ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ

Transkrypt

1 ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar dopuszczalny niespójny itp. Można je wykorzystać do rozwiązania każdego problemu optymalizacyjnego, tzn. problemu z ciągłymi, dyskretnymi, całkowitymi i mieszanymi zmiennymi decyzyjnymi.

2 Ogólne sformułowanie jednokryterialnego problemu optymalizacji: Znajdź wektor zmiennych decyzyjnych: x * = [x 1 *, x 2 *,..., x n * ] T spełniający: K ograniczeń nierównościowych g k (x) 0 k = 1,2,. K M ograniczeń równościowych h m (x) = 0 m = 1,2,. M i minimalizujący funkcję celu f(x) f(x * ) = min. f(x) oraz: g k (x * ) 0 k = 1,2,. K h m (x * ) = 0 m = 1,2,. M

3

4 FUNKCJA CELU I FUNKCJA PRZYSTOSOWANIA Odwzorowanie funkcji celu na funkcję przystosowania (skalowanie funkcji celu): Selekcja: proporcjonalna: skalowanie jest konieczne. turniejowa i rankingowa: skalowanie jest nieistotne.

5 Metody odwzorowania funkcji celu na funkcję dopasowania w przypadku selekcji proporcjonalnej: Sposób najprostszy: wykorzystanie dodatniej stałej i określenie funkcji przystosowania w postaci: gdzie : f ' ( x) C f ( x ) C f( x ) dla wszystkich x, lub t j - w iteracji t C max.{ f ( x )} j J J wielkość populacji

6 Statyczne skalowanie liniowe f ' ( x ) a f ( x) b a,b stałe parametry dla wszystkich iteracji. Dynamiczne skalowanie liniowe f ' t ( x ) a f ( x) b t a stały parametr dla wszystkich iteracji, b t parametr ustalany w każdej iteracji.

7 Metoda obcięcia f t '( x ) f ( x) [ ~ f ( x) c ] c stała - odchylenie standardowe populacji. ~ f ( x ) - wartość średnia dopasowania w populacji.

8 Skalowanie wykładnicze t f t f '( x) ( x) - wykładnik potęgi bliski jedności, np Skalowanie logarytmiczne f ( x) b log[ f ( x )] ' t t b stała większa od każdej wartości log[ ft ( x )]

9 Metoda ruchomej bazy (windowing) f ( x) f ( x ) f ' t t w w - szerokość okna (zwykle 2 10). f - najgorsza wartość w ostatnich w iteracjach. w

10 Normalizacja Problem maksimum: f ' t ft ( x) f ( x ) f f max min min Problem minimum: f ' t f f max t ( x ) max f ( x) f min

11 Selekcja turniejowa i rankingowa: skalowanie jest nieistotne.

12 UWZGLĘDNIANIE OGRANICZEŃ Znajdź wektor: x * minimalizujący funkcję celu: f(x) oraz spełniający K ograniczeń nierównościowych: g k (x) 0; M ograniczeń równościowych: h m (x) = 0. Operacje przeprowadzane losowo na chromosomach mogą generować rozwiązania niedopuszczalne (tzn. leżące poza obszarem dopuszczalnym wyznaczonym przez ograniczenia).

13 Metody generujące rozwiązania w obszarze dopuszczalnym: Metoda odrzucania W każdej iteracji chromosomy zawierające rozwiązania niedopuszczalne są odrzucane. (Działa skutecznie gdy obszar dopuszczalny zajmuje większa część całkowitej przestrzeni przeszukiwań.)

14 Metoda poprawiania W każdej iteracji chromosomy zawierające rozwiązania niedopuszczalne są reperowane, tak aby zawierały rozwiązania z obszaru dopuszczalnego. (Strategia reperowania zależy od natury problemu i często jest bardziej skomplikowana niż rozwiązywany problem)

15 Metoda funkcji kary Przeniesienie na grunt algorytmów ewolucyjnych techniki stosowanej w konwencjonalnych metodach optymalizacyjnych (rozwiązania spoza obszaru dopuszczalnego są karane przy wykorzystaniu współczynnika kary). Zasada generalna: problem z ograniczeniami jest transformowany do problemu bez ograniczeń, w wyniku włączenia ograniczeń do rozszerzonej funkcji celu: ( x, r) f ( x) r{ M m 1 [ h m ( x)] 2 K k 1 G k [ g k ( x)] 2 } r G k współczynnik kontrolujący wielkość członu kary - operator Heaviside = 0 gdy g k (x)>= 0 oraz = 1 gdy g k (x)<0.

16 SELEKCJA TURNIEJOWA W PROBLEMACH OPTYMALIZACJI Z OGRANICZENIAMI Jedna z najbardziej efektywnych metod rozwiązania zadania programowania nieliniowego z ograniczeniami.

17 Operator selekcji turniejowej: W selekcji biorą udział dwa chromosomy populacji rodzicielskiej. (i) Jeżeli oba chromosomy są z obszaru niedopuszczalnego, to do populacji tymczasowej wybierany jest chromosom położony bliżej obszaru dopuszczalnego (na podstawie oceny odległości od brzegu obszaru dopuszczalnego). Ocena odległości od obszaru dopuszczalnego: M m 1 ( x ) [ h ( x)] G [ g ( x)] m 2 K k 1 k k 2 W obszarze dopuszczalnym ( x ) 0. W obszarze niedopuszczalnym ( ) 0 x. Dla żadnego z chromosomów nie oblicza się wartości funkcji celu.

18 (ii) Jeżeli jeden chromosom jest z obszaru dopuszczalnego, a drugi z obszaru niedopuszczalnego, to do populacji tymczasowej wybierany jest chromosom należący do obszaru dopuszczalnego. Dla żadnego z chromosomów nie oblicza się wartości funkcji celu. (iii) Jeżeli oba chromosomy są z obszaru dopuszczalnego, to dla obu oblicza się wartość funkcji przystosowania i do populacji tymczasowej przechodzi chromosom o lepszej wartości tej funkcji.