Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41"

Transkrypt

1 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

2 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 2 / 41

3 Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimi zdaniami orzekajacymi, które sa prawdziwe albo fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczna 1. Zdanie fałszywe ma wartość logiczna 0. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 3 / 41

4 Z jednego albo kilku zdań przy użyciu operatorów logicznych (zwanych również spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi) możemy utworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone). Podstawowe operatory logiczne: operator jednoargumentowy zaprzeczenie (negacja) ( ) operatory dwuargumentowe koniunkcja ( ) alternatywa ( ) alternatywa rozłaczna ( ) implikacja ( ) równoważność ( ) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 4 / 41

5 zaprzeczenie (negacja) zdania p p p koniunkcja zdań p i q (tzw. iloczyn logiczny zdań p i q) p q p q alternatywa zdań p i q (tzw. suma logiczna zdań p i q) p q p q Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 5 / 41

6 alternatywa rozłaczna, różnica symetryczna, xor zdań p i q oznaczamy p q czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza: "dokładnie jedno ze zdań p i q ") p q p q implikacja (wynikanie) oznaczamy p q równoważność p q p q p q p q p q Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 6 / 41

7 Definicja Tautologia (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jest złożone. Tworzymy tabelkę zero-jedynkowa, w której dla wszystkich możliwych wartości logicznych zdań prostych weryfikujemy, czy zdanie złożone jest zawsze prawdziwe. Jeżeli w wyniku wyliczeń dla pewnego układu zdań otrzymujemy na końcu fałsz (czyli "0"), to procedurę sprawdzania można przerwać, i wnioskować że podana zdanie nie jest tautologia. Przykład 1: (p q) r (p r) (q r) Przykład 2: [(p q) (p r)] [(q r) p] Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 7 / 41

8 Niektóre prawa rachunku zdań: 1. prawo podwójnego przeczenia : ( p) p 2. prawo wyłaczonego środka: p ( p) 3. prawa de Morgana: 4. (p q) p ( q) 5. p q ( q) ( p) 6. p q q ( p) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) r (p r) (q r) 9. [(p q) r] [p (q r)] 10. (p q) [(p q) (q p)] (p q) ( p) ( q) (p q) ( p) ( q) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 8 / 41

9 Kwantyfikatory Definicja Wyrażenie "dla każdego x" nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy x. Wyrażenie "istnieje x" nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym i oznaczamy x. Zapis x X x X p(x) oznacza: dla każdego x ze zbioru X zachodzi p(x). p(x) oznacza: w zbiorze X istnieje x taki, że zachodzi p(x). Oczywiście x p(x) x p(x) ale x p(x) x p(x) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 9 / 41

10 Przykład x R x > 0 - zdanie prawdziwe. Zatem również x R x > 0 jest zdaniem prawdziwym. x R x = 0 - zdanie fałszywe x R x 2 4 = 0 - zdanie prawdziwe n N 4n > 20 - zdanie fałszywe (bo np. liczby 1, 2, 3, 4, 5 tej nierówności nie spełniaja) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 10 / 41

11 Kwantyfikatory można łaczyć: x y x y - dla każdego x istnieje y - istnieje taki x, że dla każdego y Przykład x R y R x + y = 2 prawda, bo taki y ma wartość y = 2 x x R y R xy 2 0 prawda, bo taka nierówność jest prawdziwa dla x 0 x R y R xy 2 0 nieprawda, bo np. dla x = 2 taki y nie istnieje Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 11 / 41

12 Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( x p(x)) x ( p(x)) ( x p(x)) x ( p(x)) Zatem zaprzeczajac formułę z kwantyfikatorem : należy zamienić kwantyfikator należy zaprzeczyć zdanie p(x) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 12 / 41

13 Jeszcze kilka dodatkowych wzorów: x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) x (p(x) q(x)) x p(x) x q(x) Przykład x (x > 0 x 2 = 4) x x > 0 x x 2 = 4 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 13 / 41

14 Bramki logiczne Zdefiniowana logikę wykorzystujemy w budowaniu tzw.bramek logicznych, ale o tym zagadnieniu będzie mowa na przyszłym wykładzie (po omówieniu systemów pozycyjnych zapisu liczb) W zależności od składowych funkcji logicznych mamy następujace rodzaje bramek: bramka NOT (zaprzeczenie ) bramka AND (iloczyn logiczny ) bramka NAND ( NOT AND = ) bramka OR (alternatywa logiczna ) bramka NOR (NOT OR = ) bramka XOR (NEQ) (alternatywa rozłaczna) bramka XNOR ( = NOT XOR, czyli zaprzeczenie alternatywy rozłacznej) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 14 / 41

15 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 15 / 41

16 Definicja : system pozycyjny System pozycyjny to metoda zapisania liczb w postaci ciagu pewnych cyfr w taki sposób, że cyfra znajdujaca się na pewnej pozycji w danym ciagu cyfr oznacza odpowiednia wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. p - baza systemu cyfry : 0, 1, 2,..., p 1 Zapis (ba) p oznacza wartość (w systemie (10)) Zapis (cba) p oznacza b a (ba) p 1 p 0 p a p 0 + b p 1 c b a p 2 p 1 p 0 (cba) p a p 0 + b p 1 + c p 2 W "życiu używamy systemu dziesiętnego, czyli o podstawie p = 10 W informatyce stosuje się systemy dwójkowe (p = 2), ósemkowe (p = 8) i szesnastkowe (p = 16). Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 16 / 41

17 System dziesiętny p = 10 cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Zapis (cba) 10 oznacza wartość c b a (cba) 10 a b c 10 2 czyli a oznacza cyfrę jedności, b - cyfrę dziesiatek, c -cyfrę setek = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 17 / 41

18 Jak dodajemy? Gdy podczas dodania dwóch cyfr otrzymujemy liczbę, a nie cyfrę wpisujemy tylko cyfrę jedności, a cyfra dziesiatek przechodzi do kolejnej kolumny (na lewo). Stad np. gdy = = = = = 10, zapisujemy wartość 0(zero) a 1 przechodzi do następnej (na lewo!!!) kolumny = = = =1000 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 18 / 41

19 Mnożenie i odejmowanie = 24 15= = = = 804 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 19 / 41

20 System binarny (dwójkowy) p = 2 tylko dwie cyfry: 0 i 1 bit - pojedyncza cyfra w zapisie binarnym źródło : Wikipedia -> Bit Binarny sposób zapisu informacji zwiazany jest z tym, że komputer jako urzadzenie cyfrowe rozpoznać może dwa stany napięciowe: 0 brak napięcia lub bardzo niskie 1 wysokie napięcie (np. 5V[1]). Z tego względu obliczenia wykonywane przez procesor opieraja się na binarnym (dwójkowym) systemie liczbowym. (Bit [online]. Wikipedia : wolna encyklopedia, :27Z [dostęp: :18Z]. Dostępny w Internecie: //pl.wikipedia.org/w/index.php?title=bit&oldid= , licencja: [CC-BY-SA 3.0] (link do: ) Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 20 / 41

21 Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 2 a b c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = = = ( ) 2 = = = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41

22 Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 2 a b c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = = = ( ) 2 = = = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41

23 Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 2 a b c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = = = ( ) 2 = = = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41

24 Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 2 a b c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = = = ( ) 2 = = = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 21 / 41

25 Inwersja z systemu (2) na system (10): przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 2 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 22 / 41

26 Przykład 1 (1101) 2 = = = schemat Hornera zawartość pierwszej kolumny przepisujemy w pierwszej "klatce" drugiego wiersza wpisujemy wartość p, czyli podstawę danego systemu (tutaj p = 2) zawartość każdej kolejnej brakujacej pozycji wyliczamy ze schematu : "pomnóż to co na poczatku drugiego wiersza (tutaj 2) przez to co w poprzedniej klatce i dodaj to co nad toba" zawartość ostatniej "klatki" daje wartość liczby w systemie (10) = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 23 / 41

27 Przykład 1 (1101) 2 = = = schemat Hornera zawartość pierwszej kolumny przepisujemy w pierwszej "klatce" drugiego wiersza wpisujemy wartość p, czyli podstawę danego systemu (tutaj p = 2) zawartość każdej kolejnej brakujacej pozycji wyliczamy ze schematu : "pomnóż to co na poczatku drugiego wiersza (tutaj 2) przez to co w poprzedniej klatce i dodaj to co nad toba" zawartość ostatniej "klatki" daje wartość liczby w systemie (10) = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 23 / 41

28 Przykład 2 ( ) 2 = = = 255, schemat Hornera = = = = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 24 / 41

29 Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41

30 Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41

31 Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41

32 Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41

33 Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 25 / 41

34 Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? = 128 < 236 i wtedy reszta : = = 64 < 108 i wtedy = = 32 < 44 i wtedy = = 8 < 12 i wtedy 12 8 = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 26 / 41

35 Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? = 128 < 236 i wtedy reszta : = = 64 < 108 i wtedy = = 32 < 44 i wtedy = = 8 < 12 i wtedy 12 8 = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 26 / 41

36 Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? = 128 < 236 i wtedy reszta : = = 64 < 108 i wtedy = = 32 < 44 i wtedy = = 8 < 12 i wtedy 12 8 = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 26 / 41

37 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

38 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

39 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

40 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

41 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

42 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

43 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

44 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 2 = 118 r : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 27 / 41

45 Przykład 2 - pierwszy sposób 1235 =? = 1024 < 1235 i wtedy = = 128 < 211 i wtedy = = 64 < 83 i wtedy = = 16 < 19 i wtedy = = 2 < 3 i wtedy 3 2 = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 28 / 41

46 Przykład 2 - drugi sposób 1235 =? : 2 = 617 r : 2 = 308 r : 2 = 154 r : 2 = 77 r 0 77 : 2 = 38 r 1 38 : 2 = 19 r 0 19 : 2 = 9 r 1 9 : 2 = 4 r 1 4: 2 = 2 r 0 2 : 2 = 1 r 0 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 1235 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 29 / 41

47 Dodawanie liczb binarnych to w systemie (10) ma wartość 2 (nie ma takiej cyfry w systemie (2)), musimy 2 zapisać jako liczba w systemie (2) mamy 2 = 2 1 = czyli Mnożenie liczb binarnych Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 30 / 41

48 ( ) 2 = (10100) 2 sprawdźmy: = 20 = = = (10100) = (1001) 2 (10) 2 = (10010) 2 sprawdźmy: 9 2 = 18 = = = (10010) = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 31 / 41

49 (11101) 2 (10001) 2 = ( ) 2 sprawdźmy: = 493 = = = ( ) = (101) 2 (11) 2 = (10) 2 sprawdźmy: 5 3 = 2 = 2 1 = (10) = 10 (1000) 2 (1) 2 = (111) 2 sprawdźmy: 8 1 = 7 = = = (111) = 111 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 32 / 41

50 System ósemkowy (octalny) p = 8 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 33 / 41

51 Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 8 a b c 8 2 (165) 8 = = = (777) 8 = = = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 34 / 41

52 Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 8 a b c 8 2 (165) 8 = = = (777) 8 = = = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 34 / 41

53 Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a (cba) 8 a b c 8 2 (165) 8 = = = (777) 8 = = = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 34 / 41

54 Inwersja z systemu (8) na system (10): (analogicznie jak dla systemu binarnego) przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 8 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 35 / 41

55 Przykład 1 (1234) 8 = = = 668 schemat Hornera = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 36 / 41

56 Przykład 1 (1234) 8 = = = 668 schemat Hornera = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 36 / 41

57 Przykład 2 (10000) 8 = = 4096 schemat Hornera = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 37 / 41

58 Przykład 2 (10000) 8 = = 4096 schemat Hornera = = = = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 37 / 41

59 Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 38 / 41

60 Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 38 / 41

61 Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 38 / 41

62 Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? = 3 64 = 192 < 236 i wtedy = = 40 < 44 i wtedy = = = = W zasadzie i tak trzeba dzielić całkowicie i znajdywać reszty z dzielenia, zatem robimy dokładnie to samo co w sposobie drugim. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 39 / 41

63 Przykład 1 - drugi sposób 236 =? : 8 = 29 r 4 bo 29 8 = : 8 = 3 r 5 bo 3 8 = 24 3: 8 = 0 r 3 czytamy reszty od dołu do góry 236 = Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 40 / 41

64 Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 41 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42 Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42 Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki- wykład 1

Wstęp do informatyki- wykład 1 MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe

Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26 Wykład 1 Informatyka Stosowana 1 października 2018 Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE 275,538 =

SYSTEMY LICZBOWE 275,538 = SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny

Systemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny Systemy liczbowe 1. System liczbowy dziesiętny System pozycyjny dziesiętny to system, który używa dziesięciu cyfr, a jego podstawą jest liczba 10, nazywany jest pozycyjnym, bo pozycja cyfry w liczbie rozstrzyga

Bardziej szczegółowo

1. Operacje logiczne A B A OR B

1. Operacje logiczne A B A OR B 1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne

Bardziej szczegółowo

Układy kombinacyjne 1

Układy kombinacyjne 1 Układy kombinacyjne 1 Układy kombinacyjne są to układy cyfrowe, których stany wyjść są zawsze jednoznacznie określone przez stany wejść. Oznacza to, że doprowadzając na wejścia tych układów określoną kombinację

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe

ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

System Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)

System Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny) SYSTEMY LICZBOWE 1 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE

DYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Arytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Arytmetyka Magdalena Lemańska System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne

Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1 Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując

Bardziej szczegółowo

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.

Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S. Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym

Bardziej szczegółowo

12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:

12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika: PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości

Bardziej szczegółowo

Systemy zapisu liczb.

Systemy zapisu liczb. Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:

Bardziej szczegółowo

dr inż. Jarosław Forenc

dr inż. Jarosław Forenc Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr 4 (.3.9) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /33 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński

Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.

Bardziej szczegółowo

L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce

L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

Jednostki miar stosowane w sieciach komputerowych. mgr inż. Krzysztof Szałajko

Jednostki miar stosowane w sieciach komputerowych. mgr inż. Krzysztof Szałajko Jednostki miar stosowane w sieciach komputerowych mgr inż. Krzysztof Szałajko Jednostki wielkości pamięci Jednostka Definicja Przykład Bit (b) 0 lub 1 Włączony / wyłączony Bajt (B) = 8 b Litera w kodzie

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania. 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń.

Podstawy programowania. 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń. Podstawy programowania Programowanie wyrażeń 1. Operacje arytmetyczne Operacja arytmetyczna jest opisywana za pomocą znaku operacji i jednego lub dwóch wyrażeń. W językach programowania są wykorzystywane

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie

Bardziej szczegółowo

Stan wysoki (H) i stan niski (L)

Stan wysoki (H) i stan niski (L) PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory

Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory Instrukcja do ćwiczeń nr 4 typy i rodzaje zmiennych w języku C dla AVR, oraz ich deklarowanie, oraz podstawowe operatory Poniżej pozwoliłem sobie za cytować za wikipedią definicję zmiennej w informatyce.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do informatyki- wykład 2

Wstęp do informatyki- wykład 2 MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Jednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles).

Jednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles). Wykład 1 1-1 Informatyka nauka zajmująca się zbieraniem, przechowywaniem i przetwarzaniem informacji. Informacja obiekt abstrakcyjny, który w postaci zakodowanej moŝe być przechowywany, przesyłany, przetwarzany

Bardziej szczegółowo

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe 1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej

Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej 1. Pozycyjne systemy liczbowe 2. Zasady zapisu liczb w pozycyjnych systemach liczbowych 3. Podstawowe działania na liczbach binarnych 4. Liczby

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera

Bardziej szczegółowo

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO

KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości:

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości: Treść wykładów: Automatyka dr inż. Szymon Surma szymon.surma@polsl.pl pok. 202, tel. +48 32 603 4136 1. Podstawy automatyki 1. Wstęp, 2. Różnice między sygnałem analogowym a cyfrowym, 3. Podstawowe elementy

Bardziej szczegółowo

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0, 2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:

B.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską: Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe

Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe Ćwiczenie nr 1: Systemy liczbowe Barbara Łukawska, Adam Krechowicz, Tomasz Michno Podstawowym systemem liczbowym uŝywanym na co dzień jest system dziesiętny. Podstawą tego systemu jest 10 cyfr 0, 1, 2,

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA.  D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl http://orion.fis.agh.edu.pl/~grazyna/ D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Wprowadzenie, trochę historii, systemy liczbowe Kodowanie informacji,

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok

Bardziej szczegółowo

Operatory AND, OR, NOT, XOR Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia:

Operatory AND, OR, NOT, XOR Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Operatory logiczne Komputery i ich logika AND - && Podstawy programowania w C++ Operatory AND, OR, NOT, XOR Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: CPA: PROGRAMMING ESSENTIALS IN C++ https://www.netacad.com

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. System dziesiętny

Systemy liczbowe. System dziesiętny Systemy liczbowe System dziesiętny Dla nas, ludzi naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cytr. Są nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć,

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Informatyki

Teoretyczne Podstawy Informatyki Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji

Bardziej szczegółowo

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż. Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki

Podstawy Informatyki Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA KATEDRA NAWIGACJI TECHNICZEJ

AKADEMIA MORSKA KATEDRA NAWIGACJI TECHNICZEJ KDEMI MORSK KTEDR NWIGCJI TECHNICZEJ ELEMETY ELEKTRONIKI LORTORIUM Kierunek NWIGCJ Specjalność Transport morski Semestr II Ćw. 4 Podstawy techniki cyfrowej Wersja opracowania Marzec 5 Opracowanie: mgr

Bardziej szczegółowo

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie D1 Bramki. Wydział Fizyki UW

Ćwiczenie D1 Bramki. Wydział Fizyki UW Wydział Fizyki UW Pracownia fizyczna i elektroniczna (w tym komputerowa) dla Inżynierii Nanostruktur (1100-1INZ7) oraz Energetyki i Chemii Jądrowej (1100-1ENPRFIZELEK) Ćwiczenie D1 Bramki Streszczenie

Bardziej szczegółowo

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:

Kod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie: Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wykład V

Pracownia Komputerowa wykład V Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze

Podstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz

Systemy liczbowe. Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Systemy liczbowe Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System liczbowy zbiór reguł jednolitego

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe używane w technice komputerowej

Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10). Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA.  D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl http://orion.fis.agh.edu.pl/~grazyna/ D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Plan wykładu 2 Wprowadzenie, trochę historii, systemy liczbowe

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas Ćwiczenie 1. (Zad. L. Newelskiego) Niech p oznacza zdanie Ala je, zaś q zdanie As wyje. Zapisz jako formu ly rachunku zdań nastȩpuj ace zdania: 1.1.

Bardziej szczegółowo

Techniki multimedialne

Techniki multimedialne Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo

Bardziej szczegółowo

NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA.

NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA. NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA. Inspiracją do powstania artykułu było popularne powiedzenie :,,... to jest oczywiste jak 2 x 2 jest 4. To powiedzenie pokazuje jak bardzo system dziesiętny zakorzenił

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a i jej zastosowania

Algebra Boole a i jej zastosowania lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera

Arytmetyka komputera Arytmetyka komputera Systemy zapisu liczb System dziesiętny Podstawą układu dziesiętnego jest liczba 10, a wszystkie liczby można zapisywać dziesięcioma cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jednostka

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25 Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n

Bardziej szczegółowo