STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

Transkrypt

1 Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) tel fax STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW POZNAŃ 2016

2 I. CEL ĆWICZENIA I ZAKRES ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest wykonanie statystycznej analizy wyników pomiarów oraz zapoznanie studentów z pneumatycznymi narzędziami pomiarowymi. II. PROGRAM ĆWICZENIA W ćwiczeniu zostanie przeprowadzona statystyczna analiza wyników pomiarów partii elementów (próby) pobranych z populacji o nieznanych parametrach statystycznych tj. wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym. Narzędziem pomiarowym zastosowanym w ćwiczeniu jest czujnik indukcyjny. Każdy z przedmiotów (wałeczków) wchodzących w skład próby zostanie jednokrotnie zmierzony bez zwracania. Opracowanie statystyczne obejmuje zadania opisane szczegółowo w instrukcji wykonane krok po kroku z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego. III. ZAKRES OBOWIĄZUJĄCEGO MATERIAŁU definicje populacji generalnej i próby (losowej, reprezentacyjnej), sposób konstrukcji histogramu, wieloboku częstości i dystrybuanty empirycznej, definicje podstawowych parametrów statystycznych: wartość oczekiwana, mediana, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik asymetrii, rozkłady statystyczne: normalny, Studenta, (chi-kwadrat), estymatory estymacja punktowa (wartość średnia, odchylenie średnie ) przedział ufności dla pojedynczego wyniku pomiaru, wartości oczekiwanej, test zgodności, umiejętność korzystania z funkcji statystycznych zawartych w arkuszu kalkulacyjnym, definicje błędów, zasady eliminacji błędów nadmiernych, budowa i zasada działania pneumatycznych przyrządów pomiarowych, statyczne właściwości metrologiczne przyrządów pomiarowych: czułość, zakres pomiarowy, podziałka przyrządu pomiarowego, działka elementarna, wartość działki elementarnej, błąd wskazania. IV. LITERATURA 1. Bobrowski D, Maćkowiak-Łybacka K., Wybrane metody wnioskowania statystycznego. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań Platt Cz., Problemy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. PWN, Warszawa Bourg D. M., Excel w nauce i technice, Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2006, str Tomasik J., i inni, Sprawdzanie przyrządów do pomiaru długości i kąta, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009, str V. OPIS STANOWISKA W skład stanowiska pomiarowego (rys. 1) wchodzą: 1. Czujnik indukcyjny CENSOR z urządzeniem odczytowym mierzy odchyłki mierzonego wymiaru, wynik w μm, 2. Podstawa z kolumną i stołem pomiarowym do umieszczenia czujnika. 1

3 Rys. 1. Schemat stanowiska do statystycznej analizy wyników pomiarów (opis w tekście) VI. ZADANIA DO WYKONANIA Zadanie 1. Pomiar elementów wchodzących w skład próby a) dokonać pomiaru elementów stanowiących próbę z populacji, wyniki zapisać w arkuszu kalkulacyjnym (częściowo w tablicy 1 sprawozdania), Zadanie 2. Obliczenie parametrów szeregu rozdzielczego a) sprawdzić czy występują błędy nadmierne, i jeżeli są to je odrzucić, b) obliczyć rozstęp, liczbę i szerokość przedziałów klasowych, c) wykonać obliczenia wielkości podanych w tablicy 2. Zadanie 3. Histogram, wykres dystrybuanty empirycznej a) korzystając z wyników zamieszczonych w tablicy 2 narysować histogram oraz wykres dystrybuanty empirycznej. Zadanie 4. Obliczenie parametrów rozkładu dla szeregów rozdzielczych a) obliczyć średnią arytmetyczną, b) obliczyć wariancję oraz odchylenie średnie z próby, c) obliczyć asymetrię rozkładu, d) obliczeń dokonać korzystając z tablicy 3, 2

4 Zadanie 5. Obliczenie dokładności oceny asymetrii a) obliczyć odchylenie średnie parametru oceny asymetrii. Zadanie 6. Sprawdzenie hipotezy o normalności rozkładu zmiennej losowej a) obliczyć wartości standaryzowane zmiennej losowej, prawdopodobieństwa w przedziałach klasowych i teoretyczne liczności, a wyniki obliczeń wpisać do tablicy 4, b) dokończyć obliczenia tabelaryczne i wykonać obliczenia statystyki, c) przyjąć bądź odrzucić hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego z rozkładem normalnym dla poziomu istotności α podanego przez prowadzącego. Zadanie 7. Obliczenie granic przedziałów ufności a) odczytać z tablic statystycznych kwantyle rozkładu normalnego, studenta lub chi-kwadrat dla odpowiedniej liczby stopni swobody, b) obliczyć przedziały ufności dla wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego dla poziomu istotności α podanego przez prowadzącego, c) obliczyć przedział ufności dla mierzonych średnic i obliczyć jaki procent wartości zmierzonych mieści się w tym przedziale. Wnioski VII. Przeznaczenie, charakterystyka i opis działania przyrządu CENSOR Przyrząd CENSOR przeznaczony jest do pomiarów długości czujnikiem indukcyjnym Rys. 2. Widok przyrządu pomiarowego CENSOR 1. Dane techniczne Zakres pomiarowy ±50 µm, ±15 µm lub ±5 µm Wartości działki elementarnej (odpowiednio) 2 µm, 0,5 µm, 0,2 µm 3

5 2. Opis działania przyrządu Do nastawienia zakresów pomiarowych przyrządu oraz do jego wyłączania (położenie 0) służy przełącznik 1. Dwa pokrętła (2 i 3) służą do ustawienia zera przyrządu. Lewe zgrubne, prawe dokładne. Przed przystąpieniem do pomiarów należy ustawić odpowiedni zakres pomiarowy (najczęściej ±5 µm), wstawić wałeczek i pokrętłami 2 i 3 ustawić położenie zerowe. Następnie wstawiać kolejnych 5 wałeczków i tak wyregulować położenie wskazówki, aby przy skrajnych odchyłkach przyjmowała symetryczne położenie. Odczytując wskazania należy dzielić działkę elementarną na pół. Przykładowo wskazanie na rys. 2 wynosi -1,3 µm. Przykład obliczeniowy Z produkcji tulejek pobrano 80-cio elementową próbę. Wykonano pomiary odchyłek średnicy otworu od wymiaru nominalnego 40 mm otrzymując wyniki zamieszczone w tablicy 1. Należy z prawdopodobieństwem 95% wyznaczyć przedział obejmujący średnią wartość średnicy otworu. Tablica 1. Wyniki pomiaru odchyłek średnicy wewnętrznej tulejek od 40 mm w [mm] 0,007 0,015 0,009 0,002 0,016 0,004 0,016 0,015 0,016 0,017 0,009 0,016 0,015 0,016 0,016 0,008 0,012 0,011 0,009 0,005 0,010 0,018 0,015 0,006 0,012 0,015 0,015 0,013 0,006 0,018 0,016 0,016 0,014 0,017 0,015 0,013 0,015 0,012 0,014 0,021 0,008 0,011 0,016 0,010 0,008 0,014 0,005 0,018 0,003 0,007 0,008 0,013 0,015 0,009 0,009 0,005 0,015 0,013 0,015 0,008 0,017 0,015 0,013 0,010 0,011 0,016 0,014 0,015 0,013 0,013 0,016 0,020 0,009 0,004 0,011 0,009 0,016 0,008 0,013 0,015 Zadania szczegółowe 1. Przeprowadzić eliminację wyników pomiarów obarczonych błędami nadmiernymi (grubymi). 2. Obliczyć częstości względne oraz wartości empirycznej dystrybuanty zmiennej losowej (odchyłek średnicy otworu x). 3. Narysować histogram i wykres dystrybuanty empirycznej rozkładu zmiennej losowej (odchyłek średnicy otworu x). 4. Obliczyć parametry rozkładu dla szeregów rozdzielczych. 5. Obliczyć odchylenie średnie parametru oceny asymetrii. 6. Przedstawić funkcję gęstości rozkładu normalnego oraz funkcję dystrybuanty. 7. Sprawdzić hipotezę o normalności rozkładu. 8. Przeprowadzić estymację przedziałową zmiennej losowej, wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego populacji na poziomie istotności α. 4

6 Rozwiązanie Ad.1. Analizując wyniki pomiarów wielokrotnych, można zaobserwować wyniki o wartościach znacznie różnych od pozostałych. Można podejrzewać, że wyniki te są obarczone błędami nadmiernymi (grubymi), których przyczynami mogą być niezauważone podczas pomiarów: zmiany warunków pomiarów, niesprawność aparatury, pomyłki osób wykonujących pomiary błędy powstałe podczas przetwarzania wyników. Zakładając, że zbiory wyników pomiarów mają rozkład normalny, eliminację błędów nadmiernych dokonuje się następująco: dla otrzymanego z pomiarów zbioru wyników oblicza się wartość średnią i odchylenie średnie, dla założonego poziomu ufności P wyznacza się przedział ufności mierzonej wielkości (zazwyczaj przyjmuje się poziom P = 99,73%, dla którego kwantyl rozkładu normalnego u α wynosi 3,00), dla wartości, które znajdują się poza przedziałem ufności, zakłada się hipotetycznie, że nie przynależą one do populacji, ponieważ prawdopodobieństwo ich wystąpienia jest zbyt małe i że nie przypadek spowodował ich pojawienie się, lecz błąd nadmierny, czyli odrzuca się je, po odrzuceniu wartości obarczonych błędami grubymi dalsze obliczenia statystyczne wykonuje się już normalnymi znanymi metodami. Dla danych z tablicy 1 otrzymujemy =0,0123; =0,0042. Zatem 3 = 0,0003; +3 =0,0249. Stąd wobec!"# =0,002 i!$% =0,021 w przedziale ( ) mieszczą się wszystkie zmierzone wartości. Ad.2. Tworząc szereg rozdzielczy należy zaobserwowane wartości średnicy w próbie uporządkować według przedziałów klasowych. Liczbę przedziałów klasowych ustala się biorąc pod uwagę liczność próby oraz różnicę R (rozstęp) pomiędzy największą i najmniejszą wartością cechy (średnicy) w próbie. Wielkość R stanowi miarę rozproszenia wartości średnicy. Ważną kwestią jest ustalenie liczby k przedziałów klasowych. Jeżeli jest zbyt duża, to liczba obserwacji należących do każdego z przedziałów może być zbyt mała i wykres rozkładu może ulec zbyt dużym wypaczeniom. Natomiast, jeśli liczba przedziałów jest zbyt mała, to nie zostaną uwidocznione charakterystyczne właściwości rozkładu. Jest ona ustalana w zależności od liczebności próby oznaczonej, jako N. W literaturze można spotkać kilka zasad doboru liczby przedziałów, między innymi: liczba przedziałów klasowych powinna zawierać się pomiędzy 5 a 15, liczba przedziałów klasowych powinna spełniać nierówność: wg Huntsbergera de Brookes i Carruthers proponują 0, dla + =80 4,5-8,9 - =1+3,3log+ dla + =80 - =7,3 - <5log+ dla + =80 - <9,5 5

7 Jak wynika z tych zależności można przyjąć k w granicach od 5 do 8. Do dalszych obliczeń przyjęto k = 7. Szerokość przedziału klasowego h jest wielkością zależną rozstępu R oraz od liczby przedziałów klasowych k. h > 7 - =!$%!"# = 0,021 0,002 >0, Wartość h musi być wielokrotnością działki elementarnej, zatem przyjęto h = 0,003 mm. Dolna granica pierwszego przedziału powinna być mniejsza od najmniejszej wartości próby, a górna ustalona tak, by ostatni przedział zawierał największą wartość. Przedziały klasowe są prawostronnie domknięte (prawe granice należą do nich). Liczba przedziałów klasowych k pomnożona przez szerokość przedziału h musi być nieznacznie większa od rozstępu. W przykładzie przyjęto wartość początkową równą 0,001 mm, stąd pierwszy przedział będzie odpowiada zakresowi (0,001 0,004], drugi (0,004 0,007] mm itd. Liczbę zdarzeń w poszczególnych przedziałach klasowych podano w tablicy 2. Tablica 2. Parametry częstotliwościowe przedziałów klasowych Nr przedziału Granice przedziału klasowego [μm] (1 4] (4 7] (7 10] (10 13] (13 16] (16 19] (19 22] Liczność 9 " Częstość Względna 9 ": + Częstość skumulowana 0,050 0,088 0,200 0,213 0,325 0,100 0,025 0,050 0,138 0,338 0,550 0,875 0,975 1,000 < < Wartości kontrolne: + = "= 9 " =80; # > "= =1? Ad.3. W celu wykonania histogramu na osi odciętych odkładamy wartości środków przedziałów klasowych (lub numery przedziałów). Szerokość przedziału klasowego stanowi podstawę prostokąta, którego wysokość wyraża liczność zmierzonych elementów w rozpatrywanym przedziale klasowym (tablica 2). Na osi rzędnych mogą być również podane wartości częstości względnych. Wykreślając dystrybuantę empiryczną na osi odciętych odkładamy prawe granice przedziałów klasowych a na osi rzędnych częstość skumulowaną. Na podstawie danych z tablicy 2 narysowano histogram i wielobok skumulowanych częstości (wykres dystrybuanty empirycznej). 6

8 a) b) Liczność Częstość skumulowana Odchyłka średnicy [μm] Rys. 1.Wykresy:(a) histogram, (b) dystrybuanta empiryczna Odchyłka średnicy [μm] Ad.4. Obliczenia szczegółowe parametrów rozkładu. a) średnia W przypadku prób o liczności powyżej N >25 celowe jest obliczenie średniej arytmetycznej ze wzoru: = A? "= " 9 " gdzie " wartość zmiennej w środku i-tego przedziału klasowego (tablica 3), = A? "= " 9 " = CDE EF =11,73 μm b) wariancja z próby i odchylenie średnie z uwzględnieniem poprawki Shepparda na grupowanie (h długość przedziału klasowego), = K >LM (% > H% ) J # >? =Q16,75=4,09 μm NJ = DCC,CO EF c) asymetria (skośność) = K >LM (% > H% ) R # > = HC<,EE = 0,350? T R EF U,FC R DJ =17,50 0,75=16,75 Ad.5. Obliczenie odchylenia średniego parametru oceny asymetrii =V W (#H) (#X) (#XD) =0,266 Jeżeli rozkład średnicy otworów jest symetryczny, to powinno być =0. Można zauważyć, że obliczona wartość odbiega od wartości zerowej, jednak nie więcej niż o dwa odchyle- 7

9 nia średnie (2 =0,532), co pozwala przyjąć rozkład, jako symetryczny. Potwierdza to również wygląd histogramu. Tablica 3. Wartości momentów rozkładu średnic otworów x i Nr przedziału Granice przedziału klasowego [µm] Środek przedziału " Liczność 9 " Obliczenie średniej Moment 1-go rzędu Moment 2-go rzędu Moment 3-go rzędu ( " )9 " ( " )9 " ( " ) 9 " ( " ) D 9 " 1 (1 4] 2,5 4 10,00-36, , ,213 2 (4 7] 5,5 7 38,50-43, , ,558 3 (7 10] 8, ,00-51, , ,672 4 (10 13] 11, ,50-3,825 0,861-0,194 5 (13 16] 14, ,00 72, , ,600 6 (16 19] 17, ,00 46, , ,799 7 (19 22] 20,5 2 41,00 17, , ,361 Suma ,00 0, , ,878 Ad.6. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego ma postać: Y()= Z [ \]^ (%H_)J` Z J Punktowe oceny parametrów (estymatory) rozkładu normalnego wynoszą: µ : =1,73a8, σ : =4,09a8. Po podstawieniu danych przyjmuje postać Y()= U,FC [ \]^ (%H,<D)J U,FC J ` oraz dystrybuanta b()= U,FC [ c % \]^ (%H,<D)J `d He U,FC J Ad.7. Sprawdzenie hipotezy o normalności rozkładu zmiennej losowej (średnicy otworów) zastosowano test zgodności (chi-kwadrat) [1,2] Jeżeli liczność w którymś przedziale klasowym będzie mniejsza od 5 to należy ten przedział połączyć z sąsiednim tak, aby suma liczności przedziałów była co najmniej równa 5. W przykładzie obliczeniowym zostały połączone przedziały 1 i 2 oraz 6 i 7. a) wartości zmiennych losowych standaryzowanych obliczamy wg wzoru: f " = % >H_ Z, czyli f " = % >H,<D U,FC Korzystając z wartości dystrybuanty [1], obliczamy prawdopodobieństwa znalezienia zmiennej losowej standaryzowanej f " w przedziale ( "H ; " ] ] " =h( "H <i < " ) =b(f " ) b(f "H ) Przykładowo prawdopodobieństwo obliczone dla przedziału (10,0; 13,0] wynosi ] D =h(10,0<i <13,0)=b^D,FH,<D U,FC ` b^f,fh,<d U,FC =b(0,311) b( 0,423)=0,622 0,336=0,286 `= 8

10 Wyjaśnienia wymaga obliczenie prawdopodobieństwa w pierwszym i ostatnim przedziale. Otóż prawdopodobieństwo dla pierwszego przedziału jest równe wartości dystrybuanty dla prawej granicy przedziału czyli dla obszaru od do prawej granicy. f = % MH_ Z = <,FH,<D U,FC = 1,156 ] =h( <i<7,0)=b( 1,156)=0,124 Natomiast prawdopodobieństwo dla ostatniego przedziału traktujemy jak obszar od lewej granicy do +. f U = % kh_ Z = W,FH,<D U,FC =1,044 ] O =h(16,0<i <+ )=1 b(1,044)=0,148 Wyniki obliczeń dla wszystkich przedziałów wszystkich zamieszczono w tablicy 4. Tablica 4. Parametry częstościowe przedziałów klasowych nr przedziału Granice przedz. klas. [µm] Liczność 9 " Przedziały standaryzowane (f "H ;f " ] b(f " ) ] " 9] " (9 " 9] " ) 9] " 1 ( 1,0; 7,0] 11 [ - ; -1,156) 0,124 0,124 9,92 0,118 2 ( 7,0; 10,0] 16 [-1,156; -0,423) 0,336 0,212 16,96 0,054 3 (10,0; 13,0] 17 [-0,423; 0,311) 0,622 0,286 22,88 1,511 4 (13,0; 16,0] 26 [ 0,311; 1,044) 0,852 0,230 18,40 3,139 5 (16,0; 22,0] 10 [ 1,044; + ) 0,148 11,84 0,286 Suma 80 1,000 80,00 5,108 b) obliczenie wartości statystyki Statystyka stanowi miarę rozbieżności między rozkładami empirycznymi i teoretycznymi o dystrybuancie b() A = (# >H# lmno ) J A = (# >H#p > ) J "= # lmno gdzie 9 " liczność empiryczna i -tego przedziału, 9 qrs teoretyczna liczność i -tego przedziału, N liczebność próby, ] " prawdopodobieństwo znalezienia się zmiennej losowej " w i-tym przedziale klasowym (o środku w punkcie " ) wyznaczone przez hipotetyczną dystrybuantę. Z tablic rozkładu dla poziomu istotności t =0,05 i liczbie stopni swobody u =- v 1=5 2 1=2 (- liczba przedziałów, v liczba parametrów rozkładu oszacowanych z próby) odczytujemy wartość krytyczną ;F,FO =5,991. Jeśli ;F,FO to oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalnym rozkładzie średnic otworów. "= #p > 9

11 Ad.8. Obliczenie granic przedziałów ufności dla wartości oczekiwanej, odchylenia standardowego i zmiennej losowej. Jeśli z populacji o nieznanych parametrach ( µ, σ ) wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym, zostanie pobrana dostatecznie duża próba losowa (w przykładzie 80-cio elementowa) o rozkładzie normalnym, to wówczas przedział ufności dla wartości oczekiwanej wynosi x <a< +x W celu obliczenia granic przedziału ufności posługujemy się tablicami rozkładu normalnego (dla + 30). Dla przyjętego prawdopodobieństwa h =1 t =0,95 kwantyl rozkładu f F,FO =1,960 a długość przedziału ε wynosi: T x =f {? =1,960 U,FC =0,896 [µm] EF Zatem przedział ufności dla wartości oczekiwanej można zapisać: 11,73 0,90<a <11,73+0,90 [µm] 10,83<a<12,63 [µm] Dla próbki małej (+ 30) należy skorzystać z tablic rozkładu t-studenta i odczytać kwantyl rozkładu s; dla u =+ 1 stopni swobody. Dla przykładowej próbki <C;F,FO =1,990, a długość przedziału ε wynosi: T x = s,{? =1,990 U,FC =0,910 [µm] EF Zatem przedział ufności dla wartości oczekiwanej można zapisać: 11,73 0,91<a <11,73+0,91 [µm] 10,82<a<12,64 [µm] Jak widać szerokości przedziałów obliczone z obu rozkładów bardzo niewiele się różnią. W celu obliczenia przedziału ufności dla odchylenia standardowego dla dużej próbki posługujemy się kwantylem rozkładu normalnego poprzednio odczytanego f F,FO =1,960 T X ~ < < T H ~ J J Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy: = =,CWF =0,155? WF 3,54< <4,84 Obliczając ten sam przedział dla małej próbki korzystamy z rozkładu chi-kwadrat najpierw odczytujemy kwantyle dla u =+ 1 stopni swobody oraz poziomów { i 1 { <C;F,FO =105,473; <C;F,C<O =56,309 Przedział ufności obliczamy ze wzoru:?t J ƒ J < <?TJ ƒ J o; o;m J J Podstawiając wartości liczbowe otrzymujemy: 3,56< <4,88 Przedziały dla odchylenia standardowego również niewiele się różnią przy ich obliczaniu dwoma metodami. 10

12 Aby obliczyć przedział ufności dla mierzonych odchyłek średnic Δd skorzystamy ze wzoru: x <Δd < +x W celu obliczenia granic przedziału ufności posługujemy się tablicami rozkładu normalnego (dla + 30). Dla przyjętego prawdopodobieństwa h =1 t =0,95 kwantyl rozkładu f F,FO =1,960 a długość przedziału ε wynosi: x =f { =1,960 4,09=8,02 [µm] Zatem przedział ufności dla odchyłek średnic można zapisać: 11,73 8,02<Δd <11,73+8,02 [µm] 3,71<Δd <19,75 [µm] Dla próbki małej (+ 30) należy skorzystać z tablic rozkładu t-studenta i odczytać kwantyl rozkładu s; dla u =+ 1 stopni swobody. Dla przykładowej próbki <C;F,FO =1,990, a długość przedziału ε wynosi: x = s,{ =1,990 4,09=8,14 [µm] Zatem przedział ufności dla wartości oczekiwanej można zapisać: 11,73 8,14<Δd <11,73+8,14 [µm] 3,59<Δd <19,87 [µm] Jak widać szerokości przedziałów obliczone z obu rozkładów bardzo niewiele się różnią. Żeby obliczyć ile pomiarów mieści się w wyznaczonym przedziale należy odrzucić wymiary mniejsze lub równe 0,004 mm oraz większe lub równe 0,020 mm. Takich pomiarów są w sumie 4 (zaznaczone na czerwono) w tablicy 1 zatem w wyznaczonym przedziale mieści się 74 : 80 =93% wyników. 11

13 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0, ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , ,006387

14 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-2,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,

15 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0, ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , ,993613

16 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 2,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,

17 Rozkład t-studenta Wartości tα, dla których P( t >tα)=α r \ α 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,005 0,002 0, ,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63, , , , ,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,327 31, ,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,215 12, ,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8, ,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6, ,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5, ,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5, ,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5, ,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4, ,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4, ,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4, ,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4, ,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4, ,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4, ,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4, ,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4, ,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3, ,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3, ,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3, ,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3, ,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3, ,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3, ,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3, ,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3, ,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3, ,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3, ,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3, ,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3, ,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3, ,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

18 Rozkład χ² Wartości χ²α, dla których P(χ²<χ²α)=α r \ α 0,005 0,010 0,020 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,980 0,990 0, , , , , , ,016 2,706 3,841 5,024 5,412 6,635 7, ,0100 0,0201 0,0404 0,0506 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 7,824 9,210 10, ,0717 0,115 0,185 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 9,837 11,345 12, ,207 0,297 0,429 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 11,668 13,277 14, ,412 0,554 0,752 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 13,388 15,086 16, ,676 0,872 1,134 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 15,033 16,812 18, ,989 1,239 1,564 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 16,622 18,475 20, ,344 1,646 2,032 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 18,168 20,090 21, ,735 2,088 2,532 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 19,679 21,666 23, ,156 2,558 3,059 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 21,161 23,209 25, ,603 3,053 3,609 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 22,618 24,725 26, ,074 3,571 4,178 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 24,054 26,217 28, ,565 4,107 4,765 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 25,472 27,688 29, ,075 4,660 5,368 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 26,873 29,141 31, ,601 5,229 5,985 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 28,259 30,578 32, ,142 5,812 6,614 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 29,633 32,000 34, ,697 6,408 7,255 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 30,995 33,409 35, ,265 7,015 7,906 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 32,346 34,805 37, ,844 7,633 8,567 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 33,687 36,191 38, ,434 8,260 9,237 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 35,020 37,566 39, ,034 8,897 9,915 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 36,343 38,932 41, ,643 9,542 10,600 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 37,659 40,289 42, ,260 10,196 11,293 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 38,968 41,638 44, ,886 10,856 11,992 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 40,270 42,980 45, ,520 11,524 12,697 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 41,566 44,314 46, ,160 12,198 13,409 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 42,856 45,642 48, ,808 12,879 14,125 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 44,140 46,963 49, ,461 13,565 14,847 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 45,419 48,278 50, ,121 14,256 15,574 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 46,693 49,588 52, ,787 14,953 16,306 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 47,962 50,892 53,672