I. ELEMENTY TEORII MODELOWANIA

Transkrypt

1 I. ELEMENTY TEORII MODELOWANIA 1. WSTP Słowo "model" powstało łaciskiego słowa "modus" - "modulus", co nacy: miara, obra, sposób. Jego pierwotne nacenie było wiane budownictwem i uywano go dla onacenia worca, lub predmiotu podobnego do innego predmiotu [14,6]. Pogldowe obray recywistoci, hipotetycnie odtwarajce romaite obiekty, jawiska i sytuacje istniejce w realnym wiecie, towarysyły badacom od dawna. W cigu ostatnich dwóch wieków, modelowanie stało si podstaw badania systemów w matematyce, fiyce, chemii, biologii, ekonomii i in. W ostatnim półwiecu modelowanie jest seroko wykorystywane równie w cybernetyce ora w analiie dynamicnej masyn [11,1,3, 43]. Opisywane w literature procedury bada naukowych i ich weryfikacji na drode eksperymentu wykauj, e terminu "model" uywa si w dwóch rónych naceniach, a mianowicie [43]: - dla onacenia teorii, która jest strukturalnie podobna do innej, co umoliwia prechodenie od jednej teorii do innej a pomoc wykłej miany terminologii; w tym naceniu model jest rodkiem ponania; - dla onacenia systemu, do którego odnosi si pewna teoria praktycna lub teoretycna dla uprosconego odwierciedlenia badanego systemu naturalnego; taki model jest predmiotem ponania. Model jest realnie istniejcym lub wyobraonym obraem, astpujcym badany system naturalny (atom, csteck, mechanim, system słonecny itp.). Ten obra odwierciedla pewne, recywiste lub hipotetycne własnoci badanego systemu, jego budow i jest do niego podobny pod wgldem wybranych pre badaca osobliwoci strukturalnych. Elementy i relacje achodce w modelowanym systemie s odwierciedlone w postaci innych elementów i relacji, typowych dla danej diediny bada. Model jest atem ałoenia pewn idealiacj lub uprosceniem recywistoci. Sam charakter i stopie uproscenia aley od wiedy, potreb i wiadomoci badaca i moe si mienia w alenoci od celu bada. Wspóln dla teorii i modelu jest właciwo odnosenia si do recywistoci, postreganej w uprosconej, abstrakcyjnej formie. Opis sformaliowany, w którym s dokładnie ustalone: skład, struktura, elementy wejciowe i reguły prekstałcania staj si synonimem ilociowego apisu, badanego systemu naturalnego. Jeeli uda si utosami opis sformaliowany dowiadcalnie potwierdon recywistoci, to otrymujemy model logicno - matematycny, lub po prostu model matematycny, który odwierciedla badany obiekt, jawisko lub sytuacj. W naukach technicnych i ekonomicnych taki model bywa cora cciej wykorystywany do komputerowego symulowania funkcjonowania systemu, którego odwierciedla dany model. W procesie ponania posukuje nowych praw, prechodc od hipote do teorii, wykorystujc pry tym wied, dowiadcenie, intuicj ora fantaj naukow. Modele buduje si i stosuje głównie wtedy, kiedy ponanie mierajce od hipotey do sformułowania teorii nie ogranica si do bierania i opisywania poscegó1nych iolowanych faktów, lec uwgldnia równie premylany i dobre aprogramowany eksperyment. Jedna definicji mówi, e: model jest to taki dajcy si pomyle lub materialnie realiowa układ, który odwierciedlajc lub odtwarajc predmiot badania, dolny jest astpowa go tak, e jego badanie dostarca nam nowej informacji o tym predmiocie. Inna definicja mówi, e: model jest astpujc oryginał, pryjt form repreentacji, wykorystywan do wyjanienia i prewidywania achowania si oryginału w sposób adekwatny punktu widenia celu rowaa. Wspó1n cech wselkiego rodaju modeli jest ich dolno odwierciedlania

2 systemów naturalnych. Istota modelowania asada si na relacji równowanoci midy systemem a modelem. W metodyce modelowania rorónia si dwa podstawowe sposoby odwierciedlenia: homomorficne i iomorficne. Homomorfim apewnia podobiestwo składu i struktury modelu i systemu modelowanego, które powala na jednonacne odworowanie systemu badanego w model, podobny do niego pod wgldem diałania. Iomorfim a gwarantuje wajemnie jednonacne podobiestwo składu i struktury modelu i systemu. Onaca to, e na podstawie systemu mona budowa model, a na podstawie modelu mona odtwory system. Takie podobiestwo odniesione do sposobu diałania modelu i systemu modelowanego naywa si iofunkcjonalimem [6].. KLASYFIKACJA MODELI W kadej diałalnoci cłowieka, scególnie w projektowaniu, wytwaraniu i eksploatacji wykorystuje si modele. Istnieje wiele definicji modeli. Oto niektóre nich: 1) pre model roumie si taki dajcy si pomyle lub materialnie realiowa układ, który odwierciedlajc lub odtwarajc predmiot badania dolny jest astpowa go tak, e jego badanie dostarca nam nowej wiedy o tym predmiocie [17]; ) model jest to nardie a pomoc którego mona opisa system i jego achowanie si w rónych warunkach ewntrnych [5]; 3) model jest teoretycnym opisem badania obiektów, który charakteryuje si nastpujcymi cechami, tn. jest [6]: - pewnym uprosceniem recywistoci; - w sensie pewnego kryterium bieny recywistoci; - na tyle prosty, e moliwa jest jego analia dostpnymi metodami obliceniowymi; - ródłem informacji o obiekcie bada. Budow modeli ajmuje si dyscyplina nauki naywana identyfikacja [5,6]. Klasyfikacja modeli powala ustali, jak sposób modelowania aley od celu bada i specyfiki badanego systemu. Klasyfikacja jest podstaw do okrelenia asadnicych funkcji spełnianych pre modele, a mianowicie: - funkcji praktycnej, któr spełniaj modele jako predmioty ponania naukowego; - funkcji teoretycnej, któr modele pełni jako scególny obra recywistoci, jednoccy elementy logicne i intuicyjne, konkretne i abstrakcyjne ora ogó1ne i scegółowe. Prystpujc do tworenia modelu naley: - okreli cel modelowania, wiane tym wymagania i rodki uyte do budowy modelu; - ustali jaki segment, jakiego systemu, ma odwierciedla model. Podjte decyje s podstaw dla ustalenia postaci modelu, a w reultacie dla okrelenia jego klasy. Proponuje si wyrónia dwie główne klasy modeli: 1. modele strukturalne, które odwierciedlaj wybrane elementy systemu ora relacje midy nimi; takie modele ukauj lokaliacj geometrycn elementów ora ich powiania i słu do badania poprawnoci konstrukcji; maj one na ogół posta rysunków łoeniowych lub schematów organiacyjnych;. modele funkcjonalne, które odwierciedlaj wpływ wybranych elementów i relacji na sposób funkcjonowania i sterowania systemu; te modele mog prybiera róne postacie, niekiedy upełnie innej natury fiycnej ni modelowany system. Z praktycnego punktu widenia, bardiej prydatny jest drugi rodaj klasyfikacji. Prynaleno do danej klasy aley od rodków wykorystanych do budowy modelu, pry uwgldnieniu sposobu odwierciedlenia wybranych własnoci, procesów i wiqk6w achodcych w modelowanym systemie ora celu bada, któremu jest podpordkowany charakter posukiwanych informacji. Według takich kryteriów, modele mona podieli na ctery klasy:

3 1. modele materialne (diałajce, recywiste), mog by utworone, specjalnie w celu wykonania bada, istniejcych obiektów o okrelonym prenaceniu uytkowym, pry achowaniu ich fiycnej tosamoci oryginałem. Podcas funkcjonowania, w wybranym segmencie własnoci, procesów i wików, generuj one informacje posukiwane pre badaca, a po akoceniu bada mog by nadal wykorystywane godnie ich prenaceniem.. modele idealne, które nie posiadaj tej samej co badany system natury fiycnej i nie s do niego podobne ani w sensie fiycnym, ani geometrycnym. Nawa tych modeli nie wyraa cile ich charakteru i wynika istniejcej tradycji. Jako scególny rodaj takiego modelu idealnego mona wyróni model cybernetycny. Jednak model cybernetycny jest byt skomplikowany aby stanowi predmiot beporedniego ponania, moe jednak stanowi podstaw do utworenia innego, bardiej uprosconego modelu idealnego. 3. modele sformaliowane, które s repreentacj modeli fiycnych na jesce wysym poiomie abstrakcji. Tak repreentacj mona utwory wtedy, gdy pojcia wystpujce w modelu fiycnym dad si wyrai a pomoc naków i relacji matematycnych lub logicnych. Cech modelu sformaliowanego jest atem kompletny brak podobiestwa midy elementami i relacjami, których go budowano, a składem i struktur modelowanego systemu. Model jest umowny a nie pogldowy i nie ma nic wspólnego charakterem elementów i relacji tworcych modelowany system [6]. Rowój matematyki i fiyki prycynił si do tego, e w naukach cisłych i technicnych, modele sformaliowane, wane po prostu modelami matematycnymi, stanowi najbardiej repreentatywn grup modeli abstrakcyjnych. S one apisywane w postaci równa rónickowych, całkowych, deterministycnych lub probabilistycnych. Modelowanie matematycne powala wnika w istot badanych systemów i udostpnia scegółowemu badaniu wiele własnoci, procesów i wików, które dotd wymykały si analiie. Badanie modeli matematycnych umoliwia uyskanie wartociowych informacji o systemach technicnych, niebdnych m.in. do ich projektowania, wytwarania i eksploatacji. 4. modele energetycne s od niedawna uwgldniane jako oddielna klasa e wgldu na "tworywo", którego s budowane. Taki model jest budowany w oparciu o premiany energetycne achodce w systemie. Z uwagi na due moliwoci i niski kost, modele energetycne s cora powsechniej stosowane, własca w naukach cisłych i technice. Rowój komputeryacji prac badawcych spowodował nacne wiksenie moliwoci technik obliceniowych. Powala to na badanie duych modeli energetycnych ora komputerow symulacj funkcjonujcych systemów. 3. MODEL BLOKOWY Schematy blokowe, majce na celu predstawienie kolejnoci dare lub wajemne ich powiania, maj wane astosowanie arówno w diedinie techniki jak i organiacji. Pry pracy na modelu fiycnym lub matematycnym skomplikowanego układu csto wygodnie jest uwidocni a pomoc schematu blokowego alenoci i wiki midy podukładami stanowicymi składowe rowaanego systemu. Umoliwiaj one łatwiejsy opis diałania układu, uwydatniaj kolejno prycyn i skutków, wskaujc na moliwo podiału analiy układu midy podukłady studiowane oddielnie [0]. Analia dynamicna w ujciu schematów blokowych i ich modeli matematycnych w kocowej faie musi by skumulowana, espalajc modele matematycne dla potreb oceny własnoci dynamicnych całego układu. Podstaw do tworenia scegółowych modeli blokowych obiektów recywistych jest model cybernetycny, predstawiony schematycnie na rys.1.1, umoliwiajcy anali mian achodcych w systemie.

4 U( ZMIANY STANU Y( DYNAMICZNEGO BADANEGO OBIEKTU S( Rys.1.1 Model cybernetycny systemu W badaniach systemów technicnych w casie "krótkim", wielkoci opisujce skład i struktur, apisane symbolem S, traktuje si na ogół jako parametry, które podcas bada, poostaj stałe. Ilocyny kartejaskie, które wystpuj w opisie modelu cybernetycnego s upordkowanymi biorami n-tek (par, trójek itd.), repreentujcych darenia achodce w systemie. Kolejne prejcia od jednego do nastpnego darenia, twor transformacje. W modelu s to transformacje wielkoci fiycnych, które odwierciedlaj miany w casie własnoci procesów i wików achodcych w systemie. Z modelu cybernetycnego (rys.) mona wyprowadi nastpujce uproscone relacje odworowania: G( : U( x S X( (1) Φ( : U( x S Y( () F( : X( x S Y( (3) Relacja (1) repreentuje ogó1n notacj modelu cybernetycnego typu "wejcie - stan", natomiast relacje () i (3) repreentuj ogó1ne notacje modeli typu "wejcie - wyjcie" ora "stan-wyjcie". W modelu cybernetycnym systemu technicnego wielkoci fiycne, które charakteryuj wejcie, stan i wyjcie, s opisane a pomoc miennych, które najcciej s liniowo niealenymi funkcjami casu. Argument funkcji t T, repreentuje o casu "krótkiego", w prediale T. Dla celów bada empirycnych ora niekiedy - teoretycnych (np. w badaniach modeli układów automatycnej regulacji) te mienne dieli si na try biory, a mianowicie: 1). mienne wejciowe: u 1 (, u (,..., u N ( predstawiajce wymusenia na wejciu modelu systemu, apewniajce jego funkcjonowanie; ). mienne wewntrne: x 1 (, x (,..., x n ( - a pomoc których mona opisa badane stany lub własnoci systemu; 3). mienne wyjciowe: y 1 (, y (,..., y p ( - opisujce objawy funkcjonowania na wyjciu modelu systemu. Podcas funkcjonowania systemu wewntrne ródła abure o skoconej wydajnoci, wytwaraj reakcje systemu, które ujawniaj si, midy innymi, w postaci mian stanu w casie. Ten stan mona apisa a pomoc wektora, którego współrdnymi s mienne wewntrne modelu. Skocony biór wsystkich moliwych stanów twory prestre stanów badanego systemu. Równocenie, miany stanu wewntrnego powoduj, e na wyjciu modelu pojawiaj si ewntrne objawy funkcjonowania systemu, które mona apisa w postaci wektora i prestreni wyjcia modelu cybernetycnego. Wite raem mienne wejciowe, wewntrne ora wyjciowe całkowicie opisuj badany system i twor biór miennych modelu. Zwiek prycynowo-skutkowy pomidy wejciem, stanem i wyjciem, uwgldniony w modelu cybernetycnym, mona predstawi w postaci: G ( [ u (, s ] = x ( (4) Φ ( [ u (, s ] = y ( (5) F ( [ x (, s ] = y ( (6) Relacje (4), (5) i (6) repreentuj róne postacie modelu cybernetycnego. Kada nich moe

5 by podstaw do utworenia modelu fiycnego i matematycnego, badanego systemu technicnego. Relacja (5) okrela aleno wejcia od wyjcia i jest typowym adaniem dotyccym badania "carnej skrynki", natomiast relacja (6) predstawia ogóln posta adania diagnostycnego. Zwiek prycynowo-skutkowy, który istnieje pomidy wejciem ora stanami i wyjciem powoduje, e dla celów modelowania matematycnego, a take dla identyfikacji i symulacji systemów technicnych, wielkoci stanu i wyjcia modelu cybernetycnego s traktowane łcnie jako jedna kategoria. W takim prypadku, stany i wyjcie s reakcj systemu na wymusenia wejciowe; ta reakcja bywa niekiedy naywana ogólnie stanem. 4. ZASADY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO Model fiycny Skład i struktura modelu fiycnego odwierciedla w uprosconej formie fragmenty składu i struktury systemu, uwgldnione w modelu cybernetycnym i nalece do badanego segmentu systemu. Model cybernetycny systemu jest opisywany pre sereg miennych, nanych i nienanych. W reultacie wyboru badanego segmentu systemu ora uprosce dokonanych pre badaca, licba miennych, i co a tym idie reguł interakcji w modelu fiycnym, ostaje ogranicona. To ogranicenie moe by dokonane popre [,17]: 1. pomijanie niektórych miennych i reguł interakcji. W badaniach systemów naturalnych wpływ pewnych miennych i ich wajemnej alenoci jest bardiej naccy, ni innych. Zakładajc, e te drugordne cynniki w niewielkim stopniu wpływaj na funkcjonowanie systemu w badanym segmencie, mona je pomin w ostatecnej wersji modelu fiycnego.. astpowanie kilku miennych deterministycnych pre jedn mienn losow. W pierwsym etapie modelowania pryjmuje si model, w którym reguły interakcji s deterministycne, a nastpnie wprowada si cynnik losowy. 3. uogó1nienie akresu jednej lub kilku miennych. W opisie modelu fiycnego uwgldnia si warto miennej dla pewnej chwili ora akres okrelony pre biór wsystkich wartoci jakie ta mienna mae pryjmowa. 4. grupowanie elementów modelu cybernetycnego w biory i opis kadego bioru pre jedn mienn uogólnion. Onaca to, e mienne modelu fiycnego bd okrela pewne biory elementów modelu cybernetycnego. Zakresy tych miennych s na ogół mniejse ni akresy podstawowych miennych opisowych. Wykorystujc prawa fiyki ora asady modelowania te mienne ora elementy składu i struktury naley estawi w relacjach matematycnych, które uwgldni reguły interakcji. W ten sposób mona utwory sformaliowany opis modelu fiycnego, który jest ilociow repreentacj: 1). własnoci, procesów i wików uwgldnionych w modelu cybernetycnym, nalecych do badanego segmentu systemu; ). fragmentów składu i struktury systemu odpowiedialnych a ich realiacj. Utworenie modelu fiycnego systemu technicnego wymaga gruntownej najomoci jego funkcjonowania, be wgldu na to, cy system istnieje w postaci materialnej, cy te jest tylko produktem wyobrani twórcy. Model fiycny jest abstrakcyjn modyfikacj modelu cybernetycnego, która odwierciedla system tylko w badanym segmencie. Opis sformaliowany awse dotycy takiego modelu fiycnego. Model matematycny Zmienno w casie obserwowanych w nature jawisk, obiektów i sytuacji jest obecnie powsechnie akceptowana. Konsekwencj tego jest dynamika systemów, która ujawnia si w postaci miennoci ich własnoci, składu i struktury ora achodcych w nich

6 procesów i wików. Onaca to, e mienne wystpujce w modelach tych systemów, s alene od casu. Ta aleno ma na ogół posta funkcji, w których cas jest mienn niealen. Okrelenie casu jako miennej niealenej nie ma nic wspó1nego fiycnymi prycynami lub skutkami miennych alenych, ale jest podane dla odwierciedlenia dynamiki modelowanego systemu. Sposób odwierciedlenia dynamiki w modelu matematycnym aley od fiycnego charakteru własnoci procesów i wików achodcych w modelowanym segmencie. Dynamicny model matematycny powala bada achowanie systemu, arówno w stanie równowagi jak i po adiałaniu jakiego aburenia, np. wymusenia na wejciu, które spowoduje, e system prejdie do innego stanu równowagi. Model dynamicny, jako odwierciedlenie systemu technicnego, jest scegó1nie uytecny, gdy badania dotyc: 1). stabilnoci, ). procesów prejsciowych, takich jak np. roruch cy atrymanie, 3). niestabilnoci, bdcej reultatem mian struktury systemu, a nie wymuse na wejciu. W wiksoci prypadków uwgldnienie dynamiki systemu w opisie sformaliowanym jest koniecne dla achowania wymaganej prawdiwoci modelu matematycnego. Jednak w pewnych okolicnociach dynamika moe osta pominita. Utworony wtedy model statycny jest uprosceniem, które jest dopuscalne pod warunkiem, e badac pragnie preledi tylko pewne stany równowagi, osigane w specyficnych warunkach. Casoprestre, w której istniej i funkcjonuj systemy naturalne moe by modelowana w sposób cigły lub dyskretny. Cas, który jest mienn niealen w funkcjach stanu, wejcia i wyjcia, jest wielkoci cigł natury. Tym niemniej, w modelach matematycnych systemów dynamicnych, cas moe by predstawiony w sposób cigły lub dyskretny. Pojcie "cigły" onaca, e wspomniane funkcje s okrelone w kadej chwili, w kadym punkcie na osi casu. Pojcie "dyskretny" odnosi si do biorów wartoci okrelonych tylko dla pewnych chwil. Konsekwencj tego jest pewna skocona odległo na osi casu, midy rónymi elementami biorów stanu, wejcia lub wyjcia. Modelami matematycnymi systemów dyskretnych i cigłych s najcciej układy równa. Własnoci, procesy i wiki, które ostały odwierciedlone w modelu fiycnym, s apisywane w tych równaniach w postaci alenoci matematycnych. Najprosts alenoci jest proporcjonalno, która da si apisa w postaci funkcji liniowej. Obraem funkcji f( w układie prostoktnych współrdnych kartejaskich jest linia prosta. Ogó1nie biorc mona stwierdi, e jeeli sformaliowany opis modelu fiycnego jest utworony funkcji liniowych, to uyskany model matematycny jest take liniowy. Liniowo powala na utworenie modelu matematycnego w postaci układu równa liniowych (algebraicnych lub rónickowych), apewnia moliwo wykonywania podstawowych operacji algebraicnych (dodawanie, odejmowanie, mnoenie i dielenie) ora powala na wybór elementu erowego, pry wektorowym opisie wejcia, stanu lub wyjcia systemu. Dlatego, model liniowy jest stosunkowo łatwy do rowiania na drode analitycnej. Złoono badanych systemów powoduje jednak, e apisanie alenoci a pomoc funkcji liniowych, pry równocesnym achowaniu wymaganego poiomu prawdiwoci modelu, jest csto trudne lub wrc niemoliwe. W konsekwencji model matematycny musi byt nieliniowy i jego rowianie moe nastrca powane trudnoci. Aby uyska rowianie i osign cel bada, koniecna jest wtedy linearyacja modelu, polegajca na astpowaniu, alenoci nieliniowych - liniowymi. Zmienne opisowe modelu mona sklasyfikowa według dwóch kryteriów: fiycnego i matematycnego. Według kryterium fiycnego, mona wyróni try grupy miennych, pry cym

7 dwie pierwse grupy opisuj własnoci, procesy i wiki achodce w systemie, jego dynamik i wajemne oddiaływanie systemu i rodowiska. Te try grupy miennych to: 1. mienne wejciowe opisujce wymusenia diałajce na system; mona je dodatkowo podieli na mienne kontrolowane, wane równie decyyjnymi, na które badac ma wpływ i niealene od badaca mienne sytuacyjne,. mienne stanu i wyjcia; niealenie od "lokaliacji" w modelu fiycnym, charakteryuj one nienane reakcje systemu (łcnie wane niekiedy stanem), które interesuj badaca e wgldu na cel bada, 3. mienne pomocnice, opisujce porednie alenoci midy miennymi wejciowymi ora reakcjami, a słu do uproscenia apisu alenoci wystpujcych w modelu. Według kryterium matematycnego, mienne opisowe modelu mona podieli na dwie grupy, a mianowicie: 1. funkcje casu Z r (, bd innej miennej niealenej, które w sensowny sposób prypordkowuj kademu dareniu wielko o ustalonej nawie i repreentuj mienne wejcia, wyjcia i stanu. Maj one beporedni wpływ na achowanie badanego segmentu systemu; odpowiednio upordkowane w sereg, funkcje te twor wektor: ( = [ 1 (, (,..., r (,..., Γ1 (]T (7) W alenoci ad fiycnego charakteru modelowanego systemu i pryjtego sposobu opisu, współrdne r (, mog by funkcjami determinowanymi, probabilistycnymi lub stochastycnymi. Do opisu sformaliowanego dynamicnych mian wielkoci fiycnych, achodcych podcas funkcjonowania systemu, wykorystuje si pochodne po casie wektora ( lub jego współrdnych r (;. parametry s ξ, które s wielkociami odgrywajcymi scegó1n rol w sformaliowanym opisie modelu fiycnego. Ich natura fiycna cyni je miennymi, ale w danym modelu matematycnym poostaj stałe. W badaniach systemów technicnych parametry te twor biór wielkoci, które opisuj skład i struktur badanego segmentu systemu. Mona tych wielkoci utwory wektor: s s, s,..., s,..., s ] T (8) = [ 1 ξ Θ gdie: ξ = 1,,..., Θ - skocony cig indeksów. Prytocona klasyfikacja jest konsekwencj fiycnego charakteru modelowanego segmentu i celu bada ora uprosce pocynionych pry budowie modelu fiycnego. Zakładajc, e istnieje operator Ψ(, dla którego mienne ora parametry mona apisa w postaci wektorów, to ogó1n posta modelu matematycnego mona predstawi jako modyfikowan form w postaci: d( d ( Ψ( t )[ (,,, s, t] = 0 (9) dt dt Wyraenie to predstawia ogóln, rónickow posta apisu modelu matematycnego, który jest odwierciedleniem modelu fiycnego, badanego segmentu systemu technicnego. W alenoci od postaci miennych opisowych, operatora Ψ( ora parametrów s ξ, model moe by równaniem lub układem równa: algebraicnych, rónickowych wycajnych lub cstkowych, pierwsego lub wysego rdu; moe to by model deterministycny, losowy, stochastycny, statycny lub dynamicny, dyskretny lub cigły, liniowy lub nieliniowy itd. Uytecny model matematycny, powinien apewnia[6]: - istnienie i jednonacno rowiania równa, których jest budowany, - moliwo uyskania wyników ilociowych, - moliwo empirycnego porównania tych wyników wielkociami wytwaranymi pre modelowany system. Modele matematycne, uyskane w reultacie omówionego procesu modelowania,

8 powalaj rowiywa adania analiy, identyfikacji i syntey. Zadania analiy polegaj na wynaceniu miennych stanu i wyjcia modelu fiycnego w alenoci od miennych wejciowych. W praktyce s to adania: 1). wynacania wartoci i prebiegów charakterystyk, okrelajcych achowanie modelowanego systemu, ). wynacania pewnych charakterystyk w funkcji parametrów lub miennych decyyjnych, 3). badania stabilnoci i cułoci modelu na akłócenia; w reultacie otrymuje si informacje o wpływie oddiaływania wybranych wielkoci wejciowych na charakterystyki systemu, 4). ocena systemu, która polega na porównaniu recywistych charakterystyk postawionymi wymaganiami, 5). badania ponawce, majce na celu wykrycie nienanych dotd praw i alenoci, achodcych pomidy oddiaływaniem rodowiska i reakcj systemu. Zadania identyfikacji polegaj na wynaceniu takich parametrów i struktury modelu matematycnego, które dla danych miennych wejciowych umoliwi otrymanie prebiegów miennych stanu i wyjcia takich samych jak te, które wytwara system. Informacje a recywistych wielkociach wejcia, stanu i wyjcia badanego systemu uyskuje si na drode empirycnej. Zadania syntey polegaj na wynacaniu optymalnych wartoci parametrów i struktur modelu matematycnego lub miennych decyyjnych ora na sterowaniu procesami achodcymi w modelu. Zadania syntey dostarcaj informacji dla aprojektowania systemu technicnego, który bdie realiowa adanie eksploatacyjne w sposób optymalny. Pewna grupa ada syntey ajmuje si sterowaniem procesami eksploatacji istniejcych systemów. Reultatem rowiywania ada nalecych do tej grupy s informacje, które umoliwiaj podejmowanie racjonalnych decyji podcas sterowania systemu ora apewniaj optymalny sposób jego obsługiwania. 5. MODELE MATEMATYCZNE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH Wielkoci charakteryujce model fiycny, wyraone a pomoc naków ora symboli matematycnych i apisane w postaci odpowiednio sformułowanych warunków równoci lub nierównoci, stanowi jego opis sformaliowany. Te warunki to s dane i niewiadome godnie prawami fiyki, które okrelaj achowanie systemu w wybranym do bada segmencie. Ogólnie biorc, opis sformaliowany modelu fiycnego systemu mechanicnego, polega na apisaniu godnie prawami mechaniki, alenoci które łc pryspiesenia połoeniami ora prdkociami uogólnionymi i równocenie wi ruch systemu oddiaływaniami mechanicnymi, które gwarantuj realiacj tego ruchu. Wielkoci tworce współrdne uogólnione ora ich pochodne, a take siły i momenty s elementami podbioru, który okrela prestre miennych w modelu fiycnym. Ogóln posta modelu matematycnego takiego systemu mona apisa w postaci: dq d q dϕ d ϕ Ψ q,,, ϕ,,, P, R, M, M, s, = 0 (10) ( dt dt dt dt W alenoci od celu bada, model moe osta apisany dla całego systemu lub dla poscególnych elementów. Moe on odwierciedla system mechanicny uwgldniajc statyk, kinematyk lub dynamik własnoci, procesów lub wików. Dla odwierciedlenia statyki systemu, model (10) jest na ogół układem równa algebraicnych. Dla odwierciedlenia kinematyki i dynamiki potrebne s równania rónickowe pierwsego lub drugiego rdu, wane równaniami ruchu. Aby wynacy stan badanego systemu, model musi si składa tylu równa ruchu ile jest niewiadomych; rowiywanie modelu polega na całkowaniu tych równa. Reultatem całkowania s funkcje casu, które okrelaj miany posukiwanych wielkoci. P R

9 Znajc warunki poctkowe lub bregowe mona wynacy ich wartoci. Całkujc równania (10) mona rowiywa dwa typy ada. Zadania, których celem jest wynacenie głównego wektora oddiaływa dla danego ruchu systemu, nos one miano pierwsego adania mechaniki. W tym adaniu, posukiwane siły i momenty s nienanymi miennymi. Dane s połoenia i prdkoci wgldem współrdnych uogólnionych elementów badanego systemu, które ostały uwgldnione w modelu fiycnym. Drugie adanie mechaniki dotycy prypadków wynacania ruchu systemu, gdy dane s oddiaływania. W tym adaniu dane s siły i momenty, a posukiwane połoenia i prdkoci [0]. Zmienno w casie jest jedn najwaniejsych własnoci, która okrela dynamik systemów naturalnych. Istota dynamicnego achowania polega na tym, e na wyjcie i stan systemu w chwili biecej, maj wpływ wielkoci wejcia w chwilach wceniejsych. System "pamita" to co dieje si wceniej. Na prykład, wrost roliny w danej chwili lub prediale casu aley od nasłonecnienia i opadów w okresie popredajcym obserwacj. Model matematycny odwierciedla t dolno do "magaynowania" energii lub informacji i do ich "wrotu" pewnym opónieniem. Badanie systemów naturalnych (a w scególnoci - technicnych), uwgldnieniem ich dynamiki, jest podstawowym adaniem modelowania. Ze wgldów praktycnych, takie systemy s najcciej modelowane w ujciu deterministycnym. Ta klasa matematycnych modeli technicnych systemów dynamicnych, które potocnie s naywane modelami dynamicnymi, a take klasa modeli statycnych, które s specyficnym uprosceniem modeli dynamicnych, bdie tematem dalsych rowaa. 5.1 Modele dynamicne Zmienne uwgldnione w modelu fiycnym, twor biór miennych opisowych modelu matematycnego. W reultacie uprosce pocynionych pry prejciu od modelu cybernetycnego do fiycnego, licno tego podbioru bdie mniejsa. Wektory wejcia, stanu i wyjcia w modelu matematycnym bd utworone e nacnie mniejsej licby współrdnych. Postulat kompletnoci modelu matematycnego wymaga aby te mienne ora biory, do których one nale były dokładnie opisane [6]. Podiał miennych opisowych modelu według kryterium fiycnego na: wejciowe, stanu i wyjciowe, wynika nie tylko kierunku prepływu strumieni materiałów cy energii. W badaniach systemów dynamicnych ten podiał jest konsekwencj: dolnoci do "magaynowania" energii lub informacji i do ich "wrotu" opónieniem ora alenoci prycynowo-skutkowych własnoci, procesów i wików. Postulat obserwowalnoci, który apewnia moliwo weryfikacji modelu na podstawie pomiarów wykonywanych na modelowanym systemie wymaga, aby mienne wyjciowe mona było objania, obserwowa i miery (np. w badaniach dynamiki systemów technicnych mona miery siły, odkstałcenia, pryspiesenia itp.). Modele matematycne dynamicnych systemów technicnych s tworone pry wykorystaniu unanych w fiyce praw lub asad achowania. Te prawa i asady okrelaj reguły interakcji i s podstaw układania równa, które predstawiaj wajemne alenoci miennych wejcia, stanu i wyjcia. Deterministycny model matematycny składa si na ogół układu równa i awse repreentuje jedn lub kilka relacji odworowania wejcia, stanu i wyjcia. Postulat uytecnoci modelu wymaga aby istniało jednonacne rowianie takiego układu równa. Posta równa jest alena od celu modelowania, od składu i struktury modelu fiycnego, od własnoci, procesów i wików, które ostały w nim odwierciedlone, ale równie od prewidywanego sposobu ich rowiywania. Równania tworce model mog by algebraicne lub rónickowe, wycajne lub cstkowe, pierwsego lub wysego rdu,

10 awierajce funkcj niewiadom jednej lub wicej miennych. 5. Modele statycne Zaleno systemu od casu nie presda o tym, e jego model bdie dynamicny; wystarcy uwgldni alenoci tylko midy wielkociami urednionymi i w opisie sformaliowanym cas moe w ogó1e nie wystpowa. Podstawiajc pochodne miennych niealenych od casu, równe ero równanie (8) mona prekstałci do postaci repreentujcej model statycny: φ {, s } = 0 (11) Modele statycne wykorystuje si do bada systemów o cigłym, powolnym prepływie materiałów i energii jak np.: funkcjonujce w cyklu rocnym systemy biorników retencyjnych asilane opadami i odprowadajce wod do rek, systemy produkcji masowej itp. Modele statycne dobre odwierciedlaj systemy mienne w casie, ale poostajce w równowade, np. konstrukcje mechanicne. S one wykorystywane w badaniach operacyjnych, słucych do podejmowania decyji w systemach sieciowych, np.: obsługi masowej, podiału ograniconych asobów, wynacania cieek krytycnych premiescania si w sieci tak, aby kosty lub cas były minimalne. W modelach takich systemów amiast miennych wejcia i wyjcia stosuje si awycaj mienne decyyjne i funkcje celu. 5.3 Notacje modeli dynamicnych Podstaw opisu stanu dynamicnego jest tworenie moliwych typów modeli, a mianowicie: "wejcie - stan - wyjcie", który jest równowany typowi "wejcie-reakcja" ora "wejcie-stan", "wejcie-wyjcie" i "stan-wyjcie". Ogóln notacj modelu typu "wejcie- stan -wyjcie" dla systemu dynamicnego, mona uyska apisujc odpowiednio relacj : y( = ψ[ u(, x(, t, s] (1) W alenoci tej, ψ - jest macier, niealen od casu, która repreentuje odworowanie współrdnych wektora stanu i wejcia we współrdne wektora wyjcia. W systemach technicnych parametrami s wielkoci opisujce skład i struktur systemu takie, jak np.: wymiary konstrukcyjne, współcynniki i wartoci charakteryujce achodce procesy itp. Zakładajc, e aleno od parametrów ostanie w sposób niejawny uwgldniona w niealenej od casu maciery ψ s równanie to mona apisa w postaci: y( = ψ s [u(,x(] (13) W postaci skalarnej równanie to predstawia układ równa, którego charakter jest aleny od postaci maciery ψ s i współrdnych wektorów. Aby utwory model typu "wejcie - stan", naley okreli taki najmniejsy biór miennych stanu, który w danej chwili t niesie cał informacj o presłoci systemu; niemiennikiem jest licba elementów tego bioru. Ogó1n posta modelu "wejcie - stan" mona predstawi w postaci układu równa rónickowych rdu pierwsego: dx( = G[ x(, u(, t, s] x ( 0) = x0 (14) dt gdie: G - jest macier odworowania pochodnych współrdnych wektora stanu we współrdne tego wektora ora wektora wejcia. Po prawej stronie równa nie wystpuj pochodne po casie miennych modelu. Mog natomiast wystpowa pochodne tych miennych wgldem miennych prestrennych. Zakładajc, e aleno od parametrów jest w sposób niejawny uwgldniona w maciery G s układ równa (14) mona uproci do postaci: dx( = Gs[ x(, u( ] x ( 0) = x0 (15) dt

11 Ze wgldu na wystpowanie pochodnych (mog to by równie pochodne rdu wysego ni pierwsy), układ równa (15) dobre odwierciedla dynamik systemu. Jako cało, układy równa (15) i (13) twor kompletny, deterministycny model matematycny badanego systemu dynamicnego. Model matematycny typu "wejcie - wyjcie" akłada, e system prekstałca wektor wejcia w wektor wyjcia. Zakładajc, e operator Φ diała jak funkcja ϕ(.) niealena od casu, model dla relacji "wejcie - wyjcie" mona apisa w postaci równania rónickowego, wektorowego: du φ, u( : t [ t0, t ], s = y( : t [ t1, t ], gdie : t0t1t (16) dt Zgodnie tym równaniem prebieg miennej wejciowej w prediale casu [t 0, t ] ma wpływ na prebieg miennej wyjciowej w prediale casu [t 1, t ], pry cym chwila t 0 jest casami duo wceniejsa od chwili t 1. Zaleno (16) apisana a pomoc wielkoci skalarnych, pryjmuje posta układu równa rónickowych, które poddaje si niekiedy prekstałceniu Laplace'a, uyskujc ich algebraicn repreentacj, łatwiejs do rowiania. Reultat tego ma na ogół posta transmitancji, która dobre opisuje własnoci dynamicne systemu. Model ten mona równie bada w diedinie cstotliwoci, wykorystujc transformacj Fouriera. Rowianie modelu predstawia wtedy funkcj transmitancji w diedinie cstotliwoci. Ta funkcja umoliwia wynacenie charakterystyk amplitudowych i faowych w funkcji cstotliwoci, które dobre opisuj achowanie systemu dynamicnego. Model "wejcie - wyjcie" jest wykorystywany w badaniach systemów typu "carna skrynka". Ten typ modelu moe równie by utworony w postaci statycnej. 6. ZAŁOENIA DO BADA MODELI Recywiste układy mechanicne to układy masowo dyssypacyjno - spryste opisywane a pomoc premiesce, ich pochodnych wianych odkstałceniami ora wywołujcymi je siłami. Wielkoci opisujce s e sob sprone, s mienne w casie i naywane s w dynamice masyn sygnałami. Sygnały premiesce, prdkoci i pryspiese ora diałajcych sił maj charakter uogólniony, tn. premiescenia s arówno translacyjne jak i rotacyjne, a siły s skupione i pary sił s repreentowane pre ich momenty. Równania ruchu, opisujce drgania dyskretnego modelu fiycnego, maj w ogólnym prypadku posta [0,6,36,54]: Fk ( q1, q,..., qn, q1, q,..., q i,..., qn, q1, q,..., q i,..., q n, R1, R,..., Ri,... Rw, = 0 (17) gdie: n - licba stopni swobody, w licba wiów, t cas, R j j-ta nienana siła uogólniona (reakcja), q i i-te premiescenie, q. i - i-ta prdko uogólniona, i - i-te prypiesenie uogólnione. Pry modelowaniu dynamicnych własnoci układów mechanicnych stosuje si sereg uprosce w akresie opisu i asad budowy modeli fenomenologicnych. W celu modyfikacji własnoci dynamicnych układów mechanicnych buduje si modele strukturalne, które odwierciedlaj organiacj wewntrn i achowuj własnoci transformacyjne układu. Kady układ mechanicny łoony jest elementów: masowych (punkty materialne, nieodkstałcalne lub odkstałcalne bryły), sprystych (spryny) i tłumicych (np. tłumiki). Mówi si wic o układach m, k, c (masowo dyssypacyjno - sprystych). Tylko w uprosceniu mona mówi o modelu masowym, masowo-sprystym lub masowo-.... q..

12 dyssypacyjnym. Kady układ (model), posiadajcy własnoci spryste wytrcony połoenia równowagi, bdie realiował ruch premienny wokół połoenia równowagi. Taki ruch naywamy drganiami mechanicnymi. Drgania mechanicne w alenoci od: licby stopni swobody układu, równania (równa) opisujcego ruch, sposobu wytrcenia połoenia równowagi (sposobu wymusenia), modelu układu, charakteru sygnału premiesce i kierunku ruchu dielimy na [7,14,36,54]: - drgania układów o jednym stopniu swobody, o wielu stopniach swobody - drgania układów dyskretnych: o nieskoconej licbie stopni swobody - drgania układów cigłych; - drgania liniowe; nieliniowe; - drgania autonomicne (swobodne); nie autonomicne (wymusone: ewntrnie lub wewntrnie); - drgania achowawce (be tłumienia); nie achowawce ( dyssypacj energii; lub tłumieniem); - drgania determinowane; stochastycne; - drgania wdłune, poprecne, translacyjne, rotacyjne (gitne, skrtne), itp. Klucem do okrelenia dynamiki obiektów cyli drga obiektów mechanicnych jest atem najomo moliwych odpowiedi układu dynamicnego, do którego mona redukowa badany obiekt. 6.1 Drgania translacyjne i skrtne W praktycnych astosowaniach na poctku rowaa modelowane obiekty bada predstawiane s jako elementarne modele drgajce o jednym stopniu swobody. Prykłady takich układów wymuseniem siłowym lub momentowym predstawiono na rys.1. [a).model o wymuseniu siłowym, b). model o wymuseniu momentowym]. Cy wnioski płynce analiy drga typu skrtnego s takie same jak dla drga typu translacyjnego? Rys.1. Schematy modeli fiycnych o jednym stopniu swobody dla drga translacyjnych a). ora dla drga skrtnych b). Stosujc asad d Alemberta dla kadego modeli otrymuje si równania: model translacyjny a). model skrtny b). F + = 0 M + = 0 i F bewl... i M sil bewl F ( kx c x m x = 0 M ( Kϕ Cϕ I ϕ = 0 ostatecnie a:... m x+ c x+ kx = F( I ϕ + Cϕ+ Kϕ = M ( (18) Otrymane równania, słusne nie tylko dla układu o jednym stopniu swobody, s identycne, a wic wnioski płynce analiy ich rowia bd równie identycne

13 6. Wymusenie siłowe i kinematycne Dla tej samej ogólnoci rowaa ropatrmy wymusenia siłowe i kinematycne predstawione na rys.1.3. W pierwsym prypadku wymusenie pochodi od adanej ewntrnej siły bd momentu, a w drugim prypadku mamy adany ruch na tore (wymusenie kinematycne) [5]. Oba prypadki wymusenia s modelowo równowane, a adane premiescenie ( diałajc popre spryn k i tłumik c jest ródłem siły równowanej F(, pry cym. F ( = k + c. Wiedc o tym mona dalse rowaania ogranicy do drga translacyjnych wymuseniem siłowym, a wnioski prenosi na dowolny ruch dowolnym typem wymusenia. Rys.1.3 Ilustracja równowanoci wymusenia siłowego a). i kinematycnego b) [5]. 6.3 Wynacanie parametrów astpcych Podstawowe metody wynacania parametrów (cech) strukturalnych modeli układów mechanicnych to metody identyfikacji; prostej dla układów prostych i łoonej dla układów o wielu stopniach swobody. W prypadku prostych układów mechanicnych, niekoniecnie o małej licbie stopni swobody, ale łatwym podiałem na dyskretne elementy masowe, spryste i tłumice najbardiej efektywna jest metoda analitycna oparta na najomoci geometrii i własnoci materiałowych elementów konstrukcyjnych układu. Metoda analitycna awiera si w kilku etapach. Najpierw dokonuje si mylowej dyskretyacji recywistego układu mechanicnego. Łcy si elementy w grupy o blionych cechach dominujcych, np. o wyranie prewaajcych cechach masowych nad sprystymi lub tłumicymi. Elementy masowe traktuje si wic jako nieodkstałcalne bryły lub punkty materialne. Elementy bemasowe ((spryste i tłumice) najcciej traktowane jednocenie jako sprysto-tłumice s ujmowane jako odkstałcalne. Tak połcone elementy w grupy predstawia si tylko jednym elementem wanym astpcym lub redukowanym. Jest on repreentowany tylko jednym parametrem redukowanym, bdcym albo wprost parametrem strukturalnym, albo elementem pewnej kombinacji parametrów redukowanych. Parametry astpce wynaca si dla potreb analiy dynamiki układu, najcciej pry ałoeniu równowanoci dynamicnej grupy elementów konstrukcyjnych i elementu astpcego. Równowano dynamicna onaca równowano energii ruchu elementów układu recywistego i elementów astpcych, co onaca ich równowano energii kinetycnej, potencjalnej i funkcji dyssypacji energii. 6.4 Wynacanie mas astpcych Recywiste elementy masowe s w ogólnoci bryłami nieodkstałcalnymi, wic ich energia kinetycna jest sum energii kinetycnej ruchu postpowego prdkoci V s rodka

14 masy ora energii kinetycnej ruchu obrotowego dookoła osi chwilowego obrotu, prechodcej pre rodek masy. 1 1 Ek = mivi + J iω i (19) Zastpcymi elementami masowymi mog by albo punkty materialne, albo bryły doskonale stywne. Zakłada si najcciej, e punkty materialne wykonuj ruch prostoliniowy, a bryły ruch obrotowy dookoła stałej osi. Dokonujc redukcji masy korbowodu mechanimu korbowo-tłokowego (rys.1.4) do dwóch punktów A i B pokrywajcych si osi swornia wału korbowego O ora osi swornia tłokowego pryjmuje si onacenia: - masa korbowodu m k, - długo korbowodu l k, - moment bewładnoci J s wgldem osi prechodcej pre rodek masy S odległy od osi A o a = A S ora od osi B o b = B S, pry cym a + b = l k. Rys.1.4 Schemat mechanimu korbowo - tłokowego. Równowano dynamicna energii achodi musi dla dowolnych wartoci V s ruchu postpowego ora ω ruchu obrotowego, a wic równie dla ich scególnych wartoci równych niejednocenie eru. Wynikaj std równania równowanoci mas ora równowanoci momentów bewładnoci wgldem osi prechodcej pre rodek masy S: m = m + m dla ω = 0 (0) k A B S = maa + mbb dla V S = 0 (1) J a std wartoci mas astpcych m A i m B : J S mkb ma = () a b J S mk a mb = (3) b a Warunek równowanoci statycnej onaca równowano momentów statycnych układu recywistego i astpcego: ma a mbb = 0 (4) Spełnienie jednocenie trech warunków równowanoci statycnej i dynamicnej wymaga astpienia korbowodu trema punktami materialnymi (A,S,B) i wówcas równania równowagi s nastpujce: m = m + m + m J k A B S S = maa + mbb (5) ma a mbb = 0 Masy astpce w układie tym pryjmuj posta:

15 J S J S m A = ; m B = ; al bl k k m S J S = mk (6) ab 6.5 Zastpce stywnoci modelowanych układów Jeeli w układie wystpuj róne elementy spryste, naley wówcas wynacy astpcy współcynnik sprystoci. Mona tu roway dwa prypadki połce sprystych połcenie równoległe i seregowe. Zastpcy współcynnik sprystoci wynaca si warunku równowagi energii potencjalnych. Jak wynika rys.1.5 energia potencjalna połcenia równoległego pry presuniciu o x wynosi: 1 1 E P = k1x + k x (7) Rys.1.5 Połcenia spryste: równoległe a). i seregowe b). ora stywno astpca. Energia potencjalna układu astpcego pry tym samym presuniciu wynosi: 1 E = P k x (8) Po porównaniu tak opisanych energii otrymuje si dla połcenia równoległego: k = k + (9) 1 k Dla połce seregowych nadajemy presunicie x na kocu spryny o współcynniku k. Spryna o współcynniku sprystoci k 1 ostanie odkstałcona o i energia potencjalna obu spryn wynosi: 1 1 E P = k1 + k ( x ) (30) Poniewa w punkcie A jest równowaga dwóch sił: k 1 = k (x-), mona wynacy: k = x (31) k1 + k Po podstawieniu (4.14) do (4.13) i prekstałceniu otrymuje si: 1 k1k E P = x (3) k1 + k Porównujc dalej (7) i (3) otrymuje si astpcy współcynnik sprystoci dla połcenia seregowego: k1k k = (33) k + k 6.6 Osacowanie astpcego tłumienia obiektu Parametr ten jest niebdny pry osacowaniu amplitudy odpowiedi reonansowej modelu bd sybkoci aniku drga. Do jego wynacenia naley eksperymentu wynacy logarytmicny dekrement tłumienia, bd stopie tłumienia ξ ora csto własn ω 0, co csto wykorystuje si do weryfikacji modelu. 1

16 Realiacja eksperymentu testem impulsowym, polegajcym na udereniowym wymuseniu obiektu w punkcie spodiewanego diałania wymusenia i odbiore odpowiedi w punkcie redukcji R. Jako wynik uyskuje si obra drga anikajcych, predstawiony na rys.1.6. A1 = ln = Πξ A 3 =lna 1 /A 3 =Πξ Rys.1.6 Ilustracja do wynacenia logarytmicnego dekrementu tłumienia i astpcego tłumienia c. Wynikiem eksperymentu jest tu logarytmicny dekrement tłumienia, bd stopie tłumienia ξ ora csto własna ω 0, co słuy do weryfikacji oblice i badanego modelu. Drgania tłumione predstawione na rys.4.5 s nieokresowe, jednak kolejne połoenia rodkowe i kolejne wychylenia s osigane po jednakowych odstpach casu. Zatem, okres drga tłumionych mona wynacy alenoci: π π T1 = = (34) ω ω n który jest wiksy od okresu drga tłumionych: π T 1 T0 = ω 0 (35) Dekrement logarytmicny tłumienia, definiowany jako stosunek wartoci dwóch kolejnych maksymalnych amplitud, pryjto a miar tłumienia drga: x( = ln ( ) = nt1 x t + T1 (36) Stopie tłumienia dla ułatwienia dalsej analiy mona apisa w postaci: c h ξ = = ckr ω 0 ora c = ckr = mk, gdy ξ = 1 (37) Dla rys. 1.6 mona napisa: c c c ξ = = = ckr ckr mk (38) W takim raie dekrement logarytmicny tłumienia wynosi: a tego tłumienie astpce: = 0 πξ = π = (39) c m k c π m k

17 c = mk (40) π Znajc atem eksperymentu dekrement logarytmicny tłumienia ora dalsych oblice astpc mas i stywno (m, k ) mona wynacy warto astpcego tłumienia c w badanym modelu. Zagadnienia modelowania s specyficne dla rónych astosowa, std w dalsej cci tej ksiki wielokrotnie prytacane bd róne aspekty podiału i asad modelowania, co stanowi doskonałe uupełnienie podanych wceniej asad i specyfiki modelowania. 7. PODSUMOWANIE Modelowanie stanowi pierwsy etap formalnego ujcia agadnie wianych arówno anali diałania jak i synte obiektów technicnych. Powala ono okrelonym pryblieniem odtwory asady organiacji i funkcjonowania obiektu, co dalej umoliwia uyskanie informacji o samym modelowanym obiekcie. Celem modelowania jest uyskanie wiarygodnego modelu matematycnego, który umoliwia preledenie sposobów achowania si obiektu w rónych warunkach. Pry budowie modelu korysta si głównie praw i aksjomatów fiyki, wyraajcych równowag sił, momentów, opisujcych bilans sił, wydatków, prepływów, równa cigłoci i alenoci geometrycnych. Kady model fiycny ma odpowiadajcy mu model matematycny. Modelem matematycnym obiektu mechanicnego jest najcciej układ równa rónickowych o pochodnych cstkowych, a take równania całkowe, które opieraj si na bilansie energetycnym, materiałowym lub równaniach procesów fiyko-chemicnych. S one trudne do rowiania arówno analitycnego jak i pryblionego (numerycnego). W modelach dyskretnych układów wystpuj równania rónickowe wycajne i std te s one cciej stosowane w praktyce. Recywiste układy mechanicne s reguły nieliniowe, gdie o nieliniowoci decyduj własnoci reologicne materiału, wystpowanie luów, nieliniowy charakter sił dyssypacyjnych i charakterystyk sprystych elementów. Ogranicone moliwoci analiy nieliniowych równa rónickowych skłaniaj do stosowania modeli liniowych lub wykorystania procedur linearyacji. Ropatrywanie układów jako liniowych ma sens uwagi na to, e istnieje dua klasa obiektów mechanicnych, które dopuscaln dla praktyki dokładnoci mog by repreentowane pre modele liniowe. Istnieje wiele sposobów tworenia modeli obiektów, w wyniku cego powstaj róne modele, wród których wymieni naley: modele strukturalne, modele funkcjonalne ora modele badawce (modele ideowe, modele analitycne). Najogólniej podobiestwo midy modelem a oryginałem moe polega na podobiestwie strukturalnym, ukaujcym wspólne cechy budowy wewntrnej modelu i obiektu, lub na podobiestwie funkcjonalnym, w którym istotna jest bieno ich właciwoci. Zasadno diała wianych budow i wykorystaniem modeli aley od ich jakoci, cym ajmuje si dyscyplina nauki naywana identyfikacj, która moe dotycy arówno budowy modeli obiektu jak i odtworenia stanu badanego obiektu. LITERATURA 1. Awrejcewic J.: Drgania deterministycne układów dyskretnych. WNT, Warsawa Bendat J.S., Piersol A.G.: Metody analiy i pomiaru sygnałów losowych. PWN, Warsawa, Bishop R.D., Gladwell G.M., Michaelson S.: Macierowa analia drga. PWN, Warsawa, Bishop R.E.D., Johnson D.C.: The mechanics of vibration. Cambridge University Press, Cempel C.: Drgania mechanicne - wprowadenie. Politechnika Ponaska, 198.

18 6. Cempel C.: Wibroakustyka stosowana. Warsawa, PWN, Cempel C.: Podstawy wibroakustycnej diagnostyki masyn. WNT, Warsawa, Cempel C.: Modele diagnostyki wibroakustycnej. DMRiP, Borówno,1994 (s.5-44). 9. Cempel C.: Nieawodno symptomowa i jej astosowanie w drganiowej diagnostyce masyn. Zesyty Naukowe, Politechnika Ponaska, Nr 34, 1990 (s ). 10. Cempel C.: Vibroacoustical Condition Monitoring. Ellis Hor. Ltd., Chichester, New York, Cempel C.: Teoria Inynierii Systemów, skrypt, Zakład Dynamiki i Wibroakustyki Systemów, Politechnika Ponaska, Cholewa W., Kiciski J.: Diagnostyka technicna. Odwrotne modele diagnostycne. Wydawnictwo Politechniki lskiej, Gliwice Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki budowli. Arkady, Warsawa Dietrych J.: System i konstrukcja. WNT, Warsawa, Dietrych M. ii : Podstawy konstrukcji masyn. WNT, Warsawa 1995, tom Dobry M. W.: Optymaliacja prepływu energii w systemie cłowiek - nardie - podłoe. Politechnika Ponaska, Roprawy nr 330, Pona, Eykhoff P. : Identyfikacja w układach dynamicnych. BNIn. Warsawa Friten C. P., Kiefer T.: Lokaliation and Correction of Errors in Analytical Models. Proceedings of the l Oth International Modal Analisis Conference, San Diego, CA, 1999, pp Giergiel J., Uhl T.: Identyfikacja układów mechanicnych. PWN, Warsawa, Giergiel J. : Drgania mechanicne. AGH, Kraków Grifin M.J.: Handbook of human vibration. Academic Press, Gutowski R., Swietlicki W.: Dynamika i drgania układów mechanicnych. PWN,Warsawa, Harris C. M.: Shock and Vibration Handbook. Third Edition, McGraw-Hill Book Company, Kacmarek J.: Podstawy teorii drga i dynamiki masyn. Wysa Skoła Morska, Scecin Konderla P., Kasprak T.: Komputerowe metody w teorii sprystoci. Dolnolskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław Kurowski W.: Modelowanie obiektów technicnych. Rkopis opracowania, Płock Kamiercak H., Kromulski J.: Identyfikacja i minimaliacja obcie dynamicnych w masynach rolnicych metodami eksperymentalnej analiy modalnej. Projekt Badawcy nr Raport Kocowy, PIMR Kamiercak H., Kromulski J.: Identyfikacja własnoci dynamicnych i obcie eksploatacyjnych masyn w astosowaniu do diagnostyki (na prykładie prasy Z4). Prace PIMR, XXXVIII, Pona 1993, Nr, str Kamiercak H., Kromulski J.: Metody identyfikacji parametrycnej w astosowaniu do diagnostyki konstrukcyjnej. Problemy Eksploatacji 6/93 MCNEMT Radom Kamiercak H.: Analia dynamicnoci konstrukcji metod eksperymentalnej analiy modalnej. I Skoła Analiy Modalnej, AGH Kraków, 11-1 grudnia Kamiercak H.: Zadawanie wymusenia w eksperymentalnej analiie modalnej w aspekcie minimaliacji błdów modelowania. Skoła Analiy Modalnej, Scyrk, Kiciski J., Materny P.: Symulacyjne katalogi relacji diagnostycnych dla bay wiedy systemu. KDT. Warsawa, Krusewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicnych w ujciu komputerowym. Tom I. Zagadnienia Liniowe, WNT, Warsawa, Kucharski T.: Metoda oblicania odpowiedi dynamicnych układów opisanych równaniami o miennych w casie parametrach. I Krajowa Konferencja Uytkowników MATLAB-a, AGH-Kraków, Morel J.: Drgania masyn i diagnostyka ich stanu technicnego. Polskie Towarystwo Diagnostyki Technicnej, Warsawa, 1994.