Podział dziedzin: Teoria systemów, teoria sterowania: badanie zachowania w czasie systemów korzystając z modeli systemów

Transkrypt

1 Podział dziedzin: Teoria systemów, teoria sterowania: badanie zachowania w czasie systemów korzystając z modeli systemów Analiza systemów, modelowanie: budowa modeli znajdujących stosowne zastosowanie Dwa zasadnicze podejścia do modelowania: Oparte na znanych teoriach: model jest wyprowadzany ze znanych praw fizyki, chemii itd. wykorzystując znane zasady matematyki (w skrócie: modelowanie teoretyczne, fenomenologiczne) Oparte na pomiarach: model jest budowany z wykorzystaniem mierzonych w systemie sygnałów (w skrócie modelowanie eksperymentalne, behawioralne, identyfikacja) 1

2 Modelowanie fenomenologiczne Modelowanie behawioralne Założenia upraszczające Wiedza aprioryczna o systemie Podstawowe działania w procesie modelowania Prawa: 1. równania równowagi 2. równania spójności 3. zależności wiążące Model fenomenologiczny (teoretyczny) Struktura Parametry Struktura znana Eksperyment Struktura nieznana Identyfikacja Parametryczna Nieparametryczna Model behawioralny (eksperymentalny) Parametryczny Struktura Parametry Nieparametryczny A ścieżka modelowania behawioralnego (eksperymentalnego) B ścieżka modelowania fenomenologicznego (teoretycznego) Upraszczanie Uproszczony model fenomenologiczny 1) Struktura 2) Parametry Przypadek B Porównanie Wynikowy model Przypadek A B/1 wykorzystanie działań ścieżki modelowania eksperymentalnego do określenia wartości parametrów A/1, A/2 wykorzystanie działań ścieżki modelowania teoretycznego do określenia struktury modelu 2

3 Działania upraszczające w modelowaniu fenomenologicznym Cząstkowe równania różniczkowe liniowe Linearyzac j a Cząstkowe równania różniczkowe nieliniowe Aproksymacja równaniami o parametrach skupionych Aproksymacja równaniami o parametrach skupionych Linearyzac j a Zwyczajne równania różniczkowe nieliniowe, rzędu n Zwyczajne równania różniczkowe liniowe, rzędu n Redukcja rzędu Zwyczajne równania różniczkowe liniowe, rzędu < n Redukcja rzędu Zwyczajne równania różniczkowe nieliniowe, rzędu < n Przyrównanie pochodnych do zera Równania algebraiczne liniowe Równania algebraiczne nieliniowe Przyrównanie pochodnych do zera Punkty wejścia procesu modelowania 3

4 Modelowanie fenomenologiczne Różne rodzaje modeli matematycznych Modelowanie behawioralne Prawa fizyczne znane Parametry znane Prawa fizyczne znane Parametry nieznane Sygnały mierzalne Reguły fizyczne znane Struktura modelu nieznana Parametry nieznane Sygnały mierzalne Sygnały wejścia/wyjścia mierzalne Założenie struktury modelu Liniowe/nieliniowe równania różniczkowe Równania różniczkowe z estymacją parametrów Modele neuronowo/rozmyte z estymacją parametrów Modele odpowiedzi impulsowej (transmitancje) Sieci neuronowe 4

5 Cechy modeli fenomenologicznych i behawioralnych Modelowanie teoretyczne Struktura modelu wynika z praw natury Możliwe modelowanie zachowań w relacji wejście/wyjście jak i zachowań wewnętrznych (stanu) Parametry modeli są dane jako funkcje własności systemu Model jest ważny dla całej klasy procesów rozważanego typu i dla różnych warunków operacyjnych Parametry modelu nie są znane dokładnie Model może być budowany dla systemów nie istniejących Modelowanie eksperymentalne Struktura modelu musi być założona Tylko zachowania w relacji wejście/wyjście mogą być identyfikowane Parametry modeli są tylko liczbami, w ogólności nie są znane związki z własnościami systemu Model jest ważny tylko dla badanego systemu i w przyjętych granicach warunków operacyjnych Parametry modelu są bardziej dokładne dla badanego systemu i przyjętych warunków operacyjnych Model może być identyfikowany tylko dla istniejącego systemu 5

6 Cechy modeli fenomenologicznych i behawioralnych c.d. Modelowanie teoretyczne Wewnętrzne zachowanie systemu musi być znane i opisywalne matematyczne Modelowanie jest zwykłe przewlekłym procesem zajmującym dużo czasu Model może być złożony i szczegółowy Modelowanie eksperymentalne Metody identyfikacji są niezależne od badanego systemu i mogą zatem być stosowane do wielu różnych systemów Modelowanie jest szybkim procesem, jeżeli istnieją stosowne metody identyfikacji Rozmiar modelu może być dostosowany do obszaru zastosowania 6

7 Modele dynamiczne typu white box, czyli modele fenomenologiczne Fakt: prawie każdy system rzeczywisty jest systemem dynamicznym Przypadki, kiedy cele modelowania wymagają budowy modeli dynamicznych: chcemy badać w oparciu o model stany przejściowe (nieustalone) systemu; chcemy przeprowadzać w oparciu o model analizę stabilności, obserwowalności, sterowalności; chcemy generować sterowania systemem w oparciu o predykcję wyjść systemu (sterowanie predykcyjne) 7

8 Propozycja kroków budowy modelu dynamicznego Krok I: Dokładne określenie systemu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji systemu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami systemu rzeczywistego Krok III: Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację systemu 8

9 Krok I Wyodrębnienie obiektu Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie 9

10 Krok II Idealizowana reprezentacja Pod pojęciem idealizowanej reprezentacji rozumiemy utworzony w myśli system, który odpowiada rzeczywistemu pod względem jego istotnych cech wynikających z celów modelowania, ale jest prostszy (idealniejszy) i dlatego łatwiej poddający się analizie Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu 10

11 Krok III Budowa modelu (struktury) w oparciu o: (a) Wykorzystanie praw zachowania lub innych podstawowych praw o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoff a, Newtona, zachowania masy, itd..) (b) zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona 11

12 Wyprowadzenie równań modelu poprzedzamy: właściwym wyborem zmiennych, które będą opisywać chwilowy stan systemu Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne: przepływu, naporu Zmienne przepływu są zmiennymi systemu, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Zmienne naporu są zmiennymi systemu, które są miarą różnicy stanów na dwóch końcach elementu systemu, wyrażają napór jakiemu poddany jest element 12

13 Centralne zagadnienie wyprowadzenia równań dynamiki Sformułowanie zależności (równań) wyrażających warunki równowagi, poprzez podanie bilansów wielkości właściwych dla rozważanego systemu, które muszą zachodzić dla całego systemu i jego podsystemów lub zależności (równań) wyrażających warunki spójności dynamiki, które muszą zachodzić pomiędzy elementami systemu ze względu na sposób w jaki elementy te łączą się ze sobą 13

14 Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoff a, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle,...) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi spadku (II prawo Kirchhoff a, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu,...) 14

15 Po wyprowadzeniu równań wynikających z praw zachowania rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących wielkości związane z poszczególnymi elementami systemu Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i spadku dla każdego poszczególnego elementu systemu (np., u i...) R Uwzględniamy również - przyjęte założenia - występujące w systemie tożsamości 15

16 Systematyczny porządek: 1) wybór zmiennych; 2) zestawienie równań równowagi lub spójności; 3) uwzględnienie zależności wiążących, założeń, tożsamości a wynikowe równania zestawiamy w układ, w którym pozostawiamy jedynie wybrane przez nas zmienne niezależne i zależne 16

17 Przykłady modelowania fenomenologicznego (teoretycznego) Zawory regulacyjne Pomiar poziomu - Pole powierzchni przekroju obydwu zbiorników A Zbiornik L Zbiornik R - Idealne mieszanie w zbiornikach Mieszadło Pomiar temperatury Pole przekroju otwarcia zaworu A v 17

18 - Równania układu pomiarowego k h, k t wzmocnienia przetworników pomiarowych - Obydwa zawory mają takie same charakterystyki przepływu i przyjmujemy, że k a współczynniki przepływu - Prawo zachowania masy dla zbiorników L i R Q w 18

19 - Energia cieplna zgromadzona w objętości zbiorników T 0 - temperatura odniesienia, możemy przyjąć T 0 = 0, wówczas ρ, c odpowiednio gęstość i ciepło właściwe wody - Dla przepływu przez kryzę otwór przyjmiemy, że słuszna jest zależność pierwiastkowa P - spadek ciśnienia na kryzie otworze, C d - stały współczynnik strat, A o pole powierzchni kryzy - otworu 19

20 - Ciśnienie hydrostatyczne cieczy na poziomie H poniżej powierzchni P a - ciśnienie atmosferyczne - Wypływ ze zbiornika R gdzie - Przepływ między zbiornikami L i R przy założeniu: H 1 > H 2 20

21 - Zasada zachowania energii dla zbiornika L i R - Dzieląc przez ρc i różniczkując - Podstawiając Q w oraz 21

22 Całościowy model: Q w 22

23 Schemat blokowy 23

24 Zmienne modelu: - Naturalny wybór zmiennych stanu wyjścia integratorów - Zakłócenia pole powierzchni otworu zaworu wypływowego ze zbiornika R, temperatury wody dopływającej - Sterowania napięcia siłowników zaworów dopływów do zbiornika R Zmienne stanu: Zmienne sterowania: Zmienne zakłócenia: Zmienne wyjścia: y t y y 1 2 H T

25 Równania stanu: Równania wyjścia: 25

26 Równania stanu nieliniowe: Linearyzacja w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: Dla naszego przykładu: 4 równania 9 zmiennych! 26

27 Jeżeli przyjąć np. wartości zmiennych sterowania i zmiennych zakłócenia Sterowania mogą zmieniać się w zakresie 0 10 V; Przyjmijmy: u u V Przyjmijmy: T w0 T c0 60C 30C Otrzymamy: 27

28 - Linearyzacja zmienne przyrostowe w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: - Linearyzacja rozwinięcie w szereg Taylor a w otoczeniu stacjonarnego punktu pracy: 28

29 - Linearyzacja jakobiany w stacjonarnym punkcie pracy równania stanu: 29

30 - Linearyzacja zlinearyzowane równanie stanu - Linearyzacja jakobiany w stacjonarnym punkcie pracy równania wyjścia - Linearyzacja zlinearyzowane równanie wyjścia 30

31 Dla naszego przykładu 31

32 Dla danych 32

33 Otrzymamy 33

34 Zlinearyzowany model przestrzeni stanu Ogólny schemat blokowy liniowego modelu przestrzeni stanu - ciągłego 34

35 Modele liniowe modele przestrzeni stanu z transmitancji Postać kanoniczna sterowalności (sterownika, regulatora) Transmitancja dana w postaci - wykonujemy pierwszy krok dzielenia wielomianów licznika i mianownika transmitancji - wprowadzamy zmienną pomocniczą 35

36 otrzymujemy - definiujemy zmienne stanu w dziedzinie zmiennej s - mnożymy każde z definicyjnych wyrażeń przez s i podstawiamy zmienne stanu w prawej stronie wyrażeń 36

37 - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplace a ostatnich wyrażeń i wyrażenia na s n V(s) - równanie stanu w postaci macierzowej 37

38 - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplace a na równaniu otrzymujemy - równanie wyjścia Uwagi: - terminologiczna: stopień licznika transmitancji = stopień mianownika transmitancji, mówimy transmitancja jest właściwa, system dynamiczny jest właściwy - terminologiczna: stopień licznika transmitancji < stopień mianownika transmitancji, mówimy transmitancja jest ściśle właściwa, system dynamiczny jest ściśle właściwy 38

39 Uwagi c.d.: - macierz D bezpośredniego sterowania pojawia się w modelu przestrzeni stanu tylko dla systemów właściwych; dla systemów ściśle właściwych macierz D nie występuje w modelu przestrzeni stanu - postać kanoniczna sterowalności jest bardzo efektywna w sensie liczby elementów niezerowych macierzy modelu - poza zerami i jedynkami elementy macierzy są takie same jak elementy transmitancji 39

40 Schemat blokowy postaci kanonicznej sterowalności systemu SISO 40

41 Przykład silnik prądu stałego Transmitancja w torze droga kątowa - napięcie Dla danych 41

42 Schemat blokowy postaci kanonicznej sterowalności Natura fizyczna zmiennych stanu w przykładzie? Odpowiedź - jak powstawał model silnika 42

43 Przykład 3 model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez elastyczny wał L indukcyjnoscobwodu twornika R rezys tan cja obwodu twornika J J m l moment bezwladnosci twornika moment bezwladnosci obciazenia u napiecie obwodu twornika i prad obwodu twornika polozenie katowe twornika m polozenie katowe obciazenia l k wspolczynnik sprezystosci polaczenia elastycznego b wspolczynnik tlumienia lepkiego polaczenia elastycznego 43

44 - z II zasady dynamiki Newtona Konwencja: T a moment obrotowy napedowy K b m a stala elektromechaniczna momentu napedowego wspolczynnik tarcia lepkiego lozysk twornika T T k b moment obrotowy sprezystosci walu moment obrotowy tlumienia lepkiego b l wspolczynnik tarcia lepkiego lozysk obciazenia - z II prawa Kirchhoff a lub k e stala mechanoelektryczna indukowania sily przeciwelektromotorycznej twornika 44

45 Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS 1 wejście: ut 1 wyjście: l t i t t 5 zmiennych stanu:,,,, m m t l t l t 45

46 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia Równania stanu: x y T i x x x x x T m T l x 4 m l l x 2 46

47 Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: y x 4 Równania wyjścia w postaci macierzowej: 47

48 Przykład 4 model silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Teraz Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS 48

49 Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia y x T i x x x T Równania stanu w postaci macierzowej: Równanie wyjścia: x 2 l y x 2 Równania wyjścia w postaci macierzowej: 49

50 Transmitancja: 1 Ls 1 Js 1 s K a Ls R Js 1 bb 1 s 50

51 K Ls RJs b a b 1 s K Ls RJs bb Kake a 1 s U s Ka 1 Ka 2 s Ls RJs b K k s s LJs Lb RJ s Rb K k b a e b b a e 51

52 Przykład 5 model małego silnika PS z obciążeniem inercyjnym przez sztywny wał Model podsystemu elektrycznego Model podsystemu mechanicznego bez zmian Zmienne modelu: - zmienne stanu - zmienna wyjścia y x 1 52

53 Schemat blokowy analogowy modelu silnika PS Równania stanu w postaci macierzowej: Równania wyjścia w postaci macierzowej: 53

54 Postać kanoniczna obserwowalności Transmitancja dana w postaci - wykonujemy pierwszy krok dzielenia wielomianów licznika i mianownika transmitancji - wprowadzamy zmienną pomocniczą W s s B A s U s 54

55 otrzymujemy - definiujemy zmienne stanu w dziedzinie zmiennej s 55

56 - wykonujemy odwrotne przekształcenie Laplace a dla ostatnich zależności - mnożymy przez s - bierzemy pod uwagę otrzymujemy A sw s BsU s 56

57 - równanie stanu w postaci macierzowej - równanie wyjścia w dziedzinie s stąd - równanie wyjścia w postaci macierzowej 57

58 Schemat blokowy postaci kanonicznej obserwowalności systemu SISO 58

59 59 Przekształcenia podobieństwa gdzie, P nieosobliwa macierz stałych (liczbowa) o wymiarze nxn k k k, k k 1 k D D D D u D x C y u B x A x Korzystając z przekształcenia podobieństwa możemy znaleźć model systemu wyrażony z użyciem nowych zmiennych stanu Możemy napisać: k k k, k k 1 k D 1 D D 1 D 1 u D z P C y u B z P A z P Mnożąc pierwsze równania lewostronnie przez P: k k k, k k 1 k D 1 D D 1 D u D z P C y u PB z P PA z

60 Nowa postać: z k 1 A zk B uk, yk C zk D uk Dt Dt Dt Dt gdzie, A t PAP 1, A Dt PA D P 1 B t PB, B Dt PB D C t CP 1, C Dt C D P 1 D t D, D Dt D D Jedno ze szczególnych przekształceń podobieństwa związane z wartościami własnymi, wektorami własnymi macierzy A (lub A D ) 60

61 Równanie charakterystyczne dla modelu systemu po transformacji podobieństwa Wniosek: macierze A i A t mają takie same wartości własne Macierze tranzycji a przekształcenia podobieństwa: - system ciągły: 61

62 - system dyskretny: Dt k 1 k k A PA P PA P PA P PA P Dt D D D D PA k D P 1 P Dt 1 kp 62

63 Przypadek 1: macierz A ma n różnych wartości własnych rzeczywistych n różnym wartościom własnym odpowiada n liniowo niezależnych wektorów własnych v i Związek wartości własnych i wektorów własnych lub 63

64 Oznaczając diagonalną macierz wartości własnych przez biorąc pod uwagę: macierz A ma n różnych wartości własnych Wniosek: macierz A może być transformowana do postaci diagonalnej za pomocą transformacji podobieństwa czyli 64

65 Model systemu po transformacji z k 1 zk B uk, yk C zk D uk Dt Dt Dt gdzie, M 1 AM, M 1 A D M B t M 1 B, B Dt M 1 B D C t CM, C Dt C D M D t D, D Dt D D 65

66 Model systemu po transformacji dla systemu ciągłego dla i tej zmiennej stanu! zmienne stanu niezależne od siebie (odsprzężone) 66

67 Przypadek 2: macierz A ma wielokrotne wartości własne rzeczywiste Nie można zagwarantować liniowej niezależności wektorów własnych i wówczas macierz M może być osobliwa Postępowanie Jordana dla znalezienia n liniowo niezależnych wektorów własnych Niech wartość własna jest wielokrotna razy - definiujemy wektory rekursywnie przyjmując Tak znalezione wektory własne są nazywane uogólnionymi wektorami własnymi i są liniowo niezależne 67

68 - uogólnione wektory własne tworzą zbiór liniowo niezależnych wektorów gdzie, l jest liczbą różnych wartości własnych oraz - zachodzi gdzie, Macierz blokowo-diagonalna, macierz Jordana Blok (klatka) Jordana 68

69 Przypadek 3: macierz A ma wartości własne zespolone Załóżmy, bez utraty ogólności Odpowiadające wektory własne, tez zespolone sprzężone Macierz transformacji Postać kanoniczna Jordana po transformacji 69

70 Przykład 6 Dany jest model systemu y 0 0 1x Znaleźć model systemu wykorzystując macierz diagonalizującą wektorów własnych Równanie charakterystyczne 70

71 Wartości własne Wektor własny dla Stąd i 71

72 Rozwiązanie np. Podobnie Macierz diagonalizująca i odwrotna do niej 72

73 Przekształcenie podobieństwa daje nowy model przestrzeni stanu gdzie, Związki pomiędzy zmiennymi stanu Sprawdzić, że zmiana zmiennych stanu nie prowadzi do zmiany transmitancji 73

74 Przykład 7 model małego silnika PS Korzystając z środowiska Matlab/Simulink znajdziemy wartości własne, wektory własne i macierz diagonalizującej transformacji podobieństwa 74

75 75

76 Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa 76

77 Przykład 8 Wartości własne Dwukrotna wartość własna 77

78 Ponieważ istnieje tylko jeden wektor własny związany z Korzystając a Matlab a możemy policzyć niezależne wektory własne Uogólniony wektor własny 78

79 Macierz transformacji Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa 79

80 Przykład 9 Wartości własne Korzystając a Matlab a możemy policzyć niezależne wektory własne 80

81 Macierz transformacji Macierze modelu po diagonalizującej transformacji podobieństwa 81

82 Dziękuję koniec materiału prezentowanego podczas wykładu 82