PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Transkrypt

1 Nazwa przedmiotu: Analiza Funkcjonalna II Functional Analysis II Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia Liczba godzin/tydzień: W, C Semestr: II Liczba punktów: 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Zapoznanie studentów z niektórymi klasycznymi twierdzeniami analizy funkcjonalnej. C. Zapoznanie studentów z elementami teorii optymalizacji w przestrzeniach pre-hilberta i przestrzeniach unormowanych. C. Zapoznanie studentów z zagadnieniami dotyczącymi słabej zbieżności i słabych topologii w przestrzeniach Banacha. C. Zapoznanie studentów z niektórymi zastosowaniami analizy funkcjonalnej. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotów Analiza matematyczna I, Analiza Matematyczna II, Analiza Matematyczna III, Analiza Funkcjonalna I.. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Algebra liniowa i geometria analityczna.. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Topologia.. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Równania różniczkowe. EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 student wymienia i charakteryzuje przestrzenie sprzężone do klasycznych przestrzeni Banacha, charakteryzuje funkcjonały liniowe na klasycznych przestrzeniach Banacha. EK student formułuje twierdzenia Hahna-Banacha, twierdzenia Banacha o wykresie domkniętym, odwzorowaniu otwartym, operatorze odwrotnym i szkicuje ich dowody.

2 EK student definiuje zbieżność słabą i *słabą, oblicza słabe granice, formułuje twierdzenia Banacha- Alaoglu i Kreina-Milmana ze szkicami dowodów. EK student wymienia podstawowe zastosowania analizy funkcjonalnej, identyfikuje działy matematyki korzystające z zastosowań, wyjaśnia rolę twierdzeń w zastosowaniach. TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY W 1, Wprowadzenie. Wskazanie potrzebnych w dalszym ciągu wiadomości z algebry liniowej i analizy. Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe: równoważność norm, zbieżność w normie i po współrzędnych, zwartość, lokalna zwartość, uniwersalność przestrzeni R. W, Przestrzenie Hilberta, bazy ortonormalne w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta, uniwersalność przestrzeni. W 5 Zagadnienie najlepszej aproksymacji: sformułowanie podstawowych problemów w języku przestrzeni Hilberta. Pojęcie najlepszego przybliżenia, błędu przybliżenia, zbiór proksymalny, zbiór Czebyszewa. Zbiory wypukłe, w tym stożki, w przestrzeni liniowej. W 6 Twierdzenie o najlepszym przybliżeniu z wypukłego, domkniętego podzbioru przestrzeni Hilberta. Pojęcie ciągu minimalizującego, częściowa charakterystyka najlepszego przybliżenia. W 7,8 Rozwiązanie niektórych problemów optymalizacyjnych w przestrzeniach Hilberta. Przestrzenie unormowane ściśle wypukłe. Zagadnienie najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unormowanych. W 9 Baza Schaudera. Funkcjonały liniowe. Przestrzenie sprzężone. Zanurzenie kanoniczne, przestrzenie refleksywne. W 10, 11 Przykłady przestrzeni sprzężonych, twierdzenie Riesza Frécheta. Ogólny kształt funkcjonału liniowego na klasycznych przestrzeniach. Przykłady przestrzeni refleksywnych. W 1, 1 Twierdzenie Hahna Banacha. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Wnioski z tych twierdzeń. W 1, 15 Słaba i *słaba zbieżność w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Mazura o silnej zbieżności ciągów kombinacji wypukłych. Słaba zwartość w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Banacha- Alaoglu. Twierdzenie Kreina Milmana. Liczba godzin

3 Forma zajęć ĆWICZENIA Liczba godzin C 1 Różne rodzaje norm. Równoważność norm w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Twierdzenie o istnieniu najlepszego przybliżenia w przestrzeniach skończenie wymiarowych. C Suma Minkowskiego zbiorów w przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie przestrzeni unormowanych nieskończenie wymiarowych. Iloczyny skalarne. Przestrzenie Hilberta. Ortonormalność układu Rademachera przestrzeni. C Wielomiany Legendre a, Hermite a i Laguerre a). Zastosowanie twierdzenia o rzucie prostopadłym. Zbiory wypukłe i ich własności. C Zbiory wypukłe i ich własności. Problem najlepszego przybliżenia w przestrzeni pre- Hilberta. Zbiór proksymalny i jego własności. C5 Stożki i ich podstawowe własności. Porządek częściowy wyznaczony przez stożek. Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych w przestrzeniach skończenie wymiarowych. C 6 - Elementy geometrii przestrzeni Banacha. Podstawowe własności przestrzeni unormowanych ściśle wypukłych. C 7 Funkcjonały liniowe ograniczone. Przestrzenie sprzężone do niektórych klasycznych przestrzeni. C 8 - Liniowość zanurzenia kanonicznego. Refleksywność przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej. Ogólny kształt funkcjonału liniowego na niektórych klasycznych przestrzeniach. C 9 Zastosowanie twierdzenia Hahna Banacha: ogólny kształt funkcjonału liniowego na niektórych klasycznych przestrzeniach c.d. C 10 Zastosowanie twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych. C 11 Charakterystyka słabej i *słabej zbieżności w konkretnych przestrzeniach Banacha. Lemat Riemanna Lebesgue a. C 1 Lemat Schura. Zastosowanie słabej i *słabej zbieżności. Refleksywność klasycznych przestrzeni. C 1 Refleksywność klasycznych przestrzeni c.d. Rola refleksywności w teorii optymalizacji. Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym. C 1 Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha: twierdzenia o o operatorze

4 odwrotnym i wykresie domkniętym. C 15 Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym i niektóre jego zastosowania. NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład z wykorzystaniem rzutnika pisma (przykłady i dowody twierdzeń przeliczane na tablicy). ćwiczenia tablicowe SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA) F1. ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń F. ocena aktywności podczas zajęć P1. ocena umiejętności rozwiązywania zadań i problemów - kolokwium P. ocena opanowania materiału podanego na wykładzie zaliczenie wykładu OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącym Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Przygotowanie do kolokwiów Obecność na konsultacje 0W 5C 75h 10 h 0 h 15 h 5 h Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i projektowych 15 h 5 ECTS, ECTS, ECTS

5 LITERATURA PODSTAWOWA Podstawowym narzędziem studenta w nauce przedmiotu są notatki z wykładów i ćwiczeń. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN Warszawa 1989 W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN Warszawa 1970 S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 007 LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969 A.V. Balakrishnan, Analiza funkcjonalna stosowana, PWN Warszawa 199 K.Goebel, W.A. Kirk, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1999 S.Kurcyusz, Matematyczne podstawy teorii optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 198 D.G.Luenberger, Teoria optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 197 S.Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 197 PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES ) 1. Piotr Puchała, piotr.puchala@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Cele przedmiotu Treści programowe Narzędzia dydaktyczne Sposób oceny 5

6 Matematyka EK1 K_W01, K_W0, K_W05, K_U01, K_U0, K_U08, K_U09, K_K01, K_K0 C1, C W6,7,11,1 C1,11,1,1 1, F1,F,P1 P EK K_W01, K_W0, K_W05, K_U01, K_U0, K_U0, K_U09, K_U1 K_K01, K_K0 C1 W1,,5 C6,7 1, F1, F P1 EK K_W0, K_W05, K_W07, K_U0, K_U08, K_U09, K_K01, K_K0 C1, C W7,8 C8,9, 10 1, F1, F P1, P EK K_W01, K_W0, K_W05, K_W07, K_U0, K_U08, K_U09 K_K01, K_K0 C1,C W,,8,1,1,15 C,,,5,10,1,15 1, F1, F P1, P II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY Na ocenę Na ocenę Na ocenę Na ocenę 5 Efekt 1 na ocenę. Student nazywa twierdzenia Hahna- Banacha, o wykresie domkniętym, odwzorowaniu otwartym, operatorze odwrotnym, opisuje ich treść. Student formułuje twierdzenia Hahna- Banacha, o wykresie domkniętym, odwzorowaniu otwartym, operatorze odwrotnym, szkicuje ich dowody. Student formułuje twierdzenia Hahna- Banacha, o wykresie domkniętym, odwzorowaniu otwartym, operatorze odwrotnym, podaje ich dowody, wymienia zastosowania. Efekt na ocenę. klasyczne przestrzenie Banacha i identyfikuje przestrzenie do nich sprzężone. klasyczne przestrzenie Banacha i przestrzenie do nich sprzężone ze szkicem dowodu. klasyczne przestrzenie Banacha i przestrzenie do nich sprzężone z dowodem, charakteryzuje funkcjonały liniowe na nich. 6

7 Efekt na ocenę. Student podaje definicję słabych zbieżności i relacje między nimi. Student podaje definicję słabych zbieżności, dowodzi ich własności, oblicza niektóre granice, formułuje podstawowe twierdzenia. Student podaje definicję słabych zbieżności, dowodzi ich własności, oblicza niektóre granice, formułuje podstawowe twierdzenia i podaje ich dowody. Efekt na ocenę. najważniejsze zastosowania analizy funkcjonalnej w innych działach matematyki. zastosowania analizy funkcjonalnej w innych działach matematyki, formułuje twierdzenia, na których się te zastosowania opierają, stosuje najprostsze metody w wybranych przypadkach. zastosowania analizy funkcjonalnej w innych działach matematyki, formułuje i dowodzi twierdzenia, na których się te zastosowania opierają, stosuje metody w zakresie jak na zajęciach. III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej: Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: 7