Lista 0 - Okolice rachunku zdań

Transkrypt

1 Lista 0 - Okolice rachunku zdań 1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400. Niech p oznacza rok R jest podzielny przez 4, q rok R podzielny przez 100, r rok R jest podzielny przez 400. Zapisz za pomocą p, q, r zdanie: a) Rok R jest przestępny w kalendarzu gregoriańskim. b) Rok R jest przestępny w kalendarzu juliańskim. 2. Każda karta z jednej strony jest czerwona albo niebieska, z drugiej zaś ma narysowane kółko albo trójkąt. Na stole widzimy cztery takie karty, widoczna strona jest w nich kolejno czerwona, niebieska, trójkątem i kółkiem. Jacek twierdzi, że karty niebieskie mają na odwrocie kółko. Które karty Placek musi odwrócić, aby sprawdzić, czy Jacek mówi prawdę? 3. Zbadaj, które z poniższych formuł są tautologiami. Zanim przystąpisz do formalnych rachunków, spróbuj odgadnąć wynik. a) (p p) p b) p ( p q) c) (p q) [( p) ( q)] d) (p q) (p q) e) (p q) [ p) ( q)] f) (p q) [( p) ( q)] g) [(p (q r)] [(p q) (p r)] h) [(p q) r] [p (q r)] i) [p (q r)] [(p q) (p r)] j) [p (q r)] [( (p q) (p r)] k) [p (q r)] [( q r) p] l) [(p q) r)] [( p (q r)]. 4. Przyjmijmy, że gdy Jacek chrapie, to Agata śni. Które z poniższych zdań są prawdziwe przy tym założeniu? a) Gdy Agatka nie śni, to Jacek nie chrapie. b) Gdy Jacek nie chrapie, to Agatka nie śni. c) Gdy Agatka śni, to Jacek chrapie. d) Jacek nie chrapie lub Agatka śni. e) Nie jest możliwe, aby Jacek chrapał, a Agatka nie śniła. 5. W czasie kampanii wyborczej panowie Alfa, Beta i Gamma złożyli oświadczenia: Alfa: Beta zawsze kłamie. Beta: Gamma zawsze kłamie. Gamma: Alfa zawsze kłamie. Uzasadnij, że przynajmniej dwa z tych oświadczeń są fałszywe. 6. W czasie kampanii wyborczej panowie Alfa, Beta, Gamma i Delta złożyli następujące oświadczenia: Alfa: Beta zawsze kłamie. Beta: Gamma przynajmniej czasem mówi prawdę. Gamma: Delta przynajmniej czasem kłamie. Delta: Alfa zawsze mówi prawdę. Wykaż, że dokładnie dwa z tych zdań są prawdziwe.

2 Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. Zapisz za pomocą alternatywy, koniunkcji i negacji spójnik albo (alternatywę wykluczającą). 2. Zapisz formułę korzystając wyłącznie ze wskazanych spójników: a) p q za pomocą koniunkcji i negacji b) p q za pomocą alternatywy i negacji c) p q za pomocą implikacji i negacji d) p q za pomocą implikacji i negacji 3. Wyraź: a) alternatywę, implikację oraz równoważność za pomocą negacji oraz koniunkcji b) koniunkcję, implikację oraz równoważność za pomocą negacji oraz alternatywy. 4. Zapisz formułę: p 1 (p 2 (p 3... (p n q))...) używając znak implikacji: a) tylko raz b) ani razu. 5. Przyjmijmy oznaczenia: N p negacja p, Cpq implikacja, Apq alternatywa, Kpq koniunkcja, Epq równoważność. System ten (tzw. notacja polska) pozwala zapisywać formuły rachunku zdań bez użycia nawiasów. Zapisz w zwykłej notacji: a) KCpNqp b) CCpCNpqq. 6. Zapisz w notacji polskiej: a) zasady wyłączonego środka i sprzeczności b) prawa de Morgana c) Zapisz w notacji polskiej (p (q (r ( s)))). 7. Zbadaj, czy poniższe schematy wnioskowania są poprawne: a) d) ( p) q, p q b) p q, ( p) q q e) (p q) r, q p r c) (p q) r, q : p r f) p (q r), r p q p q,p ( q). p 8. Zbadaj poprawność każdego z poniższych wnioskowań. Jeżeli jest poprawne, daj pełne wyprowadzenie ze wskazaniem stosowanych reguł wnioskowania. Jeżeli jest niepoprawne, wyjaśnij dlaczego. a) Jeśli płyta jest głośna lub monotonna, to nie jest długa. Płyta jest monotonna. Wniosek: Płyta nie jest długa. b) Jeśli Rybin jest nudny, to trudno go znaleźć. Jeżeli Rybin nie jest mały, to nietrudno go znaleźć. Rybin jest nudny. Wniosek: Rybin jest mały. c) Nieprawda, ze Franek gra zarówno na gitarze jak i na flecie. Jeżeli Franek nie gra na gitarze lun nie gra na flecie, to gra na organach i na harfie. Jeżeli gra na harfie, to gra na organach. Wniosek: Franek gra na organach. d) Jeżeli napadniesz na bank, trafisz do więzienia. Jeśli trafisz do więzienia, nie spędzisz czasu miło. Jeśli wyjedziesz na wakacje, to spędzisz czas miło. Napadasz na bank lub jedziesz na wakacje. Wniosek: Trafisz do więzienia lub spędzisz miło czas.

3 9. Zbadaj, czy podany zestaw informacji jest sprzeczny: Jeśli wieczór nudny, to Ala płacze lub Anatol opowiada śmieszne historie. Jeżeli wieczorem zjawia się Fryderyk, to wieczór jest nudny lub Ala płacze. Jeżeli Anatol opowiada śmieszne historie, to Ala nie płacze. Fryderyk zjawia się wieczorem wtedy i tylko wtedy, gdy Anatol nie opowiada śmiesznych historii. Jeśli Ala płacze, to Anatol opowiada śmieszne historie. 10. Zbuduj układ logiczny, który oblicza funkcję logiczną f określoną wzorem: a) f(x,y,z) = 1 tylko wówczas, gdy y = z b) f(x,y,z) = 1 tylko wtedy, gdy parzysta liczba argumentów przyjmuje wartość Spójnik Pierce a (operator NOR) jest zdefiniowany wzorem (p q) (( p) ( q)). Kreska Sheffera, (operator NAND) jest zdefiniowana wzorem p q (( p) (( q)). Wyraź: a) negację, koniunkcję, alternatywę oraz implikację za pomocą spójnika Pierce a. d) negację, koniunkcję, alternatywę oraz implikację za pomocą kreski Sheffera. 12. Zapisz spójnik Pierce a za pomocą kreski Sheffera i na odwrót. 13. Wykaż, że jedynymi spójnikami dwuargumentowymi o tej własności, że za pomocą jednego spójnika można wyrazić wszystkie pozostałe sa spójnik Pierce a i kreska Sheffera. 14. Ile jest formuł, których zapis w notacji polskiej składa sie ze 100 symboli, przy czym symbol jest operatorem zmienną p albo: a) operatorem N b) operatorem C?

4 Lista 2 - Kwantyfikatory 1. Niech d(x,y) oznacza x jest dzieckiem y, m(x) x jest mężczyzną. Zapisz formuły: a) x jest bratem y b) x jest dziadkiem y c) x jest stryjkiem y d) x oraz y są przyrodnim rodzeństwem. 2. Przyjmijmy, że w języki arytmetyki liczb naturalnych mamy stałe 0, 1, 2,... oraz symbole + i. Zapisz w tym języku: a) n jest liczbą parzystą b) m > n c) n jest liczbą złożoną d) n jest liczba pierwszą. 3. Niech p(n) będzie skrótem formuły n jest liczbą pierwszą. Korzystając z tego symbolu i pozostałych symboli arytmetyki liczb naturalnych zapisz: a) każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwu liczb pierwszych (hipoteza Goldbacha) b) kwadrat liczby pierwszej nie jest liczba pierwszą c) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. 4. Kwantyfikatory ograniczone określamy następująco: x A P(x) x(x A P(x)), x A P(x) x(x A P(x)). Sformułuj i udowodnij prawa de Morgana dla kwantyfikatorów ograniczonych. 5. Wskazując odpowiedni kontrprzykład wykaż, że nie zachodzi wynikanie: a) x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)) b) ( xa(x) xb(x)) x(a(x) B(x)) c) x yr(x, y) y xr(x, y) d) [ xa(x) xb(x))] [ x(a(x) B(x))]. 6. Zapisz za pomocą tylko jednego kwantyfikatora: a) xp(x) xq(x) b) xp(x) yq(y) c) xp(x) xq(x). 7. Wykaż, wskazując odpowiedni kontrprzykład, że reguła wnioskowania x(p(x) Q(x)), xm(x) x(p(x) M(x)) jest błędna. Uzupełnij komentarze przy przejściach poprawnych i wskaż błąd (błędy) w poniższym dowodzie poprawności tej reguły: 1. x(p(x) Q(x)) 2. xm(x) 3. P(a) Q(a) 4. P(a) 5. M(a) 6. P(a) M(a) 7. x(p(x) M(x).

5 8. Wyprowadź poniższe reguły wnioskowania: a) x(p(x) Q(x)), x(p(x) M(x)) x(q(x) M(x) b) c) x((a(x) (R(x)) T(x)), x(t(x) P(x)), x(a(x) P(x)) xr(x) x(r(x) C(x)), x(t(x) R(x)). x( C(x) T(x)) 9. Wiadomo, że: a) jeżeli wielkie twierdzenie Fermata jest fałszywe, to krzywa Freya nie jest modularna b) krzywa Freya jest krzywą eliptyczną c) każda krzywa eliptyczna jest modularna. Wywnioskuj z tych przesłanek, że wielkie twierdzenie Fermata jest prawdziwe. Wskaż wykorzystywane reguły wnioskowania. Zauważ, że nie musisz rozumieć żadnego z terminów! Ale co głosi wielkie twierdzenie Fermata wypada wiedzieć. 10. Określmy dwa rodzaje kwantyfikatorów dla liczb naturalnych: n ϕ(n) ( k n k(ϕ(n)), n ϕ(n) ( k n k(ϕ(n)). a) Sformułuj i udowodnij prawa de Morgana dla tych kwantyfikatorów. b) Wykaż, że zachodzi implikacja n ϕ(n) n ϕ(n). c) Zdefiniuj za pomocą tych kwantyfikatorów pojęcia granicy ciągu i punktu skupienia. d) Daj krótki dowód tego, że granica ciągu jest jego punktem skupienia. 11. Przyjmijmy, że zakresem zmienności wszystkich zmiennych są liczby naturalne. Niech k l oznacza k dzieli l. Wykaż, że za pomocą 0, 1, + oraz można zdefiniować predykat z = xy. Wsk.: Zdefiniuj najpierw predykat y(x = y 2 ). Przydadzą się tożsamości: (x + y) 2 = x 2 + xy + xy + y 2 NWD(x,x + 1) = 1 oraz x 2 + x = NWW(x,x + 1), gdzie NWD oznacza największy wspólny dzielnik, NWW najmniejszą wspólną wielokrotność.

6 Lista 3 - Rachunek zbiorów 1. Czy dla dowolnych zbiorów A,B i C prawdziwe są następujące równości: a) A (B C) = (A B) (A C) b) (A\B)\C = A\(B \C) c) (A\B) C = (A C)\(B C) d) (A\B) C = (A C)\(B C) e) (A B) C = (A C) (B C) f) (A B) C = (A C) (B C) g) (A B) C = (A C) (B C) h) (A B) C = (A C) (B C)? Uzasadniając odpowiedź pozytywną wskazuj, przy których przejściach korzystasz z definicji, a przy których z praw rachunku zdań (jakich?). 2. Czy dla dowolnych zbiorów A,B,C i D prawdziwe są następujące zdania: a) (A B) (B C) A C b) (A B) (A\C B \C) c) (A C) (B C) A B C d) (A B) (A C) A B C e) (A B) (C D) A C B D f) (A B) (C D) A C B D? 3. Jaki związek (zawieranie, równość itp.) zachodzi pomiędzy: a) P(A B) i P(A) P(B) b) P(A B) i P(A) P(B) c) P(A B) i P(A) P(B)? 4. Za pomocą symbolu oraz symboli logicznych (w tym równości) zapisz: a) A = B C b) zbiory A, B są niepuste i rozłączne c) A jest zbiorem jednoelementowym. 5. Dla zbioru A = {,{,{ }}} wypisz wszystkie elementy: zbioru: a) A b) P(A) c) A. 6. Znajdź sumę n=0 oraz iloczyn n=0 dla poniższych rodzin zbiorów: a) A n = [n, ) b) B n = (0,1/n) c) C n = [0,1 1/n] d) A n = ( n,1/(n+2)). 7. Znajdź sumę t T oraz iloczyn t T dla poniższych rodzin zbiorów: a) A t = (,t], T = R + b) B t = R\{t}, T = Q c) C t = [t,1] [0,t], T = (0,1). 8. Które z poniższych ciągów są elementami n=0 A n, gdzie A n = (n, ): a) a n = 1 b) b n = n+1 c) c n = 2n d) d n = n 2 +1 e) e n = n+1+sinn? 9. Które z poniższych funkcji są elementami t R A t, gdzie A t = [0, 1+ t ]: a) a(t) = 1 b) b(t) = t c) c(t) = sint d) d(t) = t 2 e) e(t) = t 1? 10. Wykaż, że A B = B A wtedy i tylko wtedy, gdy A = B lub A = lub B =. 11. Czy istnieją zbiory A, B, C takie, że A B C oraz A B C?

7 1. Wypisz wszystkie elementy relacji: a) podzielności na zbiorze {1,2,3,4,5} b) relacji x < y < z na {1,2,3,4,5}. Lista 4 - Relacje 2. Ile jest relacji: a) zwrotnych na zbiorze {1,2,...,n} b) symetrycznych na zbiorze {1,2,...,n} c) słabo antysymetrycznych na zbiorze {1,2,...,n}? 3. Rozważmy trzy własności relacji: zwrotność, symetryczność i przechodniość. Podaj przykłady relacji: a) zwrotnej, symetrycznej, ale nieprzechodniej b) zwrotnej, przechodniej, ale niesymetrycznej c) tylko zwrotnej d) tylko symetrycznej e) tylko przechodniej. 4. Poniższe rozumowanie dowodzi, że każda relacja symetryczna i przechodnia jest zwrotna. Weźmy dowolne a. Niech b dowolne a takie, że arb. Z symetrii wynika, że bra, a skoro arb i bra, to z przechodniości wynika, ze ara. Gdzie tkwi błąd? Podaj przykład relacji symetrycznej, przechodniej, ale niezwrotnej. 5. Wykaż, że (N\{0}, ) jest częściowym porządkiem. Znajdź w nim element najmniejszy. Znajdź elementy minimalne w częściowym porządku (N\{0,1}, ). 6. Rozważamy częściowy porządek ({2,...,30}, ), gdzie oznacza relację podzielności. Ile jest elementów minimalnych oraz ile jest elementów maksymalnych w tym częściowym porządku? 7. Narysuj diagram Hassego minimalnego porządku, przy którym 1 2, 2 3, 5 4, 4 2, 6 7, 7 3, 7 8, 8 9, 3 0, 9 0. a) Rozważmy rodzinę niepustych łańcuchów w tym porządku. Ile ma elementów minimalnych, a ile maksymalnych? b) Analogicznie dla rodziny niepustych antyłańcuchów. 8. Na zbiorze R 2 rozważamy relację zadaną formułą ((x,y) (x y )) (x x ) (y y ). Wykaż, że relacja ta jest częściowym porządkiem. NiechK = {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 1}. Wyznacz elementy minimalne zbioru K. Dla ustalonego punktu (a,b) R 2 wyznacz zbiory {(x,y) R 2 : (a,b) (x,y)}, {(x,y) R 2 : (x,y) (a,b)} oraz {(x,y) R 2 : ((a,b) (x,y)) ((x,y) (a,b))}. 9. Wykaż, że następujące relacje są relacjami równoważności na zbiorze X i wyznacz ich klasy abstrakcji oraz przestrzenie ilorazowe X/ : a) X = N 2 (x,y) (a,b) x+y = a+b, b) X = N 2 (x,y) (a,b) max{x,y} = max{a,b}, c) X = R x y ( t 0)(tx = y), d) X = R x y ( t > 0)(tx = y), e) X = R 2 x y ( t 0)(tx = y), f) X = R 2 x y ( t > 0)(tx = y). 10. Czy jest relacją równoważności na zbiorze liczb całkowitych: a) liczby x, y są w relacji, gdy ich różnica dzieli się przez 2 lub 3 b) liczby x, y są w relacji, gdy ich różnica dzieli się przez 2 lub 4?

8 11. Dla (x 1,x 2 ),(y 1,y 2 ) [0,1] 2 określamy relację (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) u(x 1 ) = u(y 1 ) u(x 2 ) = u(y 2 ), gdzie u(x) = x x. Wykaż, że jest relacją równoważności. Wyznacz jej klasy abstrakcji. 12. Ile jest: a) relacji równoważności na zbiorze {1,2,3} b) podziałów zbioru {1,2,3,4} c) relacji równoważności na zbiorze czteroelementowym? 13. Na rodzinie P(N) określamy relację A B, jeżeli ich różnica symetryczna jest skończona. a) Uzasadnij, że jest to relacja równoważnosci b) Opisz klasę abstrakcji zbioru pustego. c) Uzasadnij, że relacja ta wyznacza nieskończenie wiele klas abstrakcji. 14. Na okręgu o promieniu 1 określamy relację: punkt A jest w relacji z punktem B, jeżeli A = B lub ich odległość wynosi d. a) Dla jakich d relacja ta jest relacją równoważności? b) Jak wyglądają wówczas klasy abstrakcji? c) Rozwiąż analogiczne zadanie dla sfery. 15. Na zbiorze N N określamy relację (a,b) (c,d) (a + d = b + c). Wykaż, że jest to relacja równoważności. Pokaż, że jej klasy abstrakcji można w naturalny sposób ponumerować liczbami całkowitymi, tzn. istnieje (naturalna) bijekcja ze zbioru Z na zbiór tych klas abstrakcji. 16. Na zbiorze Z N + określamy relację (a,b) (c,d) (ad = bc). Wykaż, że jest to relacja równoważności. Jej klasy abstrakcji można w naturalny sposób ponumerować pewnymi liczbami. Jakimi? 17. Zdefiniuj złożenie relacji analogicznie do składania funkcji. Niech R = {(x,y) R 2 : x = y } oraz Q = {(x,y) R 2 : y = sin(x)}. Narysuj wykres relacji R Q oraz Q R. 18. Wykaż twierdzenie Spernera: Każdy antyłańcuch w rodzinie podzbiorów zbioru n- elementowego ma co najwyżej ( n n/2 ) elementów.

9 Lista 5 - Funkcje, równoliczność i liczby kardynalne 1. Dla funkcji f : R R znajdź f(a), f 1 (f(a)), f 1 (C), f(f 1 (C)): a) f(x) = e x, A = (0, ), C = [0,1] ZMIENIC! b) f(x) = sinx, A = [0,π/2], C = {1} c) f(x) = lnx, A = (0,1], C = [0,1] d) f(x) = x +1, A = [ 1,2], C = R. 2. Niech f : R 2 R 2 będzie funkcją zadaną wzorem f((x,y)) = (x+y,x y). a) Czy odwzorowanie f jest injekcją? b) Czy f jest surjekcją? c) Znajdźf(R {0}), f(l) orazf 1 (L), gdzieljest prostą zadaną równaniemy = x Dla funkcji f(x) = x 2 oraz A = [ 2,0], B = [0,2] wyznacz: a) f(a B), f(a) f(b) b) f(a B), f(a) f(b) c) f(a\b), f(a)\f(b). 4. Niech f : X Y, A,B X, C Y. Wykaż, że a) f(a B) f(a) f(b) b) f(a)\f(b) f(a\b) c) A f 1 (f(a)) d) f(f 1 (C)) C. 5. Wykaż, że przy dodatkowym założeniu (typu f jest różnowartościowa lub f jest na ) każdą z inkluzji w poprzednim zadaniu można zastąpić równością. 6. Niech f : X Y, g : Y X. Wykaż, że: a) jeżeli g f = id X, to f jest injekcją b) jeżeli f g = id Y, to f jest surjekcją. 7. Znajdź bijekcję pomiędzy następującymi parami zbiorów: a) (0,1) i (2,5) b) (a,b) i (c,d) c) (0, ) i R d) ( π/2,π/2) i R e) (0,2) i R f) (1, i R g) (1, ) i (2, ) h) [0,1] i [0,1). 8. Punktem kratowym płaszczyzny nazywamy punkt o obu współrzędnych całkowitych. Pokaż, jak ustawić w ciąg wszystkie punkty kratowe płaszczyzny. 9. Czy jest zbiorem przeliczalnym zbiór: a) funkcji liniowych o współczynnikach całkowitych b) funkcji stałych f : R R c) zbiór okręgów o środku w punkcie kratowym i promieniu całkowitym d) zbiór okręgów zawierających przynajmniej dwa punkty kratowe e) zbiór okręgów zawierających przynajmniej trzy punkty kratowe? 10. Wykaż, że zbiór funkcji f : N {0,1} stałych od pewnego miejsca jest zbiorem przeliczalnym. 11. Jaka jest moc zbioru punktów płaszczyzny: a) o obu współrzędnych wymiernych b) takich, że przynajmniej jedna współrzędna jest wymierna?

10 12. Znajdź moc zbioru: a) funkcji f : R N b) funkcji f : R R c) funkcji f : N R d) relacji trójargumentowych na R. Wynik podaj w formie ℵ 0, c lub 2 do odpowiedniej potęgi. 13. Jaka jest moc zbioru wszystkich ciągów zbieżnych do zera o wyrazach: a) rzeczywistych b) całkowitych? 14. Znajdź moc zbioru wszystkich bijekcji zbioru: a) N b) R. 15. Jaka może być moc zbioru A\B jeśli A i B są zbiorami mocy: a) ℵ 0 b) c? 16. Ile można narysować na płaszczyźnie parami rozłącznych liter: a) L b)* T? 17. Niech A będzie zbiorem powstałym z płaszczyzny przez usunięcie przeliczalnie wielu punktów. Wykaż, że każde dwa punkty tego zbioru można połączyć: a) łamaną w nim zawartą b) łukiem okręgu w nim zawartym. 18. Wykaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych otwartych przedziałów liczb rzeczywistych jest przeliczalna.