Symetrie i struktury ciała stałego - W. Sikora

Transkrypt

1 Symetre struktury cała stałego - W. Skora ( W wykładach zostały wykorzystane fragmenty materałów opracowanych w ramach praktyk wakacyjnej przez studentk specjalnośc Fzyka Cała Stałego WFIS: Sylwę Chudy, Barbarę Majcher oraz Joannę Stępeń a także komputerowe programy dydaktyczne opracowane przez doktoranta ZFFS WFIS, mgr J.Malnowskego LITERATURA A.Kowalska "Wstęp do zastosowań teor grup w fzyce" F.A.Cotton "Teora grup. Zastosowana w chem" J.Mozrzymas "Wstęp do współczesnej teor grup krystalografcznych ch reprezentacj" (PWN 987) S.L.Altmann "Reprezentacje ndukowane w kryształach molekułach" G.J. Lubarsk "Teora grup jej zastosowana w fzyce" Z.Bojarsk, M.Ggla, K.Stróż, M.Surowec "Krystalografa" A.P.Cracknell "Appled Group Theory" Ed. Theo Hahn, (mam wydane 983 ale są nowsze) "Internatonal Tables for Crystallography" t.a W Y K Ł A D Y!

2 . Po co zajmować sę symetrą? W sztuce może dlatego, że jest śladem pękna harmon w śwece a newelke jej naruszene pozwala artystom wyrażać dynamkę, ruch, zmenność... ale po co symetra w nauce? Symetra pozwala zaprezentować złożone układy w sposób najprostszy dostarcza kryterów do ch klasyfkacj, pozwala wprowadzć porządek w welkm bogactwe różnorodnośc takch układów.

3 Nauk ścsłe - a taką nauką jest fzyka - do opsu śwata zachodzących w nm zjawsk używają matematyk. To potężne narzędze, precyzyjny język, w którym można formułować prawa. Zależnośc mędzy parametram opsywanego układu, jego cecham, można zapsywać za pomocą równań. Aby opsywać obekty materalne stnejące w przestrzen czase używając języka matematyk, trzeba wprowadzć układ odnesena. Już zasada względnośc Galleusza mówła, ze można to zrobć na wele sposobów żaden z nch w swojej stoce ne jest lepszy od nnych. Ale postać matematycznych równań opsujących zjawska zachodzące w tych obektach zależy od wybranego układu odnesena. Są take układy odnesena, w których te równana przyjmują szczególne prostą postać pozwalają uwdocznć stotę opsywanych zależnośc. To są układy dopasowane do symetr opsywanego obektu. (przykład okręgu w różnych układach odnesena). Złożene obrotów: = 90 o, = 45 o, = 80 o - obrót wokół os z - obrót wokół os x - obrót wokół os z' jest reprezentowane przez macerz: ( 0 0 )( x ) ( x ' / 0 / y = y' / 0 / z ) x '= y y '= / x /z z' z'= / x+ /z Równane okręgu transformuje sę wtedy nastepująco:

4 y x' + z + = R / y' + / z' y' z' = R Symetra jest cechą charakteryzującą układ fzyczny określa jego fazę. Zmana symetr układu jest znakem przemany fazowej układu. Symetra pozwala zaprezentować złożone układy w sposób najprostszy dostarcza kryterów do ch klasyfkacj, pozwala wprowadzć porządek w welkm bogactwe różnorodnośc takch układów.. Co to znaczy, że jakś obekt jest symetryczny, albo naczej, że posada pewną symetrę? Trzeba ustalć pewne cechy przedmotu, które można przekształcać. Wynk operacj przekształcena można nazywać obrazem tego przedmotu względem danego przekształcena. Jeżel obraz dokładne pokrywa sę z przedmotem, jeżel są nerozróżnalne, wtedy mówmy, że przedmot ma symetrę tego przekształcena. Można też powedzeć, że przedmot jest nwarantny (czyl nezmennczy) względem tego przekształcena. Równane zapsane w zmennych określonych w pewnej przestrzen posadającej symetrę jakegoś przekształcena jest nezmenncze względem tego przekształcena, jeżel postać tego równana w przetransformowanych zmennych jest dentyczna jak postać równana w perwotnych zmennych. 3. Jake znamy symetre? Symetre zewnętrzne zwązane są z przekształcenam trójwymarowej przestrzen eukldesowej, w której stneją przedmoty materalne (czy ch układy), czasu, który pozwala opsać ch zmany. Czas jest jednowymarowy, węc można tylko dokonywać przesunęć (translacj) lub nwersj (zmany znaku). Przestrzeń eukldesowa jest trójwymarowa można w nej dokonywać przesunęć w każdym z trzech wymarów, obrotów wokół dowolnej os o dowolny kąt, odbć w dowolnych płaszczyznach nwersj. Symetre wewnętrzne zwązane są z przekształcenam własnośc układów bądź pojedynczych obektów (np. zospnu, parzystośc czy ładunku cząstek elementarnych). Będą nas nteresować I. Izometryczne, (czyl zachowujące odległość mędzy dwoma punktam) przekształcena przestrzen eukldesowej, II. Przekształcena funkcj określonych w tej przestrzen

5 TRANSLACJA Przekształcene poprzez translację, (naczej przez przesunęce): Istneją wektory a - wersory trójwymarowej przestrzen eukldesowej (lnowo nezależne wektory nazywane elementarnym), Dowolny wektor t tak, że taa Aa Aa t 3 A a 3 3 (gdze A są dowolnym lczbam rzeczywstym) może być wektorem translacj. Obekty posadające symetrę translacyjną są neskończone. Cała przestrzeń jest nezmenncza względem dowolnej translacj. Jeśl A są lczbam całkowtym, to zbór punktów przestrzen eukldesowej nezmennczy względem takch translacj jest dyskretny. Mówmy, że tworzy seć krystalografczną. Równoległoścan zbudowany na wektorach a nazywa sę komórką prymtywną. Równoległoścan zbudowany na dowolnych wektorach an n a (gdze n są lczbam całkowtym) nazywa sę komórką elementarną. OBRÓT (WŁAŚCIWY) Przekształcene obrotu o kąt α, wokół os n-krotnej o zadanym kerunku w przestrzen (obraz punktu znajduje sę wraz z przekształcanym punktem w płaszczyźne prostopadłej do os): n n (lub C n ) obrót o 360 o (lub E ) obrót o 80 o ( lub C ) 3 3 obrót o 0 o ( lub C 3 ) 4 4 obrót o 90 o (lub C 4 ) 6 6 obrót o 60 o (lub C 6 ) - obrót wokół os o dowolne mały kąt (n lub C ) Obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara przyjmuje sę za obrót ujemny. Obrót przecwny do ruchu wskazówek zegara przyjmuje sę za obrót dodatn. Cała przestrzeń jest nezmenncza względem obrotu o dowolny kąt wokół dowolnej os. ODBICIE W PŁASZCZYŹNIE Obraz punktu przekształcanego przez odbce w płaszczyźne znajduje sę wraz z przekształcanym punktem na jednej prostej prostopadłej do płaszczyzny. Po wybranu układu odnesena płaszczyzny odbjające oznacza sę lterą m

6 np. m x, m y, m z oznacza odpowedno płaszczyznę prostopadłą do os x, y, z. Cała przestrzeń jest nezmenncza względem odbca w dowolnej płaszczyźne SYMETRIA WZGLĘDEM PUNKTU - INWERSJA, ŚRODEK SYMETRII Obraz punktu przekształcanego względem nwersj znajduje sę wraz z punktem przekształcanym punktem nwersj na jednej prostej. Cała przestrzeń jest nezmenncza względem nwersj umeszczonej w dowolnym punkce przestrzen. W przestrzen pojawają sę jeszcze nne przekształcena ( złożene wymenonych wyżej przekształceń)): OSIE INWERSYJNE (OBROTY NIEWŁAŚCIWE) Dzałane: obrót wokół n-krotnej os z przekształcenem względem nwersj leżącej na os obrotu. Obrót wokół os dwukrotnej złożony z przekształcenem względem nwersj leżącej na os obrotu jest dentyczny z odbcem w płaszczyźne prostopadłej do os, przechodzącej przez punkt nwersj.( I*C = σ h ) OSIE ŚRUBOWE Dzałane: obrót z translacją (wektor translacj jest równoległy do os) PŁASZCZYZNY POŚLIZGU Dzałane: odbce z translacją (wektor translacj jest równoległy do płaszczyzny odbjającej). Złożene przekształceń polegające na kolejnym ch wykonanu nazywamy loczynem tych przekształceń. Każde przeksztalcene można przedstawć bądź w postac geometrycznej, bądź po wybranu układu odnesena poprzez macerze transformacj przekształcanego punktu o współrzędnych x,y,z do jego obrazu o współrzędnych x',y,'z' a a a3 t x x' a a a3 t y y' a ' 3 a3 a33 t3 z z Macerz 3x3 o rzeczywstych współczynnkach a j opsuje obrót, odbce lub nwersję, czwarta kolumna o współczynnkach t opsuje translację..obrotow właścwemu odpowada macerz 3x3 o wyznacznku = + Obrotow newłaścwemu odpowada macerz 3x3 o wyznacznku = - Można dokonywać transformacj układu odnesena lub współrzędnych. Macerze odpowednch transformacj są względem sebe odwrotne. W dalszych rozważanach mówąc o przekształcenach w przestrzen eukldesowej będzemy rozważać transformację współrzędnych.

7 OGÓLNE ZWIĄZKI MIĘDZY PRZEKSZTAŁCENIAMI. Iloczyn dwóch obrotów właścwych mus być obrotem właścwym.. Iloczyn dwóch odbć w płaszczyznach A B przecnających sę pod kątem AB jest obrotem o kąt AB wokół os pokrywającej sę z prostą przecęca sę tych płaszczyzn. 3. Jeśl stneje oś c n płaszczyzna, która tą oś zawera, to mus stneć n płaszczyzn z których każde dwe kolejne tworzą kąt n 4. Iloczyn dwóch os C przecnających sę pod kątem jest osą obrotu o kąt, prostopadłą do płaszczyzny wyznaczonej przez wspomnane ose C 5. Oś obrotu właścwego prostopadła do nej płaszczyzna symetr generują środek symetr a także oś obrotu właścwego środek symetr (nwersja) generują płaszczyznę prostopadłą do os. ZWIĄZKI PRZEMIENNOŚCI Zawsze komutują ze sobą:. dwa obroty wokół tej samej os. odbca w płaszczyznach prostopadłych do sebe 3. nwersja dowolny obrót lub odbce 4. obroty C wokół os prostopadłych do sebe obrót odbce w płaszczyznach prostopadłej do os tego obrotu. Pojęce grupy: ZBIÓR G = { g } => GRUPA Zbór G = {g } nazywamy grupą jeżel spełnone są następujące warunk:. Jest określone dzałane mędzy elementam zboru, nazywane mnożenem grupowym", które ne wyprowadza poza zbór: g gj gn g gg gg g. Dzałane to jest łączne: j k j k 3. Istneje element jednostkowy e G : g e eg g 4. Istneje do każdego elementu g G element odwrotny g G g g gg e : Ilość elementów grupy G nazywamy rzędem grupy oznaczamy symbolem G Generatory grupy mnmalna lczba elementów symetr, taka, że ch mnożene przez sebe odtwarza całą grupę. Zbór P=> podgrupa grupy G:

8 G: G, { g G } P P, { p { p P} G} ale są take g P, czyl : P < G Podzbór mus spełnać warunk grupowe aby być podgrupą. Notujemy wtedy P G grupa G jest loczynem prostym swoch podgrup G G jeżel każdy element g G można przedstawć w postac g g g gdze g Gg ; G elementy grupy G komutują z elementam grupy G. Elementy każdej z podgrup ne muszą komutować ze sobą. G G G Grupa translacj trójwymarowych jest loczynem prostym grup translacj jedno- dwuwymarowych Homomorfzm F na G ODWZOROWANIA GRUP Każdemu elementow {f } jest przyporządkowany dokładne jeden element {g} ( zbory ne muszą być równolczne całemu zborow może być przyporządkowany jeden element): f F dokładne jeden g G (jeśl dodatkowo g G dokładne jeden f F - Izomorfzm), jest zachowana relacja mnożena : ( obraz f )( obraz f j ) = obraz ( f f j ) f g, f j g j f f j = f k, g g j g k f k g k zbór {f k } wszystkch elementów F, którym przyporządkowany jest element jednostkowy zboru G E g : {f k } E g nazywamy jądrem odwzorowana F G. Przyporządkowane elementom grupy przekształceń macerzy transformacj współrzędnych w wybranym układze odnesena jest zomorfzmem. PRZYKŁADY TRANSFORMACJI Badamy okrąg leżący w wybranym układze odnesena w płaszczyźne yz, którego środek pokrywa sę z początkem układu. Będzemy sprawdzać, czy wybrane

9 przekształcene jest elementem symetr tego okręgu czy jest elementem symetr równana tego okręgu y z R - równane okręgu w takm układze a) Dokonujemy przekształcena obrót + translacja Najperw dokonujemy przesunęca o wcześnej zadany wektor u 0,,0 a następne obrotu o kat 90 o wokół os z. gdze - macerz translacj o wektor u - macerz obrotu o kat 90 o wokół os z x x ' y y' z z ' x' y y x' y' x z' z y z ( x' ) R z' R x' z ' ' x R Równane okręgu w układze przesunętym obróconym wokół os z ma nną postać nż w układze początkowym. Ne jest węc nezmenncze względem takego przekształcena. b) Dokonujemy trzech obrotów układu o 80 o - obrót wokół os z - obrót wokół os x - obrót wokół os z Korzystamy z macerzy wyrażonej przez trzy kąty Eulera: cos sn cos sn cos sn cos sn g cos sn cos sn cos cos sn sn sncos

10 x x' x' x 0y y' y ' y z z' z' z Z postac macerzy transformacj wdać, że take złożene odpowada obrotow o kąt 80 0 wokół os x y z R - równane okręgu w płaszczyźne yz. y' z ' R Równane jest nezmenncze względem takego przekształcena. Jego postać w nowych zmennych jest taka sama jak w starych. c) Złożene obrotów: = 90 o jest reprezentowane przez macerz:, = 45 o, = 80 o ( 0 0 / 0 / )( x ) ( x ' y = y' / 0 / z ) x '= y y '= / x /z z' z'= / x+ /z Równane okręgu transformuje sę wtedy nastepująco: y + z =R ( x ' ) + ( /z'+ / y' ) =R x ' + / y' + /z' y' z '=R Równane naszego okręgu ne jest nezmenncze wzgłedem takej transformacj. To równane ne ma symetr takego przekształcena. d) Teraz wykażemy, że oś 3x jest osą symetr okręgu jako obektu geometrycznego,czyl wybranego zboru punktów spełnających równane y +z = R (np.: z R=) 3x oznacza, że dokonujemy obrotu wokół os x o kat 0 c zależnoścą: o Macerz reprezentujaca tak obrót: zgodne z 0 0 x x ' 3x 0 3 y y ' 0 3 z z ' Berzemy punkt A (0,, ten punkt osą 3x. 3 ) leżący na okręgu o promenu R= dzałamy na x ' x'0 3x 0 3 y ' y' ' z z' 3

11 y z R y' z' R? 3 4 Wdzmy, że punkt A A ( 0,, - węc należy do nego. 3 ), który równeż spełna równane okręgu, a e) Podobne jest z osą 4x, której macerz jest następująca : punkt A A"( 0, 3, -), należący do okręgu Można w ten sposób pokazać, że obrót wokół os x o dowolny kąt przeprowadza dowolny punkt należący do okręgu w nny punkt także należący do okręgu, czyl, że to przekształcene jest elementem symetr wybranego przez nas okręgu. Czy obrót o 30 0 wokół os z będze elementem symetr okręgu y +z = R? Macerz odpowadająca takemu obrotow ma postać: 3 0 x' 3 x y 0 x x ' y' x 3 y 3 y y ' zz z z ' 0 ' Taka transformacja przeprowadza punkt A w A^= (/, (+ 3 )/, 3 ), który ne spełna równana okręgu, ne jest to węc element symetr badanego przez nas okręgu. Ne jest to także element symetr równana, poneważ równane w zmennych x', y' z' przyjmuje postać: /4x' +3/4y' +z' + 3 x'y'/- 3 x'/4 + 3y'/4 + 3/6 = 4 Wdać, jak bardzo komplkuje sę równane tego okręgu zapsane w układze odnesena, który ne jest dopasowany do symetr tego okręgu!