DRGANIA PASMA PŁYTOWEGO Z UMIARKOWANIE DU YMI UGI CIAMI NA PODŁO U SPR YSTYM

Transkrypt

1 Magdalena ATAMAN Wacław SZCZNIAK DRGANIA PASMA PŁYTOWGO Z UMIARKOWANI DUYMI UGICIAMI NA PODŁOU SPRYSTYM Strescenie W artykule predstawiono rowianie nieliniowego adania dynamiki dotyccego pasma płytowego Von Kármána spocywajcego na jednokierunkowym trójparametrowym inercyjnym podłou Własowa-Leontiewa. W osernym wstpie podano podstawowy teoretycne agadnienia. W prykładie oliceniowym pokaano rowianie równania ruchu w prypadku ocienia harmonicnego w kstałcie górki sinusoidalnej. WSTP Zagadnienia statyki i dynamiki płyt umiarkowanie duymi lu duymi ugiciami nie s nowe i sigaj historycnie do połowy diewitnastego wieku a wic w ogóle do poctków prac akresu teorii płyt []. Równania Von Kármána yły i s predmiotem licnych opracowa pulikacji monoafii i prac pregldowych [-3]. Znane s poycje Wolmira Chia Kajuka Sathyamoorthy ego Leissy Sceniaka i innych. Wydana w roku monoafia serii Mechanika Technicna VIII pod redakcj Woniaka jest równie iorem rónych teorii i opracowa równie akresu dynamiki płyt [9]. W referacie podano rowianie adania dynamiki płyty cienkiej spocywajcej na inercyjnym jednokierunkowym podłou Własowa-Leotiewa pod inercyjnym ocieniem ruchomym.. RÓWNANIA RUCU PASMA PŁYTOWGO NA TRÓJPARAM- TROWYM INRCYJNYM PODŁOU WŁASOWA-LONTIWA Zgodnie onaceniami na rysunku ropatrujemy spryste pasmo płytowe oparte na preguowo niepresuwnych podporach o stywnoci pasma na ginanie uoci płyty ropitoci wykonane materiału reologicnego Kelwina-Voigta casem retardacji. Zakładamy e całkowite podstawowe naprenie w pamie jest sum napre napre ginajcych i napre od duej siły rocigajcej:. ()

2 W opracowaniu pominiemy jawisko sprenia drga gitych i podłunych traktujc te ostatnie jako pomijalnie małe w stosunku do maksymalnych amplitud ugi poprecnych płyty. Pry takich ałoeniach równania ruchu pasma płytowego i podłoa s nastpujce: () ( ) ( ) p( ( ) ( ) w t w t p t kw t c + m. t Po podstawieniu () do () otrymujemy ostatecnie nastpujce nieliniowe równanie ruchu pasma na podłou: (3) w c. Rys.. Schemat dynamicny rowaanego adania Jako ałoenie w modelu podłoa Własowa-Leontiewa pryjmujemy ponise alenoci kinematycne: w podłou pod pasmem płytowym ( l l ): u ( w( Φ( ) u w (4) y w podłou poa pasmem płytowym ( < l > l ): ( y w( Φ( ) ϕ( ). u u w y (5) y

3 We worach (4) i (5) ( ) natomiast funkcja ( y) Φ jest funkcj opisujc premiescenia na uoci warstwy ϕ opisuje odsadk w prekroju prostopadłym do osi pasma płytowego. Składowe stanu naprenia w podłou ale od premiescenia pionowego w i wyraaj si worami: σ σ y ν σ ν ν τ y τ y ( + ν ) w w y τ τ τ y τ y ( + ν ). w (6) Model podłoa inercyjnego Własowa w prypadku płyty ginanej dwukierunkowo opisuje nastpujce równanie p ( y k w( y c w( y w którym k c i m s parametrami podłoa. ( y w + m (7) t W prypadku agadnienia liniowego (elka pasmo płytowe) wyraenia (4) i (7) redukuj si do postaci p ( k w( ( w( w c + m. (8) t We worach (7) i (8) współcynnik k odpowiada współcynnikowi sprystoci wystpujcemu w modelu Winklera c uwgldnia cinanie w warstwie sprystej natomiast m uwgldnia inercj podłoa. W prypadku elki o serokoci spocywajcej na warstwie podłoa o uoci współcynniki te okrelone s worami: gdie: s r k ~ c m 4 m ν Φ ( + ν ) s ν Φ ( ) ν ν ν d r ~ γ m g Φ ( ) d. ( ) d (9) () We worach (9 i () pryjto nastpujce onacenia: moduł Younga untu ν lica Poissona untu ~m gsto untu γ ciar właciwy untu.

4 W literature ostatnich trydiestu lat mona nale licne prace w których autory wprowadaj pewne modyfikacje do modelu Własowa-Leontiewa majce na celu racjonalne okrelenie współcynnika γ anikania premiesce pionowych w warstwie podłoa. Funkcj ( ) Φ mona okreli analiujc elk ocion statycnie. Schemat tak oci- onego pasma płytowego o serokoci l module sprystoci i momencie ewładnoci prekroju poprecnego J spocywajcej na warstwie podłoa Własowa predstawia rysunek. W celu wyprowadenia równania modelu podłoa akładamy płaski stan odkstałcenia w warstwie sprystej o uoci module Younga i licie Poissona ν. Pasmo o niepresuwnych podporach preguowych ma prekrój prostoktny h. Całkowita energia sprysta ocionego układu pasmo-warstwa podłoa wra prac sił ewntrnych V U + L jest okrelona w nastpujcy sposó ( ) V l / l / J d w~ d d + l / ( σ ) ( ) ~ ε + σ ε + τ γ d d. q w d () l / W równaniu () σ σ τ ε ε γ s napreniami i odpowiadajcymi im odkstałceniami jednostkowymi warstwy podłoa w ~ jest ugiciem pasma q ( ) jest ocieniem rołoonym na pamie. Niech u i w onacaj premiescenia dowolnego punktu ( ) lecego w warstwie podłoa. Fiycne równania konstytutywne w PSO apisujemy w klasycnej formie σ σ τ ( ν ) ( + ν )( ν ) ν / ν ν / ν u / / w. u / + w / ν ( ν ) / () W prypadku modelu warstwy Własowa e wgldów praktycnych mona wykaa e premiescenie poiome u jest nacnie mniejse od pionowego premiescenia w. Mo- emy atem pryj nastpujce ałoenia: ( ) w( ) w~ ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) w( ) w~ ( ). u (3) Po uwgldnieniu równa (6) i wików () energia V opisana alenoci () wyra- a si worem V l / l / J + d w~ d ( + ν ) g r g r d + ~ dw Φ d ν ( + ν )( ν ) d d g r l / q l / g r g r ( ) w ~ d. w~ dφ d + (4)

5 . PRZYKŁAD OBLICZNIOWY PASMA PŁYTOWGO NA TRÓJPARAMTROWYM INRCYJNYM PODŁOU WŁASOWA-LONTIWA Zakładajc rowianie równania (3) w postaci tw. górki sinusoidalnej e wgldu na mienn prestrenn ora dowolny preieg ocienia w casie opisany funkcj pry pominiciu parametrów podłoa mamy:. (5) Równanie ruchu w prypadku pominicia współcynników podłoa ma nastpujc posta: gdie (6) onaca csto drga swoodnych elki wynacon pry małych ugiciach. Równanie (6) scałkowano i aproamowano na komputere a wyniki w formie wykresów aficnych pokaano na rysunkach i 3. Zastosowano procedur całkowania Zienkiewica SS e współcynnikami Stosowane kroki całkowania. Ocienie o kstałcie górki sinusoidalnej jest harmonicne i wynosi. poa tym pryjto:. Zadanie ostało rowiane pry erowych warunkach poctkowych. W prykładie mona akłada i rowia adanie pry rónych ocieniach w odniesieniu do ich preiegu w casie na prykład: prostokt trójkt trape paraola itp. Natomiast e wgldu na mienn prestrenn na serokoci pasma die górka sinusoidalna. Błdy wynikajce e scałkowania nieliniowego równania ruchu łd amplitudy i łd presunicia faowego diki astosowaniu procedury SS nie istniej. Prykład moe posłuy i y wykorystany w prypadku projektowania nawierchni drogowo-lotniskowej lu kolejowej. Dalsym elementem wymagajcym olice komputerowych jest dokładna analia wpływu parametrów inercyjnego podłoa na ugicia dynamicne pasma co die predmiotem adania w nastpnych pracach i referatach. Proponowany schemat dynamicny adania moe y równie wykorystany pry sprawdeniu płyty lodowej na dopuscenie ruchu w scególnych warunkach na prykład pry eksploatacji łó metali i ropy naftowej w rejonach arktycnych w prypadku diała wojennych itp. Woda moe y amodelowana podłoem Własowa.

6 Rys.. Wykres ugicia rodka elki pry harmonicnym ocieniu w kstałcie górki sinusoidalnej Rys. 3. Wykres ugicia rodka elki pry harmonicnym ocieniu w kstałcie górki sinusoidalnej. Ocienie harmonicne tutaj wynosi

7 PODSUMOWANI W artykule rowiano dwa adania płaskich struktur preguowych ocionych impulsem siły ora jedn struktur o włach stywnych. Struktury spocywaj poiomo na idealnie gładkim stywnym podłou. Zastosowanie klasycnej teorii uderenia rachunku impulsów i równa godnoci prdkoci premiesce wiami doprowada do układu 3-stu równa niewiadomymi kinematycnymi prdkoci rodków prtów prdkoci ktowych prtów ora wewntrnych impulsów sił. Wynacono a kadym raem równie energi kinetycn układu tu po dereniu. Podano oserny wstp odnonie do trech teorii uderenia. BIBLIOGRAFIA. Jemielita G.: Meandry teorii płyt. Prace Naukowe PW Budownictwo. 7 Warsawa 99.. Wol mir A.S.: Ustoiciwost defomirujemych sistem. Nauka Moskwa Wol mir A.S.: Nieliniejnaja dynamika płastinok i oołocek. Moskwa Wol mir A.S.: Gikije płastinki i oołocki. G.I.T.-T.L. Moskwa Chia Chuen-Yuan.: Nonlinear analysis of plates. McGraw-ill New York Kajuk Ja.F.: Geometriceskije nieliniejnyje adacy teorii płastin i oołocek. Naukowa Dumka. Kijew Sathyamoorthy M. Pandalai K.A.V.: Large amplitude fleural viration of certain deformale oies. Patr. II: Plates and Shells. J. Aeronaut. Soc. India 5 97 pp Sathyamoorthy M.: Nonlinear viration of plates a review. The Shock and Virations Digest pp Sathyamoorthy M.: Recent research in nonlinear plate virations. The Shock and Virations Digest pp Sceniak W.: Drgania płyty Kirchhoffa wywołane inercyjnym cigłym ocieniem ruchomym. Prace Naukowe PW Budownictwo. 9 Warsawa 98 str Leissa A.W.: Nonlinear analysis of plate and Shell virations. Proceed. -nd Int. Conf. on Rec. Adv. Struct. Dyn. Southampton 984 pp Leissa A.W.: Viration of plates. 969 NASA Washington D.C. 3. Leissa A.W.: Recent research In plate virations.classical theory. The Shock and Virations Digest pp Leissa A.W.: Recent research In plate virations classical theory. The Shock and Virations Digest 978. pp Leissa A.W.: Plate viration research The Shock and Virations Digest pp Leissa A.W.: The plate and shell viration monoaphs. Appl. Mech. Rev. 5- R9- R8. 7. Sceniak W.: Inercyjne ocienia ruchome na elkach i płytach. Pregld podstawowych poycji literatury. Prace Naukowe PW Budownictwo. OWPW Warsawa 99 str Sceniak W.: Drgania płyty o redniej uoci spocywajcej na dwuparametrowym uogólnionym podłou sprystym Winklera wywołane ruchomym ocieniem cigłym. Prace Naukowe PW Budownictwo. 9 OWPW Warsawa 99 str Woniak C (red.).: Mechanika Technicna VIII. Mechanika sprystych płyt i powłok. Warsawa PWN.. Sceniak W.: Wyrane agadnienia dynamiki płyt. OWPW Warsawa 99.. Sceniak W.: Drgania swoodne i wymusone elki duymi ugiciami. Roprawy In- ynierskie

8 . Sceniak W.: Drgania pasma płytowego duymi premiesceniami. VIII Konferencja MKwMK Jadwisin maj 987 str Koemiakina I.F. Morgajewski A.B.: Ucet inercji wrascenija i sdwiga pri issledowanii nieliniejnych koleanii płastin pod diejstwiem podwinoj nauki. P.M.M. t. XXII no. 4. str Ataman M.: Drgania elek i płyt poprecnie niejednorodnych na podłoach odkstałcalnych wymusone ocieniami ruchomymi. OWPW Warsawa. VIBRATIONS OF STRIP WIT MODRATLY LARG DFLCTIONS RSTING ON LASTIC FOUNDATION Astract The solution of nonlinear dynamic prolem of Von Kármán's thin strip resting on a unidirectional three-parameter inertial Vlasov-Leontiev foundation is presented in the paper. Bases of theory of the prolem in the comprehensive introduction are presented. Solution of equation of motion in case of inertial harmonic load in the form of half sine wave is shown in the numerical eample. Autory: dr in. Magdalena Ataman Politechnika Warsawska Wydiał Inynierii Ldowej -637 Warsawa Al. Armii Ludowej 6 m.ataman@.il.pw.edu.pl prof. w. dr ha. in. Wacław Sceniak Politechnika Warsawska Wydiał Inynierii Ldowej -637 Warsawa Al. Armii Ludowej 6 w.scesniak@.il.pw.edu.pl Niniejsa praca jest współfinansowana pre Uni uropejsk w ramach uropejskiego Fundusu Społecnego projekt Proam Rowojowy Politechniki Warsawskiej realiowany pre Centrum Studiów Zaawansowanych.