Optymalizacja konstrukcji

Transkrypt

1 Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne rozwiązania konstrukcyjne. Ścisłe (sformułowane matematycznie) określenie punktu widzenia funkcja celu (funkcja jakości, funkcja efektywności) Punkt oceny kryterium optymalizacji.

2 Optymalizacja to działalność, której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu w danych warunkach i dla określonej funkcji celu. Najlepszy z otrzymanych wyników nazywa się optymalnym.

3 Optymalizacja - myślenie w kategoriach celów

4

5 Przykład: lornetka Kryterium optymalizacji (zmienna zależna) ostrość obrazu Zmienna niezależna odległość soczewek Wartość optymalna najostrzejszy obraz ostrość obrazu optimum odległość soczewek

6 Optymalizacja to działalność, której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu w danych warunkach i dla określonej funkcji celu. Najlepszy z otrzymanych wyników nazywa się optymalnym.

7 Projektowanie Sformułowanie problemu Model problemu Optymalizacja

8 Po co optymalizować? Korzyści finansowe Usprawnienie działania Podniesienie efektywności pracy Poprawa niezawodności Poprawa bezpieczeństwa Zmniejszenie zużycia zasobów

9 Kryteria optymalizacji Koszt Opóźnienie (szybkość działania) Niezawodność Efektywność Zużycie zasobów Bezpieczeństwo

10 Ograniczenia w optymalizacji Koszt Opóźnienie (szybkość działania) Niezawodność Efektywność Zużycie zasobów Bezpieczeństwo Inne

11 Załóżmy, że rozpatruje się trzy rodzaje przekładni o tej samej mocy i przełożeniu : ślimakową, planetarną, walcową. Załóżmy też, że kryterium optymalizacji są najmniejsze gabaryty tej przekładni, które można wyrazić w funkcji pozostałych cech konstrukcyjnych. Z punktu widzenia zadanego kryterium a więc wymiarów gabarytowych, optymalnym rozwiązaniem jest przekładnia planetarna.

12 Model matematyczny konstrukcji Zbudowanie funkcji celu, niezbędnej w procesie optymalizacji konstrukcji, wymaga zapisu cech konstrukcyjnych maszyny (geometrycznych, materiałowych i dynamicznych) w postaci układu liczb i funkcji. Uzyskany w ten sposób zapis nazywa się modelem matematycznym konstrukcji.

13 Dla potrzeb modelowania matematycznego, konstrukcję K można potraktować jako punkt w pewnej przestrzeni N-wymiarowej czynnikowej, co można zapisać następująco: K = (C( 1,C 2,...,C N ) R N gdzie: K- konstrukcja, C i - cechy konstrukcji, R N -przestrzeń konstrukcji.

14 Jeżeli wszystkie współrzędne wektora K są liczbami, to taki punkt można traktować jako element N - wymiarowej przestrzeni euklidesowej E N : K = (C( 1, C 2,...,C N ) E N Wektor K należący do przestrzeni konstrukcji jednoznacznie opisuje konstrukcję.

15 Niech opisywanym elementem będzie śrubowa sprężyna naciskowa. α D D w D z p d

16 Umiejscowienie jej środka ciężkości w maszynie można określić za pomocą wartości liczbowych trzech współrzędnych: x, y i z. Następne współrzędne mogą opisywać, np. średnicę drutu d, średnicę nawinięcia drutu D w, granicę plastyczności materiału sprężyny R e, wartość siły napięcia wstępnego P w, itp.

17 Wszystkie cechy opisujące konstrukcję można podzielić na: parametry P zmienne decyzyjne X. Parametry P są zadane i ich wartość jest niezmienna w procesie projektowania. Zmienne decyzyjne X są dobierane w procesie projektowania.

18 W przypadku rozpatrywanej sprężyny: parametrami P mogą być np.: wartość siły napięcia wstępnego i wymiary zewnętrzne sprężyny, zaś zmiennymi decyzyjnymi X, np. średnica drutu, granica plastyczności materiału sprężyny (materiał sprężyny).

19 Biorąc pod uwagę podział cech konstrukcyjnych na parametry P i zmienne decyzyjne X, konstrukcje można formalnie zapisać następująco: K = (P( 1, P 2,...,P N ; X 1,X 2,...X M ) E K Zbiór zmiennych decyzyjnych X można traktować jako punkt x w pewnej przestrzeni, zwanej przestrzenia zmiennych decyzyjnych (przestrzenia rozwiązań) E x : x = (x 1, x 2,,x n ) E x

20 Na złożoność modelu matematycznego wpływa głownie liczba zmiennych decyzyjnych - im jest ona większa, tym trudniejsze i kosztowniejsze jest prowadzenie obliczeń. Z drugiej zaś strony, ograniczenie liczby zmiennych decyzyjnych i ustalenie dużej liczby cech konstrukcyjnych jako parametrów zawęża możliwości poszukiwana najlepszych rozwiązań.

21 Matematyczne sformułowanie owanie szczegółowych i ogólnych zasad konstrukcji Projektant może przyjmować tylko określone wartości zmiennych decyzyjnych X. Wynika to z ograniczeń narzuconych na poszczególne zmienne decyzyjne i na konstrukcję jako całość. Ograniczenia Ograniczenia te wynikają ze szczegółowych zasad konstrukcji.

22 Zgodnie z pierwszą zasadą, konstrukcja powinna spełniać wszystkie ograniczenia wynikające ze szczegółowych zasad w stopniu nie mniejszym od założonego. Z matematycznego punktu widzenia, ograniczenia te mogą mieć charakter nierównościowy: b i (x)= b i (x 1,x 2,...,x n )< 0; i = 1,2,...,m lub równościowy: g j (x)=g j ( x 1,x 2,...,x n )=0; j=1,2,...,p

23 Dla każdej zmiennej decyzyjnej x i można ustalić wstępnie zakres jej zmienności: x imin x i x imax; i = 1,...,n Na skutek ograniczeń wynikających ze szczegółowych zasad konstrukcji przedział ten ulega zawężeniu. Niektóre zmienne decyzyjne mogą przyjmować dowolne wartości z ciągłego przedziału [x imin,x imax ], a inne mogą przyjmować tylko wartości dyskretne.

24 Zmienne decyzyjne wynikające ze względów fizycznych i technologicznych, takie jak np.: wymiary, obciążenia, naprężenia., itp. mają z reguły charakter ciągły.

25 Zmienne decyzyjne ściśle określone przez normy, takie jak np.: moduły kół zębatych, wymiary łożysk tocznych, wymiary śrub, nitów, itp., mają charakter dyskretny i ich zakres zawęża się do zbioru liczb dyskretnych. Inne wartości zmiennych decyzyjnych są dyskretne z założenia, np. liczba zębów w kole zębatym.

26 Jednakże, zdecydowana większość ograniczeń ma charakter nierównościowy, np.: liczba zębów w kole zębatym nie może być mniejsza niż graniczna liczba zębów, obciążenie nie może wywoływać naprężeń większych od dopuszczalnych, prędkość obwodowa czopa podczas smarowania hydrodynamicznego musi być większa od granicznej.

27 W procesie budowy modelu matematycznego konstrukcji K wszystkie ograniczenia wynikające ze szczegółowych zasad konstrukcji musza być przedstawione w postaci jednoznacznej matematycznie, tak aby dla dowolnego wektora zmiennych decyzyjnych X można było jednoznacznie stwierdzić, czy należy on do zbioru rozwiązań dopuszczalnych, a więc czy są spełnione wszystkie ograniczenia, czy też nie.

28 Zbiór punktów w przestrzeni zmiennych decyzyjnych X, w których spełnione są wszystkie ograniczenia narzucone przez konstrukcję K, nazywa się zbiorem dopuszczalnym lub zbiorem rozwiązań dopuszczalnych: Φ= Φ (x) E x

29 W celu wyboru ze zbioru rozwiązań dopusczalnych Φ rozwiązania najlepszego, konieczne jest ustalenie kryteriów optymalizacji Q. Druga ogólna zasada konstrukcji mówi, że konstrukcja powinna być optymalna (polioptymalna) w danych warunkach ze względu na przyjęte kryterium optymalizacji, np.: najmniejszy ciężar, największa wytrzymałość, itp.

30 Problem jednokryterialny zagadnienie do rozwiązania (decyzja do podjęcia) wybór odbywa się w oparciu o jedno reprezentatywne kryterium oceny np. problem wyboru pojazdu cena zakupu Problem wielokryterialny zagadnienie do rozwiązania (decyzja do podjęcia) wybór odbywa się w oparciu o więcej niż jedno kryterium oceny np. problem wyboru pojazdu o najwyższej jakości trwałość, niezawodność, wyposażenie,...

31

32 Zadanie optymalizacji można przedstawić w kategoriach działania praktycznego, tj. osiągnięcie: pożądanego efektu przy najmniejszych nakładach, największego efektu przy wykorzystaniu zadanych nakładów.

33

34 Reguły te maja charakter praw ekonomicznych i już w tym podejściu widać jak istotny jest dobór kryteriów. Szczególnie niebezpieczne jest uleganie wyłącznie kryteriom ekonomicznym. Może to bowiem prowadzić do niebezpiecznych skutków ekologicznych, społecznych, a nawet technicznych.

35 W procesie, projektowania należy przede wszystkim uwzględniać kryteria techniczne, nie zapominając jednak o ekonomicznych. Kryteria techniczne wynikają ze szczegółowych zasad konstrukcji. Są to kryteria funkcjonalności, trwałości, niezawodności, sprawności, lekkości, taniości i dostępność materiałów, itp.

36 W projektowaniu wspomaganym komputerowo należy każde kryterium przedstawić jako funkcję zależną od zmiennych decyzyjnych X. Model matematyczny konstrukcji wektor zmiennych decyzyjnych x, zbiór rozwiązań dopuszczalnych Φ i kryterium optymalizacji Q, można zapisać następująco: x = (x 1,x 2,...,x n ) E x Φ = Φ (x) E x Q=f(x 1,x 2,...,x n )

37 Metody poszukiwania rozwiąza zań optymalnych Ogólnie można je podzielić na dwie zasadnicze grupy: metody analityczne, np. metoda pochodnych, metoda wariacyjna, metoda wyznaczników Lagrange'a, metody numeryczne, np. programowanie liniowe (metoda Simplex), programowanie nieliniowe.

38 Przykład - zadanie Przesyłki przewożone na statku mogą być pakowane w skrzynie, których suma wszystkich boków podstawy i wysokości nie przekracza 240 cm, zaś podstawa jest kwadratem. W przeciwnym razie naliczane są opłaty dodatkowe. Obliczyć wymiary skrzyni maksymalizujące jej objętość.

39 H x x

40 Metoda pochodnych Metoda pochodnych zasadza się na wyznaczeniu dwóch pochodnych w celu znalezienia wartości ekstremalnych danej funkcji celu Q(x). W pierwszym kroku, dla znalezienia wartości ekstremalnych, wyznacza się pierwszą pochodną funkcji Q(x) i przyrównuję się ją do zera a następnie oblicza się wartość zmiennej niezależnej x. dq dx = 0 Równanie to pozwala na wyznaczenie wartości ekstremalnych.

41 W kroku drugim wyznacza się druga pochodną funkcji Q(x). Jeśli wyznaczone wartości ekstremalne są mniejsze od zera to funkcja osiąga maksimum, jeśli większe od zera to funkcja osiąga minimum. 2 d Q 2 dx < 0 funkcja Q(x) osiąga maksimum 2 d Q 2 dx > 0 funkcja Q(x) osiąga minimum

42 Funkcja celu ma postać: Q( x) = x 2 H Ograniczenie równościowe ma postać: b ( x) = H + 4 x 240 = 0

43 Wyznaczając H z poprzedniego równania: H = 4 x i podstawiając do funkcji celu uzyskuje się: ( x) = 4x 3 240x 2 Q +

44 Pierwsza pochodna ma postać: dq 2 dx = 12x + 480x = 0 Rozwiązaniem tego równania są wartości: x 1 = 0 oraz x 2 = 40.

45 W celu upewnienia się czy funkcja Q(x) osiąga maksimum przy x 2 = 40, wyznacza się drugą pochodną: d 2 Q dx 2 = 24x = 0

46 i oblicza się jej wartość dla x 2 = 40: d 2 dx Q 2 x 1 = 40 = 480

47 Następnie oblicza się H z zależności na ograniczenie równościowe: H = 240 4x = = 80 cm Wówczas największa pojemność skrzyni wyniesie: V 2 = x H = = cm 3