o zauważonych b le dach, poprawie inne ważne zbiory, np. dane równaniem lub uk ladem równań. Zajmiemy sie

Transkrypt

1 Analiza matematyczna 2, cze ść jedenasta Tekst poprawiony 4 września 2011, godz 00:02 Zwyk la prośba: prosze o informacje o zauważonych b le dach, poprawie Oprócz miar na przestrzeni IR k istnieja inne ważne zbiory, np dane równaniem lub uk ladem równań Zajmiemy sie najprostszymi, z punktu widzenia tego wyk ladu, zbiorami tego typu Be da tzw rozmaitości* Poje cie to w jawnej postaci wprowadzi l Hassler Whitney w 196 roku, ale wyste powa lo ono w matematyce wcześniej i to od wielu lat Definicja rozmaitości zanurzonej w IR k Zbiór M IR k nazywany jest m wymiarowa klasy C r wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu p M istnieje jego otoczenie U i homeomorfizm ϕ: U M na V, gdzie V jest otwartym podzbiorem przestrzeni IR m, przekszta lcenie ϕ 1 : V IR k jest klasy C r i dla każdego punktu y V różniczka Dϕ 1 y jest w lożeniem monomorfizmem Przekszta lcenie ϕ nazywane jest mapa, przekszta lcenie ϕ 1 lokalna parametryzacja Zbiór map, których dziedziny pokrywaja M nazywany jest atlasem Jak widać terminologia zwia zana jest z geografia Nie ma w tym nic specjalnie dziwnego S lowo mapa oznacza w je zyku potocznym jakiś rysunek opisuja cy fragment powierzchni Ziemi, np mapa Chin albo mapa Monaco Kartograf musi przyja ć jaka ś metode rysowania, czyli zdecydować sie na jakieś przekszta lcenie wybranego obszaru na kartke papieru, czyli podzbiór p laszczyzny IR 2 Wymyśla jakieś siatki po to, by rzeczywistemu punktowi przypisać punkt p laszczyzny, czyli pare liczb za pomoca, których ten punkt jest opisany Na ogó l ża da sie, by to przekszta lcenie by lo w miare porza dne W szko lach ca lego świata wmawia sie ludziom, że istnieje jakaś skala mapy, tzn że to przekszta lcenie jest podobieństwem W przypadku ma lych obszarów tak w przybliżeniu jest, w przypadku dużych nie, bo po prostu podobieństwa nie istnieja odpowiednie twierdzenie poznaja Państwo w przysz lości, zapewne na zaje ciach z geometrii różniczkowej, ale i tak wszyscy wiedza, że np pó lsfery zrobionej z papieru nie da sie rozp laszczyć bez jej rozrywania, jedno rozcie cie nie wystarczy My nie zak ladamy, że ϕ ma spe lniać warunki niemożliwe do spe lnienia Przyk lad 1 sfera Niech M = S k = {x IR k+1 : x = 1} Wykażemy, że M jest wymiaru k ta rozmaitość nazywana jest sfera k wymiarowa Wskażemy najpierw atlas z lożony z 2k + 1 map Zwia zanych z punktami ±e j = 0,, 0, ±1, 0,, 0 ±1 wyste puje na j tej wspó lrze dnej Niech U + i = {x IR k+1 : x i > 0}, ϕ + i x = x 1,, x i 1, x i+1,, x k+1, U i = {x IR k+1 : x i < 0}, ϕ i x = x 1,, x i 1, x i+1,, x k+1 Przekszta lcenie ϕ + i rozpatrujemy tylko na zbiorze S k U + i Na tym zbiorze jest ono różnowartościowe, bo wspó lrze dne x 1,, x i 1, x i+1,, x k+1 wyznaczaja x i = 1 x x2 i 1 + x2 i x2 k+1 wiemy bowiem, że x i > 0 Przy okazji * termin angielski: manifold 19

2 ϕ + i 1 y 1, y 2,, y k = y 1,, y i 1, 1 y y2 i 1 + y2 i + + y2 k, y i,, y k Definiujemy V + i = ϕ + i U + i S k = {y IR k : y < 1} Z tego wzoru natychmiast wynika, że odwzorowanie ϕ + i 1 jest klasy C, a jego różniczka w dowolnym punkcie y V + i jest w lożeniem Oznacza to, że ϕ + i jest mapa Podobnie określamy mape ϕ i Jasne jest, że zbiory U ± i, i = 1, 2,, k + 1 pokrywaja ca la sfere S k Określiliśmy wie c atlas zgodnie z obietnica, a to oznacza, że sfera S k k wymiarowa Pokażemy jeszcze jeden atlas, tym razem z lożony z dwu map Zaczynamy od określenia dziedzin: U + = {x IR k+1 : x k+1 < 1}, U = {x IR k+1 : x k+1 > 1} U + S k to sfera z wyja tkiem punktu 0,, 0, 1 Definiujemy ϕ + x = x 1 1 x k+1, x 2 1 x k+1,, jest x k 1 x k+1 Zachodzi równość x k+1 0,, 0, x k+1 ϕ + x = x Z niej wynika, że punkty x, ϕ + x i 0,, 0, 1 leża na jednej prostej ϕ + U+ S k = IR k Przekszta lcenie ϕ 1 + : IR k U + S k IR k+1 dane jest wzorem ϕ 1 + y = 2y 1 y 2 +1, 2y 2 y 2 +1,, 2y k y 2 +1, y 2 1 y 2 +1 = 1 y y, y 2 1 Trzeba sprawdzić, czy Dϕ 1 + y jest w lożeniem monomorfizmem Można oczywiście znaleźć macierz przekszta lcenia Dϕ 1 + y znajduja c pochodne cza stkowe, ale można znaleźć to przekszta lcenie nieco inaczej Znamy przecież wzory na różniczke z lożenia, różniczke iloczynu wszystko jedno jakiego, np skalarnego, itp Mamy D y 2 yh = 2y h Sta d i ze wspomnianych twierdzeń wynika, że zachodzi równość Dϕ 1 + yh = 2y h y y, y h 2 y h, 2y h = y y 4y h 4y h y 2 +1, 2 y Jeżeli Dϕ 1 + yh = 0, to y h = 0 bo ostatnia wspó lrze dna jest zerowa Poprzednie też sa równe 0, wie c 2h y 2 +1 = 0, czyli h = 0 Oznacza to, że ja dro Dϕ 1 + y jest zerowe Analogicznie definiujemy ϕ x = x 1 1+x k+1, ϕ 1 y = 2y 1 1+ y 2, 2y 2 1+ y 2,, x 2 1+x k+1,, x k 1+x k+1 Otrzymujemy wie c równość 2y k 1+ y 2, 1 y 2 1+ y 2 = 1 1+ y 2 2y, 1 y 2 i powtarzaja c poprzednie rozumowanie wykazujemy, że Dϕ 1 y jest różnowartościowym przekszta lceniem liniowym z IRk do IR k+1 Wskazaliśmy wie c dwuelementowy atlas Zadanko trywialne Czy istnieje atlas jednoelementowy na S k? Zadanko prawie rozwia zane 16 marca oko lo 1:02 Wykazać, że przekszta lcenia Dϕ 1 y i Dϕ 1 y sa + podobieństwami Dla jakich y IRk przekszta lcenia Dϕ + i 1 y oraz Dϕ i 1 y sa podobieństwami? Twierdzenie charakteryzuja ce mapy Niech M IR k Naste puja ce warunki sa równoważne a Punkt p M ma otoczenie otwarte U IR k takie, że istnieje homeomorfizm ϕ: U M na V IR m taki, że V jest otwartym podzbiorem IR m taki, że ϕ 1 : V na U M jest klasy C r, r 1 i dla każdego y V różniczka Dϕ 1 y: IR m IR k jest w lożeniem; b punkt p ma otoczenie otwarte U IR k takie, że zbiór U M jest wykresem funkcji m to przekszta lcenie nazywane jest rzutem stereograficznym z punktu e k+1 140

3 zmiennych, tzn istnieja numery i 1, i 2,, i m {1, 2,, k} oraz funkcje f j1 : Ũ IR, f j2 : Ũ IR,, f j k m : Ũ IR, j 1, j 1,, j k m to numery różne od i 1, i 2,, i m wypisane wg wzrostu, Ũ jest pewnym otwartym otoczeniem punktu p i1, p i2,, p im IR m takie, że x U M wtedy i tylko wtedy, gdy x js = f js x i1, x i2,, x im, dla s = 1, 2,, k m ; c Istnieje otoczenie otwarte U punktu p i funkcja F : U IR k m taka, że 0 jest jej wartościa regularna i U M = F 1 0 Dowód Zaczniemy od wykazania, że z warunku a wynika warunek b Niech ϕ oznacza mape określona w otoczeniu punktu p i niech ψ = ϕ U M 1 : V IR k oznacza lokalna parametryzacje otoczenia punktu p Przekszta lcenie liniowe Dψy jest w lożeniem monomorfizmem dla każdego y V W szczególności dla y = ϕp := q Macierz tego przekszta lcenia ma k wierszy i m kolumn Ponieważ jest ono w lożeniem, wie c pewien minor wymiaru m m jest różny od 0 Niech i 1, i 2,, i m be da numerami wierszy macierzy Dψq wybranymi tak, że det ψ ir y s 1 r,s m 0 Zdefiniujmy odwzorowanie ψ = ψ i1, ψ i2,, ψ im Przekszta lcenie liniowe D ψq jest izomorfizmem Z twierdzenia o odwracaniu funkcji wynika, że po przekszta lcenie ψ obcie te do dostatecznie ma lego otoczenia Ṽ V punktu q jest dyfeomorfizmem Rozważmy przekszta lcenie ψ ψ 1 Z definicji wynika od razu, że dla każdego r {1, 2,, m} zachodzi równość ψ ψ 1 ir y = y r Definiujemy numery j 1, j 2,, j k m tak jak w sformu lowaniu twierdzenia, tzn sa to elementy zbioru {1, 2,, k}\{i 1, i 2,, i m } wypisane w rosna cym porza dku i przyjmujemy f js = ψ js ψ 1 Funkcje te sa określone na zbiorze ψṽ, który jest otwarty jako dyfeomorficzny obraz zbioru otwartego Zbiór ψṽ jest otwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej M, bo ψ jest homeomorfizmem a Ṽ otwartym podzbiorem dziedziny ψ, jest wie c postaci Ũ M dla pewnego zbioru Ũ otwartego w IR k Wykazaliśmy wie c, że z warunku a wynika warunek b Z warunku b warunek a wynika natychmiast: przyjmujemy, że wspó lrze dnymi parametryzacji ϕ o numerach i 1, i 2,, i m sa x i1, x i2,, x im, a pozosta lymi liczby f j1 x i1, x i2,, x im, f j2 x i1, x i2,, x im,, f jk m x i1, x i2,, x im Z warunku b warunek c wynika bez problemu: przyjmujemy F s x = x js f js x i1, x i2,, x im Jasne jest, że tak zdefiniowane odwzorowanie F spe lnia na lożone warunki, np rza d jego różniczka przekszta lca IR k funkcji uwik lanej Wniosek Jeśli M IR k na IR m Wynikanie w druga strone to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia o jest m wymiarowa i p M, to T p M jest m wymiarowa podprzestrzenia liniowa przestrzeni IR k Jeśli ϕ jest mapa określona w otoczeniu punktu p i q = ϕp, to T p M = Dϕ 1 qir m Jeśli U jest otoczeniem punktu p, F : U IR k m odwzorowaniem klasy C r, r 1, 0 jest wartościa regularna F i U M = F 1 0, to T p M = KerDF p Ten wniosek wynika natychmiast z twierdzeń o wektorach stycznych, które wykazaliśmy w listo- 141

4 padzie zob str 64 tego tekstu Przyk lad 2 torus dwuwymiarowy Niech ψ cos β sin β 0 α β = sin β cos β postaci ψ α 0 jest okre giem o środku 2+cos α sin α = 2+cos α cos β 2+cos α sin β sin α Widać wie c, że zbiór punktów i promieniu 1 leża cym w p laszczyźnie y = 0 x, y, z to wspó lrze dne w IR Ten okra g obracamy o ka t β wokó l osi z Wykażemy, że otrzymany zbiór zwany torusem jest dwuwymiarowa w IR Pokażemy to pokazuja c, że przez ograniczenie ψ do zbioru otwartego zawartego w pewnym kwadracie otwartym o boku 2π otrzymujemy lokalna parametryzacje Jest jasne, że zmieniaja c kwadraty otrzymamy lokalne parametryzacje, których obrazy pokrywaja torus Niech Q oznacza kwadrat otwarty o boku 2π ψ Q różnowartościowe i cia g le Jeśli U Q jest zbiorem otwartym, to jego obraz ψu równy jest ψir 2 \ ψq \ U, jest wie c różnica ψir 2 i zbioru zwartego, a sta d wynika, że jest otwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej ψir 2 Wykazaliśmy wie c, że ψ Q jest przekszta lca zbiory otwarte na otwarte podzbiory ψir 2, jest wie c homeomorfizmem przekszta lcaja cym zbiór Q na zbiór ψu Trzeba jeszcze zbadać różniczke przekszta lcenia Dψy dla y IR 2 Mamy Dψ sin α cos β 2+cos α sin β α β = sin α sin β 2+cos α cos β cos α 0 Bez najmniejszego k lopotu stwierdzamy, że kolumny tej macierzy sa wektorami prostopad lymi nie jest to dziwne, bo pierwsza z nich jest wektorem stycznym do po ludnika, a druga do równoleżnika D lugość pierwszej kolumny równa jest 1, a drugiej 2 + cos α Dwa prostopad le, niezerowe wektory sa liniowo niezależne, wie c rza d przekszta lcenia Dψ α β : IR 2 IR jest równy 2, jest wie c ono różnowartościowe W ten sposób pokazaliśmy, że w otoczeniu dowolnego punktu torusa można określić mape ψ Q 1, wie c wykazaliśmy, że jest on dwuwymiarowa zanurzona w IR W dwóch naste pnych przyk ladach przydatne be dzie przekszta lcenie, którym sie teraz przez chwile zajmiemy Niech F x, y, z = xy, yz, zx, x 2 y 2 dla dowolnych liczb x, y, z IR Jeśli F x, y, z = F u, v, w, to x 2 y 2 = u 2 v 2 oraz x 2 + y 2 2 = x 2 y xy 2 = = u 2 v uv 2 = u 2 + v 2 2, zatem x 2 + y 2 = u 2 + v 2 i wobec tego x 2 = u 2 i y 2 = v 2 Jeśli x = y = 0, to musi też być u = v = 0 Mamy F 0, 0, z = 0, 0, 0, 0 Za lóżmy teraz, że przynajmniej jedna z liczb x, y jest różna od 0, np x 0 Ponieważ x 2 = u 2, wie c również u 0, dok ladniej u = x albo u = x W pierwszym przypadku z równości xy = uv i xz = uw wynikaja równości y = v i z = w W drugim analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że y = v i z = w Wykazaliśmy wie c, że jeśli x, y 0, 0, to F x, y, z = F u, v, w x, y, z = u, v, w lub x, y, z = u, v, w 142

5 Zajmiemy sie teraz różniczka przekszta lcenia F Mamy DF x, y, z = y x 0 0 z y z 0 x 2x 2y 0 Widać od razu, że rza d DF 0, 0, 0 = 0 Jeśli x = y = 0 z, to rza d DF 0, 0, z jest równy 2, ja drem przekszta lcenia DF 0, 0, z jest w tym przypadku oś z Jeśli x, y 0, 0, to rza d przekszta lcenia DF x, y, z jest równy Przyk lad p laszczyzna rzutowa Niech M = F S 2, przypominamy S 2 IR to sfera o środku w punkcie 0 i promieniu 1 Wykażemy, że M jest dwuwymiarowa Zanim to zrobimy, opiszemy ten zbiór nieco dok ladniej Przekszta lcenie F nie jest różnowartościowym przekszta lceniem sfery: odwzorowuje w jeden punkt dowolne dwa punkty antypodyczne Pare punktów antypodycznych możemy utożsamić z prosta przechodza ca przez punkt 0 Można wie c uważać, że F przekszta lca proste przechodza ce przez pocza tek uk ladu wspó lrze dnych w punkty przestrzeni czterowymiarowej, przy czym na zbiorze tych prostych F jest różnowartościowe jeśli p, q S 2 i F p = F q, to p = ±q Jest ono też cia g le w naste puja cym znaczeniu: proste tworza ce ka t bliski 0 przechodza na punkty leża ce w niedużej odleg lości Można wie c uznać, że dzie ki przekszta lceniu F nadajemy zbiorowi prostych przechodza cych przez punkt 0 strukture rozmaitości dwuwymiarowej Zbiór prostych przechodza cych przez punkt 0 stanowi model p laszczyzny rzutowej: chodzi o to, by dodać do p laszczyzny punkty w nieskończoności tak, by w nich przecina ly sie proste równoleg le Można to uczynić np w sposób, który opiszemy za chwile Za lóżmy, że naszym światem jest p laszczyzna z = 1 Przez każdy punkt tej p laszczyzny prowadzimy prosta przechodza ca również przez 0 Punktami nowej p laszczyzny, tzw p laszczyzny rzutowej, be da w laśnie te proste Jeśli jakieś punkty leża na jednej proste zawartej w p laszczyźnie z = 1, to odpowiadaja ce im proste leża w jednej p laszczyźnie zawieraja cej punkt 0 Jasne jest, że pomine liśmy z niewiadomych przyczyn proste równoleg le do p laszczyzny z = 1 przechodza ce przez punkt 0 No to je dodajemy P laszczyzny przechodza ce przez punkt 0 odpowiadaja prostym na p laszczyźnie z = 1, p laszczyzna równoleg la do p laszczyzny z = 1 to tzw prosta niew laściwa lub prosta w nieskończoności Teraz każde dwie proste przecinaja sie w dok ladnie jednym punkcie, tzn każde dwie p laszczyzny przechodza ce przez punkt 0 maja wspólna prosta przechodza ca przez 0 Jeśli te dwie p laszczyzny odpowiadaja prostym równoleg lym na p laszczyźnie z = 1 czyli zawieraja je, to prosta wzd luż, której sie przecinaja jest równoleg la do p laszczyzny z = 1, czyli jest punktem w nieskończoności Tak określona p laszczyzna rzutowa jest interesuja cym obiektem geometrycznym, rozpatrywane sa również przestrzenie rzutowe wyższych wymiarów Zacze to ich używać w zwia zku z badaniem różnych rzutów, nie tylko prostopad lych, nie tylko równoleg lych, również środkowych Ten obiekt okaza l sie przydatny w matematyce, nie tylko w geometrii rzutowej, ale to za d luga opowieść na analize druga 14

6 Wróćmy do dowodu tego, że M jest Niech ψ: V S 2 be dzie parametryzacja zbioru U otwartego w przestrzeni metrycznej S 2 Za lóżmy jeszcze, że zbiór U = ψv jest zawarty w pewnej pó lsferze otwartej Σ Wtedy przekszta lcenie F jest różnowartościowe na Σ U Wobec tego przekszta lcenie F ψ jest kandydatem na parametryzacje pewnego podzbioru przestrzeni M Oczywiście M = F Σ Jest też jasne, że zbiory F U i F Σ \ U sa roz la czne Ten drugi jest zwarty jako obraz cia g ly zbioru zwartego, wie c ten pierwszy F U jest otwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej F Σ = M Wykazaliśmy w laśnie, że F przekszta lca otwarte podzbiory Σ na otwarte podzbiory M Sta d wynika, że F ψ przekszta lca otwarte podzbiory zbioru V na otwarte podzbiory przestrzeni metrycznej M, a ponieważ jest przekszta lceniem różnowartościowym i cia g lym, wie c jest homeomorfizmem Dψq jest różnowartościowe dla każdego q V, bo ψ jest parametryzacja Zbiór DψqIR 2 jest przestrzenia styczna do sfery S 2 T p S 2 w punkcie p = ψq Na przekszta lcenie DF p jest różnowartościowe: jest to oczywiste jeśli p 0, 0, ±1 ; w tych dwóch punktach też tak jest, bo w nich przestrzeń styczna jest pozioma, wie c jedynym punktem ja dra DF p w niej leża cym jest punkt 0 Ponieważ otwartymi pó lsferami można pokryć ca la sfere wystarczy ich 6, wie c wskazaliśmy mape w otoczeniu dowolnego punktu x M i zakończyliśmy dowód Na zakończenie rozważmy jeszcze obraz F A zbioru A = { x, y, z S 2 : y 0, z 1 2} Jasne jest, że jedyne pary punktów antypodycznych w zbiorze A leża w p laszczyźnie y = 0 Sa to pary punktów postaci 1 z 2, 0, z i 1 z 2, 0, z Można wyobrazić sobie, że A to po lowa pasa mie dzy zwrotnikami Przekszta lcenie F skleja cze ści po ludników ograniczaja ce jest sklejany z punktem 2, 0, 2 1, a ten pó lpas ze zmiana orientacji, np punkt 2, 0, 1 2 punkt 2, 0, 1 2 z punktem 2, 0, 1 2 Zbiór powsta ly przez takie sklejenie nazywany jest wste ga Möbiusa Wykazaliśmy, że p laszczyzna rzutowa zawiera wste ge Möbiusa Aby uzyskać reszte p laszczyzny rzutowej należy do otrzymanej wste gi Möbiusa do la czyć zbiór F B, gdzie B = {x, y, z S 2 : z > 1 2 } Można wie c uznać, że p laszczyzne rzutowa otrzymujemy sklejaja c brzegami wste ge Möbiusa F A z ko lem F B Topologowie mówia czasem, że p laszczyzna rzutowa, to sfera z dziura F B, która to dziure zaklejono wste ga Möbiusa F A Przyk lad 4 butelka Kleina Niech T 2 oznacza dwuwymiarowy torus opisany wcześniej Niech K = F T 2 Wykażemy, że zbiór K jest Jest ona nazywana butelka Kleina Niech ψ oznacza przekszta lcenie rozważane w przyk ladzie 2, w którym opisaliśmy torus Niech Φ = F ψ R niech oznacza kwadrat otwarty o boku π Zbiór ψr nie zawiera ani jednej pary punktów antypodycznych, zatem przekszta lcenie F jest na nim różnowartościowe, zatem Φ jest różnowartościowe na R Różniczka DF p jest różnowartościowa w każdym punkcie torusa T 2, bo nie zawiera on ani jednego punktu osi z Sta d wynika, że przekszta lcenie Φ = F ψ jest różnowartościowe, jest klasy C Wykażemy, że jest ono homeomorfizmem Jeśli Q R jest jakim- 144

7 kolwiek kwadratem o boku 2π a U R dowolnym zbiorem otwartym, to zbiory ΦU i Φ Q \ U sa roz la czne, ich suma jest K, drugi z nich jest zwarty jako cia g ly obraz zbioru zwartego Wynika sta d, że zbiór ΦU jest otwarty w K Wynika sta d, że przekszta lcenie Φ jest homeomorfizmem zbioru R na zbiór ΦR Jasne jest, że dobieraja c R do punktu p K możemy sparametryzować otoczenie danego punktu p Wykazaliśmy wie c, że K jest dwuwymiarowa zanurzona w IR 4 Podobnie jak w przypadku p laszczyzny rzutowej spróbujemy coś powiedzieć o sposobie patrzenia na butelke Kleina Niech A = { α, β: π 2 α π 2, 0 β π}, B = { α, β: π 2 α π 2, 0 β π} Latwo można zauważyć, że ΦA ΦB = K, że zbiór ψa ψb jest suma dwóch roz la cznych pó lokre gów o końcach ψ π 2, 0 = 2, 0, 1, ψ π 2, π = 2, 0, 1 i ψ π 2, 0 = 2, 0, 1, ψ π 2, π = 2, 0, 1 Widoczne jest też, że zbiór ΦA = F ψa jest wste ga Möbiusa To samo dotyczy zbioru ΦB Te dwie wste gi Möbiusa sa sklejone brzegami Można też spojrzeć na to troche inaczej Sklejamy brzegi pó ltorusa dwa okre gi ze zmiana orientacji i w wyniku tego otrzymujemy butelke Kleina Można jeszcze inaczej Zdefiniujemy nowy zbiór: C = {α, β: α π 2 < π 6, 0 β π} {α, β: α π 2 < π 6, 0 β π} Niech C B = {α, β: 0 α π, 0 β π} {α, β: 5π α 2π, 0 β π} oraz C A = {α, β: α π < π, 0 β π} Bez specjalnych trudności można stwierdzić, że ΦC A jest wste ga Möbiusa, troche we ższa niż ΦA To samo jest prawda w przypadku ΦC B Zajmiemy sie teraz zbiorem ΦC Zdefiniujemy przekszta lcenie h : ΦC IR 2 w naste puja cy sposób:* h Φα, β = h 2 + cos α [ 2 + cos α sin β cos β, sin α sin β, sin α cos β, 2 + cos α cos 2β ] = { 2 + cos α cos β, 2 + cos α sin β, gdy α π = 2 < π 6, 0 β π; 2 + cos2π α cosβ + π, 2 + cos2π α sinβ + π, gdy α π 2 < π 6, 0 β π Pozostawiamy czytelnikom sprawdzenie, że h jest cia g le i różnowartościowe Ponieważ interesuja cy nas zbiór ΦC jest zwarty, wie c h jest homeomorfizmem na obraz Wynika sta d, że zbiór ΦC jest homeomorficzny ze pierścieniem ko lowym, czyli ze sfera z dwiema dziurami ko lowymi Wystarczy każda z tych dwu dziur zakleić wste ga Möbiusa, by otrzymać butelke Kleina, która z pewnych przyczyn nie nadaje sie do noszenia piwa ani nawet mleka Z jakich? Te przyk lady dadza jakieś poje cie o rozmaitościach * Φα,β= 2+cos α 2 sin β cos β,2+cos α sin α sin β,2+cos α sin α cos β,2+cos α 2 cos 2β =2+cos α 145