Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2
|
|
|
- Teresa Dąbrowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2 Bartosz Gostkowski Kraków 29 III 2
2 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ
3 Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór formuł języka KRZ w zbiór wartości logicznych. PRAWDA FORMUŁY KRZ FAŁSZ
4 Def 6. Wartościowanie v, to funkcja, która posyła zbiór formuł języka KRZ w zbiór wartości logicznych. V PRAWDA FORMUŁY KRZ FAŁSZ Wartościowanie przyporządkowuje każdemu zdaniu języka KRZ albo prawdę, albo fałsz. Niech α będzie dowolnym zdaniem języka KRZ, wtedy jest tak, że: v(α) = albo v(α) =
5 Jak odróżnić od siebie wartościowania?
6 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ.
7 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) sposobu przypisywania prawdy i fałszu zmiennym zdaniowym, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek).
8 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz wyrażeniom KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) sposobu przypisywania prawdy i fałszu zmiennym zdaniowym, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Charakterystyka prawdziwościowa spójników pozostaje taka sama, bez względu na wartościowanie, które rozważamy. NEGACJA KONIUNKCJA ALTERNATYWA IMPLIKACJA RÓWNOWAŻNOŚĆ p p p q p q p q p q p q p q p q p q
9 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz zmiennym zdaniowym języka KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) różnicy w wartościowaniach zmiennych zdaniowych języka KRZ, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Wystarczy więc skupić uwagę wyłącznie na zmiennych zdaniowych.
10 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Wartościowania różnią się między sobą sposobem w jaki przyporządkowują prawdę i fałsz zmiennym zdaniowym języka KRZ. Różnice w wartościach logicznych, które dwa wartościowania przypisują formułom złożonym ze zmiennych i funktorów KRZ, są konsekwencją: (i) oraz (ii) różnicy w wartościowaniach zmiennych zdaniowych języka KRZ, charakterystyki prawdziwościowej spójników KRZ (tabelek). Wystarczy więc skupić uwagę wyłącznie na zmiennych zdaniowych. Jeśli dowolne dwa wartościowania v i i v j różnią się od siebie, to istnieje przynajmniej jedna zmienna języka KRZ p m, taka, że: v i (p m ) =, zaś v j (p m ) =.
11 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań?
12 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ.
13 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych)
14 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych) Możliwych, różnych wartościowań jest zatem trochę więcej niż nieskończenie wiele (a przynajmniej więcej niż jest liczb naturalnych)
15 Jak odróżnić od siebie wartościowania? Ile jest możliwych, różnych wartościowań? Wartościowanie, to funkcja, która przyporządkowuje każdej zmiennej jedną z dwu wartości logicznych, zatem możliwych, różnych od siebie przyporządkowań tego rodzaju powinno być 2 n gdzie n, to liczba zmiennych KRZ. Zmiennych KRZ, jest jednak nieskończenie wiele (tyle ile liczb naturalnych) Możliwych, różnych wartościowań jest zatem trochę więcej niż nieskończenie wiele (a przynajmniej więcej niż jest liczb naturalnych) Na szczęście, gdy rozważamy dowolną formułę języka KRZ, mamy zawsze do czynienia ze skończoną liczbą zmiennych zdaniowych!
16 V v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=,
17 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=,
18 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Czy wartościowania różnią się z uwagi na zmienną p?
19 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Czy wartościowania różnią się z uwagi na zmienną p?
20 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Z uwagi na wartość logiczną, którą przypisują zmiennej p, wartościowania v, v 2, v 3 i v 4, rozpadają się na dwie klasy: (i) takie, które przyporządkowują p wartość prawda : v α (p )= [v i v 3 ] (ii) takie, które przyporządkowują p wartość fałsz : v β (p )= [v 2 i v 4 ]
21 V V 2 V 3 V 4. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, Z uwagi na wartość logiczną, którą przypisują zmiennej p, wartościowania v, v 2, v 3 i v 4, rozpadają się na dwie klasy: (i) takie, które przyporządkowują p wartość prawda : v α (p )= [v i v 3 ] (ii) takie, które przyporządkowują p wartość fałsz : v β (p )= [v 2 i v 4 ] v α v β p W ten sposób udało się rozważyć wszystkie możliwe wartościowania; przynajmniej tak długo, jak długo interesuje nas jedynie zmienna p.
22 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8. v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,
23 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )=
24 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )=
25 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )=
26 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )= V δ v δ (p )=, v δ )=
27 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 V α v α (p )=, v α )= V β v β (p )=, v β )= V γ v γ (p )=, v γ )= V δ v δ (p )=, v δ )=
28 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 V α V β V γ V δ
29 V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 v (p )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v )=, v 2 (p )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 2 )=, v 3 (p )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 3 )=, v 4 (p )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 4 )=, v 5 (p )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 5 )=, v 6 (p )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 6 )=, v 7 (p )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, v 7 )=, V 8. v 8 (p )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=, v 8 )=,. Jeśli rozważamy dwie zmienne, wszystkie możliwe wartościowania rozpadają się na cztery klasy: p p 2 W ten sposób powstają dwa pierwsze wiersze tabelki prawdziwościowej dla formuły złożonej z dwu pierwszych zmiennych języka KRZ i któregoś z funktorów KRZ.
30 Plan wykładu: Wartościowanie w KRZ Tautologie KRZ
31 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych.
32 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ?
33 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? Sposób. Metoda wprost: należy rozważyć wszystkie wartościowania zmiennych, które występują w badanej formule i ustalić, czy wartością logiczną, która przy każdym z wartościowań odpowiada tej formule jest prawda. (i) (ii) Jeśli tak jest, to formuła jest tautologią. Jeśli tak nie jest, to formuła nie jest tautologią.
34 Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? ((p r) (q r)) ((p q) r)) p q r (p r) (q r) (p q) ((p q) r) ((p r) (q r)) α β β α TAUTOLOGIA
35 Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? ((p r) (q r)) ((p q) r)) p q r (p r) (q r) (p q) ((p q) r) ((p r) (q r)) α β β α TAUTOLOGIA
36 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? Sposób 2 Metoda niewprost: Z.D.N.: Załóżmy, że badana formuła nie jest tautologią. (a) (b) znaczy to, że istnieje wartościowanie zmiennych KRZ, przy którym formuła jest fałszywa, będziemy rozważać właśnie to wartościowanie. Wykorzystując wiedzę na temat charakterystyki prawdziwościowej funktorów KRZ odnajdźmy teraz wartościowanie zmiennych występujących w rozważanej formule, przy którym okazuje się ona fałszywa. Możliwe są dwie sytuacje: (i) (ii) w drodze rozważań napotkamy sprzeczność- wtedy Z.D.N. zostaje odrzucone a badana formuła jest tautologią, odnajdujemy wartościowanie zmiennych takie, że badana formułą jest przy nim fałszywa- wtedy Z.D.N. zostało dowiedzione, a formuła nie jest tautologią
37 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? (( p r) (q r)) ((p q) r )) Z.D.N.
38 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
39 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
40 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
41 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p\ q) r )) Z.D.N.
42 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
43 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
44 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
45 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) Z.D.N.
46 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.
47 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.
48 TAUTOLOGIA Def 7. Tautologia to formuła, która jest prawdziwa przy dowolnym wartościowaniu występujących w niej zmiennych. W jaki sposób sprawdzić tautologiczność formuły KRZ? \ (( p r) (q r)) ((p \ q) r )) TA FORMUŁA JEST TAUTOLOGIĄ SPRZECZNOŚĆ Z.D.N.
49 DO ĆWICZEŃ!
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje
ĆWICZENIE 2 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, iniowalność spójników za mocą formuły. DEF.
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Logika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Klasyczny rachunek zdań 1/2
Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do
Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Logika Matematyczna (2,3)
Logika Matematyczna (2,3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 11, 18 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (2,3) 11, 18 X 2007 1 / 34 Język KRZ
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Schematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Klasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Dowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Drzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
III rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3
Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język
DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne
Logika formalna SYLABUS A. Informacje ogólne studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Rodzaj przedmiotu Rok studiów /semestr Wymagania wstępne Liczba godzin zajęć Założenia i cele przedmiotu
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Lista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Logika Radosna 1. Jerzy Pogonowski. Semantyka KRZ. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Logika Radosna 1 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Radosna 1 Semantyka KRZ 1 / 47 Wprowadzenie Cel Cel tych
Rachunek zdań 1 zastaw zadań
Rachunek zdań 1 zastaw zadań Zadanie 1 ([1]) Wyraź w języku KRZ następujące zdania języka naturalnego: (a) Jeśli Jan jest ateistą to Jan nie jest katolikiem. (b) Jeśli Jan jest ateistą to nieprawda, że
1 Funktory i kwantyfikatory
Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi
Logika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań
Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału
Instrukcja do testu z matematyki zdania logiczne, wyrażenia algebraiczne, równania kwadratowe Zakres materiału Nazwisko i imię... Klasa... Wersja testu... Test zawiera 12 zadań, doktórychsą 3 odpowiedzi
PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
Stefan Sokołowski PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Inst Informatyki Stosowanej, PWSZ Elbląg, 2015/2016 Podstawy logiki i teorii mnogoci Wykład1,str1 Na http://studentpwszelblagpl/ stefan/dydaktyka/logteomno
Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki
0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do
Logika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Wprowadzenie Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) Wprowadzenie 1 / 20 Plan konwersatorium
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Logika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Stosowanej Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Gry plan: jak używamy terminu wynikanie w potocznych kontekstach? racja, następstwo i związki
Metalogika (10) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (10) Uniwersytet Opolski 1 / 291 Plan wykładu Plan
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)