Uwzględnienie energii korelacji w metodach ab initio - przykłady
|
|
- Artur Skiba
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uwzględnienie energii korelacji w metodach ab initio - przykłady Funkcje falowe (i funkcje bazy) jawnie skorelowane - zależa jawnie od odległości międzyelektronowych r ij = r i r j Funkcje falowe w postaci kombinacji liniowej wielu wyznaczników. Wyznaczniki ze spinorbitali obsadzonych w stanie podstawowym i spinorbitali niezajętych (wirtualnych)
2 Metody: CI (Configuration Interaction) metody oddziaływania konfiguracji: CIS, CISD, CISDT, CISDTQ, FCI MCSCF (wielokonfiguracyjna metoda SCF) (Coupled Cluster) sprzężonych klasterów: CCSD, CCSDT itd. Metody rachunku zaburzeń: MP2, MP4
3 Przykłady funkcji jawnie skorelowanych: Funkcje Hylleraasa (He, Li): Φ k = r n 1 r l 2 r m 12 e αr 1 βr 2 Funkcje Kołosa-Wolniewicza (H 2 ): Φ k = r i 1a r l 2a r i 1b r l 2b r n 12 e αr 1a βr 2a α r 1b β r 2b
4 Przykłady metod, w których funkcje falowe maja postać kombinacji liniowej wielu wyznaczników: {ϕ i }, i = 1,... m - spinorbitale zajęte w stanie podstawowym od i=1 do i = h (ε h = ε HOMO ), niezajęte (wirtualne) dla i > h Na przykład, niech h=10 Φ 0 (1, 2,..., 10) = 1 10! ϕ 1 (1) ϕ 1 (2)... ϕ 1 (10) ϕ 2 (1) ϕ 2 (2)... ϕ 2 (10) ϕ 3 (1) ϕ 3 (2)... ϕ 3 (10) ϕ 4 (1) ϕ 4 (2)... ϕ 4 (10) ϕ 5 (1) ϕ 5 (2)... ϕ 5 (10) ϕ 10 (1) ϕ 10 (2)... ϕ 10 (10) (1)
5 Wyznaczniki jednokrotnie wzbudzone ( jeden wirtualny spinorbital zamiast jednego zajętego, np. 11 zamiast 2) ϕ 1 (1) ϕ 1 (2)... ϕ 1 (10) ϕ 11 (1) ϕ 11 (2)... ϕ 11 (10) Φ(1, 2,..., 10) = 1 ϕ 3 (1) ϕ 3 (2)... ϕ 3 (10) 10! ϕ 4 (1) ϕ 4 (2)... ϕ 4 (10) (2) ϕ 5 (1) ϕ 5 (2)... ϕ 5 (10) ϕ 10 (1) ϕ 10 (2)... ϕ 10 (10)
6 Wyznaczniki dwukrotnie wzbudzone ( dwa wirtualne spinorbitale zamiast dwóch zajętych, np. 11 i 12 zamiast 5 i 10) ϕ 1 (1) ϕ 1 (2)... ϕ 1 (10) ϕ 2 (1) ϕ 2 (2)... ϕ 2 (10) Φ(1, 2,..., 10) = 1 ϕ 3 (1) ϕ 3 (2)... ϕ 3 (10) 10! ϕ 4 (1) ϕ 4 (2)... ϕ 4 (10) (3) ϕ 11 (1) ϕ 11 (2)... ϕ 11 (10) ϕ 12 (1) ϕ 12 (2)... ϕ 12 (10) Wyznaczniki trójkrotnie wzbudzone...
7 Metody oddziaływania konfiguracji (CI): CISD - funkcja falowa to kombinacja liniowa wyznacznika Φ 0 i wyznaczników jednokrotnie (S-single) i dwukrotnie (D-double) wzbudzonych (bład energii korelacji dla H 2 O (H 2 O) 12.9 mhartree) CIS - nie daje energii korelacji (tw. Brillouina), ale dość dobre energie wzbudzeń elektronowych CISDT (T-triple, trójkrotnie wzbudzone), ( (H 2 O) 10.6 mhartree) CISDTQ (Q-quadruple, czterokrotnie wzbudzone, (H 2 O) 0.4 mhartree)) itd. coraz bardziej dokładne i coraz bardziej czasochłonne i kosztowne FCI -Full Configuration Interaction (wszystkie wyznaczniki, jakie można zbudować dla n elektronów, stosujac m spinorbitali)
8 W metodach CI funkcja falowa to kombinacja liniowa wyznaczników zbudowanych ze spinorbitali, które nie ulegaja zmianie w czasie obliczeń Poszukiwane sa współczynniki (liczby), przez które mnożone sa wyznaczniki zbudowane z (cały czas takich samych) spinorbitali MCSCF - metoda wielokonfiguracyjnego SCF funkcja falowa to kombinacja liniowa wyznaczników zbudowanych ze spinorbitali, które sa reoptymalizowane w czasie obliczeń (zgodnie z zasada wariacyjna) Obecnie można w tej metodzie stosować setki spinorbitali i miliony wyznaczników.
9 CCSD, CCSDT, CCSDTQ - metody teorii sprzężonych klasterów (CC - Coupled Cluster) Funkcje falowe konstruowane z wyznaczników w inny sposób niż w metodach CI. Metody CC nie sa metodami wariacyjnymi. CCSD (n 6 ) (H 2 O) 4.12 mhartree; CCSDT (n 8 (H 2 O) 0.53 mhartree Energia korelacji obliczona metodami CC w poprawny sposób (liniowo) zależy od liczby elektronów w układzie (także od liczby atomów np. w krysztale albo polimerze). Nie jest tak dla energii korelacji obliczonej metodami CI innymi niż FCI! Metody CC s a konsystente rozmiarowo (size-consistent) E AB = E A + E B, gdy odległość między A i B staje się tak duża, że wzajemne oddziaływanie A i B jest zaniedbywalne
10 Rachunek zaburzeń NIE sa znane rozwiazania równania: Ĥψ n = E n ψ n (4) Znane sa (ścisłe) rozwiazania równania: Ĥ 0 ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n (5) przy czym Ĥ = Ĥ0 + λĥ (6) ˆλH - zaburzenie musi być małe λ - pomocniczy parametr
11 Rachunek zaburzeń Rayleigha-Schrödingera Jak znaleźć przybliżone rozwiazania równania (4)? Rozwinięcie nieznanych dokładnych rozwiazań ψ n i E n w szereg potęg λ ψ n = ψ (0) n + λψ (1) n + λ 2 ψ (2) n +... (7) E n = E (0) n + λe (1) n + λ 2 E (2) n +... (8) Podstawienie rozwinięć (7) i (8) do równania (4): λ i (Ĥ0 + λh )ψ n (i) = λ i+j E n (j) ψ n (i) (9) i ij λ - dowolne więc równanie (9) spełnione, jeśli współczynniki przy λ i równe dla dowolnego i.
12 Aby równe były współczynniki przy λ 0 musi być: Ĥ 0 ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n (10) (identyczne z równ. (5), a więc spełnione) Analogicznie, ze względu na warunki równości współczynników przy λ 1, λ 2,... musza być spełnione równania: Ĥ 0 ψ (1) n + Ĥ ψ (0 n ) = E (0) n ψ (1) n + E (1) n ψ (0) n (11) Ĥ 0 ψ (2) n + Ĥ ψ (1 n ) = E (0) n ψ (2) n + E (1) n ψ (1) n + E (2) n ψ (0) n (12)
13 Po pomnożeniu równania sprzężonego do (10) przez ψ (1) n i scałkowaniu otrzymuje się: ψ (1) n Ĥ 0 ψ (0) n dτ = E (0) n Po pomnożeniu równania (11) przez ψ (0) n otrzymuje się: ψ n (0) Ĥ 0 ψ n (1) dτ + E (0) n ψ (1) n ψ (0) n dτ (13) ψ n (0) Ĥ ψ n (0) dτ = ψ (0) n ψ (1) n dτ + E (1) n i scałkowaniu ψ (0) n ψ (0) n dτ (14)
14 Po odjęciu stronami równań (13) i (14) (Ĥ0 - hermitowski: ψ (1) n Ĥ 0 ψ (0) n otrzymuje się: E (1) n = dτ = ψ (0) n Ĥ 0 ψ (1) n dτ) ψ n (0) Ĥ ψ n (0) dτ (15) Pierwsza poprawka do energii to wartość średnia operatora zaburzenia obliczona dla funkcji falowej układu niezaburzonego.
15 Funkcje falowe układu niezaburzonego - układ zupełny. Pierwsza poprawka do funkcji falowej ψ (1) n oraz Ĥ ψ (0) n w postaci kombinacji liniowych funkcji falowych dla układu niezaburzonego ψ (0) k. Z równań (11) i (10) (otrzymanych po przyrównaniu współczynników przy λ 1 i λ 2 ) można wyprowadzić wyrażenie na pierwsza poprawkę do funkcji: ψ (1) n = k n ψ (0) k Ĥ ψ (0) n E (0) n E (0) k dτ ψ (0) k (16)
16 Pomnożenie równania sprzężonego do (10) przez ψ n (2) i scałkowanie, pomonożenie równania (12) przez ψ (0) n i scałkowanie, a następnie odjęcie stronami otrzymanych równań prowadzi do wyrażenia na druga poprawkę do energii: E (2) n = ψ n (0) Ĥ ψ n (1) dτ (17) Szczegóły wyprowadzeń (dla chętnych) W. Kołos, J.Sadlej Atom i czasteczka (Uzupełnienia)
17 W metodzie MP2 (Møllera-Plesseta) operator dla układu niezaburzonego, Ĥ0 : Ĥ 0 = N ˆF(i) i=1 (18) jest suma operatorów Focka, ˆF(i), dla wszystkich (N) elektronów Ĥ = Ĥ Ĥ0 (19) Skalowanie MP2 jak n 5 (H 2 O) 13.0 mhartree Skalowanie MP4 jak n 7 (H 2 O) 0.9 mhartree
18 Oddziaływania międzyczasteczkowe Zamkniętopowłokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy: A i B Energia oddziaływania E oddz między A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) (20) gdzie E AB, E A i E B to obliczone dla ustalonych położeń j ader (przybliżenie Borna-Oppenheimera) energie elektronowe odpowiednio dla układu A + B (zwanego dimerem AB), A i B. Geometrie A i B takie same jak w A + B.
19 Przybliżona wartość energii oddziaływania E oddz można obliczyć według wzoru: E oddz = E AB (E A + E B ), przyjmujac jako E AB, E A i E B przybliżone wartości obliczone dla AB, A i B taka sama metoda i w w tej samej bazie. Jest to metoda supermolekularna obliczania energii oddziaływania. Metoda supermolekularna: zalety - prostota Wady: - E AB, E A i E B to duże wartości, E oddz to mała wartość. ( czapka kapitana statku ) - tzw. bład superpozycji bazy - wynik nie daje zrozumienia natury oddziaływań
20 Przybliżona wartość energii oddziaływania E oddz można obliczyć według wzoru: E oddz = E AB (E A + E B ), przyjmujac jako E AB, E A i E B przybliżone wartości obliczone dla AB, A i B taka sama metoda i w w tej samej bazie. Jest to metoda supermolekularna obliczania energii oddziaływania. Metoda supermolekularna: zalety - prostota Wady: - E AB, E A i E B to duże wartości, E oddz to mała wartość. ( czapka kapitana statku ) - tzw. bład superpozycji bazy - wynik nie daje zrozumienia natury oddziaływań
21 Przybliżona wartość energii oddziaływania E oddz można obliczyć według wzoru: E oddz = E AB (E A + E B ), przyjmujac jako E AB, E A i E B przybliżone wartości obliczone dla AB, A i B taka sama metoda i w w tej samej bazie. Jest to metoda supermolekularna obliczania energii oddziaływania. Metoda supermolekularna: zalety - prostota Wady: - E AB, E A i E B to duże wartości, E oddz to mała wartość. ( czapka kapitana statku ) - tzw. bład superpozycji bazy - wynik nie daje zrozumienia natury oddziaływań
22 Przybliżona wartość energii oddziaływania E oddz można obliczyć według wzoru: E oddz = E AB (E A + E B ), przyjmujac jako E AB, E A i E B przybliżone wartości obliczone dla AB, A i B taka sama metoda i w w tej samej bazie. Jest to metoda supermolekularna obliczania energii oddziaływania. Metoda supermolekularna: zalety - prostota Wady: - E AB, E A i E B to duże wartości, E oddz to mała wartość. ( czapka kapitana statku ) - tzw. bład superpozycji bazy - wynik nie daje zrozumienia natury oddziaływań
23 Zastosowanie rachunku zaburzeń Operator Hamiltona Ĥ dla dimeru AB: Ĥ = ĤA + ĤB + ĤAB, gdzie ĤA i ĤB to operatory Hamiltona dla A i B, Ĥ AB = M A M B α β Z αz β R αβ N B M A j=1 α=1 Z α rαj N A M B i=1 β=1 Z β r βi + N A N B i=1 j=1 przy czym Z α i Z β to ładunki jader, N A i N B oznaczaja liczby elektronów, a M A i M B - liczby jader w czasteczkach A i B. 1 r ij
24 Operator niezaburzony: Ĥ 0 = ĤA + ĤB, operator zaburzenia: Ĥ = ĤAB Jeśli Ĥ A Ψ A = E A Ψ A Ĥ B Ψ B = E B Ψ B. to funkcja własna Ψ 0 operatora Ĥ0 : Ψ 0 = Ψ A Ψ B. Ψ 0 nie jest antysymetryczna względem zamiany elektronów między A i B. Akceptowalne dla dużych odległości między A i B, tak zwane (przybliżenie polaryzacyjne)
25 Zastosowanie rachunku zaburzeń Rayleigha-Schrödingera. Pierwsza poprawka do energii E n (1) = (Ψ A Ψ B ) Ĥ AB (Ψ A Ψ B )dτ (21) zwykła energia elektrostatycznego oddziaływania niezaburzonych rozkładów ładunku elektrycznego dla A i B Energia elekrostatyczna E elst.
26 Dla dużych odległości R między A i B: rozwinięcie ĤAB w szereg względem potęg R. a i b - atomy zamkniętopowłokowe x aj = x bj, y aj = y bj, z aj = z bj + R
27 r ij = (x ai x aj ) 2 + (y ai y aj ) 2 + (z ai z aj ) 2 r ij = [(x ai x bj ) 2 + (y ai y bj ) 2 + (z ai + z bj R) 2 ] 1 2 = R { 1 2 R (z ai + z bj ) + 1 [(x R 2 ai x bj ) 2 + (y ai y bj ) 2 + (z ai + z bj ) 2 ] } 1 2 (1 + x) 1 2 = x x ( 1 2 )( 1 2 1)( 1 2 2)...( 1 2 n+1) n! x n 1 r ij = 1 R { R (z ai + z bj ) 1 2R 2 [(x ai x bj ) 2 + (y ai y bj ) 2 2(z ai + z bj ) 2 ] } +O(R 4 )
28 x ai = y ai = z ai = 0 r aj x bj = y bj = z bj = 0 r bi Po podstawieniu: Ĥ = qa q b R 1 (q a z R 2 b + q b z a )+ 1 [q a (x 2 2R 3 b + y b 2 2z2 b ) + qb (xa 2 + ya 2 2za) (x R 3 a x b + y a y b + 2z a z b ) + O(R 4 ) gdzie x a = Na N b x ai, x b = x bj, a q a i q b oznaczaja efektywne i=1 ładunki atomów a i b j=1 Pierwsza poprawka do energii wyrażona przy pomocy właściwości A i B, takich jak wypadkowe ładunki (q A, q B ), momenty dipolowe ( µ A, µ B ) i wyższe tzw. momenty multipolowe
29 Moment dipolowy µ A - wektor o składowych µ A x, µ A y, µa z : µ A x = Ψ A q i x i Ψ A dτ i µ A y = Ψ A q i y i Ψ A dτ i µ A z = Ψ A q i z i Ψ A dτ i gdzie sumowanie przebiega po wszystkich ładunkach q i w czasteczce A. Operatory wyższych momentów multipolowych zawieraja wyższe potęgi współrzędnych x i, y i i z i (l-te potęgi dla 2 l -pola) kwadrupol (2 2 -pol, l=2) w operatorach składowych momentu kwadrupolowego występuja: xi 2, x i y i itd.
30
31 kwadrupol - dowolna czasteczka dwuatomowa homojadrowa
32
33 Metan -najniższy nieznikajacy multipol - oktupol
34
35 Możliwe określenie, w jaki sposób energia elektrostatyczna zmienia się z R. Można pokazać, że dla obojętnych czasteczek A i B, które maja momenty dipolowe µ A i µ B, dla dużych R dominuje oddziaływanie dipol-dipol i energia elektrostatyczna: E elst = 1 [ µ A µ B 3( µ A n)( µ B n)], R 3 gdzie n = R/R, a R jest wektorem łacz acym środki czasteczek A i B. E elst ujemna (przyciaganie) lub dodatnia (odpychanie).
36 Oddziaływanie dipoli przyciaganie odpychanie
37
38 E n (2) = Ψ 0 Ĥ AB Ψ (1) dτ (22) W energii oddziaływania będa także składowe zależace od poprawki do funkcji falowej, czyli od zmiany gęstości elektronowych dla A i B pod wpływem zaburzenia ĤAB. Podział na energię indukcyjna i energię dyspersyjna.
39 energia indukcyjna (E ind ) - oddziaływanie stałych momentów multipolowych (ładunku, dipola itd.) A z dipolem indukowanym na B pod wpływem pola elektrycznego wytwarzanego przez A i oddziaływanie stałych momentów multipolowych (ładunku, dipola itd.) B z dipolem indukowanym na A pod wpływem pola wytwarzanego przez B. Oddziaływanie stałego dipola z indukowanym przez niego dipolem: E ind 1 R 6
40 Niech 2 l X -pol najniższy nieznikajacy multipol molekuły X Wtedy dla dużych R E elst 1 R l A +l B +1 Pole elektryczne 2 l -pola maleje z odległościa jak 1 R l+2 E ind 1 R 2l X +4
41 energia dyspersyjna, E disp - energia korelacji chwilowych multipoli, które powstaja pod wpływem fluktuacji rozkładu ładunku: E disp 1 R 6 (zawsze ujemna - przyciaganie)
42
43 R (l A+l B +1) R (2l X+4) R 6 Układ E elst (znak) E ind E disp He...He brak brak R 6 He...H + brak R 4 brak H 2...H 2 R 5 (> 0 albo < 0) R 8 R 6 H 2 O...H 2 O R 3 (> 0 albo < 0) R 6 R 6
44 Wpływ oddziaływania dyspersyjnego na strukturę DNA
45 E oddz = E elst + E ind + E disp E oddz = E elst + E ind + E disp + E exch rachunki zaburzeń o adaptowanej symetrii
46 E oddz = E elst + E ind + E disp E oddz = E elst + E ind + E disp + E exch rachunki zaburzeń o adaptowanej symetrii
Oddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:
Notatki do wyk ladu XIII Oddzia lywania miedzycz asteczkowe A i B zamknietopow lokowe czasteczki, jony molekularne lub atomy. Energia oddzia lywania E oddz mi edzy A i B: E oddz = E AB (E A + E B ) ()
Bardziej szczegółowoKorelacja elektronowa. e z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zmienne losowe x i y sa. ρ(x, y) = ρ 1 (x) ρ 2 (y)
Notatki do wyk ladu XII Korelacja elektronowa Nazwa korelacja elektronowa wywodzi si e z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zmienne losowe x i y sa niezależne jeśli ρ(x, y) = ρ 1 (x) ρ 2 (y) Oznacza
Bardziej szczegółowoMetoda oddzia lywania konfiguracji (CI)
Metoda oddzia lywania konfiguracji (CI) Spinorbitale: obsadzone φ a i wirtualne φ r : ɛ a ɛ HOMO, ɛ r ɛ LUMO ê r a wykonuje podstawienie φ a φ r, np. ê 7 2 φ 1 φ 2 φ 3... φ N = φ 1 φ 7 φ 3... φ N Operator
Bardziej szczegółowojawnie od odleg lości miedzyelektronowych r ij = r i r j Funkcje falowe w postaci kombinacji liniowej wielu wyznaczników.
Notati do wy ladu XII Przy lady metod ab iitio uwzglediaj acych orelacje eletroowa Fucje falowe jawie sorelowae - zależa jawie od odleg lości miedzyeletroowych r ij = r i r j Fucje falowe w postaci ombiacji
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g
Notatki do wyk ladu XII (z 1.01.015) Uwaga! Strony 1-14 sa w wiekszości powtórzeniem stron z Notatek do wyk ladu XI z 15.1.014 Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii teoretycznej
Metody obliczeniowe chemii teoretycznej mechanika kwantowa mechanika klasyczna ւ ց WFT DFT MM FFM metody bazuj ace na metody bazuj ace na Mechanika Molekularna funkcji falowej gȩstości elektronowej Wave
Bardziej szczegółowoStruktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader
Notatki do wyk ladu VII Struktura elektronowa czasteczek przybliżenie Borna-Oppenheimera rozwiazanie równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader przybliżenie jednoelektronowe metoda
Bardziej szczegółowoRozwój i zastosowanie wieloreferencyjnych metod sprzężonych klasterów w opisie stanów podstawowych i wzbudzonych układów atomowych i molekularnych
Rozwój i zastosowanie wieloreferencyjnych metod sprzężonych klasterów w opisie stanów podstawowych i wzbudzonych układów atomowych i molekularnych Justyna Cembrzyńska Zakład Mechaniki Kwantowej Uniwersytet
Bardziej szczegółowoMonika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)
Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZABURZEŃ. Monika Musiał
RACHUNEK ZABURZEŃ Monika Musiał Rachunek zaburzeń jest podstawową obok metody wariacyjnej techniką obliczeniową stosowaną do rozwiązywania równania Schrödingera. Idea metody zaburzeniowej sprowadza się
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 9 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjonału gęstości
Teoria funkcjonału gęstości Łukasz Rajchel Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytet Warszawski lrajchel1981@gmail.com Wykład dostępny w sieci: http://tiger.chem.uw.edu.pl/staff/lrajchel/
Bardziej szczegółowoUkłady wieloelektronowe
Układy wieloelektronowe spin cząstki nierozróżnialność cząstek a symetria funkcji falowej fermiony i bozony przybliżenie jednoelektonowe wyznacznik Slatera konfiguracje elektronowe atomów ciało posiadające
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, drugi Sylabus modułu: Chemia teoretyczna (023) 1. Informacje ogólne koordynator modułu dr hab. Monika Musiał, prof. UŚ rok akademicki
Bardziej szczegółowoRozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ
Bardziej szczegółowoModel wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2
Model wiązania kowalencyjnego cząsteczka H 2 + Współrzędne elektronu i protonów Orbitale wiążący i antywiążący otrzymane jako kombinacje orbitali atomowych Orbital wiążący duża gęstość ładunku między jądrami
Bardziej szczegółowoPodstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń
Wyk lad 6 Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń Uk lady modelowe czastka swobodna czastka na barierze potencja lu czastka w pudle oscylator harmoniczny oscylator Morse
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoWykład 5: Cząsteczki dwuatomowe
Wykład 5: Cząsteczki dwuatomowe Wiązania jonowe i kowalencyjne Ograniczenia teorii Lewisa Orbitale cząsteczkowe Kombinacja liniowa orbitali atomowych Orbitale dwucentrowe Schematy nakładania orbitali Diagramy
Bardziej szczegółowoW lasności elektryczne moleku l
W lasności elektryczne moleku l Hamiltonian dla czasteczki w jednorodnym polu elektrycznym E ma postać: Ĥ(E) = Ĥ + E ˆµ x gdzie zak ladamy, że pole jest zorientowane wzd luż osi x a ˆµ x jest operatorem
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza
Bardziej szczegółowoMetoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)
Notatki do wyk ladu V Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika Slatera,
Bardziej szczegółowo13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe)
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 13 UKŁADY KILKU CZĄSTEK W MECHANICE KWANTOWEJ 13.1 Układy helopodobne (trójcząstkowe układy dwuelektronowe) Zajmiemy się kwantowym opisem atomu He
Bardziej szczegółowoi elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij
Notatki do wyk ladu IX Rozdzielenie ruchu jader i elektronów w czasteczkach W dowolnym uk ladzie wspó lrzednych (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra a i b)ma postać: Ĥ
Bardziej szczegółowoMETODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI)
METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) lub ĤΨ i = E i Ψ i Ψ i = K r=0 c riφ r ĤΨ = EΨ Ψ = c o Φ o + ia ca i Φ a i + ijab cab ij Φ ab ij + ijkabc cabc ijk Φ abc ijk + Funkcje Φ r (Φij..
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoże w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?
TEST. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f i f są funkcjami własnymi operatora αˆ, przy czym: α ˆ f =. 05 f i α ˆ f =. 4f. Stan pewnej cząstki opisuje 3 znormalizowana funkcja falowa Ψ = f + f. Jakie
Bardziej szczegółowoSymbol termu: edu (sumy ca lkowitego orbitalnego momentu edu i ca lkowitego spinu) Przyk lad: 2 P 3. kwantowa
Notatki do wyk ladu VI (z 18.11.2013) Symbol termu: 2S+1 L (1) L -liczba kwantowa ca lkowitego orbitalnego momentu pedu Duże litery S, P, D, F, itd. dla L=0, 1, 2, 3, itd. 2S+1 - multipletowość; S - liczba
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoMETODY POSTHARTREE-FOCKOWSKIE MONIKA MUSIA L
METODY POSTHARTREE-FOCKOWSKIE MONIKA MUSIA L Jednym z ważniejszych zadań chemii kwantowej jest opracowywanie nowych metod obliczeniowych umożliwiaj acych bardzo dok ladne wyznaczanie e- nergii korelacji
Bardziej szczegółowoMetody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:
Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej Równanie Schrödingera: ĤΨ = EΨ Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać: Ĥ = h 2 K α=1 1 2M α 2 α h2 2m
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoProf. dr hab. Leszek Meissner Toruń, 24 września 2018 r. Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń
Prof. dr hab. Leszek Meissner Toruń, 24 września 2018 r. Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 87-100 Toruń Ocena rozprawy doktorskiej magister Aleksandry Tucholskiej zatytułowanej Momenty przejścia
Bardziej szczegółowoJEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:
do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność
Bardziej szczegółowoWyznaczanie krzywych energii potencjalnej dla wybranych cząsteczek dwuatomowych
Wyznaczanie krzywych energii potencjalnej dla wybranych cząsteczek dwuatomowych Wstęp Krzywa energii potencjalnej 1 to wykres zależności energii potencjalnej cząsteczek od długości wiązania (czyli od wzajemnej
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowo( ) ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rozkład ładunku i momenty dipolowe cząsteczek. woda H 2 O. aceton (CH 3 ) 2 CO
Rozkład ładunku i momenty dipolowe cząsteczek W fizyce klasycznej moment dipolowy układu ładunków oblicza się tak: i i i ( ) ρ ( ) µ = q r lub µ = ρ x, y, z r dxdydz = x, y, z r dv W teorii kwantowej moment
Bardziej szczegółowoInżynieria Biomedyczna. Wykład XII
Inżynieria Biomedyczna Wykład XII Plan Wiązania chemiczne Teoria Lewisa Teoria orbitali molekularnych Homojądrowe cząsteczki dwuatomowe Heterojądrowe cząsteczki dwuatomowe Elektroujemność Hybrydyzacja
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT)
Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory (DFT) Cz eść slajdów tego wyk ladu pochodzi z wyk ladu wyg loszonego przez dra Lukasza Rajchela w Interdyscyplinarnym Centrum Modelowania Matematycznego
Bardziej szczegółowoKorelacja elektronowa
Korelacja elektronowa oraz metody jej uwzgl edniania oparte na funkcji falowej Mariusz Radoń 04.04.2017 11.04.2017 Wymiana i korelacja kulombowska W metodzie HF Elektrony o jednakowych spinach nie moga
Bardziej szczegółowoRozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 3 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA 3.1 Wstęp Metoda ta umożliwia opis układu złożonego z wielu jonów i elektronów w stanie podstawowym. Hamiltonian układu
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11
Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania
Bardziej szczegółowoUniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia, pierwszy poziom Sylabus modułu: Chemia kwantowa 021 Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): 1. Informacje ogólne koordynator modułu
Bardziej szczegółowoMonika Musiał. Oddziaływania miȩdzycz asteczkowe
Oddziaływania miȩdzycz asteczkowe Wstęp Klasyczne wi azania chemiczne to najczęściej wiązania kowalencyjne lub jonowe, a więc takie jakie występują w cząsteczkach chemicznych. Ich energia wynosi od kilkudziesięciu
Bardziej szczegółowoModelowanie molekularne
Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 4 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody chemii
Bardziej szczegółowoZałącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12
Załącznik Nr 5 do Zarz. Nr 33/11/12 Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 (pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: CHEMIA TEORETYCZNA 2. Kod przedmiotu: - 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoDielektryki polaryzację dielektryka Dipole trwałe Dipole indukowane Polaryzacja kryształów jonowych
Dielektryki Dielektryk- ciało gazowe, ciekłe lub stałe niebędące przewodnikiem prądu elektrycznego (ładunki elektryczne wchodzące w skład każdego ciała są w dielektryku związane ze sobą) Jeżeli do dielektryka
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoDotyczy to zarówno istniejących już związków, jak i związków, których jeszcze dotąd nie otrzymano.
Chemia teoretyczna to dział chemii zaliczany do chemii fizycznej, zajmujący się zagadnieniami związanymi z wiedzą chemiczną od strony teoretycznej, tj. bez wykonywania eksperymentów na stole laboratoryjnym.
Bardziej szczegółowoIV. Transmisja. /~bezet
Światłowody IV. Transmisja BERNARD ZIĘTEK http://www.fizyka.umk.pl www.fizyka.umk.pl/~ /~bezet 1. Tłumienność 10 7 10 6 Tłumienność [db/km] 10 5 10 4 10 3 10 2 10 SiO 2 Tłumienność szkła w latach (za A.
Bardziej szczegółowo1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Pytania egzaminacyjne: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny- interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest liczba wybijanych elektronów
Bardziej szczegółowoModyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji
Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji Zakład Metod Obliczeniowych Chemii 11 kwietnia 2006 roku 1 Po co? Jak? 2 Algorytm Analiza zbieżności 3 dla układów symetrycznych 4 Fulleren 5 Po co?
Bardziej szczegółowoWiązania chemiczne. Związek klasyfikacji ciał krystalicznych z charakterem wiązań atomowych. 5 typów wiązań
Wiązania chemiczne Związek klasyfikacji ciał krystalicznych z charakterem wiązań atomowych 5 typów wiązań wodorowe A - H - A, jonowe ( np. KCl ) molekularne (pomiędzy atomami gazów szlachetnych i małymi
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE BADANIE STRUKTURY ELEKTRONOWO-OSCYLACYJNEJ I PROCESU FOTODYSOCJACJI CZĄSTECZKI LITU. Patryk Jasik
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej Rozprawa doktorska TEORETYCZNE BADANIE STRUKTURY ELEKTRONOWO-OSCYLACYJNEJ I PROCESU
Bardziej szczegółowoTeoria funkcjona lu g
Notatki do wyk ladu XI Teoria funkcjona lu g estości Density Functional Theory - DFT Czy znajomość funkcji falowej jest niezb edna? Ψ(1,, 3,..., N) dla uk ladu N-elektronowego zależy od 4N zmiennych (dla
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoTemat Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra Ocena celująca. Uczeń:
Chemia - klasa I (część 2) Wymagania edukacyjne Temat Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra Ocena celująca Dział 1. Chemia nieorganiczna Lekcja organizacyjna. Zapoznanie
Bardziej szczegółowoAtom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
Bardziej szczegółowoAtomy wieloelektronowe
Wiązania atomowe Atomy wieloelektronowe, obsadzanie stanów elektronowych, układ poziomów energii. Przykładowe konfiguracje elektronów, gazy szlachetne, litowce, chlorowce, układ okresowy pierwiastków,
Bardziej szczegółowoPodstawy chemii obliczeniowej
Podstawy chemii obliczeniowej Anna Kaczmarek Kędziera Katedra Chemii Materiałów, Adsorpcji i Katalizy Wydział Chemii UMK, Toruń Elementy chemii obliczeniowej i bioinformatyki 2015 Plan wykładu 15 godzin
Bardziej szczegółowoTeoria Orbitali Molekularnych. tworzenie wiązań chemicznych
Teoria Orbitali Molekularnych tworzenie wiązań chemicznych Zbliżanie się atomów aż do momentu nałożenia się ich orbitali H a +H b H a H b Wykres obrazujący zależność energii od odległości atomów długość
Bardziej szczegółowo3. Cząsteczki i wiązania
3. Cząsteczki i wiązania Elektrony walencyjne Wiązania jonowe i kowalencyjne Wiązanie typu σ i π Hybrydyzacja Przewidywanie kształtu cząsteczek AX n Orbitale zdelokalizowane Cząsteczki związków organicznych
Bardziej szczegółowoBudowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków
Budowa atomów Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków Model atomu Bohra atom zjonizowany (ciągłe wartości energii) stany wzbudzone jądro Energia (ev) elektron orbita stan podstawowy Poziomy
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a
grudzień 2013 grudzień 2013 Funkcja tworząca 1 (4.1) g(x, t) = = P n (x)t n, 1 2xt + t 2 albo pamiętając, że x = cos θ 1 (4.2) g(cos θ, t) = = P n (cos θ)t n. 1 2 cos θ t + t 2 jeżeli rozpatrzyć pole wytwarzane
Bardziej szczegółowoElementy teorii powierzchni metali
prof. dr hab. Adam Kiejna Elementy teorii powierzchni metali Wykład 4 v.16 Wiązanie metaliczne Wiązanie metaliczne Zajmujemy się tylko metalami dlatego w zasadzie interesuje nas tylko wiązanie metaliczne.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoAtomy wieloelektronowe i cząsteczki
Atomy wieloelektronowe i cząsteczki 1 Atomy wieloelektronowe Wodór ma liczbę atomową Z=1 i jest prostym atomem. Zawiera tylko jeden elektron i jeden proton stąd potencjał opisuje oddziaływanie kulombowskie
Bardziej szczegółowoOpis korelacji elektronowej w dużych układach molekularnych. Implementacja metodologii LT-AO-MP2
Opis korelacji elektronowej w dużych układach molekularnych. metodologii Jakub Sumera Krzysztof Kowalczyk 7 stycznia 2009 roku Spis treści Wstęp 1 Wstęp 2 3 4 Plan pracy Wstęp implementacja AO MP2 kwadratowo
Bardziej szczegółowo3. Cząsteczki i wiązania
20161020 3. Cząsteczki i wiązania Elektrony walencyjne Wiązania jonowe i kowalencyjne Wiązanie typu σ i π Hybrydyzacja Przewidywanie kształtu cząsteczek AX n Orbitale zdelokalizowane Cząsteczki związków
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoModelowanie molekularne
Ck08 Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 10 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoPODSTAWY CHEMII INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA. Wykład 2
PODSTAWY CEMII INŻYNIERIA BIOMEDYCZNA Wykład Plan wykładu II,III Woda jako rozpuszczalnik Zjawisko dysocjacji Równowaga w roztworach elektrolitów i co z tego wynika Bufory ydroliza soli Roztwory (wodne)-
Bardziej szczegółowoWIĄZANIA. Co sprawia, że ciała stałe istnieją i są stabilne? PRZYCIĄGANIE ODPYCHANIE
WIĄZANIA Co sprawia, że ciała stałe istnieją i są stabilne? PRZYCIĄGANIE ODPYCHANIE Przyciąganie Wynika z elektrostatycznego oddziaływania między elektronami a dodatnimi jądrami atomowymi. Może to być
Bardziej szczegółowoModelowanie molekularne
Modelowanie molekularne metodami chemii kwantowej Dr hab. Artur Michalak Zakład Chemii Teoretycznej Wydział Chemii UJ Wykład 4 http://www.chemia.uj.edu.pl/~michalak/mmod2007/ Podstawowe idee i metody chemii
Bardziej szczegółowoUk lady modelowe II - oscylator
Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoKsięgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki
Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra
Bardziej szczegółowoGrupa Moniki Musiał. Uniwersytet Śląski Instytut Chemii Zakład Chemii Teoretycznej
Wieloreferencyjna metoda sprzężonych klasterów w dwuwalencyjnych sektorach przestrzeni Focka oraz metoda równań ruchu w zastosowaniu do opisu stanów wzbudzonych Grupa Moniki Musiał Uniwersytet Śląski Instytut
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Chemia. Drugi. Sylabus modułu: Chemia kwantowa i modelowanie molekularne (0310-CH-S2-B-062) 1. Informacje ogólne koordynator modułu dr
Bardziej szczegółowoc) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe
TEST 1. Ortogonalne i znormalizowane funkcje f 1 i f są funkcjami własnymi operatora, przy czym: f 1 =1.05 f 1 i f =.41 f. Stan pewnej cząstki opisuje znormalizowana funkcja 1 3 falowa = f1 f. Jakie jest
Bardziej szczegółowoOrbitale typu σ i typu π
Orbitale typu σ i typu π Dwa odpowiadające sobie orbitale sąsiednich atomów tworzą kombinacje: wiążącą i antywiążącą. W rezultacie mogą powstać orbitale o rozkładzie przestrzennym dwojakiego typu: σ -
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkow Hamiltona energia funkcja falowa h d d d + + m d d dz
Bardziej szczegółowoPole elektromagnetyczne. Równania Maxwella
Pole elektromagnetyczne (na podstawie Wikipedii) Pole elektromagnetyczne - pole fizyczne, za pośrednictwem którego następuje wzajemne oddziaływanie obiektów fizycznych o właściwościach elektrycznych i
Bardziej szczegółowoNieliniowa Optyczna Spektroskopia Supermolekuł
Nieliniowa Optyczna Spektroskopia Supermolekuł Tadeusz Bancewicz Zakład Optyki Nieliniowej, Wydział Fizyki, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tbancewi 6 marca
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowodr hab. inż. Katarzyna Pernal, prof. PŁ Instytut Fizyki Politechnika Łódzka ul. Wólczańska Łódź Łódź, dn. 22 maja 2017 r.
dr hab. inż. Katarzyna Pernal, prof. PŁ Instytut Fizyki Politechnika Łódzka ul. Wólczańska 219 90-924 Łódź Łódź, dn. 22 maja 2017 r. Recenzja rozprawy doktorskiej mgr Piotra Gniewka zatytułowanej: Perturbacyjna
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe *
Ćwiczenie 3 Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe * 1 Ćwiczenie 3 Spektroskopia elektronowa. Etylen. Trypletowe przejścia elektronowe * I. Narysuj etylen a) Wybierz Default
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoobrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a
Wykład II.1 25 Obroty układu kwantowego Interpretacja aktywna i pasywna. Macierz obrotu w trzech wymiarach a operator obrotu w przestrzeni stanów. Reprezentacja obrotu w przestrzeni funkcji falowych. Transformacje
Bardziej szczegółowoWykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego
Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego W5. Energia molekuł Przemieszczanie się całych molekuł w przestrzeni - Ruch translacyjny - Odbywa się w fazie gazowej i ciekłej, w fazie stałej
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoSPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE
SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE Promieniowanie o długości fali 2-50 μm nazywamy promieniowaniem podczerwonym. Absorpcja lub emisja promieniowania z tego zakresu jest
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. Informacje ogólne WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY. SZKOŁA NAUK ŚCISŁYCH UNIWERSYTET KARDYNAŁA STEFANA WYSZYŃSKIEGO W WARSZAWIE
1 2 4 5 6 7 8 8.0 Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu Jednostka Punkty ECTS Język wykładowy polski Poziom przedmiotu podstawowy K_W01 2 wiedza Symbole efektów kształcenia K_U01 2 umiejętności K_K01 11 kompetencje
Bardziej szczegółowo