formuły złożonej z dwu pierwszych zmiennych języka KRZ i któregoś z funktorów KRZ.

30 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ

31 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych.

32 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ?

33 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? Sposób. Metoda wprost: należy rozważyć wszystkie wartościowania zmiennych, które występują w badanej formule i ustalić, czy wartością logiczną, która przy każdym z wartościowań odpowiada tej formule jest prawda. (i) (ii) Jeśli tak jest, to formuła jest tautologią. Jeśli tak nie jest, to formuła nie jest tautologią.

34 Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? ((p r) (q r)) ((p q) r)) p q r (p r) (q r) (p q) ((p q) r) ((p r) (q r)) α β β α TAUTOLOGIA

35 Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? ((p r) (q r)) ((p q) r)) p q r (p r) (q r) (p q) ((p q) r) ((p r) (q r)) α β β α TAUTOLOGIA

36 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? Sposób 2 Metoda niewprost: Z.D.N.: Załóżmy, że badana formuła nie jest tautologią. (a) (b) znaczy to, że istnieje wartościowanie zmiennych KRZ, przy którym formuła jest fałszywa, będziemy rozważać właśnie to wartościowanie. Wykorzystując wiedzę na temat charakterystyki prawdziwościowej funktorów KRZ odnajdźmy teraz wartościowanie zmiennych występujących w rozważanej formule, przy którym okazuje się ona fałszywa. Możliwe są dwie sytuacje: (i) (ii) w drodze rozważań napotkamy sprzeczność- wtedy Z.D.N. zostaje odrzucone a badana formuła jest tautologią, odnajdujemy wartościowanie zmiennych takie, że badana formułą jest przy nim fałszywa- wtedy Z.D.N. zostało dowiedzione, a formuła nie jest tautologią

37 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? (( p r) (q r)) ((p q) r )) Z.D.N.

38 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

39 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

40 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

41 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p\ q) r )) Z.D.N.

42 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

43 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

44 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

45 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.

46 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.

47 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.

48 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) TA FORMUŁA JEST TAUTOLOGIĄ SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.

49 DO ĆWICZEŃ!

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań 1/2 Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (2,3)

Logika Matematyczna (2,3) Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

Schematy Piramid Logicznych

Schematy Piramid Logicznych Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:

Bardziej szczegółowo

Klasyczny rachunek predykatów

Klasyczny rachunek predykatów Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Dowody założeniowe w KRZ

Dowody założeniowe w KRZ Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody

Bardziej szczegółowo

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Drzewa Semantyczne w KRZ

Drzewa Semantyczne w KRZ Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły

Bardziej szczegółowo

4 Klasyczny rachunek zdań

4 Klasyczny rachunek zdań 4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne

Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Logika Radosna 1. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRZ. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Logika Radosna 1. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRZ. Zakład Logiki Stosowanej UAM Logika Radosna 1 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 1 Semantyka KRZ 1 / 47 Wprowadzenie Cel Cel tych

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań 1 zastaw zadań

Rachunek zdań 1 zastaw zadań Rachunek zdań 1 zastaw zadań Zadanie 1 ([1]) Wyraź w języku KRZ następujące zdania języka naturalnego: (a) Jeśli Jan jest ateistą to Jan nie jest katolikiem. (b) Jeśli Jan jest ateistą to nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (10)

Logika Matematyczna (10) Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału

Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału Nazwisko i imię... Klasa... Wersja testu... Test zawiera 12 zadań, doktórychsą 3 odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Stefan Sokołowski PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Inst Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2015/2016 Podstawy logiki i teorii mnogoci Wykład1,str1 Na http://studentpwszelblagpl/ stefan/dydaktyka/logteomno

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy

Bardziej szczegółowo

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ

METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (1)

Logika Matematyczna (1) Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty

Bardziej szczegółowo

Logika rachunek zdań

Logika rachunek zdań Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania

Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Gry plan: jak używamy terminu wynikanie w potocznych kontekstach? racja, następstwo i związki

Bardziej szczegółowo

Metalogika (10) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (10) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (10) Uniwersytet Opolski 1 / 291 Plan wykładu Plan

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo