ANALIZA PROCESU WPROWADZANIA NAPIĘCIA WSTĘPNEGO W NIESYMETRYCZNYM, NIELINIOWYM POŁĄCZENIU WIELOŚRUBOWYM

Transkrypt

1 OMISJA UDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 26 nr 2 Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2006 ANDRZEJ WITE *, RAFAŁ GRZEJDA ANALIZA PROESU WPROWADZANIA NAPIĘIA WSTĘPNEGO W NIESYMETRYZNYM, NIELINIOWYM POŁĄZENIU WIELOŚRUOWYM Przedstawiono modelowanie i obliczenia dowolnego, niesymetrycznego połączenia wielośrubowego na etapie wprowadzania obciążenia wstępnego. Przyjęto fizyczny model połączenia utworzony przez podatny element kołnierzowy mocowany do nieodkształcalnej ostoi za pomocą liniowych elementów sprężystych zastępujących śruby złączne. Umowną warstwę stykową pomiędzy kołnierzem a ostoją opisano za pomocą nieliniowego modelu Winklera. Sformułowano model obliczeniowy układu umożliwiający analizę wpływu kolejności dokręcania śrub na rozkład napięcia wstępnego zarówno podczas montażu połączenia wielośrubowego, jak i po jego zakończeniu. Opracowano iteracyjny algorytm obliczeń. Zamieszczono przykładowe obliczenia rozkładu sił w poszczególnych śrubach w asymetrycznym połączeniu wielośrubowym. Porównano wyniki obliczeń uzyskane z wykorzystaniem modeli zbudowanych z elementów skończonych i sztywnych elementów skończonych. Słowa kluczowe: połączenie wielośrubowe, model nieliniowy, napięcie wstępne 1. WPROWADZENIE Proces obliczeń połączeń wielośrubowych składa się z dwóch etapów: pierwszy dotyczy napinania wstępnego śrub w czasie montażu połączenia, a drugi wprowadzania roboczego obciążenia połączenia. Z rozpoznania literaturowego wynika, że sam proces napinania śrub jest często pomijany. W obliczeniach zakłada się jednakowy stan wstępnego obciążenia wszystkich śrub tworzących złącze i równomierne przyleganie powierzchni łączonych elementów po zakończeniu montażu. Tymczasem końcowy stan obciążenia połączenia po operacji zaciskania wstępnego jest uzależniony od kolejności napinania śrub. Zjawisko to opisano m.in. w pracy [1] na przykładzie modelu symetrycznego złącza kołnierzowego. Niniejsze opracowanie dotyczy teoretycznych badań procesu napinania wstępnego dowolnych połączeń wielośrubowych. * Dr hab. inż. atedra Mechaniki i Podstaw onstrukcji Maszyn Politechniki Szczecińskiej. ** Mgr inż.

2 262 A. Witek, R. Grzejda Punktem wyjścia podjętych rozważań jest metoda modelowania dowolnego połączenia wielośrubowego zaproponowana w pracy [5], polegająca na opisie nieliniowego modelu sprężystości złącza z wykorzystaniem zapisu wektorowo- -macierzowego stosowanego w metodzie sztywnych elementów skończonych (MSES) [3]. Obecnie, w celu zwiększenia stopnia adekwatności modelu połączenia do układu rzeczywistego postanowiono uwzględnić podatność własną kołnierza, wykorzystując do modelowania układu metodę elementów skończonych (MES) [6]. Rozwiązanie równań równowagi modelu otrzymuje się w iteracyjnym procesie obliczeń, determinowanym zmiennością struktury modelu, jednostronnością więzów nałożonych na model kołnierza i nieliniowymi charakterystykami styku. 2. OGÓLNY MODEL OLIZENIOWY POŁĄZENIA WIELOŚRUOWEGO Ogólna struktura modelu połączenia wielośrubowego wynika z koncepcji przedstawionej w pracy [5]. Model jest zbudowany z odkształcalnego korpusu kołnierza, mocowanego do nieodkształcalnej ostoi za pomocą m jednostronnych sprężyn liniowych, zastępujących śruby złączne (rys. 1b). Strefę kontaktu pomiędzy kołnierzem a ostoją zastępuje się umowną warstwą sprężystą typu winklerowskiego, opisaną zbiorem n jednostronnych sprężyn nieliniowych [4]. a) b) c) Rys. 1. Połączenie wielośrubowe: a) schemat konstrukcyjny połączenia, b) opis sprężystych właściwości układu, c) model połączenia Fig. 1. Multi-bolted joint: a) diagram of the joint, b) description of system spring properties, c) model of the joint

3 Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego Równanie równowagi układu (rys. 1c) zapisuje się w postaci: q = p (1) gdzie: macierz sztywności, q wektor przemieszczeń uogólnionych, p wektor sił uogólnionych (obciążeń zewnętrznych). W analizowanym połączeniu wielośrubowym można wyróżnić 3 podukłady o określonych cechach fizycznych, geometrycznych i funkcjonalnych: m-elementowy zbiór śrub złącznych podukład, s-wymiarowy element korpusowy kołnierza podukład F, n-elementowy zbiór nieliniowych sprężyn, modelujących styk podukład. Wskutek przyjętego podziału na podukłady wektory przemieszczeń i sił uogólnionych można zapisać jako ( q, q q ) q = col (2) F, ( p, p p ) p = col (3) F, Po uwzględnieniu formy zapisu wektorów (2) i (3) równanie równowagi (1) przyjmuje postać: 0 F 0 F FF F F q q q F p = p p gdzie:, FF, macierze sztywności podukładów, F i, F, F, F, F macierze sprzężeń sprężystych pomiędzy podukładami, F i. Równanie (4), po wykonaniu mnożenia bloków macierzy, można przedstawić w formie układu trzech równań macierzowych: q F qf p F (4) + = (5) + = (6) F q FF qf + F q pf + = (7) F qf q p Zdefiniowany w ten sposób model złącza wielośrubowego umożliwia wyznaczenie wartości sił działających na śruby w czasie napinania połączenia i po jego zakończeniu.

4 264 A. Witek, R. Grzejda 3. MODEL OLIZENIOWY POŁĄZENIA WIELOŚRUOWEGO NA ETAPIE NAPINANIA WSTĘPNEGO Proces wprowadzania napięcia wstępnego układu złożony jest z m kroków, odpowiednio do liczby śrub tworzących złącze (rys. 2). Rys. 2. Proces napinania połączenia wielośrubowego Fig. 2. Preloading process of a multi-bolted joint Do opisu stanu równowagi układu w pierwszym kroku obliczeń iteracyjnych wykorzystuje się równania (6) i (7) zapisane w postaci: 0 F q + Po uwzględnieniu warunków brzegowych FF F F q q F p = p F (8) p 0, = 0 (9) F = p które oznaczają, że na układ nie działają siły zewnętrzne, równanie (8) przyjmuje postać: FF F F qf = q 0 F q Po rozpisaniu prawej strony równania (10) otrzymuje się wyrażenie: 1 F q (10) P = (11)

5 Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego przy czym P 1 jest wektorem siły napięcia wstępnego pierwszej śruby. Po uwzględnieniu wyrażenia (11) równanie równowagi układu (10) przyjmuje ostatecznie postać: FF F F q q F P1 = 0 (12) W wyniku rozwiązania równania (12) otrzymuje się między innymi wektor przemieszczeń sprężyn nieliniowych, opisujących właściwości umownej warstwy stykowej: ( q, q,..., q q ) q (13) = col 1 2 j,..., Przemieszczenie q j sprężyny nieliniowej j określa się metodą siecznych [4] (rys. 3a), poszukując w kolejnych iteracjach takich wartości sił reakcji, dla których n R j R R j ' j ε (14) gdzie: R j reakcja w sprężynie nieliniowej, R j reakcja w zastępczej sprężynie liniowej, ε dopuszczalny błąd względny. a) a) R b) b) R R j R j R j R j O O q O q o j q* j q j q j q Rys. 3. Linearyzacja charakterystyk nieliniowych: a) na etapie napięcia wstępnego, b) po przyłożeniu obciążenia zewnętrznego Fig. 3. Linearization of nonlinear characteristics: a) under preload, b) after applying an external load

6 266 A. Witek, R. Grzejda W wyniku rozwiązania równania (12) otrzymuje się także wektor przemieszczeń modelu kołnierza q F. Mając na uwadze, że z założenia p = 0, na podstawie równania (5) otrzymuje się q F qf = (15) Z równania (15) oblicza się wektor q przemieszczenia pierwszej (napiętej) sprężyny liniowej, a tym samym wydłużenie pierwszej śruby ( ) q = (16) q 1 Stan równowagi układu po wprowadzeniu napięcia wstępnego pierwszej śruby opisuje ostatecznie równanie (6), które dla p F = 0 można przedstawić w postaci: ( q ) = + (17) FF qf F F q Napięty wstępnie i pozostający w równowadze układ n sprężyn nieliniowych i jednej (napiętej) sprężyny liniowej podlega obciążeniu kolejnymi siłami zacisku wstępnego. W k kroku obliczeń wektor sił uogólnionych działających na model kołnierza p Fk przyjmuje postać: ( P,0,0) p = col dla k = 2, m (18) Fk k Po przyłożeniu siły P k stan równowagi rozpatrywanego układu opisuje równanie (6), które obecnie przyjmuje postać: o o ( q ) FF qfk = pfk F + F q dla k = 2, m (19) W równaniu (19) przy symbolach obliczonych na poprzednim etapie wektorów przemieszczeń (16) i (13) umieszczono górne indeksy ( o ), by zaznaczyć w ten sposób, że stanowią one warunki początkowe obecnego etapu rozwiązywania zadania. W wyniku rozwiązania układu równań (19) otrzymuje się wektor przemieszczeń uogólnionych modelu kołnierza q Fk. Z kolei na podstawie równań (5) i (7) po spełnieniu warunków: otrzymuje się p 0, = 0 (20) = p * q = F qfk (21) * q = F qfk (22) Tym razem symbole wektorów przemieszczeń (16) i (13) z górnym indeksem (*) oznaczają, że przemieszczenia mierzone są od punktów pracy sprężyn wyznaczonych w poprzednim etapie analizy napięcia wstępnego układu. Zatem

7 Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego bezwzględne przemieszczenia tych sprężyn, zastępujących śruby i opisujących właściwości styku, określa się z zależności: k o q = q + q * (23) k o q = q + q * (24) Uzyskanie ujemnej wartości którejkolwiek ze składowych wektorów (23) i (24) oznacza wyłączenie z pracy jednostronnej sprężyny. Fakt ten pociąga za sobą w kolejnym kroku iteracji konieczność modyfikacji macierzy F i F. Drugim powodem iteracyjnego procesu obliczeniowego w k kroku jest nieliniowość sprężyn modelujących styk. W tym przypadku linearyzacja układu odbywa się zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 3b. W każdym k+1 kroku obliczeń wektor przemieszczeń k napiętych sprężyn liniowych przybiera postać: ( ) q ( k + 1) = col q( k-1), qk (25) Podobnie jak w przypadku napinania wstępnego pierwszej śruby, iteracyjny proces w kolejnych krokach obliczeń zostaje zakończony, gdy spełniony będzie warunek (14). 4. OLIZENIA POŁĄZENIA WIELOŚRUOWEGO NA ETAPIE NAPINANIA WSTĘPNEGO Zgodnie z przedstawioną metodą wykonano obliczenia niesymetrycznego połączenia kołnierzowego zaciskanego za pomocą 16 śrub w kolejności pokazanej na rys. 4a. Obrys zewnętrzny kołnierza mieści się w granicach prostokąta o wymiarach mm. Grubość płyty h wynosi 20 mm. a) b) Rys. 4. Złącze wielośrubowe: a) schemat, b) uproszczony model wykorzystywany w MES Fig. 4. Multi-bolted joint: a) diagram, b) simplified FEM-based model

8 268 A. Witek, R. Grzejda a) 1-Śruba nr 1 1, Śruba nr Śruba nr 9 1, Śruba nr Śruba nr Śruba nr b) Siła w śrubie, kn Siła w śrubie, kn 4-Śruba nr Śruba nr Śruba nr Śruba nr Śruba nr Numery śrub w kolejności napinania 13-Śruba nr Śruba nr Śruba nr Śruba nr Śruba nr Numer śruby Rys. 5. Porównanie wyników obliczeń Fig. 5. omparison of analysis results MES MSES

9 Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego harakterystyki sprężyn nieliniowych opisano wielomianem j j 2 3 ( a δ + a δ a δ ) R = A + (26) 1 j 2 j 3 j o wartościach współczynników [2]: a 1 = 43,9 N/mm 3, a 2 = 18, N/mm 4, a 3 = = 3, N/mm 5. Przyjęto napięcie wstępne poszczególnych śrub siłą kn. Model dyskretny połączenia zbudowany z elementów skończonych pokazano na rys. 4b. Na rysunku 5 przedstawiono przykładowe wyniki obliczeń. Na rysunku 5a w dwóch kolumnach zestawiono przebieg zmienności siły napięcia wstępnego w poszczególnych śrubach w czasie całego procesu napinania. Na rysunku 5b pokazano wykres wartości sił w śrubach po zakończeniu procesu napinania śrub. Otrzymane wyniki porównano z wynikami obliczeń uzyskanymi dla nieodkształcalnego kołnierza, zgodnie z metodą przedstawioną w pracy [5]. Wartości napięcia wstępnego w poszczególnych śrubach w czasie procesu napinania i po jego zakończeniu wyznaczone dla modelu z nieodkształcalnym korpusem w większości przypadków są mniejsze niż dla modelu z korpusem odkształcalnym. Przyjęcie nieodkształcalnego modelu korpusu może powodować zaniżenie wartości wynikowego napięcia wstępnego śrub. 5. PODSUMOWANIE Opracowany model obliczeniowy dowolnego, niesymetrycznego połączenia wielośrubowego może być efektywnie wykorzystany w analizie zmienności obciążenia układu śrub na etapie napinania wstępnego elementów konstrukcji spełniających przyjęte założenia modelowe. Model ten umożliwia ocenę wpływu kolejności napinania śrub na proces kształtowania wartości sił w śrubach przed przyłożeniem do układu siły zewnętrznej. Opracowane procedury obliczeniowe mogą być efektywnie wykorzystane do wyznaczania takiego napięcia wstępnego poszczególnych śrub, które będzie gwarantowało możliwie równomierny rozkład nacisków w styku przy dowolnym rozmieszczeniu śrub. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach jako projekt badawczy nr 4 T LITERATURA [1] Fukuoka T., Takaki T., Evaluations of bolt-up sequence of pipe flange using threedimensional finite element analysis, in: Proc. of the 1999 ASME Pressure Vessels and Piping onference, oston 1999, s [2] onowalski., adania doświadczalne oraz modelowanie sztywności dynamicznej i tłumienia styków połączeń spoczynkowych, Sprawozdanie z projektu badawczego nr 7 T , Politechnika Szczecińska, Szczecin 2001 (niepublikowane).

10 270 A. Witek, R. Grzejda [3] ruszewski J. i in., Metoda sztywnych elementów skończonych w dynamice konstrukcji, Warszawa, WNT [4] Witek A., Grzejda R., Analysis of a nonlinear multi-bolted joint loaded by a normal force, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2005, vol. 25, nr 2, s [5] Witek A., Grzejda R., Obliczenia obciążenia śrub podczas montażu niesymetrycznego połą- czenia wielośrubowego, in: Materiały XXII Sympozjonu Podstawy konstrukcji maszyn, Gdynia Jurata 2005, t. 4, s [6] Zienkiewicz O.., Metoda elementów skończonych, Warszawa, Arkady Praca wpłynęła do Redakcji Recenzent: dr hab. inż. Marian Ostwald AN ANALYSIS OF THE PRELOAD OF A NONLINEAR MULTI-OLTED JOINT S u m m a r y The paper presents a method of how to model and analyze any given asymmetrical multi-bolted joint at the stage of introducing the preload. The adopted physical model of the connection is based on a flexible flange element which is fastened to a rigid support by means of linear spring elements, which replace coupling bolts. The conventional contact layer between the flange and the support is defined using the nonlinear Winkler model. A computational model of the system is proposed, which makes it possible to analyze how the order of applied bolt tension affects the preload distribution both during the assembly of a multi-bolted joint and after it has been completed. An iterative algorithm of the calculations was developed. The paper presents an example of how to calculate force distribution in separate bolts comprising the asymmetrical, multi-bolted joint. The results obtained from the calculations that used the finite element method and those that were made using the rigid finite element method are compared in the paper. ey words: multi-bolted joint, nonlinear model, preload