WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011
|
|
- Seweryn Urbański
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 dr Przemysław Szczepaniak ZDANIA WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/ Udowodnij prawa rachunku zdań poznane na wykładzie. 2. Sprawdź, które z poniższych zdań są tautologiami: (a)p q r ( p (q r) r). (b)(p q) (r s) (p s q r). (c)(p q r) (p r) (q r). (d)(p q) (p q p). (e)(p q r s) (p r) (q s). (f)(p q) (p q) (q p). 3. Zaneguj zdania z przykładów(a),(b),(c) poprzedniego zadania. Korzystając z praw de Morgana, przekształć je do postaci, w której negacja występuje jedynie przed zmiennymi zdaniowymi. 4. Sprawdź metodą skróconą, które z poniższych zdań są tautologiami: (a)p (q p). (b)(p (q r)) ((p q) (p r)). (c)( p q) (( p q) p). (d)((p q) (q r)) (p r). 5. Oto fragment raportu policji, sporządzonego przez młodego aspiranta: Świadek nie był zastraszony lub też, jeśli Henry popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono. Jeśli świadek był zastraszony, to Henry nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono, to Henry popełnił samobójstwo. Jeśli Henry nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono. Co komendant policji może wywnioskować z powyższego raportu, poza oczywistym faktem, że należy zwolnić aspiranta? Spróbuj odpowiedzieć na pytania: Czy świadek był zastraszony? Czy Henry popełnił samobójstwo? Czy testament odnaleziono?. 1 Uwaga.Ćwiczenianiesąoznaczone,przyzadaniachjestsymbol,przytrudniejszych zadaniachjestsymbol. 1
2 6. Sprawdź, czy poniższe rozumowania są poprawne: (a)jeżelijanożenisięzmarią,topiotrgoznienawidzi.jeżelipiotrożeni sięzmarią,tojangoznienawidzi.zatempiotrznienawidzijanalubjan znienawidzi Piotra. (b) Jeżeli występuje spięcie w przewodzie elektrycznym, to światło gaśnie. Światło nie gaśnie. Zatem nie występuje spięcie w przewodzie elektrycznym. (c) Jeśli jest zimno, to trzeba ubrać płaszcz. Jeśli pada deszcz, to trzeba wziąćparasol.więcjeślijestzimnoipadadeszcz,totrzebaubraćpłaszczi wziąć parasol. (d) Jeśli pacjent ma zapalenie oskrzeli, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Jeśli pacjent ma zapalenie płuc, to zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. Pacjent ma zapalenie oskrzeli lub zapalenie płuc. Zatem zastosowanie antybiotyków przyniesie poprawę. 7. PodczaspewnejkampaniiwyborczejOlek,JózekiKazikwygłosilinastępujące oświadczenia: Olek: Józek zawsze kłamie, Józek: Kazik zawsze kłamie, Kazik: Olek zawsze kłamie. Pokaż, że co najmniej dwóch spośród nich nie miało racji. 8. KreskęSheferaokreślamynastępująco:p q=( p q).wyraźnegację, koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność za pomocą tego spójnika. ZBIORY 9. Udowodnij prawa rachunku zbiorów poznane na wykładzie. 10.Pokaż,żezbiórn-elementowyma2 n wszystkichpodzbiorów. 11.Pokaż,żedladowolnychzbiorówA,B,C,D: (a)a B B C A C, (b)a C B C A B C, (c)a B A C A B C, (d)a B C D A C B D, (e)a B C D A C B D. 12. Pokaż, że dla dowolnych zbiorów A, B poniższe warunki są równoważne: 1.A B, 2.A B=A, 3.A B=B. 2
3 13. Pokaż, że A B jest najmniejszym w sensie inkluzji zbiorem zawierającym jednocześnie zbiory A i B. Sformułuj i udowodnij analogiczny fakt dla przekroju dwóch zbiorów. 14.Pokaż,żedladowolnychzbiorówA,B,C: (a)(a\b)\c=a\(b C), (b)a\(b\c)=(a\b) (A C). 15. Pokażnastępująceprawaróżnicysymetrycznej:A =A,A A=, A B=B A,A (B C)=(A B) C. 16.Rozwiążrównanie[0,1] X=[ 1, 1 2 ). 17. Czy iloczyn kartezjański jest operacją łączną? 18.Pokaż,żedladowolnychzbiorówA,B,C: (a)(a B) C=(A C) (B C), (b)(a B) C=(A C) (B C). 19.WyznaczzbioryP( ),P(P( )),P({1,2,3}). 20.Pokaż,żeA Bwtedyitylkowtedy,gdyP(A) P(B). 21.CzydladowolnychzbiorówA,B: (a)p(a) P(B)=P(A B), (b)p(a) P(B)=P(A B)? KWANTYFIKATORY 22. Udowodnij prawa rachunku kwantyfikatorów poznane na wykładzie. 23. Używając jedynie symboli kwantyfikatorów, nawiasów, spójników logicznychoraz=,,<,,+,,, N, Z, Rzapiszzdania: (a) istnieje nieparzysta liczba naturalna, (b) nie ma największej liczby naturalnej, (c) niektóre liczby naturalne są pierwsze, (d)każdaliczbanaturalnadajeprzydzieleniuprzez2resztę0lub1, (e) x jest najmniejszą liczbą naturalną, (f) wśród liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza, (g) suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych jest zawsze nieujemna, (h)równaniex 2 +x+4=0niemarozwiązańwzbiorzeliczbrzeczywistych, (i)równaniex 2 x 2=0madwarozwiązaniacałkowite, 3
4 (j)równanie2x+a=0marozwiązaniecałkowitedladowolnegoa Z, (k) dla dwóch(różnych) liczb rzeczywistych dodatnich ich średnia arytmetyczna jest mniejsza niż średnia geometryczna, (l) liczba z jest największym wspólnym dzielnikiem liczb x i y, (m) każde dwie liczby naturalne mają najmniejszą wspólną wielokrotność, (n) istnieje dokładnie jedna nieparzysta liczba naturalna. 24. Czy zdania z poprzedniego zadania są prawdziwe? Odpowiedź uzasadnij. 25. Zaprzecz zdaniom z zadania Przedstawgraficzniezbiór{(x,y) R 2 :ϕ(x,y)}jeśliϕ(x,y)toformuła x<y,x y,x y<1, x y 1, x+y <1,x y 1 x y=1. DZIAŁANIA UOGÓLNIONE 27.Znajdź n=1 A n oraz n=1 A n jeśli (a)a n ={x R:x n}, (b)a n ={x R: n<x 1 n }, (c)a n ={x R: 1 n x n}, (d)a n ={x R:1 1 n <x<3 1 n }, (e)a n ={x R:n<x n+1}, (f)a n ={x R:n 2 <x<n+10}, (g)a n ={x R:( 1) n <x<2+ ( 1)n n }. 28.Znajdź {A t :t R}oraz {A t :t R}jeśli (a)a t ={(x,y) R 2 :y=t x}, (b)a t ={(x,y) R 2 :x 2 +y 2 t 2 }. 29. Wyznacz sumę oraz przekrój pustej rodziny podzbiorów zbioru R. 30. Udowodnij następujące własności działań uogólnionych: (a)( t TA t ) c = t TA c t, (b)( t TA t ) c = t TA c t, (c) t T(A t B t )=( t TA t ) ( t TB t ), (d) t T(A t B t )=( t TA t ) ( t TB t ), (e) t T(A t B t ) ( t TA t ) ( t TB t ), (f) t T(A t B t ) ( t TA t ) ( t TB t ). W podpunktach(e) i(f) pokaż, że inkluzji nie można zastąpić równością. 4
5 RELACJE 31. Zbadaj, czy poniższe relacje są zwrotne, przeciwzwrotne, symetryczne, słabo antysymetryczne, antysymetryczne, przechodnie, spójne: (a)xry xjesttejsamejpłcicoy, (b)xry xjestbratemy, (c)xry x<y,na R, (d)xry x y,na R, (e)xry x y,na N, (f)xry x y,na Z, (g)xry x y,nap(ω), (h)xry x y=,nap(ω), (i)xry 2 x+y,na N, (j)xry x < y,na R, (k)xry x+y 2,na R. 32.CzykażdąrelacjęRnaXmożnarozszerzyćdorelacji(a)zwrotnejna X,(b) przeciwzwrotnej na X,(c) symetrycznej na X,(d) słabo antysymetrycznejnax,(e)antysymetrycznejnax,(f)przechodniejnax,(g) spójnej na X? 33. Podaj przykład relacji która (a) jest zwrotna, symetryczna i nie jest przechodnia, (b) jest zwrotna, słabo antysymetryczna i nie jest przechodnia, (c) jest symetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna, (d) jest słabo antysymetryczna, przechodnia i nie jest zwrotna. 34. Ilenazbiorzen-elementowymjestrelacji(a)zwrotnych,(b)symetrycznych,(c) zwrotnych i symetrycznych,(d) antysymetrycznych,(e) słabo antysymetrycznych? FUNKCJE 35.Niechf: N 2 Nbędziefunkcjąokreślonąwzoremf(n,k)=nk. (a) Czy f jest różnowartościowa? (b)czyfjest na? (c)znajdźf[{2,4} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}]. (d)znajdźf[{2} {2 n :n N}]. (e)znajdźf 1 [{4,5}]. 5
6 36.Niechf: R 2 R 2 będziefunkcjąowzorzef(x,y)=(x+y,x y). (a) Czy f jest różnowartościowa? (b)czyfjest na? (c)znajdźf[r {0}]. (d)znajdźf 1 [{(1,1)}]. (e)znajdźf[l]orazf 1 [L],gdzieLjestprostąorównaniuy=x Niechf(x)= x+1,g(x)=3x 6,h(x)= x 2.Napiszwzoryzłożeń (a)h g f,(b)f g h,(c)g f f f,(d)h g f g g,(e)f g f h h. 38.Niechf:X YorazA,A 1,A 2 XiB,B 1,B 2 Y.Pokaż,że (a)f[a 1 A 2 ]=f[a 1 ] f[a 2 ], (b)f[a 1 A 2 ] f[a 1 ] f[a 2 ], (c)f[a 1 \A 2 ] f[a 1 ]\f[a 2 ], (d)f 1 [B 1 B 2 ]=f 1 [B 1 ] f 1 [B 2 ], (e)f 1 [B 1 B 2 ]=f 1 [B 1 ] f 1 [B 2 ], (f)f 1 [B 1 \B 2 ]=f 1 [B 1 ]\f 1 [B 2 ], (g) A f 1 [f[a]], (h) B f[f 1 [B]]. 39. Znajdź przykłady pokazujące, że zawierania w podpunktach poprzedniego zadania nie można zastąpić równością. 40. Pokaż,żejeślif:X Y,g:Y Zsąfunkcjamitakimi,żeg f jest różnowartościowa, a f jest na, to g jest funkcją różnowartościową. Czy założenie, że f jest na jest istotne? 41. Pokaż,żefjestfunkcjąróżnowartościowąwtedyitylkowtedy,gdy f[a B]=f[A] f[b]dladowolnychzbiorówaib. RÓWNOWAŻNOŚCI 42. Pokaż, że jest relacją równoważności na zbiorze Z, jeśli (a)n k 3 n+2k, (b)n k 5 n 2 k Pokaż, że jest relacją równoważności na X oraz wyznacz przestrzeń ilorazowąx/,jeśli (a)(n,k) (n,k ) max{n,k}=max{n,k },X={0,1,2,3,4} 2, (b)x y ( α>0)(α x=y),x= R, (c)u v ( α 0)(α u=v),x= R 2. 6
7 44. Ile jest relacji równoważności na zbiorze{1, 2, 3}? 45. Podaj przykład relacji równoważności na N, która ma jedną 1-elementową, dwie 2009-elementowe i dwie nieskończone klasy abstrakcji. PORZĄDKI 46. Podaj za pomocą diagramów Hassego przykłady częściowych porządków wktórych (a) są dwa 3-elementowe łańcuchy i jeden 3-elementowy antyłańcuch, (b) jest element najmniejszy, są dokładnie dwa elementy maksymalne oraz 4-elementowy łańcuch i 3-elementowy antyłańcuch, (c) jest nieskończony łańcuch i nieskończony antyłańcuch, (d) jest dokładnie jeden element minimalny i nie ma elementu najmniejszego. 47.Wskażwporządku(P(N)\{ }, )elementywyróżnione. 48.Pokaż,że(N\{0}, ),(N\{0,1}, )sączęściowymiporządkami.znajdź w każdym z nich elementy wyróżnione, o ile takie elementy istnieją. 49. Pokaż, że jeśli w częściowym porządku istnieje element największy, to jest on jedynym elementem największym. Pokaż, że element największy jest jednocześnie maksymalny. 50. Pokaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym, to w częściowym porządku (X, ) istnieje co najmniej jeden element maksymalny. 51. Pokaż, że jeśli X jest zbiorem skończonym i w częściowym porządku (X, ) istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to jest on elementem największym. Czy założenie skończoności zbioru X jest istotne? 52. Pokaż,żejeśliRiSsąrelacjamiczęściowoporządkującymi,toR S też jest relacją częściowo porządkującą. Czy wtedy R S też jest relacją częściowo porządkującą? 53.Pokaż,żejeśli liniowoporządkujeskończonyzbiórx,to dobrze porządkuje X. Podaj przykład pokazujący, że założenie skończoności zbioru X jest istotne. 7
8 TEORIA MOCY 54.Pokaż,wskazującodpowiedniąbijekcję,że(a)(0,1) (1,4),(b)(0, ) R,(c)( 1,1) R,(d) Z N,(e) [0, ) (0, ). 55. Pokaż,że (a)a B C D,jeśliA C,B D,A B= ic D=, (b)a B C D,jeśliA CiB D, (c)p(a) P(B),jeśliA B, (d)p(a) {0,1} A. 56. Jakiej mocy jest zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych? 57. Pokaż, że R\ Q jest zbiorem nieprzeliczalnym. 58. Pokaż,że R\Q =c. 59. Pokaż, że dowolna rodzina parami rozłącznych niezdegenerowanych(tzn. niepustych i niejednoelementowych) przedziałów na prostej jest przeliczalna. 60. Czy zbiór, którego każdy właściwy podzbiór jest przeliczalny, sam jest przeliczalny? 61.CzyistniejezbiórXtaki,że P(X) =ℵ 0? 62. Czyrozważanawdowodziefaktu(0,1) (0,1) (0,1)funkcjajestna zbiór(0, 1)? 63. Pokaż, że (a) {X N: X <ℵ 0 } =ℵ 0, (b) {X Z: X N <ℵ 0 } =c, (c) {X R: X <ℵ 0 } =c. 64. Pokaż,że(a)ℵ ℵ 0 0 = c,(b) c ℵ 0 = c,(c) c+c=c,(d)ℵ 0 +c=c,(e) ℵ 0 c=c,(f) c c > c. 65. Jakajestmoczbioruwszystkichciągówliczbrzeczywistychzbieżnychdo zera? A moc zbioru wszystkich ciągów liczb całkowitych zbieżnych do zera? 8
1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowoElementy rachunku zdań i algebry zbiorów
Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów 1.1. Zdania Przez α, β będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoLogika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna
Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna Zadanie 1 Które z podanych wyrażeń są zdaniami logicznymi? a) Na Księżycu żyją istoty rozumne. b) Janek idzie do szkoły. c)wroku2000wpolscebędzie 50mln.mieszkańców.
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.
ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoWstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań
Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska, WPPT Wrocław 2018 G1: Rachunek Zdań Które z następujących zdania są tautologiami: 1. (p (q r)) ((p q) (p r) 2. ((p
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:
LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.
Bardziej szczegółowoCzęść wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoLista 0 - Okolice rachunku zdań
Lista 0 - Okolice rachunku zdań 1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400. Niech p oznacza
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowo(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];
Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przez p, q będziemy oznaczać zdania. Każdemu zdaniu możemy przyporządkować wartość logiczną 1, gdy jest prawdziwe oraz wartość logiczną 0, gdy jest fałszywe. Oznaczmy wartość
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27
Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:
1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo1 Funktory i kwantyfikatory
Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoElementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE
LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoLista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania
Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15
Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z
Bardziej szczegółowoLista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania
Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. Każda karta z jednej strony jest czerwona albo niebieska, z drugiej zaś ma narysowane kółko albo trójkąt. Na stole widzimy cztery takie karty, widoczna
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16
Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoStrona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec
Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,
Bardziej szczegółowoRelacje i relacje równoważności. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Relacje i relacje równoważności Materiały pomocnicze do wykładu uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Zbiór i iloczyn kartezjański Pojęcie zbioru Zbiór jest
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoRelacje. Relacje / strona 1 z 18
Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Teoria mnogości Set theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowoTeoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji
Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowo