Optymalizacja wielokryterialna

Transkrypt

1 Optymalizacja wielokryterialna

2 Optymalizacja wielokryterialna Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje więcej niż jedno kryterium

3 Problem wielokryterialny f k (x)) max (k = 1,...,s) x D gdzie: x dowolne rozwiązanie zanie (decyzja) f k (x) funkcja celu związana zana z k-tym k kryterium cząstkowym D zbiór r rozwiąza zań (decyzji) dopuszczalnych

4 Porządkowanie rozwiązań cele Uporządkowanie zbioru elementów w myśl przyjętych reguł klasyfikacyjnych Wyróżnienie możliwie najmniejszego podzbioru stanowiącego podstawę do dokonywania wyborów

5 Przykład 1 Spośród 10 uczniów ocenianych z 3 przedmiotów: biologii (B), historii (H) i matematyki (M) należy wybrać ucznia najlepszego. U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U 8 U 9 U 10 B H M

6 Przykład 1-1 porównanie ocen U 4 U 8 U 3 U 5 U 2 U 6 U 1 U 9 U 10 U 7

7 Diagram Hassego Definicja: graf skierowany H(X,R), gdzie X jest zbiorem porównywanych elementów, a R jest relacją częściowego porządku, określoną na elementach zbioru X w taki sposób, że: urw w " lepsze od " u.

8 Przykład 1 porównanie średniej lepsze od x j K ( ) ( ) r xi > Kr xj x i lepsze od m m r= 1 r= 1 U 4 U 8 U 3 U 5 U 2 U 6 U 1 U 9 U 7 U 10

9 Przykład 1 porównanie sumy ważonej Przedmiotom przypisano wagi: 1 historia 2 biologia 3 matematyka U 2 U 5 U 3 U 8 U 4 m ( ) > α ( ) α K x K x r r i r r j r= 1 r= 1 m U 9 U 6 U 1 U 7 U 10

10 Przykład 1 podsumowanie Uporządkowanie zależy od przyjętych kryteriów Kryteria chociaż podobne mogą prowadzić do różnych wyników Kryteria szczegółowe (sformułowanie, wagi, itp.) ustalane przez decydenta Kryteria nie są obiektywnym odbiciem rzeczywistości, tylko odbiciem preferencji decydenta Brak odpowiedzi, które rozwiązanie jest obiektywnie najlepsze Uporządkowania pokazują, które rozwiązanie jest najlepsze w sensie przyjętego kryterium

11 Przykład 2 Fiat Panda Fiat Seicento Opel Astra Renault Megane Seat Toledo Skoda Fabia Cena Ford Focus Serwis db db bdb db dst db bdb Zwrotność 7,5 7,5 9 8, Paliwo bdb db dst db dst db db Bagażnik

12 Przykład 2 - pytania Jak porównywać kryteria ilościowe i jakościowe? Jaka jest wrażliwość decydenta na różnice wartości kryteriów? Czy dla wszystkich kryteriów istnieje taka sama wartość progowa dla zmiany preferencji decydenta? Czy w ocenie zróżnicowania jest pełna symetria?

13 Progi nierozróżnialności Brak symetrii oznacza istnienie dwóch progów nierozróżnialności. Sformułowanie progów nierozróżnialności: decyzja D 1 jest lepsza od decyzji D 2 w sensie określonego kryterium, gdy wartość tego kryterium jest większa o p%, decyzja D 3 jest gorsza od decyzji D 2 (w sensie tego samego kryterium), gdy wartość kryterium jest mniejsza o q%.

14 Przykład 3 Trzy decyzje D 1, D 2 i D 3 o wartościach kryterium f 1 =105, f 2 =100, f 3 =96 p = 5 oraz q = 3 D 1 jest lepsza od D 2 D 2 nie jest lepsza od D 3, natomiast D 3 jest gorsza od D 2

15 Przykład 4 Przydzielanie kredytu podejście 1 Na podstawie danych historycznych podzielić klientów na dwa podzbiory dobrych i niedobrych kredytobiorców Wyznaczyć dla danego podzbioru wartości średnie i odchylenia standardowe dla poszczególnych parametrów ekonomicznych Porównać wartości z nowego wniosku z otrzymanymi na podst. danych historycznych Jeśli mieszczą się w przedziałach określonych dla klientów dobrych, to przydzielić kredyt warunek zgodności ze wzorcem pozytywnym Jeśli mieszczą się w przedziałach dla klientów niedobrych odrzucić W przeciwnym przypadku przydzielić warunek niezgodności ze wzorcem negatywnym.

16 Przykład 4 cd. Przydzielanie kredytu podejście 2 Uporządkować klientów wg pożądanych wartości parametrów opisujących klienta i utworzyć zbiór najlepszych, stosując określone reguły porządkowania: jeżeli dla pary klientów r i v wartość kryterium i (K ri ) dla klienta r przewyższa wartość kryterium i (K( vi ) dla klienta v o pewną zadaną wartość d i, to przyjmuje się, że klient r jest lepszy od klienta v w sensie kryterium i zlicza się dla ilu kryteriów spośród m klient r jest lepszy od klienta v, wartość oznaczona przez l(r,v) zlicza się dla ilu kryteriów r jest gorszy od v i oznacza się przez g(r,v) klient r jest lepszy od klienta v jeśli l(r,v) > g(r,v)

17 Zgodność kryteriów Dla dwóch kryteriów K 1 i K 2 oraz dla dwóch dowolnych decyzji x 1 i x 2 : kryteria są zgodne jeśli x, x D 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K x K x K x K x kryteria są niezgodne jeśli x, x D 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K x K x K x K x kryteria są przeciwstawne jeśli x, x D 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) K x K x K x K x

18 Rozwiązania sprawne Rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto nazywamy takie rozwiązanie x D, że e nie istnieje żadne inne rozwiązanie zanie x D D dające poprawę wartości chociaż jednej funkcji celu, nie powodując c pogorszenia wartości innych funkcji celu. Rozwiązanie zanie optymalne w sensie Pareto nazywane jest również rozwiązaniem zaniem sprawnym lub efektywnym.

19 Rozwiązania kompromisowe Jedno rozwiązanie optymalne w sensie Pareto występuje tylko wtedy, gdy wszystkie optima cząstkowe znajdują się w tym samym punkcie, jest to wtedy również rozwiązanie optymalne całego problemu Na ogół rozwiązań Pareto-optymalnych optymalnych jest wiele, w skrajnym przypadku każde rozwiązanie może być rozwiązaniem sprawnym Pytanie: Jak spośród wielu rozwiązań sprawnych wybrać jedno rozwiązanie, tzw. rozwiązanie kompromisowe?

20 Metody Metakryterium Kryterium główne i kryteria drugorzędne Ścisła hierarchia celów Minimalizacja odległości od punktu idealnego

21 Metakryterium Funkcja określona na kryteriach cząstkowych, podająca użyteczność poszczególnych decyzji dla decydenta: = ( x) ( x ), ( x ),, ( x) u u f1 f2 f s Najprostsze metakryterium suma ważona u s ( x) w f ( x) = k = 1 Rozwiązanie zadania sprowadza się do znalezienia w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych decyzji najlepszej w sensie metakryterium u(x). Decyzja najlepsza w sensie u(x) ) jest poszukiwaną decyzją kompromisową. k k

22 Kryterium główne i kryteria drugorzędne Gdy dla decydenta jedno kryterium jest zasadnicze (główne), a pozostałe mniej istotne (drugorzędne). Poszukiwane jest wtedy rozwiązanie najlepsze ze względu na kryterium główne, jednocześnie zapewniające określony poziom realizacji kryteriów drugorzędnych. Wyznaczanie decyzji kompromisowej sprowadza się do rozwiązania zadania: ( x) ( x) f1 max fk pk dla k = 2,, s x D gdzie f 1 kryterium główne, p k zadowalający poziom realizacji k-tego kryterium drugorzędnego

23 Ścisła hierarchia celów Uporządkowanie wszystkich kryteriów malejąco od najważniejszego. Przy wyznaczaniu rozwiązania kompromisowego, nie można przekroczyć ustalonego odstępstwa od maksymalnych wartości poszczególnych kryteriów. Wyznaczanie decyzji kompromisowej polega na rozwiązaniu ciągu zadań pomocniczych L k (k= k=1,..., s). Rozwiązanie końcowego zadania L s, wyznacza decyzję kompromisową zadania wielokryterialnego.

24 Ścisła hierarchia celów cd. Zadanie pomocnicze L k max f ( x) : x D gdzie { k k} D = D dla k = 1, k { x x 1 1( ) 1 1 1} = max { ( x) : x }, min ( x) : x, D = : D f x M d t dla k = 2,, s, k k k k k k M f D k 1 k 1 k 1 { } m = f D k 1 k 1 k 1 t = M m k 1 k 1 k 1. przy założeniu, że kryterium o niższym indeksie jest ważniejsze od kryterium o wyższym indeksie, a współczynnik odstępstwa dla danego kryterium oznaczono przez d k (0 d k 1 dla k = 1,,s,s-1).

25 Minimalizacja odległości od punktu idealnego W przypadku, gdy nie ma żadnych preferencji dla poszczególnych kryteriów cząstkowych, jako rozwiązanie kompromisowe wybiera się punkt leżący najbliżej punktu idealnego. Punkt z = [ z, 1, zs ] nazywamy punktem idealnym w przestrzeni wyników, natomiast punkt x = [ x, 1, xn ] nazywamy punktem idealnym w przestrzeni rozwiązań o ile z = f x = max f x : x D dla k = 1,, s. ( ) ( ) k k k { } Jeżeli x D, to x jest rozwiązaniem optymalnym. Jeżeli natomiast x D lub nie istnieje, to szukamy takiego punktu x D,, aby punkt = [ z,, 1 z s ] leżał jak najbliżej punktu idealnego z, gdzie z = f x dla k = 1,...,s. z ( ) k k

26 Min. odl.. od punktu idealnego cd. z k Gdy każde jest dodatnie, to punkt x wyznaczamy rozwiązując pomocnicze zadanie: y max fk zk k s x D ( x) 0 ( = 1,, ) gdzie y minimalny stopień realizacji celów cząstkowych.

27 Min. odl.. od punktu idealnego cd. Gdy z k jest ujemne lub zerowe (co najmniej jedno kryterium z minimalizacją funkcji kryterialnej), to wprowadzając współczynnik odchylenia w realizacji k-tego kryterium cząstkowego przez decyzję x: zk fk( x) dk ( x) = zk mk gdzie m k = min{f k (x): x D}. Rozwiązuje się wówczas zadanie w min dk ( x) w ( k = 1,, s) x D gdzie w zmienna pomocnicza określająca maksymalne względne odstępstwo od optymalnej wartości kryterium.