Analiza wymiarowa jest działem matematyki stosowanej, którego zadaniem jest wyznaczenie, poprawnej pod względem wymiarowym, postaci wzorów fizycznych.

Transkrypt

1 Analiza wymiarowa Prof. dr hab. Małgorzata Jaros, prof. SGGW Analiza wymiarowa jest działem matematyki stosowanej, którego zadaniem jest wyznaczenie, poprawnej pod względem wymiarowym, postaci wzorów fizycznych. Dziedziny zastosowań analizy wymiarowej: 1. W badaniach modelowych do wyznaczania warunków podobieństwa i ustalania funkcyjnych zależności między wielkościami fizycznymi, mającymi istotny wpływ na badane zjawisko.. W planowaniu badań eksperymentalnych i opracowywaniu uzyskanych wyników. Analiza wymiarowa umożliwia przedstawienie zależności między badanymi wielkościami fizycznym oraz wyników badań za pomocą możliwie najmniejszej liczby zmiennych.. W ustalaniu zamienników (skal) wielkości analogicznych przy projektowaniu i wykorzystywaniu przyrządów analogowych. 4. Inne... Podstawowe twierdzenia analizy wymiarowej 1.) Twierdzenie Buckinghama Każde jednorodne wymiarowo równanie fizyczne: f( x, x,..., ) x n 0 (1) daje się przedstawić w postaci funkcji uwikłanej (n-m) bezwymiarowych zmiennych K i : F( K1, K,..., K n m ) 0 () gdzie m jest liczbą wielkości podstawowych wzajemnie niezależnych.

2 .) Zasada Fouriera Wszystkie prawa fizyki wyrażają się równaniami wymiarowo jednorodnymi, tzn. Funkcja jest wymiarowo jednorodna, gdy postać jej nie zależy od układu jednostek miar. Zachodzi wówczas tożsamość: f( a x, a x,..., a x ) a f( x, x,..., x ) () 1 n n Natomiast wielkosci x 1, x,..., x n są wymiarowo niezależne, jeżeli z tożsamości: wynika, że: a b x n x x... x 1 (4) a b... x 0 (5).) Zasada doboru wielkości podstawowych: Wymiar każdej wielkosci pochodnej może być wyrażony jako iloczyn potęgowy wymiarów wielkości podstawowych. Wielkości podstawowe nie muszą odpowiadać układowi SI, lecz w każdym zadaniu celowy jest wybór nowego układu jednostek podstawowych spośród wielkości charakteryzujących badane zjawisko. Sposoby określania iloczynów K. 1.) Metoda kolejnego wyznaczania kryteriów K..) Metoda doboru skal wielkości podstawowych..) Metoda jednoczesnego wyznaczania kryteriów K ( metoda Rayleigha,van Driesta). Metoda kolejnego wyznaczania kryteriów K. n

3 1) Hipoteza: f( x1, x,..., x n ) 0 oznacza, że określony został zbiór wielkości mających wpływ na badane zjawisko. ) Dokonuje się doboru wielkości podstawowych, spośród wielkości x 1, x,..., x n, spełniajacych zależności (4) i (5) (czyli wymiarowo niezależnych) na przykład w statyce wybrać można tylko dwie wielkości podstawowe tzn.: siłę i długość lub powierzchnię i naprężenie; w dynamice: masę długość i czas lub prędkość, długość i siłę. ) Jeżeli spośród n wielkości x wybierze się m wielkości podstawowych, na przykład xn, xn1,..., xnm1, to dodając do tego zestawu wielkość x spośród pozostałych x 1,..., x n m można uzyskać (n-m) bezwymiarowych zmiennych, rozwiązując układ równań: R S T a a a m 1 1 n n1 nm1 b b b 1 nm1 K x x x... x m K x x x... x n n... x x xm nm nm n n1 nm1 K x x x... x (6) Zalety metody kolejnego wyznaczania zmiennych K: -jeśli liczba równań nie będzie równa liczbie niewiadomych to wnioskuje się od razu o niewłaściwym doborze wielkości podstawowych ( są wymiarowo zależne lub jest ich za mało), -zwiększając liczbę wielkości x w równaniu (1) można przystąpić do dalszego zwiększania liczby kryteriów K, bez potrzeby zmiany postaci dotychczas wyznaczonych wielkości. Przykład 1 Przyjęto hipotezę,że natężenie wypływu cieczy z naczynia jest funkcją:

4 gdzie: Q - natężenie wypływu, m - gęstość cieczy, kg/ m f( Q,,,, g, d, h) 0 - lepkość dynamiczna cieczy, kg/ m s - napięcie powierzchniowe, kg/ s g - przyspieszenie ziemskie, m/ s d - średnica otworu, m h - różnica poziomów, m Niech wielkościami podstawowymi będą: Q,, h, wówczas: / e j e j b g a b c s m / s kg/ m m 1 a 0 b 0 c 0 Można zatem utworzyć cztery bezwymiarowe iloczyny K., wzajemnie niezależne, wg równań: 1 a a a b b b c c c 4 d d d K g Q h K d Q h K Q h K Q h bliczenie iloczynu K 1 : 1 a a a K ms m s kg m m 1 e j e j b g 1a a a a a iloczyn ( m) ( s) ( kg) jest bezwymiarowy, jeśli wszystkie wykładniki potęgowe będą zerami, ma to miejsce 5 wówczas, gdy: a1, a 0, a 5, a tym samym: K g h 1. Q Postępując analogicznie otrzymuje się: d h h K K,, K4 h Q Q. Pierwotna funkcja może być sprowadzona do postaci:

5 gh d h h F( K1, K, K, K4) f,,, Q h Q Q F H G lub po pewnych przekształceniach, na przykład: ' K K 1 ' K i K 1 4 K K, a stąd: 4 ' ' Q d gh gh f ( K1, K, K, K ) f, ', 4 5 gh h F H G 5 b g F HG I K J Q d gh gh K1 f K, K, K4 f,, 5 gh h I K J I K J Metoda doboru skal 1) Hipoteza: f( x1, x,..., x n ) 0 oznacza, że określony został zbiór wielkości mających wpływ na badane zjawisko. ) Dokonuje się wyboru wielkości podstawowych, spośród wielkości x 1, x,... x n, spełniających zależności (4) i (5) oraz skal tych wielkości k x x '. x ) Ustala się skale pozostałych wielkości fizycznych, mających wpływ na badane zjawisko, analogicznie do wzoru (6), tzn.: R S T a a a m 1 n n1 nm1 1 k k k... k... x x xm nm n n1 nm1 1 k k k... k

6 Podstawą wyznaczenia skal poszczególnych wielkości fizycznych w modelu może być bezwymiarowa postać funkcji: f( K1, K,..., K n m ) 0 Warunkiem podobieństwa modelu do modelowanego procesu jest uzyskanie w obu przypadkach jednakowych wartosci zmiennych K. Równość liczb K (krytriów podobieństwa) determinuje związki pomiędzy skalami k x poszczególnych wartości x. Metoda jednoczesnego wyznaczania liczb K Przykład Model wymiany ciepła w rurociągu. Zakłada się istnienie funkcji charakteryzującej zależność współczynnika przejmowania ciepła, od pozostałych paramatrów charakteryzujących zjawisko wymiany konwekcyjnej ciepła podczas przepływu płynu rurociągiem: f(, l, d, c,,, v) 0 gdzie: - wsp. przejmowania ciepła, kg/ ( s K) l,d - długość i średnica rurociągu, m c - ciepło wł. odniesione do jednostki objętości, kg - wsp. przewodzenia ciepła, kg m/ ( s K) - lepkość kinematyczna, m / s v - prędkość przepływu, m/s / ( ms K) Na mocy zasady Fouriera, otrzymuje się, że jeżeli a b c d e f l d c v 1 czyli podstawiając jednostki odpowiednich zmiennych: F 1 kg I a b m m HG s K K J to musi być: b g b g F HG kg ms K I K J F c d e f kg mi m m HG K J F H G I s K J F H G I s K J s K 1

7 bkgg bmg bsg bkg 1cd abcdef cdef 1cd =1 Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy: R1 c d 0 S Rb 1 a f a b c d_ e f 0 S d 1 c c d e f 0 1 c d 0 T e c f T W ten sposób otrzymalismy mniejszą liczbę nieznanych wykładników potęg w równaniu formalizującym zasadę Fouriera. Można zatem napisać: lub 1 a 1 af c 1 c cf f l d c v 1 1 d QP N M l Q P c QP vd d QP 1 Równanie to oznacza, że można wyznaczyć funkcję F zmiennych bezwymiarowych, takich jak w powyższym równaniu : d QP N M l Q P d a c f c QP v d QP a c f iczby bezwymiarowe tu otrzymane to liczby kryterialne znane w teorii przepływów: Nu d QP, Pr otrzymaliśmy zatem równanie: Nu A l d a QP c, c F H G I K J Pr Re f Re v d QP

8 Uwagi krytyczne 1) Analiza wymiarowa nie może dostarczyć danych o wielkościach bezwymiarowych ) Metody stosowane w analizie wymiarowej nie pozwalają rozróżnić wielkości o identycznych wymiarach, mających jednak różne znaczenie fizyczne, na przykład v- prędkość przepływu cieczy i a- prędkość dźwięku. ) Można łatwo popełnić omyłkę opuszczajac wielkość mającą istotny wpływ na przebieg zjawiska 4) W formułowanej na poczatku hipotezie mogą znaleźć się omyłkowo wielkości nie mające związku z rozpatrywanym zjawiskiem. Należy bezwzględnie pamiętać o tym, że analizy wymiarowej nie stosuje się znany jest teoretyczny, matematyczny model badanego zjawiska. Przykład Należy przeanalizować ruch jednostajnie zmienny punktu materialnego. Hipoteza: s f a, t, v0 b g Stosując metodę wykładników Rayleigha otrzymujemy równanie: 1 a b c s a t v0 1 a po podstawieniu jednostek a c m b m bmg F H G I bsg s K J F 1 H G I s K J 1

9 Równanie to jest spełnione zgodnie z zasadą Fouriera, gdy: dla m: 1 a c 0 dla s: a b c 0 trzymujemy zatem równanie: at s R S T QP N M Q P a 1 c b c c v0 1 at na podstawie którego można sformułować zależność funkcyjną spełniającą tw.buckinghama, które stwierdza istnienie funkcji F F s v0i, 0 HG at at K J, następująco: s at c F A v 0 H G I at K J (aw) gdzie A oraz c oznaczają współczynniki liczbowe, które należy wyznaczyć doświadczalnie i które odpowiadają tylko tym zakresom zmiennych, dla których zjawisko badano np.: v 0 (...), a(...), t(...). Znany wszakże jest model ruchu jednostajnie zmiennego w postaci jawnej: s v t at 0, s v0 1 albo uwikłanej : at at (t) F Wynika z niego, iż istnieje funkcja F s v0i, 0 HG at at K J. Ten ogólny zapis funkcji "F" wyrażeń bezwymiarowych jest identyczny jak w twierdzeniu Buckinghama, konsekwencje dokładnej postaci tej funkcji pochodzące z teorii (t) lub z analizy wymiarowej (aw) są jednak różne. Łatwo to wyjaśnić na wykresie obu zależności:

10 Zadania 1. Wyznaczyć rozkład temperatury T x wzdłuż długości jednorodnego, izolowany cieplnie pręta, w pewnej chwili jesli w jednym jego końcu, w punkcie x=0, utrzymujemy temperaturę T z zewnętrznego źródła ciepła. Niech T x =f(t,x,,a), 1 gdzie: a - współczynnik przewodności ciepła, m s. Wyznaczyć zespół liczb bezwymiarowych charakteryzujących izotermiczny przepływ płynu. Niech (F,v,l,,,,g) = 0, gdzie: F - siła, kgm s v - prędkość, m s l - wymiar liniowy, m - gęstość płynu, kgm - lepkość dynamiczna płynu, kgm - napięcie powierzchniowe, kgs g - przyspieszenie grawitacyjne, m s s. kreślić liczby bezwymiarowe, które trzeba uwzględnić przy pomiarze charakterystyki oporów przepływu w pewnym przewodzie rurowym. Niech (p,l,d,,v,) = 0, gdzie: 1 p - spadek ciśnienia, kgm s l - długość przewodu, m d - średnica przewodu, m - gęstość płynu, kgm 1 v - prędkość przepływu, m s - lepkość dynamiczna płynu, kgm 1 1 s

11 4. kreślić opór aerodynamiczny P pojazdu jadącego ze stałą prędkością v. Niech P=f(,,v,l), gdzie: P - siła oporu, kgm s - gęstość powietrza, kgm - lepkość dynamiczna powietrza, kgm 1 v - prędkość jazdy, m s l - charakterystyczny wymiar, m 1 1 s