{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

Transkrypt

1 .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A A - moc zdarzenia A ( liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu - moc przestrzeni ( liczba wszystkich zdarzeń elementarnych) Przykład... Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia: A - liczba otrzymanych orłów jest większa od liczby otrzymanych reszek, OOO, OOR, ORO, ROO RRO, ROR ORR, {( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) } {( OOO),( OOR),( ORO) ( ROO) } A, A A Wypisujemy przestrzeń zdarzeń elementarnych i określamy moc przestrzeni Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i określamy moc zdarzenia A. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A, korzystając ze wzoru: A Przykład... Losujemy jedną kartę z talii kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia asa lub króla? A { A, A, A, A, K, K,K,K } A A Określamy moc przestrzeni. Losując jedną kartę z talii kart moŝemy to zrobić na sposoby. Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i określamy moc zdarzenia A. A, korzystając ze wzoru: A

2 Przykład... Z talii kart losujemy dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kierów? A A 6 Określamy moc przestrzeni, czyli obliczamy na ile sposobów moŝemy wylosować dwie karty z talii karty. Pierwszą kartę moŝemy wylosować na sposoby, drugą kartę na sposobów, czyli dwie kart na 6 sposobów. PoniewaŜ przy jednoczesnym losowaniu dwóch kart nie jest waŝna kolejność ustawienia kul, to otrzymany wynik musimy podzielić przez liczbę ustawień dwóch kart. Dwie karty moŝna ustawić na dwa sposoby. Określamy moc zdarzenia A, czyli obliczamy na ile sposobów moŝemy wylosować dwa kiery z talii karty. W talii karty jest kierów. Zatem pierwszego kiera moŝemy wylosować na sposobów, drugiego kiera na sposobów, czyli dwa kiery na 6 sposobów. PoniewaŜ przy jednoczesnym losowaniu dwóch kart nie jest waŝna kolejność ustawienia kul, to otrzymany wynik musimy podzielić przez liczbę ustawień dwóch kart. Dwie karty moŝna ustawić na dwa sposoby. A, korzystając ze wzoru: A Przykład... Windą zatrzymującą się na 6 piętrach, jadą osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe kaŝda osoba wysiądzie na innym piętrze? A A 96 Określamy moc przestrzeni, czyli obliczamy na ile sposobów osoby mogą wysiąść na 6 piętrach. KaŜda osoba moŝe wysiąść na jednym z sześciu pięter, czyli na sześć sposobów. Określamy moc zdarzenia A, czyli obliczamy na ile sposobów osoby mogą wysiąść na 6 róŝnych piętrach. Pierwsza osoba moŝe wysiąść na 6 sposobów, druga na sposobów, trzecia na sposoby, czwarta na sposoby, czyli osoby mogą wysiąść na 6 róŝnych piętrach na 6 60 A, korzystając ze wzoru: A

3 Własności prawdopodobieństwa A, B - przestrzeń zdarzeń elementarnych i ) 0 ) P ( ) 0 P ( ) ) Jeśli A B, to ) A' ) ) A A P ; A oblicz A. B' ) B, korzystając ze wzoru B' ) A A Obliczamy A, korzystając ze wzoru A A A B Przykład... Wiedząc, Ŝe ( ; B ) A 0 ) Przykład..6. Rzucamy trzykrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe przynajmniej raz otrzymamy 6 oczek? Określamy moc przestrzeni, czyli obliczamy ile otrzymamy wyników przy trzykrotnym rzucie kostką do gry Pierwszy rzut moŝemy wykonać na 6 sposobów, drugi na 6 A ' P ( A') A 6 A' ) sposobów, trzeci teŝ na 6 sposobów, czyli trzy rzuty na Łatwiej będzie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: przy trzykrotnym rzucie kostką nie wyrzucono 6 oczek. Pierwszy rzut moŝemy wykonać na sposobów, drugi na sposobów, trzeci teŝ na sposobów, czyli trzy rzuty na A, korzystając ze wzoru: A A, korzystając ze wzoru : A' )

4 Przykład... W pewnej grupie uczniów kaŝdy zna język angielski lub język niemiecki. Wiadomo, Ŝe prawdopodobieństwo wylosowania z tej grupy ucznia znającego język angielski jest równe, natomiast prawdopodobieństwo wylosowania ucznia znającego język niemiecki jest równe. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybrany uczeń zna obydwa języki? A wylosowano ucznia znającego język angielski N - wylosowano ucznia znającego język niemiecki Dane: Szukane: P ( A N)? P ( N) P ( A N) A N) N) A N) A A Wprowadzamy oznaczenia i przeprowadzamy analizę zadania. Szukamy prawdopodobieństwa zdarzenia A N - wybrany uczeń zna język angielski i język niemiecki. PoniewaŜ kaŝdy uczeń zna język angielski lub język niemiecki, to zdarzenie A N jest zdarzeniem pewnym. A N wykorzystując wzór : A A ĆWICZENIA Ćwiczenie... (pkt.) Pewna gra polega na rzucie monetą i kostką do gry. Wygrana polega na otrzymaniu orła i parzystej liczby oczek. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania w tej grze. Podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A: A Podanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A:

5 Ćwiczenie... (pkt.) Ze zbioru,,, losujemy dwa razy kolejno po jednej cyfrze ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej za pierwszym razem. Podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A: A Podanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A: Ćwiczenie... (pkt.) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry i określamy zdarzenia: A wyrzucono dwa razy tę samą liczbę oczek, B suma wyrzuconych oczek jest większa od. Oblicz prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń. Podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A: A Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu B: B Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A B : A B Podanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń : A Ćwiczenie... (pkt.) Rzucamy cztery razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wypadnie co najmniej raz orzeł? Podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A ' przeciwnemu A: Podanie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego : P (A') Podanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A:

6 Ćwiczenie... (pkt.) Z talii karty losujemy dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe co najwyŝej jedna będzie pikiem. Podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych: Podanie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu A ' przeciwnemu A: Podanie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego : P (A') Podanie prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia A: