Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
|
|
- Fabian Wójtowicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Programowanie liniowe 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z problematyką zadań programowania liniowego. Przedstawione zostaną wybrane metody poszukiwania optimum w tej klasie zagadnień. Do rozwiązania przykładowego problemu wykorzystany będzie algorytm SIMPLEX. 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Zadaniem programowania liniowego(ang. linear programming w skrócie LP) nazywamy zadanie optymalizacyjne, w którym zarówno funkcja celu, jak i wszystkie ograniczenia są funkcjami liniowymi zmiennych decyzyjnych. Zakładając, że rozpatrywany problem jest zagadnieniem n-wymiarowym x={x 1,x 2,...,x n } funkcjacelutegotypuzadaniamożebyćzatemzapisana w postaci minf(x)=c x 1 x 1 +c 2 x c n x n n = c i x i =c x i=1 (1) gdzieposzczególnec i,i=1...,nsąwagamizmiennychdecyzyjnychwfunkcjiceluitworząkolumnowywektorc={c 1 c 2... c n }. strona1z8
2 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page2of8 Podobniejakfunkcjacelu,takikażdezograniczeńzadaniaLPdasię zapisaćwpostacikombinacjiwyrażeńtypua i x i.funkcjeograniczeńg(x przyjmują zatem postać g j (x): a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x a jn x n b j n a ji x i b j (2) i=1 gdzie j jest numerem porządkowym ograniczenia. Podobnie jak funkcja celu komplet nałożonych ograniczeń nierównościowych daje się to sprowadzić do zapisu macierzowego A x b (3) W standardowym sformułowaniu zagadnienia przyjmuje się, że każda ze zmiennychdecyzyjnychjestnieujemnax i 0,i=1,...,n. Dziedziną rozwiązań każdego zadania programowania liniowego w rozważanej przestrzeni n-wymiarowej jest wielościan wypukły(zwany także simpleksem). Można bowiem wskazać, że każde z wprowadzonych ograniczeń g j (x)odcinapółprzestrzeńpewnąhiperpłaszczyznąg j (x)=0.interpretacja tego faktu jest bardzo łatwa w przypadku zadań dwu-wymiarowych. Pełna płaszczyznazmiennychdopuszczalnych(x 1,x 2 )jestrozcinanaprostą-ograniczeniemg j (x 1,x 2 )=0ijednazpowstałychwtensposóbpółpłaszczyzn jest odrzucana. Kolejne ograniczenia/proste odrzucają następne fragmenty płaszczyzny. Utworzony w ten sposób zbiór rozwiązań dopuszczalnych (dziedzina) jest wielokątem wypukłym. Omawiane zadanie programowania liniowego(lp) należy tym samym do szerszej klasy zagadnień, a mianowicie do kategorii programowania wypukłego. Szczególnie istotną cechą zadań programowania wypukłego są własności jakieposiadarozwiązaniex takiegozadania.obowiązujebowiemtwierdzenie jeślifunkcjaliniowaf(x)maekstremumwarunkowewzbiorzewypukłymokreślonymukłademnierównościa x b,toleżyonowwierzchołku wielościanu będącego dziedziną rozwiązania tego zadania. Jednocześnie rozwiązanie to jest ekstremum globalnym. A zatem poszukiwanie rozwiązania zadania programowania wypukłego (a tym samym i liniowego) można ograniczyć do punktów będących narożnikami zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Ten sposób postępowania jest efektywny jednak tylko dla stosunkowo mało złożonych problemów. Można strona2z8
3 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page3of8 bowiem wykazać, że dziedzina zadania n-wymiarowego, w którym występuje n! m ograniczeń nierównościowych ma narożników.stądteżdorozwiązywania bardziej złożonych problemów, poza wspomnianą wcześniej metodą m!(n m)! rozwiązań bazowych polegającą na systematycznym przeglądzie narożników, stosuje się najczęściej jeden z poniższych sposobów: metoda Gaussa-Jordana, dekompozycja LU(działa dla macierzy kwadratowych), metoda SIMPLEX. Algorytm SIMPLEX Algorytm SIMPLEX jest metodą iteracyjną, polegającą na wyznaczaniu kolejnych rozwiązań dopuszczalnych zadania spośród punktów narożnych dziedziny. Wybór kolejnych rozwiązań jest prowadzony w ten sposób, aby uzyskać możliwie największą, możliwą w danym kroku i pożądaną zmianę wartości funkcji celu. Jeśli na danym etapie rozwiązania zadania nie można wykonać kroku poprawiającego wartość funkcji celu, to aktualnie wybrany wierzchołek jest rozwiązaniem optymalnym. Rozwiązanie zadania LP metodą SIMPLEX wymaga sprowadzenia zagadnienia(3) do tzw. postaci kanonicznej oraz A x=b (4) x 0 i b 0 (5) Zapisanie zagadnienia w postaci kananonicznej może wymagać pewnych modyfikacji w stosunku do pierwotnego sformułowania(3). W szczególności dotyczytoograniczeńtypu n i=1 a i x i b,któremożnasprowadzićdopostaci kanonicznej poprzez dodanie do pierwotnej nierówności tzw. zmiennej dopełniającejx n+1.otrzymujesięwtedyrówność n i=1 a i x i +x n+1 =b.podobnie ograniczenietypu a i x i bmożnazapisaćwżądanejpostacipoprzez uzupełnienienierównościotzw.zmiennąnadmiarową n i=1 a i x i x n+1 =b. Wprowadzone zmienne nadmiarowe i zmienne dopełniające tworzą wektor zmiennych bazowych(zmienne bazy), pozostałe zmienne decyzyjne stanowią wektor tzw. zmiennych swobodnych strona3z8
4 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page4of8 Sposób rozwiązania LP za pomocą algorytmu SIMPLEX sprowadza się do kilkukrotnego wykonania poniższej sekwencji: (a) ustalenie dowolnego, bazowego rozwiązania dopuszczalnego, (b) ustalenie, którą ze zmiennych spośród zmiennych swobodnych należy do bazy wprowadzić, (c) ustalenie, którą zmienną z bazy należy usunąć. Szczegóły postępowania zostaną wyjaśnione w poniższym przykładzie. Przykład 1 Wyznaczyć maximum funkcji f(x 1,x 2,x 3 )=5x 1 +4x 2 +3x 3 (6) wobec ograniczeń 2x 1 +3x 2 +x 3 5 4x 1 +x 2 +2x x 1 +4x 2 +2x 3 8 x 1,x 2,x 3 0 Zapis w postaci kanonicznej: 2x 1 +3x 2 +x 3 +x 4 =5 4x 1 +x 2 +2x 3 +x 5 =11 3x 1 +4x 2 +2x 3 +x 6 =8 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 0 wymagawprowadzeniazmiennychdopełniającychx 4,x 5,x 6.Typujemybazowe rozwiązanie dopuszczalne(ad pkt.(a)) przyjmując tymczasowo, że zmiennymi bazy są wprowadzone zmienne dopełniające. Zmienne oryginalnego zadania są na tym etapie rozwiązania problemu zmiennymi swobodnymi i tymczasowo przyjmują wartość 0. Wobec powyższego tymczasowa wartość funkcji celu wynosi 0, zaś wprowadzone zmienne dopełniające przyjmą wartości prawej strony ograniczeń. Można zatem utworzyć 1-sze tzw. tableau x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 0 x 1 5 /2 x 5 =11 4x 1 x 2 2x 3 0 x 1 11 /4 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 0 x 1 8 /3 (7) (8) f(x 1,x 2,x 3 ) = 5x 1 +4x 2 +3x 3 strona4z8
5 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page5of8 Namocywarunku(5)każdazezmiennychbazowychx 4,...,x 6 musibyć nieujemna. Przystępujemy do wytypowania zmiennej wchodzącej do bazy(ad pkt. (b)).spośródzmiennychswobodnychx 1,x 2,x 3 wybieramytę,któradaje największą możliwą poprawę wartości funkcji celu. W rozważanym zadaniu poszukiwane jest maksimum f(x)), a zatem zmienną, która da największy wzrostf(x)jestx 1 zuwaginanajwiększąwartośćmnożnika(liczba5). Aby ustalić zmienną wychodzącą z bazy(ad pkt.(c)) badamy ograniczenianałożonenazmiennąwchodzącąx 1,jakiewynikajązfaktu,żewszystkie zmiennex,wtymtakżezmiennebazysąnieujemne patrz(5).przykładowo1wiersztableaustanowi,żex 4 0gdziex 4 =5 2x 1 3x 2 x 3 ; azatempowprowadzeniux 1 dobazyipamiętając,żex 2 ix 3 jakozmienne swobodnesą0,dostajemywarunek5 2x 1 0 x 1 5 /2.Następnie sprawdzamy w ten sposób każdą zmienną aktualnej bazy(pozostałe 2 nierówności w tableau). Jako zmienną wychodzącą z bazy wybieramy tę, która daje najbardziej restrykcyjny warunek nakładany na wprowadzaną zmienną. Spośród trzech nierówności najsilniejsze ograniczenie wprowadza pierwszywiersztableau;tymsamymzmiennąwchodzącądobazyjestx 4. Przekształcając pierwszy wiersza uzyskuje się: x 1 = x x x 4 (9) Równanie ro stanowi pierwszy nowego tableau Otrzymane wyrażenie(9) wstawiamy do pozostałych ograniczeń oraz do funkcji celu; powstaje w ten sposób drugie tableau x 1 = 5 2 3x 2 2 1x 2 3 1x x 5 =11 4 ( 5 2 3x 2 2 1x 2 3 1x ) 2 4 x2 2x 3 0 x 6 = 8 3 ( 5 2 3x x x ) 2 4 4x2 2x 3 0 f(x 2,x 3,x 4 ) = 5 ( 5 2 3x 2 2 1x 2 3 1x 2 4) +4x2 +3x 3 Po wykonaniu przekształceń i uporządkowaniu otrzymujemy ostateczną postać drugiego tableau strona5z8
6 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page6of8 x 1 = 5 2 3x 2 2 1x 3 3 1x x 3 5 x 5 = 1+5x 2 +2x 4 0 bezogr. x 6 = x x x 4 f(x 2,x 3,x 4 ) = x x 3 3 5x x 3 1 W nowym tableau zmienną wchodzącą do bazy(najbardziej poprawiającąwartośćfunkcjicelu)jestx 3.Sprawdzającograniczenianałożonena zmiennąwchodzącąznajdujemyzmiennąwychodzącązbazy jesttox 6. x 3 =1+x 2 +3x 4 2x 6 (10) Postępując jak poprzednio zapisujemy trzecie tableau: x 3 =1+ x 2 +3x 4 2x 6 0 x 1 =2 2x 2 2x 4 +x 6 0 x 5 =1+5x 2 +2x 4 0 f(x 2,x 4,x 6 ) =13 3x 2 x 4 x 6 Dalsza poprawa rozwiązania nie jest możliwa, bo wszystkie współczynniki wyrażeniafunkcjiceluf(x 2,x 4,x 6 )sąujemne.azatemzmiennymiswobodnymizadaniasązmiennex 2,x 4 ix 6 iprzyjmująonewartośćzero;zaś wartościzmiennychbazywynosząx 3 =1,x 1 =2ix 5 =1. Stądrozwiązaniemzadaniapierwotnegof(x 1,x 2,x 3 )sąwartościx 1 =2, x 2 =0ix 3 =1,amax.funkcjiceluwynosi PRZEBIEG ĆWICZENIA Prowadzący zajęcia przydzieli każdemu zespołowi laboratoryjnemu zadnie do rozwiązania. Będzie to zadanie optymalizacji jednokryterialnej w dziedzinie wielowymiarowej. Studenci rozwiązują zadanie korzystając z oprogramowania Linear Programming Solver. W toku rozwiązywania problemy należy postępować według poniższej kolejności Ustalić zmienne decyzyjne zadania. Zapisać wzór określający funkcję celu patrz(1). Zapisać komplet zależności ograniczeń zadania patrz(2). Zapisaćzadaniewpostacikanonicznej patrz(4)i(5)oraz(??). strona6z8
7 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page7of8 Zapisać pierwsze tableau metody SIMPLEX patrz Przykład 1. Wytypować zmienną wchodzącą do bazy oraz zmienną wychodzącą z bazy. Uruchomić na stanowisku komputerowym oprogramowanie Linear Programming Solver. Z menu głównego wybrać polecenie New Table model. W oknie Model Parameters(patrz Rysunek 1) wprowadzić liczbę zmiennych(ang. Number of variables), liczbę ograniczeń(ang. Number of constraints) oraz liczbę funkcji celu(ang. Number of objectives). Podać także typ zadania maksymalizacja czy minimalizacja funkcji celu. Zatwierdzić wprowadzone dane klawiszem OK. Korzystając z wyprowadzonego sformułowania zadania optymalizacyjnego wypełnić poszczególne komórki tabeli okna LiPS Model patrz Rysunek 2. Po wprowadzeniu wszystkich danych uruchomić obliczenia poleceniem LiPS Solve Model. Zapisać raport z obliczeń na nośniku zewnętrznym. Rysunek 1. Przykładowe okno Model Parameters programu LiPS 4. OPRACOWANIE WYNIKÓW Porównać tableau zapisane samodzielnie i tableau uzyskane z obliczeń; porównać także wytypowane zmienne wchodzące i wychodzące z bazy. strona7z8
8 Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page8of8 Rysunek 2. Tabela LiPS Model definiująca zadanie programowania liniowego programie LiPS Następnie przeanalizować uzyskany wynik zadania optymalizacyjnego. Sprawdzić, które z ograniczeń zadania są aktywne, a które nie. Odnieść uzyskane wyniki do analizowanej konstrukcji. 5. SPRAWOZDANIE Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: 1. Tabelkę identyfikacyjną. 2. Cel ćwiczenia i schemat analizowanej konstrukcji. 3. Sformułowanie zadania optymalizacji wg.(1)-(2) 4. Sformułowanie kanoniczne zadania optymalizacji(4) z zaznaczeniem zmiennych dopełniających/nadmiarowych. 5. Pierwsze tableu algorytmu SIMPLEX. 6. Wydruk raportu z obliczeń. 7. Omówienie wyników. 8. Wnioski strona8z8
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1
L01 ---2014/10/17 ---10:52---page1---#1 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoRozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoMicrosoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowo1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną
binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoOptymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego
Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowo. Funkcja ta maleje dla ( ) Zadanie 1 str. 180 b) i c) Zadanie 2 str. 180 a) i b)
Lekcja 1 -. Lekcja organizacyjna kontrakt diagnoza i jej omówienie Podręcznik: W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek Matematyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres materiału: Funkcje kwadratowe Wielomiany
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoPoziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności
Bardziej szczegółowoWielokryteriowa optymalizacja liniowa
Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)
Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji
Bardziej szczegółowoPo zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.
Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania binarnego.
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Badania
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoKrzysztof Trajkowski. Przegląd pakietów do optymalizacji liniowej
Krzysztof Trajkowski Przegląd pakietów do optymalizacji liniowej 1. Wprowadzenie Niniejsze opracowanie dotyczy opisu funkcji solvelp(linprog) i lp(lpsolve) za pomocą których możemy rozwiązywać zadania
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA HARMONOGRAMOWANIA MONTAŻU SAMOCHODÓW Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMOWANIA W LOGICE Z OGRANICZENIAMI
Autoreferat do rozprawy doktorskiej OPTYMALIZACJA HARMONOGRAMOWANIA MONTAŻU SAMOCHODÓW Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMOWANIA W LOGICE Z OGRANICZENIAMI Michał Mazur Gliwice 2016 1 2 Montaż samochodów na linii w
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie
Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie programów matematycznych
Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoPrzykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego
Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie
Bardziej szczegółowoPlan. Zakres badań teorii optymalizacji. Teoria optymalizacji. Teoria optymalizacji a badania operacyjne. Badania operacyjne i teoria optymalizacji
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Instytut Informatyki Poznań, 2011/2012 1 2 3 Teoria optymalizacji Teoria optymalizacji a badania operacyjne Teoria optymalizacji zajmuje się badaniem metod optymalizacji
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoExcel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Bardziej szczegółowo2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH
WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to
Bardziej szczegółowo