PODSTAWY TEORII ELEKTROPIEZOMECHANICZNYCH PRZETWORNIKÓW SILNIKÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH

Transkrypt

1 Maszyny Elktryczn Zszyty Problow Nr 4/2015 (108) 1 Włodzrz Przyborowsk Poltchnka Warszawska Instytut Maszyn Elktrycznych PODSTAWY TEORII ELEKTROPIEZOMECHANICZNYCH PRZETWORNIKÓW SILNIKÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH THE BASICS OF THE THEORY OF ELECTROPIEZOELASTICITY TRANSDUCERS PIEZOELECTRIC MOTORS Strszczn: W pracy przdstawono lnty tor lktropzosprężystośc w zakrs sprzężonych pól lktryczngo lastokntyczngo oddzałujących w ustroju o strukturz slnka lktryczngo Przdstawono ogóln zwązk konstytutywn ch rdukcję w odnsnu do prztwornków pzolktrycznych Rozpatrzono ogóln struktury pola lktryczngo pola naprężń w odnsnu do slnka pzolktryczngo o ruchu obrotowy strukturz cylndrycznj oraz tarczowj Abstract: Th papr prsnts lnts of th thory of lctropzolastcty n th oton coupld wth th flds of pzolctrc and lastc, jond ntractng n th syst on th structur of th lctrc otor Provds gnral consttutv rlatonshps and thr rducton n rspct of pzolctrc transducrs Consdraton was also gvn to th gnral structur of an lctrc fld and strss fld for pzolctrc otor rotary oton and structur of cylndrcal and dsc-typ Słowa kluczow: pola lktropzosprężyst, równana lktropzosprężystośc, slnk pzolktryczny, Kywords: lctropzolastc flds, quatons of lctropzolastcty, pzolctrc otor, 1 Wstęp Slnk pzolktryczn są nową gnracją prztwornków lktrochancznych choć fkt pzolktryczny znany jst od ponad wku Jdnakż podstawową trudnoścą w budow tor tych aszyn lktrycznych były (są) paratry konstytutywn atrałów pzolktrycznych oraz probly tchno-logczn budowy slnków Nwątplw tora pzolktrycznośc jst równż dość skoplkowana z względu na sln sprzężn pola lktryczngo sprężystgo oraz sprzężon zwązk konstytutywn lktrosprężyst Tora pzolktrycznośc objująca sprzężn pola odkształcń z pol lktroagntyczny została sforułowana przz Vogta [9], choć fkty pzolktryczny został przwdzany odkryty znaczn wczśnj Nalży zaznaczyć, ż sprzężn tych pól następuj w pwngo rodzaju kryształach cchujących sę polaryzacją lktryczną, wskutk oddzaływań chan-cznych (sprężystych) σ E (na pol lktryczn) odwrotn cało pzolktryczn zna swoją postać pod wpływ zwnętrzngo pola lktryczngo E ε ( ε σ E oznaczają odpowdno tnsor odkształcń, tnsor naprężń wktor natężna pola lktryczngo) Koljngo rozwnęca tj tor dokonal RA Toupn RD Mndln [10, 4] Nalży podkrślć, znacząc osągnęca w dzdzn pól sprzężonych polskch uczonych S Kalskgo W Nowackgo [6] W ostatn okrs obsrwuj sę znaczny wzrost zantrsowana fkta pzolktryczny w szczgólnośc w zastosowanu do prztwornków lktrochancznych [1, 3, 7, 8], któr bz wątpna ożna zalczyć do szroko rozuanj dzdzny aszyn lktrycznych 2 Podstawow równana lktropzosprężystośc Zstaw równań pola lktroagntyczngo pola sprężystośc w zaps wskaźnkowy z notacją tnsorową stosowaną powszchn w tor sprężystośc [6] a postać: - równana lktroagntyzu D H = J + ( roth J ) k k, j D = + (1) t k k, j = B E (2) B ( B = 0 k = 0, k dv ) (3)

2 2 Maszyny Elktryczn Zszyty Problow Nr 4/2015 (108) D, = ρ (4) k k k, k = J + ρ 0 (5) gdz: wlkośc H, B, E D, J oznaczają k k k k k składow wktorów odpowdno: natężna pola agntyczngo, ndukcj agntycznj, natężna pola lktryczngo, ndukcj lktrycznj, a ρ oznacza gęstość ładunku, - sybol prutacyjny Rccgo; przcnk przy dolnych wskaźnkach oznacza różnczkowan po współrzędnj przstrznnj, a po wskaźnkach powtarzających sę dokonuj sę suowana; - równana lastokntyczn σ j, j + f = ρ oraz ε = 5( u + u ) (6) gdz: u σ -tnsor naprężń, 0, j j, k u wktor prz- szczń, εtnsor odkształcń, f wktor sł objętoścowych, ρ gęstość ośrodka; prwszy wskaźnk w ndks naprężń tnsorowych oznacza współrzędną noralnj do powrzchn przyłożongo naprężna, a drug wskaźnk współrzędną naprężna Główną trudnoścą w analz oddzaływań lastopzolktrycznych, jak w wszystkch zagadnnach tchncznych pól fzycznych, są zwązk konstytutywn dfnując rozważan ośrodk jdnoczśn w ty zagadnnu sprzęgając fkty chanczn z lktryczny Zwązk konstytutywn ają postać σ = C ε E (7) kl kl k k D = klε kl + βk Ek (8) gdz: C kl jst tnsor sztywnośc o walncj 4 przy uwzględnnu sytr zawra 21 składowych, kl tnsor pzolktryczny o walncj 3, o 18 składowych przy sytr względ dwu wskaźnków kl, β k tnsor prznkalnośc dlktrycznj o walncj 3, sytryczny o 6 składowych Układ równań (1-6) uzupłna sę warunka brzgowy W częśc powrzchn ogą być zadan przszczna, a w częśc naprężna u = U ( ξ, p σ ( ξ, n ( ξ) (9) 1* = j j Dla pola lktryczngo warunk brzgow ogą być zadan w rprzntacj potncjału lktryczngo V b lub natężna pola lktryczngo E, który okrśla sę gradnt tgo potncjału = (E=-grad V), V ( ξ, = V ( ξ, (10) E V, Stosowan są równż warunk brzgow wyrażon przz gęstość powrzchnową ładunków τ D n = τ (11) Z względu na zwązk atrałow (7, 8) zawrając wktory ndukcj natężna pola lktryczngo w ops fktów lktropzosprężystych poa sę wktory pola agntyczngo Tak jak standardow aszyny lktryczn dzałają w oparcu o przany pola (lktro) agntyczngo ndukcj agntycznj, tak slnk pzolktryczn dzałają na podstaw ndukcj lktrycznj Zat równana (1-3) w tych zagadnnach ożna ponąć Cchą różnącą dzałan aszyn pzolktrycznych od lktroagntycznych (z wyjątk slnków z toczący sę wrnk lastyczny wrnk) jst stnn kontaktu (styku) bzpośrdngo lub pośrdngo (w for prścn dystansowych uszczonych ędzy stojan a wrnk) oraz sprzężna naprężnowgo (docsku) ędzy stojan wrnk Natoast cchą wspólną jst konczność wzbudzna pola lktryczngo wrującgo lub postępującgo [ ωt λ ], co w rprzntacj składowj wktora natężna lktryczngo dla ruchu obrotowgo ożna zapsać j( ωt λ) E ( ξ, = E ( ξ) (12) gdz: ω jst częstoścą znnośc w czas tgo pola, λ współczynnk falowy propagacj w krunku znnj Ogranczając rozważana do ośrodka atralngo typu pzolktryczngo, układy równań (4-6) rdukują sę do układu równań stanu sprężystgo lktryczngo σ j, j + f = ρ (13) u b b 1 *) < ξ,, ζ > oznaczają współrzędn dowolngo układu współrzędnych zwązango z częścą stojanową prztwornka Odnosząc wskazan znn przstrznn do układu paratryzującgo prztwornk cylndryczny ożna przyjąć oznaczna, <r, φ, z>

3 Maszyny Elktryczn Zszyty Problow Nr 4/2015 (108) 3 D = 0, natoast zwązk konstytutywn (7, 8) pozostają bz zan Uwzględnając zwązk konstytutywny dla ndukcj lktrycznj natężna pola lktryczngo, oraz wyrażając pol lktryczn przz potncjał, oraz wykorzystując naprężnowy zwązk konstytutywny pzo-sprężystośc zastępując tnsor odkształcń przz przszczna, równana pzol-ktrycznośc ają postać C kl kl u uk, lj + kv, kj + f = ρ (14) β V = k, l k, k 0 Dalsz rozwnęc tor pzolktrycznośc zostało dokonan przz R D Mndlna [4] RA Toupna [11] na przypadk ośrodka pzolktryczngo cchującgo sę wktor polaryzacj dlktrycznj P, który okrślony jst zalżnoścą P D β0 = E (15) gdz: β0 jst prznkalnoścą dlktryczną próżn Wprowadzn wktora polaryzacj dlktrycznj powoduj zodyfkowan podstawo-wych równań warunków brzgowych W analzach stanu pracy slnków pzolktrycznych rozważan są zwązk bz fktu polaryzacj, chocaż nalży nadnć, ż w wększośc prac dotyczących slnków pzolktrycznych (ultrasoncznych) n są xplct wypsywan ogóln równana Ostatczn ożna uznać, ż ops dzałana slnka pzolktryczngo o dowolnj for kntycznj ujują równana (14), stanowąc cztry równa dość sln sprzężon 3 Rozszrzon równana lktropzosprężystośc W klasycznj tor pzosprężystośc n uwzględna sę w płn dwu fktów, któr ogą zachodzć w ustrojach konstrukcyjnych prztworków lktrochncznych, gdz część ustroju doznaj oddzaływana lastopzol-ktryczngo, a część oddzaływań oż być prznoszona przz tnsor Maxwlla pola lktryczngo (a węc oddzaływań dlktrycznych), zdfnowango wzor T = 05[ E Dj + D E j δ 05( Dk Ek )] (16) u W układz równań brzgowych nalży równż uwzględnć knatyczny warunk brzgowy dla ndukcj lktrycznj warunk powrzchnowj gęstośc ładunku na przszczającj sę powrzchn Warunk tn a postać (1) (2) [ v [ D D ]] = [ τs v] (17) gdz: v jst względną prędkoścą przszczana sę ustrojów prztwornka wzbudzango pola lktryczngo Wprowadzn lktryczngo tnsora Maxwlla skutkuj równż rozszrzn równań brzgowych [ T T ] n = p (1) (2) j (18) zodyfkowan równań naprężnowoprzszcznowych przz włączn objętoścowj sły lktrycznj wyrażonj dywrgncją tnsora Maxwlla j, j + T j, j = ρ σ (19) u T N ożna wykluczyć, ż wobc nadzwyczajngo rozwoju tchnolog atrałowj ogą zostać zsynttyzowan atrały o znaczących obu fktach ndukcj lktrycznj, co pozwol skonstruować slnk hybrydow z zastosowan tych zjawsk Gdyby fkt ontu lktrostatyczngo był znaczący, to w slnku obrotowy o os obrotu zgodnj z osą z, układu paratryzującgo obszar ustroju slnka, znaczn ałyby w slnku cylndryczny składow tnsorów T,, przy polaryzacj radalnj tangncja- r lnj ndukcj lktrycznj for pola wrującgo względ znnj - j( ωt λ) D ( r, D ( r ( r, ) = ) Natoast w slnku tarczowy znaczn ałyby składow tnsorów T, T, przy polary- z zacj tangncjalnj aksjalnj ndukcj lktrycznj for pola wrującgo, równż względ znnj - D ( r, D ( r j( ωt λ ) (, ) = ) z 4 Rdukcja stałych atrałowych składowych pola naprężń Rozwój tchnolog atrałowj oż spowodować noczkwany postęp w dzdzn nowych atrałów o bardzo uogólnonych własnoścach lub ukrunkowanych na wzożony fkt ontu lktropzosprężystgo Natoast obcn znan atrały - kryształy

4 4 Maszyny Elktryczn Zszyty Problow Nr 4/2015 (108) pzolktryczn cchują sę charaktrystyczną strukturą os płaszczyzn sytr, co uożlwa rdukcję stałych atrałowych zarówno w zakrs paratrów sprężystych, pzolktrycznych jak lktrycznych [2, 5] Bz szczgółowj charaktrystyk klas kryształów ożna przdstawć przykładow lczbnośc poszczgólnych stałych atra-łowych dla wybranych układów o jdno- lub dwukrotnych osach sytr równolgłych do wybranj os układu Układ jdnoskośny odznacza sę następujący układ stałych atrałowych { C kl [ c1111c 1122, c1133, c1123, c2222, c2233, c2223, c3333, c3323, c23231, c3131, c3112, c1212 ] < 13 > }, [,,,,,,, ] < 8 } { k > , { β [ β11, β22, β33, β12 ], < 4 > } W przypadku kryształów o osach dwukrotnych lczbnośc stałych atrałowych są przykładowo następując: { C 11 >, < 7 >, β < 3 > }, < kl k < 9 >, < 3 >, β kl k { C < 3 > }, przy czy ogą być różn ndksy tych stałych dla poszczgólnych klas Nalży zauważyć, ż z względu na płaszczyzny sytr wlokrotność os atrałów (kryształów) pzolktrycznych, paratry konstytuwn C,, β odznaczają sę wlokrotną sytrą względ pary wskaźnków W zwązku z ty ożna uproścć notację zspalając w jdno oznaczn pary ndksów, względ których tnsory są sytryczn o jdnakowj różnj wartośc wskaźnków Znjszają sę jdnoczśn lczby stałych atrałowych w zwązkach konstytutywnych (7, 8) Dla naprężń odkształcń przyjuj sę odpowdn oznaczna t = σ, d = ε n n σ n = 1,2,3; = j t = { dla n σ n = 4,5,6; j 1ε n = 1,2,3; = j dn = { dla 2ε n = 4,5,6; j W publkacjach z dzdzny slnków pzolktrycznych w jsc naprężna t n stosuj sę oznaczn N n Poo uproszna zwązków atrałowych w wynku utożsana (rdukcj) paratrów konstytutywnych, równana pzolktrycznośc są nadal złożon Koljna rdukcja oż być uzyskana przy założnu zadanych pól lktryczngo przszczń oraz uwzględnnu tylko stotnych oddzaływań (sł) pzolktrycznych W slnkach o ruchu obrotowy ożna rozpatrywać dw podstawow struktury: walcową tarczową, oraz oczywśc szaną walcowotarczową W przypadku struktury walcowj powrzchną styku z stojan jst pobocznca walca wrnka A w przypadku tarczowj powrzchna czołowa wrnka Tak węc naprężn docskając w slnku cylndryczny charaktryzuj sę składową ± pr, a w slnku tarczowy ± pz W obu strukturach główn pol lktryczn oż być zorntowan aksjaln Ez radaln E r, prostopadl do lnowj prędkośc obwodowj Naprężna znaczący w strukturz cylndrycznj są < σ, σ > oraz < σ r rr >, z względu na radaln obcążn zwnętrzn Naprężna znaczący w strukturz tarczowj są < σ, σ > oraz < σ zz >, z względu na aksjaln obcążn zwnętrzn Składowy przszczń są odpowdno < u r, u > oraz < u,u z > 5 Oddzaływana onty obrotow slnka W układz współrzędnych cylndrycznych ont pzolktryczny powstaj od naprężń tangncjalnych na poboczncy walca wrnka slnka cylndryczngo p = σ n + σ n r r τ / 2 L α2 T = R p r d dz dt (20) τ 0 0 α1 gdz: lczba sgntów lktrod slnka, < α1, α2 > rozar obwodowy strfy potncjałowj lktrod, R śrdn proń poboczncy walca z zlokalzowany naprężna styczny, L długość wrnka; a w slnku tarczowy od naprężń na powrzchnach czołowych p = σ n + σ n z z τ / 2 R 2 α2 2 T = p r d dr dt (21) τ 0 R1 α1 przy czy R1, R2 oznacza wwnętrzny zwnętrzny proń tarczy Z fory naprężń powrzchnowych wynka warunk ustalna naprężń brzgowych o z

5 Maszyny Elktryczn Zszyty Problow Nr 4/2015 (108) 5 wlkoścach pr dla slnka cylndryczngo pz dla slnka tarczowgo Fora fal wrującj wzbudzonj polaryzacją układu lktrod wnna ć forę analogczną jak w przypadku oddzaływań lktrycznych, E (22) j( ωt λ) ( r, = E ( r) ( r, ) a węc o znnośc przstrznno-czasowj postac ωt λ wzbudzanj układ dwupotncjałowy (dwupolaryzacyjny), jako najprostszy albo wlopotncjałowy z odpowdn przsunęca w dzdzn czasu rozkładz przstrznny lktrod Oczywśc us następować sprzężn częstotlwoścow z oda drgań chancznych ustroju wrnka slnka Na rysunku 1 zobrazowano sybolczn lokalzacj naprężń w obszarz powrzchn wrnków o for walcowj tarczowj Ruch obrotowy snka pzolktryczngo oż być równż osągnęty w wynku sprzężna rzonansowgo fal naprężnowj o postac j ( ω t -λ ζ ) j ( ω t -λ ) p = p ζ (23) ζ czyl skrowanj przszczającj sę wzdłuż os obrotu o częstośc ω, doznającj jdnoczśn przszczna obwodowgo o prędkośc obrotowj ω = 2πf / λ Lczbę falową λ utożsaa sę z lczbą lktrod potncjału lktryczngo Efkt obrotowy nastę- puj w wynku sprzężna rzonansowgo obu częstośc Można węc przyjąć, ż potncjał lktryczny jst funkcją dwu znnych czasu φ (, ζ, W slnku cylndryczny ζ odpowada współrzędnj radalnj r, a w slnku tarczowy ζ opowada współrzędnj aksjalnj z Składow przszczna u (, ζ,, u (, ζ, są równż odpowdno funkcja tych znnych ζ Przdstawon rozważana ożna w sposób bzpośrdn uogólnć na nn struktury prztwornków pzolktrycznych, spośród których bzpośrdną aplkacją jst układ napędu o dwu stopnach swobody charaktryzujący sę ruch posuwsto-obrotowy Na zakończn nalży podkrślć, z ważną cchą dzałana slnków pzolktrycznych jst sprzężn rzonansow oddzaływań lktrycznych z częstotlwoścą ustroju wrnka, co ζ jst zwązk odrębny, ponważ częstotlwość ta zalży od jgo wyarów paratrów konstytutywnych, co ożna okrślć sybolczny wzor postac d E f = Y 2 l ν ρ gdz: nawas oznacza wyrażn algbraczn odpowdno: wyarów d (grubośc) l (długośc), (ν) paratru Possona; EY jst oduł sprężystośc (Younga), ρ gęstoścą atrału Wzór tn oznacza bardzo ważny aspkt algorytu oblcznowgo tych slnków od strony chancznj wskazuj na szrok zakrs warantowych konstrukcj a) b) Rys1 Poglądowy szkc lokalzacj naprężń w slnku o for: a) cylndrycznj, b) tarczowj

6 6 Maszyny Elktryczn Zszyty Problow Nr 4/2015 (108) 6 Uwag końcow Z przdstawonych równań zwązków atrałowych wynka bardzo szroka ożlwość aplkacj pól sprzężonych w dzdzn prztwornków lktrochancznych, a slnków lktrycznych w szczgólnośc Z przdstawonych rozważań wynka, ż dzdzna pól sprzężonych (lktroagntyczngo sprężystgo) jst bardzo skoplkowana (w szczgólnośc po dołącznu pola trczngo) przz zwązk konstytutywn, al jst nzwykl fascynująca pod względ poznawczy zadzwająca w różnych zastosowanach Brak płnych danych dla paratrów konstytutywnych unożlwa dokonan klasyfkacj sł oddzałujących w tych ośrodkach ocny znaczna oddzaływań naprężń axwllowskch Można równż rozważyć nzbadan oddzaływana strykcyjn, wzor agntostrykcj, ty bardzj, ż w tych slnkach następuj ścskan warstw grancznych stojana wrnka Na zakończn nalży z satysfakcją stwrdzć, z aszyny lktryczn są aplkacją rożnych zjawsk fzycznych tworzonych tor fzykalnych, stanowąc donosłą dzdznę o wlk znacznu (jdny z najwększych) w całj tchnosfrz W zakończnu autor chcałby wyrazć uznan profsorow Wtoldow Nowacku za zachętę do podjęca badań w dzdzn pól sprzężonych, których początk dotyczyły pól agntosprężystych Profsor był uczony w dzdzn szroko rozuanj chank ośrodków cągłych pól sprzężonych, węc dostrzgał ogron pola badań poznawczych aplkacyjnych w tj dzdzn 8 Ltratura *) [1] Dąbrowsk M: Evoluton of th thory and applcaton of ultrasonc otors Prac Instytutu Elktrotchnk, zszyt 208, 2001 [2] RA Hsng: Quartz Crystals for Elctrcal Crcuts thr Dsdn and Manufactur NY Nostrand Copany 1946 [3] M Hao, W Chn: Analyss and Dsgn of a Rng-typ Travlng Ultrasonc Motor, Procdng of th 2006 IEEE Intrnatonal Confrnc on Mchatroncs and Autoaton, Luoyang Chna [4] RD Mndln: On th quaton of oton pzolctrc crystals, Probl of Contnuu Mchancs, SIAM Pladlpha, Pnsylwana 1961 [5] J F Ny: Własnośc fzyczn kryształów PWN, Warszawa 1962 [6] W Nowack: Efkty lktroagntyczn w stałych całach odkształcalnych, PWN, Warszawa 1983 [7] R Ryndzonk, J-FRouchon, M Ronkowsk: Koncpcja ralzacj analza nowgo typu slnka pzolktryczngo o strukturz wlokoórkowj Zszty BOBRME Kol nr100, 4/2013 [8] Y Tng, Y Tsa,B-K Hou, S-C Ln, C-C Lu; Stator Dsgn of a Nw Typ of Sphrcal Pzolctrc Motor IEEE Transacton on Ultrasoncs Frrolctrcs and Frquncy Control, Vol 57, No 10, 2010 [9] W Vogt: Lhrbuch dr Krstall-physk, Taubnr, Lptzg 1910 [10] RA Toupn: Th lastc dlctrcs, J Rat ch Anal 5, 849, 1956 [11] RA Toupn: A dynacal thory of lastc dlctrcs, Int J Engn Sc 1, 101, 1963 *) Z kounkatów prywatnych autorow jst znan, ż ponższ pozycj ltratury są bardzo znacząc w dzdzn slnków pzolktrycznych [12 *) ] Lawrnko W W: Pzo-lktrczsk dwgatl, Enrga, Moskwa, 1980 [13 *) ] Uha S, Tokawa M, Kurosawa M, Nakaura N: Ultrasonc Motors Thory and Applcaton, Clarndon Prss, Oxford, 1993 Autor Dr hab nż Włodzrz Przyborowsk -al: WPrzyborowsk@pwdupl Instytut Maszyn Elktrycznych Poltchnka Warszawska Warszawa, Pl Poltchnk 1