WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW"

Transkrypt

1 DECYZJE nr 13 czerwiec 2010 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Paweł Hanczar* Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu Streszczenie: Problem wyznaczania tras pojazdów jest znany już od 1959 rou. Od tego czasu rozważono wiele różnych wersji tego zadania, a taże opracowano wiele algorytmów jego rozwiązywania. Wraz z rozwojem nowych oncepcji w zaresie zarządzania przedsiębiorstwem w obszarze planowania tras wciąż pojawiają się nowe wymagania. W pierwszej części artyułu zostały przedstawione lasyczne sformułowania problemu wyznaczania tras pojazdów oraz wybrane metody jego rozwiązywania. Następnie w części drugiej zaprezentowano główne, zdaniem autora, ieruni rozwoju modeli wyznaczania tras pojazdów. W części tej przedstawiono taże nowe propozycje metod ich rozwiązywania wraz z oceną ich suteczności. Jao pierwszy ierune przedstawiono zagadnienie wyznaczania tras przepływu zapasów oreślane często jao zarządzanie zapasami sterowane przez dostawcę. Następnie rozważono zagadnienie wyboru dostawcy usług transportowych w warunach różnych taryf transportowych. Jao ostatnie zaprezentowano zagadnienie wyznaczania tras pojazdów w wielopoziomowych sieciach dystrybucyjnych. Słowa luczowe: problem wyznaczania tras dostaw, problem wyznaczania tras zapasów, uzupełnianie zapasów sterowane przez dostawcę, optymalizacja dysretna. DECISION SUPPORT MODELS FOR VEHICLE ROUTING PROBLEMS Abstract: Research in the field of vehicle routing problem started in For more then 50 years a lot of versions of this problem have been considered and many solution methods have been developed. Unfortunately new management concepts continuously put out the challenge to vehicle routing researchers. Presented paper is divided into two parts. In the first part the classical vehicle routing formulations and their solution methods were presented. In the second * Paweł Hanczar, Katedra Logistyi, Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu, ul. Komandorsa 118/120, Wrocław, 55

2 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW part the three main directions of advance are identified and briefly described. The new solution approaches to finding solution to the new variants of vehicle routing problem are proposed and tested. Firstly we conduct new solution methods to inventory routing problem. Then the common case of the vehicle routing problem in different distribution tariff environment is analyzed. Lastly the vehicle routing problem in multiechelon distribution networs is considered. Keywords: vehicle routing problem, inventory routing planning, vendor managed inventory replenishment, optimization. 1. Problem wyznaczania tras pojazdów Problem wyznaczania tras pojazdów (ang. vehicle routing problems VRP) oreśla obszerną grupę zagadnień optymalizacji dysretnej. Stanowi on generalizację powszechnie znanego w teorii optymalizacji problemu omiwojażera (ang. traveling salesman problem TSP) jednego z najstarszych problemów optymalizacji na sieciach. Sposób wyznaczenia optymalnej trasy omiwojażera przyciąga uwagę badaczy od wielu lat, a sam problem istnienia trasy rozważano już w XIX wieu. Zadanie omiwojażera polega na odwiedzeniu doładnie raz ażdej z wybranych miejscowości, a następnie na powrocie do miejscowości, w tórej rozpoczęto podróż. Znane są oszty przejazdu między ażdą parą miast. Droga omiwojażera powinna być zaplanowana w tai sposób, aby oszt podróży był ja najmniejszy. Dla danej sieci odwzorowującej obszar, po tórym porusza się omiwojażer, oraz przy założeniu, że wagi rawędzi reprezentują oszt przejazdu, problem omiwojażera możemy zdefiniować jao znalezienie w sieci cylu Hamiltona o najmniejszej wadze. Problem omiwojażera można sprowadzić też do zagadnienia programowania liniowego. Dla sieci G =(V, E) charateryzowanej przez macierz wag W =[w ij ] problem omiwojażera zapisać można jao zadanie: min wx ij ij i V j V [1] przy warunach i V x ij + x = 2 i V ji dla ażdego j V [2] 56

3 Paweł Hanczar i S j S x ij S 1 dla ażdego S V, S [3] x ij {0,1} dla ażdego i, j V [4] Symbolem x ij oznaczono zerojedynową zmienną decyzyjną, tóra przyjmuje wartość 1 wówczas, gdy rawędź (i, j) jest w rozwiązaniu, 0 zaś w pozostałych przypadach. Symbol S oznacza moc zbioru S. Ograniczenie [2] zapewnia, że ażda miejscowość zostanie odwiedzona doładnie raz. Niestety, warune ten nie wylucza przypadów, gdy droga omiwojażera nie jest cylem Hamiltona (rysune 1), lecz słada się z ilu niepołączonych ze sobą cyli (rysune 2). Rysune 1. Spójna (dopuszczalna) trasa omiwojażera Rysune 2. Niespójna (niedopuszczalna) trasa omiwojażera Źródło: Opracowanie własne. Źródło: Opracowanie własne. Niezbędne jest więc dodatowe ograniczenie [3] zapobiegające powstawaniu wielu cyli. Jednym ze zbiorów S dla przyładu z rysunów 1 i 2 jest zbiór S1={1, 2, 3}. Liczba rawędzi łączących wierzchołi tego zbioru wynosi 2 w przypadu rozwiązania poprawnego, natomiast dla rozwiązania niedopuszczalnego jest równa 3. Prawa strona ograniczenia jest dla obu przypadów taa sama i wynosi 2. Ta więc rozwiązanie sładające się z ilu cyli zostanie odrzucone, gdyż nie spełnia warunu [3]. Bardzo często spotyaną odmianą problemu omiwojażera jest przypade, dla tórego sieć transportowa jest niesierowana (macierz wag jest wtedy symetryczna, czyli w ij = w ji dla ażdego i, j V). Wynia to z fatu, że w wielu zastosowaniach macierz wag reprezentuje odległości, tóre dla więszości przypadów są taie same bez względu na to, w tórym ierunu porusza się omiwojażer. W miarę wzrostu popularności oraz w związu z sucesami w rozwiązywaniu problemu omiwojażera coraz częściej podejmowano próby zastosowania tej grupy mo- 57

4 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW deli do rozwiązywania zagadnień bardziej sompliowanych. To, że problem omiwojażera ma wiele zastosowań, jest bezdysusyjne, jedna w realizacji procesu dystrybucji często orzysta się z więcej niż jednego środa transportu. Jednym z pierwszych roów, w tym ierunu, było zdefiniowanie na początu lat 50. problemu m-omiwojażerów. Problem ten polega na wyznaczeniu tras dla więcej niż jednego omiwojażera. Rozwiązaniem problemu m-omiwojażerów nie jest cyl Hamiltona, lecz m cyli, z tórych ażdy rozpoczyna się i ończy w oreślonym, tym samym dla wszystich omiwojażerów, mieście. Dodatowo załada się, że omiwojażer nie może odwiedzać miast obsłużonych przez innych podróżniów. Klasę zadań VRP możemy oreślić jao zagadnienia optymalizacji polegające na wyznaczeniu rozwiązania problemu m-omiwojażerów z uwzględnieniem dodatowych, zależnych od onretnego zadania warunów. Jao pierwsi zagadnienie z tej lasy pod nazwą problemu rozdziału pojazdów (ang. truc disptching problem) sformułowali Dantzig i Ramser (Dantzig, 1959). Kolejna pioniersa praca to artyuł Balinsiego i Quandta (Balinsi, 1964), w tórym autorzy zaproponowali model programowania liniowego dla VRP. Najprostszą odmianą zadania z lasy VRP jest wyznaczanie tras pojazdów z ograniczeniem pojemności (ang. capacitated vehicle routing problem w srócie CVRP), gdzie jedynym dodatowym waruniem jest ograniczenie zapewniające, że suma zamówień odbiorców dla ażdej trasy nie przeroczy zadanej ładowności pojazdu. W CVRP dana jest sieć G = {V, E}, gdzie zbiór wierzchołów V jest zbiorem odbiorców N = {1,..., n} powięszonym o element odpowiadający dostawcy oznaczony jao {0}. Dostawca dysponuje zbiorem K = {1,..., } pojazdów, ażdy o ładowności C. Popyt ażdego odbiorcy i oznaczony przez q i musi zostać w pełni zaspoojony przez doładnie jedną dostawę. W dalszych rozważaniach przyjęto, że S S {0} oraz N N {0}. Sieć transportowa G 0 0 jest reprezentowana przez macierz wag oznaczoną jao W = [w ij ], gdzie i, j (0,..., n). Dodatowo zapis r(s) oznacza liczbę pojazdów niezbędną do obsługi odbiorców ze zbioru S. Celem zagadnienia CVRP jest wyznaczenie zbioru niepustych tras o minimalnej łącznej długości przy warunu: suma zapotrzebowań odbiorców na żadnej z tras nie może przeroczyć ładowności pojazdu C. Sformułowania liniowe zadań z lasy VRP można podzielić na dwie podstawowe grupy. Są to: modele przepływu pojazdów (ang. vehicle flow models) oraz modele podziału zbioru lientów (ang. set partitioning models). W modelach z pierwszej grupy zerojedynowa zmienna decyzyjna oreśla, czy rawędź oreślona na wierzchołach i oraz j została użyta w rozwiązaniu. Są one najczęściej stosowane w przypadu lasycznych zadań VRP, gdzie oszt rozwiązania wyznacza się jao sumę wag odcinów użytych w rozwiązaniu. Liczba zmiennych decyzyj- 58

5 Paweł Hanczar nych w tego typu modelach wynosi nie więcej niż n 2, natomiast liczba ograniczeń rośnie wyładniczo wraz ze wzrostem n (gdzie n oznacza liczbę miast w zadaniu). W modelach podziału zbioru lientów zerojedynowa zmienna decyzyjna odpowiada trasie dopuszczalnej i oreśla, czy użyto ją w rozwiązaniu. W przeciwieństwie do metod przepływu pojazdów modele te zawierają n ograniczeń, ale liczba zmiennych decyzyjnych rośnie wyładniczo wraz ze wzrostem n. W dalszej części, w celu prezentacji podstawowych cech poszczególnych grup modeli, opisano tylo wybrane, uznane za najbardziej reprezentatywne, sformułowania. Szczegółową prezentację modeli VRP zawierają m.in. prace (Golden, 1988) oraz (Laporte, 1987) Modele przepływu pojazdów Podstawowym modelem zaliczanym do grupy modeli przepływu pojazdów jest tzw. model trójindesowy (Golden, 1988). Model przedstawiony wzorami [5]-[10] został opracowanym na podstawie propozycji Goldena. Zmienną decyzyjną oznaczono jao x ij. Przyjmuje ona wartości 0 lub 1. Wartość 1 oznacza, że odcine (i, j) należy do trasy pojazdu, w przeciwnym wypadu zmienna przyjmuje wartość 0. x ij min 0 0 i N j N w ij K x ij [5] przy założeniach ij 0 K 0 i N i N K im 0 0 i N j N i N x x x + x = 2 + x = 2 mj i0 + x0 j = 2 j N ji dla ażdego j N [6] K dla ażdego m N [7[ dla ażdego K [8] i S j S K x {0,1} ij x ij r( S) dla ażdego S N, S [9] 0 0 dla ażdego i N, j N, K [10] 59

6 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Ograniczenie [6] zapewnia, że ażdy odbiorca zostanie odwiedzony doładnie raz. Ciągłość trasy dla ażdego pojazdu została zapewniona dzięi ograniczeniu [7]. Jeśli pojazd dojeżdża do danego odbiorcy, to musi go opuścić. W przypadu wierzchoła dostawcy liczba rawędzi zarówno wchodzących, ja i wychodzących dla ażdego pojazdu musi wynosić 1. Zapewnia to ograniczenie [8] dla rawędzi wchodzących do wierzchoła dostawcy oraz wychodzących z wierzchoła dostawcy. Ograniczenie [7] zapewnia, że dla ażdego pojazdu rawędzie wybrane do rozwiązania tworzą cyle. Nie wylucza jedna przypadów, gdy trasa dla jednego pojazdu nie jest jednym cylem, lecz słada się z ilu niepołączonych ze sobą (niespójnych) tras. Analogicznie ja w przypadu TSP, niezbędne jest więc dodatowe ograniczenie [9], zapewniające spójność tras w rozwiązaniu oraz nienaruszenie warunu ładowności pojazdu. Jest ono oreślane jao ograniczenie ładowności i odcięć (ang. capcity- -cut constraints CCCs) Modele podziału zbioru odbiorców Pierwszym sformułowaniem z grupy podziału zbioru odbiorców jest wspomniana już wcześniej propozycja Balinsiego i Quandta (Balinsi, 1964). Niech H = {Z 1,..., Z m } oznacza zbiór wszystich możliwych tras spełniających waruni zadania, w j* oreśla wagę trasy Z j. Niech a ij oznacza współczynni oreślający przynależność odbiorcy i do trasy j. Przyjmuje on wartość 1, jeśli odbiorca i jest obsługiwany w trasie j lub 0 w przeciwnym przypadu. Zmienna decyzyjna x j przyjmuje wartość 1 wtedy i tylo wtedy, gdy trasa j należy do rozwiązania. Propozycję w postaci modelu programowania liniowego prezentują wzory [11]-[14]. min m j= 1 wx * j j [11] przy warunach m j= 1 ax ij j = 1 dla ażdego i N [12] m j= 1 x j = [13] x j {0,1} dla ażdego j = 1,..., m [14] 60

7 Paweł Hanczar Ograniczenie [12] zapewnia, że ażdy odbiorca będzie uwzględniony w rozwiązaniu doładnie raz. Natomiast warune [13] zapewnia, że w rozwiązaniu użytych będzie doładnie tras. W przypadu tego sformułowania liczba zmiennych rośnie wyładniczo wraz ze wzrostem n, co przy dużych wartościach n znacznie utrudnia jego rozwiązanie. Również przygotowanie taiego modelu nie jest proste, ponieważ wyznaczenie wagi w j* dla ażdej trasy wymaga rozwiązania problemu omiwojażera. Z drugiej strony model ten jest bardzo elastyczny. Umożliwia już na etapie budowy modelu (generowania tras) uwzględnianie wielu dodatowych ograniczeń i odrzucanie tras niedopuszczalnych. Przy opracowywaniu metod rozwiązywania VRP, a taże przy ich analizie i testowaniu, wyorzystuje się pewną grupę zadań nazywanych zadaniami testowymi (ang. test instances). Podstawowym celem ich użycia jest umożliwienie porównywania wyniów generowanych przez różne algorytmy. Dodatowo rozwiązania zadania testowego można użyć do oceny jaości relasacji problemu generowanej przez wybrany algorytm. W przypadu zadań ombinatorycznych porównanie algorytmów przez sprawdzenie ich na zadaniach testowych zastępuje teoretyczne dowody ich efetywności. W tym celu tworzy się zbiory zadań testowych, tóre mają często swe źródło w pratyce lub zostały zaproponowane przez espertów Zastosowania Mimo że puntem wyjścia w modelowaniu VRP (ja sama nazwa wsazuje) jest samochodowa dystrybucja towarów, liczne zastosowania nie ograniczają się tylo do pojazdów i dystrybucji towarów. W tabeli 1 przedstawiono wybrane zastosowania VRP w pratyce. Wyboru doonano w tai sposób, aby poazać zarówno najczęściej spotyane (główne) zastosowania VRP, ja i pojedyncze pomysły wyorzystania opisywanych modeli, świadczące o ich szeroich możliwościach apliacyjnych. Tabela 1. Wybrane zastosowania VRP Lp. Źródło Zastosowanie 1 Gourley Sfiligoj Greczyn 1997 dystrybucja produtów firmy Pepsi-Cola, Kanada dystrybucja produtów spożywczych firmy Anheuser-Busch, USA odbiór śmieci z terenu miasta Philadelphia Środe transportu pojazdy pojazdy pojazdy Uwagi odbiorców srócenie czasu dostawy 1500 odbiorców (dostawa w zadanym przedziale czasowym) 100 pojazdów 10 typów reducja tras o ooło 5-7% ( mil rocznie) srócenie czasu wyznaczania tras reducja liczby pojazdów o 20% dostosowanie pojazdów do ulic wyrównanie tras 61

8 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW Tabela 1. Wybrane zastosowania VRP Lp. Źródło Zastosowanie odbiór śmieci z terenu 4 Bletrami 1974 miasta Nowy Jor dystrybucja produtów Adenso-Diaz 5 mleczarsich, 1998 północna Hiszpania 6 Mans Golden 1977 dystrybucja produtów Mayfield Diary Farms, Ateny dystrybucja The Morning Courier, USA 8 Golden 2002 Euro Press, Europa Środe transportu pojazdy pojazdy pojazdy pojazdy, trasy piesze pojazdy, trasy piesze 9 Cline 1992 rozmieszczenie boi ochronnych na morzu stati 10 Fiala 1992 obsługa platform wiertniczych, Nigeria helioptery 11 Larson 1988 transport odpadów omunalnych bari 12 Rich 1999 planowanie tras pojazdy, pielęgniare trasy piesze Źródło: Opracowanie własne na podstawie literatury. Uwagi dziennie ooło ton różne częstotliwości wizyt 19 dystrybutorów (ażdy ooło 5 10 dostawców) 1 dostawca obsługuje ooło 1500 lientów srócono trasę ażdego z odbiorców o ooło 10% obsługa odbiorców w 19 centrach dystrybucyjnych zachowano długości tras przy zwięszeniu liczby obsługiwanych odbiorców wymagania czasowe (dystrybucja od 4.30; musi się zaończyć o 6.30 rano) dzienna optymalizacja tras wyorzystanie GIS obsługa srzyne na ulicach (podwójny przejazd) doładne modelowanie tras pieszych 900 pacjentów, 294 pielęgniari zmienny czas obsługi pacjenta 2. Metody rozwiązywania problemów wyznaczania tras pojazdów Metody rozwiązywania VRP podzielić można na 3 grupy. Pierwszą grupę stanowią metody polegające na zastosowaniu lasycznej metody podziału i ograniczeń (ang. branch and bound) stosowanej z sucesami w przypadu TSP. Druga grupa to metody polegające na bezpośrednim rozwiązywaniu sformułowań programowania liniowego VRP. Podstawowe metody z tej grupy to metoda podziału i cięć (ang. branch and cut) dla modeli przepływu pojazdów oraz metoda generowania olumn (ang. column generation) dla modeli podziału zbioru odbiorców. Ostatnia grupa to bardzo liczna grupa metod onstrucyjnych, tórych działanie polega na onstruowaniu rozwiązań według pewnych przesłane, tórych przestrzeganie w aceptowalnym czasie pozwoli uzysać poprawne rozwiązania Metody podziału i ograniczeń Rozwiązywanie problemu metodą podziału i ograniczeń jest procesem przeszuiwania drzewa, w tórym główny węzeł (tzw. orzeń) odpowiada rozwiązywanemu 62

9 Paweł Hanczar problemowi, a pozostałe węzły to podproblemy zbudowane przez dodanie jednego lub ilu ograniczeń do problemu oryginalnego. Drzewo to będziemy nazywać drzewem poszuiwania. Generowanie olejnych poziomów drzewa poszuiwania odpowiada olejnym podziałom zbioru rozwiązań. Analiza drzewa poszuiwania realizowana jest w sposób dynamiczny, tzn. dla wszystich podproblemów odpowiadających dodawanym do drzewa węzłom obliczane jest dolne ograniczenie, a do dalszego przeglądu wybierane są węzły, dla tórych wartość dolnego ograniczenia jest najniższa. Pierwszym algorytmem z tej grupy jest propozycja Christofidesa i Eliona z 1969 rou (Christofides, 1969). W istocie jest to modyfiacja metody podziału i ograniczeń rozwiązywania TSP, tóra opracowana została przez Little a i innych (Little, 1963). W początowym etapie tego algorytmu VRP jest przeształcany do TSP. W tym celu do problemu pierwotnego dodawanych jest 1 wierzchołów, tzw. sztucznych dostawców. Modyfiacji wymaga macierz wag. Niech N = {1,..., n} oznacza zbiór węzłów odbiorców w problemie wyjściowym, a N K = {n + 1,..., n + 1} niech oznacza zbiór węzłów odpowiadających sztucznym dostawcom. Wagi istniejących rawędzi pozostają bez zmian. Wagi rawędzi łączących nowe węzły z węzłami odbiorców są równe wagom rawędzi łączących węzeł dostawcy problemu wyjściowego z tymże węzłem odbiorcy. Wagi rawędzi łączących dodane węzły dostawców z węzłem dostawcy problemu wyjściowego wynoszą +. Ma to zapewniać nieorzystanie z bezpośrednich połączeń pomiędzy dostawcami. Rozwiązanie ta postawionego TSP, przy założeniu, że ażdy węzeł sztucznego dostawcy jest ońcem jednej trasy, a początiem następnej, jest również rozwiązaniem VRP. Propozycja Christofidesa i Eliona polega nie tylo na innym sposobie przedstawienia VRP, ale również na rozbudowaniu oryginalnego algorytmu o procedury sprawdzania dopuszczalności rozwiązania oraz o procedury reducji drzewa poszuiwania wyorzystujące założenia VRP. Esploracja wybranego węzła nie jest ontynuowana, gdy zachodzi jeden z poniższych warunów: łączne zapotrzebowanie na jednej trasie przeracza całowitą ładowność pojazdu, gdy zbiór rawędzi wybranych do rozwiązania tworzył jedną lub więcej tras, łączne zapotrzebowanie nienależących do rozwiązania odbiorców przeracza ładowność pojazdów nieprzydzielonych do tras. Metodę rozwiązywania VRP wyorzystującą podział wg rawędzi zaproponował taże Miller (Miller, 1995). Do wyznaczania rawędzi ograniczającej zbiór rozwiązań na olejnych poziomach drzewa poszuiwania orzysta on z grafu rozwiązania relasacji b-sojarzenia. Jeśli bieżące rozwiązanie zawiera ścieżę nienależącą do żadnej 63

10 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW trasy i ończy się ona przyładowo węzłem v, to do podziału zbioru rozwiązań wybierana jest rawędź incydentna z wierzchołiem v w grafie rozwiązania relasacji b- -sojarzenia. W pozostałych przypadach (gdy rozpoczynano budowę drzewa poszuiwania lub gdy rozwiązanie zawierało jedną lub ila tras) do podziału zbioru rozwiązań wybierano rawędź łączącą wierzchołe dostawcy z wierzchołiem odbiorcy nienależącym do rozwiązania częściowego o najwięszym zapotrzebowaniu. Dodatowo, oprócz dwóch standardowych węzłów drzewa poszuiwania (tzn. jednego odpowiadającego rozwiązaniom zawierającym wybraną rawędź oraz drugiego odpowiadającego rozwiązaniom niezawierającym wybranej rawędzi), w drzewie tworzony jest dodatowo trzeci węzeł odpowiadający trasie zawierającej jednego odbiorcę (czyli dwurotnie zawierający wybraną rawędź). Kolejna propozycja z tej grupy to algorytm Fishera (Fisher, 1988). Sposób podziału zbioru odbiorców zależy (analogicznie ja w przypadu metody Millera) od tego, czy w rozwiązaniu częściowym istnieje ścieża nienależąca do żadnej trasy. W przypadu, gdy rozwiązanie częściowe nie zawiera taiej ścieżi, to wyorzystuje się lasyczny podział według rawędzi. Do podziału wybierana jest rawędź łącząca wierzchołe odpowiadający nieobsługiwanemu odbiorcy o najwięszym zapotrzebowaniu z jego najbliższym i nieobsługiwanym sąsiadem. W sytuacjach, gdy w rozwiązaniu częściowym istnieje ścieża nienależąca do żadnej z tras dla jednego z dwóch ońcowych wierzchołów, przyjmijmy j, wybierany jest pewien p-elementowy zbiór P wierzchołów odpowiadających nieobsługiwanym odbiorcom powięszonym o wierzchołe dostawcy. Drzewo poszuiwania rozbudowuje się przez dodanie p + 1 węzłów. Pierwszych p węzłów odpowiada rozwiązaniom zawierającym olejno rawędź (j, h), gdzie h P. Ostatni dodany węzeł odpowiada rozwiązaniom, tóre nie zawierają żadnej z rawędzi (j, h), gdzie h P Metody rozwiązywania sformułowań programowania matematycznego W tej części zostaną przedstawione główne aspety stosowania metody podziału i cięć (ang. branch and cut) służącej do rozwiązywania modeli przepływu pojazdów. Szczegółową jej prezentację zawierają m.in. prace Blasum, 2000; Carrara, 1997; Padberg, 1991 oraz Thienel, Klasyczny algorytm podziału i ograniczeń, służący do rozwiązywania zadań programowania całowitoliczbowego (w srócie IP), realizuje proces optymalizacji w dwóch powtarzanych fazach. W pierwszej z nich jest rozwiązywane zadanie programowania liniowego (w srócie LP), utworzone na podstawie zadania IP przez usunięcie ograniczeń całowitości zmiennych. Jeśli wartości zmiennych w rozwiązaniu 64

11 Paweł Hanczar zadania LP są całowite, to są one również rozwiązaniem zadania IP. Jeśli jedna dowolna zmienna decyzyjna, przyładowo xe, przyjmuje wartość rzeczywistą w, to na podstawie zadania LP tworzone są dwa inne zadania. Pierwsze z nich powstaje przez rozszerzanie zadania LP o górne ograniczenie zmiennej x e (tj. x e w ), w drugim natomiast dodawane jest dolne ograniczenie zmiennej x e (tj. x e w ). (zapisy w oraz w oznaczają odpowiednio najwięszą liczbę całowitą nie więszą niż w oraz najmniejszą liczbę całowitą nie mniejszą niż w). Zadania te są następnie rozwiązywane. Proces optymalizacji powtarzany jest ta długo, aż w rozwiązaniu LP wartości wszystich zmiennych decyzyjnych będą całowite. Metoda ta nie może być zastosowana do rozwiązywania sformułowania przepływu pojazdów ze względu na bardzo dużą liczbę ograniczeń zapewniających spójność tras rozwiązania. Realizacja metody podziału i cięć rozwiązywania VRP wyorzystuje spostrzeżenie, że nie wszystie ograniczenia w rozwiązaniu optymalnym są atywne. Załada ona modyfiację polegającą na usunięciu z modelu przepływu pojazdów (w srócie IP VRP1 ) zarówno ograniczeń całowitości zmiennych, ja i całej grupy ograniczeń gwarantujących spójność rozwiązania. Otrzymany model oreślmy w srócie jao LP VRP1. Jeśli wartości zmiennych decyzyjnych w rozwiązaniu zadania LP VRP1 uzysanego przez zastosowanie lasycznego algorytmu podziału i ograniczeń będą całowite, to wymagane jest dodatowo sprawdzenie, czy trasy rozwiązania są spójne. To zadanie realizują tzw. algorytmy separacji (ang. separation algorithms). Gdy trasy rozwiązania nie są spójne, wówczas procedura wsazuje naruszone ograniczenie. Naruszone ograniczenie jest uwzględniane w zadaniu LP VRP1, a całe zadanie rozwiązywane ponownie. W pozostałych sytuacjach realizacja metody jest zaończona. Proces ograniczania powtarzany jest ta długo, aż rozwiązanie LP VRP1 nie będzie naruszało ograniczeń zarówno całowitości zmiennych, ja i spójności tras. Sformułowania VRP w postaci liniowego modelu podziału zbioru odbiorców charateryzują się rosnącą wyładniczo w miarę wzrostu wielości problemu liczbą zmiennych decyzyjnych. Z tego powodu zastosowanie lasycznych metod rozwiązywania zadań programowania liniowego nie jest możliwe już dla sieci transportowych sładających się z 30 odbiorców. Podstawą algorytmów z tej grupy jest odpowiednia technia rozwiązywania liniowej relasacji modelu podziału zbioru odbiorców VRP (w srócie LP VRP2 ). Modele te charateryzują się bardzo dużą liczbą zmiennych, ta więc w pierwszym rou rozwiązywania LP VRP2 uwzględniany jest tylo wybrany podzbiór zbioru wszystich tras. Model uwzględniający tylo pewne trasy oznaczono jao RP VRP2. Następnie w celu sprawdzenia, czy uzysane rozwiązanie RP VRP2 jest rozwiązaniem optymalnym również dla LP VRP2, wyorzystuje się technię generowania olumn. Na podstawie anali- 65

12 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW zy wartości zmiennych dualnych wyznaczane są trasy, tórych uwzględnienie w RP VRP2 spowoduje zmniejszenie wartości funcji celu. Jeśli taa trasa istnieje, dodawana jest do RP VRP2, a zadanie rozwiązuje się ponownie. Całe postępowanie ończy się, gdy nie istnieje trasa, tórej uwzględnienie w RP VRP2 zmniejszy wartość funcji celu. Najbardziej sompliowane w tego rodzaju algorytmach jest wyznaczenia trasy, tórej dodanie do rozwiązania pozwoli na zmniejszenie jego długości i jest oreślany jao problem generowania olumn (ang. column generation problem). Zagadnienie to jest trudne do rozwiązania, gdyż należy do grupy NP-trudnych. Propozycje algorytmów rozwiązywania tego problemu w modelach VRP zawierają m.in. prace Agarwal, 1989; De Bacer, 2000; Desrochers, 1992 i Hadjiconstantinou, Konstrucyjne metody rozwiązywania Najbardziej rozpowszechnioną metodą rozwiązywania VRP w opisywanej grupie jest niewątpliwie podejście Clara i Wrighta (Clar, 1964) często nazywana algorytmem oszczędzania (ang. savings algortihm). Podejście to taże doczeało się najwięszej liczby modyfiacji i rozszerzeń. Na początu procedury przyjmowane jest rozwiązanie sładające się z pojedynczych tras do wszystich odbiorców. W olejnych iteracjach zmniejszana jest długość rozwiązania przez łączenie wybranych tras. W tym celu wprowadza się połączenie bezpośrednie pomiędzy ońcowym lub początowym odbiorcą jednej trasy a ońcowym lub początowym odbiorcą drugiej. W ażdym rou rozważane są wszystie możliwe łączenia. Do rozwiązania jest wprowadzane połączenie, tórego użycie gwarantuje uzysanie najwięszego srócenia rozwiązania. Do metody tej wprowadzono wiele modyfiacji. Gasell (Gasell, 1967) analizował różne sposoby mierzenia spadu osztu w wyniu połączenia dwóch tras. Badał on poziomice miar oszczędzania, gdyż ich ształt jest zależny od przyjętego sposobu pomiaru. W wyniu tych analiz zaproponował nowe przesłani wyboru łączonych tras. Taże Yellow (Yellow, 1970) zaproponował modyfiację tego podejścia przez zdefiniowanie tzw. ogólnej wartości spadu osztu. W podejściu tym wyorzystuje się parametr ształtu poziomicy. Jeśli parametr ten przyjmie wartość 1, to wzór Yellowa przyjmuje postać lasycznego wzoru Clara i Wrighta, dla wartości 2 jest równoznaczny z jedną z propozycji Gasella. Wzrost wartości tego parametru powoduje, że przy wyborze łączonych tras więszy wpływ będzie miała bezpośrednia odległość miast, pomiędzy tórymi zostanie wprowadzone połączenie bezpośrednie. Teoretycznie parametr ształtu może przyjmować dowolne wartości. Yellow dobierał jego wartość w czasie licznych prób i poazał, że przez dobranie odpowiedniej jego wartości można uzysać poprawę rozwiązań generowanych przez lasyczne algorytmy oszczędzania. 66

13 Paweł Hanczar Kolejna zmiana sposobu łączenia tras to propozycja Paessensa (Paessens, 1988), tóry zdefiniował tzw. parametryczną funcję oszczędzania (ang. parametrical savings function). Jao olejną wartość uwzględnianą w łączenie tras Paessens proponuje użycie wartości bezwzględnej różnicy pomiędzy odległościami analizowanych puntów od centrum dystrybucji. Przyładowo jeśli jedno z miast jest oddalone od centrum zaopatrzenia, drugie natomiast leży bliso centrum, to wprowadzenie bezpośredniego połączenia między taimi miastami może być dobrą operacją, mimo że wartość lasycznej miary będzie mała. Paessens powtarzał działanie algorytmu wiele razy. Za ażdym razem stosował różne wartości parametrów γ z przedziału 0 γ 3 oraz η z przedziału 0 η 1. Zmiany te powodowały, że otrzymywane rozwiązania były różne. Altinemer i Gavish (Altinemer, 1991) zaprezentowali modyfiacje algorytmu oszczędzania łączącą w jednej iteracji ila tras. Pierwszym rozwiązaniem jest zbiór tras do pojedynczych lientów. Następnie w ażdej iteracji algorytmu bieżące rozwiązanie częściowe jest przedstawiane jao graf, w tórym węzły reprezentują istniejące trasy. Krawędzie grafu łączą węzły odpowiadające możliwym do połączenia trasom. Wadze rawędzi grafu nadaje się wartość miary oszczędzania uzysanej w przypadu połączenia tras, tórym odpowiadają połączone tą rawędzią węzły. Dla ta sonstruowanego grafu wyznacza się sojarzenie o masymalnej wadze. Zbiór rawędzi wyznaczonego sojarzenia oreśla, tóre trasy powinny zostać połączone w rozwiązaniu. Niestety, dużym manamentem tego algorytmu jest jego zachowanie się w sytuacji, gdy łączna ilość towarów przewożonych na ażdej trasie osiągnie wartość więszą niż C / 2 (połowa ładowności pojazdu). W tym przypadu żadne z tras nie zostaną połączone, a rozwiązanie będzie daleie od optymalnego. Wyeliminowanie tego problemu autorzy uzysują przez wprowadzenie dodatowych węzłów (tzw. sztucznych tras) do pomocniczego grafu, dla tórego wyznaczane jest sojarzenie o masymalnej wadze. Powoduje to, że podczas pojedynczej iteracji liczba łączonych tras spada. Ostatnią prezentowaną modyfiacją algorytmu oszczędzania jest propozycja Wara i Holta (War, 1994). Podobnie ja w poprzedniej metodzie, do wyznaczenia zbioru łączonych tras wyorzystano sojarzenie o masymalnej wadze. Procedura rozpoczyna się również od rozwiązania sładającego się z pojedynczych tras do wszystich odbiorców. Podstawowa różnica w działaniu tego algorytmu w stosunu do propozycji Altinemera i Gavisha polega na dopuszczeniu przypadów, w tórych po połączeniu dwóch tras otrzymujemy nie jedną, lecz dwie (inne niż wyjściowe) trasy. Kolejne bardzo rozpowszechnione podejście onstrucyjne rozwiązywania VRP to tzw. algorytm sweep. Metoda ta jest stosowana w przypadu grafów planarnych. Dopuszczalne bloi podziału tworzy się na podstawie odległości ątowej odbiorców od dostawcy. Następnie do wyznaczania tras wyorzystywane są metody rozwiązywania TSP. Algorytm ten jao pierwszy zaproponowali Wren i Holliday (Wren, 1972), ale 67

14 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW ponieważ metoda ta została głównie rozpowszechniona dzięi pracy Gilleta i Millera (Gillet, 1976), im przypisuje się jej autorstwo. Algorytm rozpoczyna działanie od wybrania wolnego pojazdu. Następnie spośród odbiorców nieuwzględnionych jeszcze w rozwiązaniu wybierani są odbiorcy rosnąco według ąta nachylenia prostej przechodzącej przez wierzchołe odbiorcy i wierzchołe dostawcy do osi OX. Jeśli przydzielenie olejnego odbiorcy spowodowałoby naruszenie dowolnego warunu zadania, bieżąca trasa zostaje zamnięta, a olejni odbiorcy przydzielani są do nowego pojazdu. Po przydzieleniu wszystich odbiorców do rozwiązania następuje procedura wyznaczenia rozwiązania TSP dla ażdego blou oddzielnie. Ostatni algorytm to propozycja Fishera i Jaiumara (Fisher, 1981). Polega ona na zastosowaniu podczas generowania podziału zbioru odbiorców rozwiązania zadania przydziału. W pierwszym rou tej procedury spośród wierzchołów odbiorców wybieranych jest wierzchołów, tóre w dalszej części będą pełniły funcję tzw. oncentratorów bloów (ang. seed vertices). Następnie rozwiązywane jest zadanie przydziału, w tórym rozważa się agentów (pojazdy) i n zadań (odbiorcy VRP). Niezbędne ilości zasobów dla zadań w zadaniu przydziału są taie same, ja zapotrzebowanie odbiorców problemu wyjściowego. Zasoby agentów odpowiadają ładowności pojazdów. Dodatowo przyjmuje się, że zadania nie mogą być realizowane przez więcej niż jednego agenta. Rozwiązanie zadania przydziału oreśla podział odbiorców. Algorytm ończy wyznaczenie optymalnej trasy przejazdu dla ażdego blou podziału powięszonego o wierzchołe dostawcy. 3. Zagadnienie wyznaczania tras pojazdów w łańcuchach dostaw Wraz z rozwojem nowych oncepcji w zaresie dystrybucji towarów, taich ja zarządzanie zapasami przez dostawcę (ang. vendor managed inventory replenishment w srócie VMI), a taże z powięszaniem zaresu zainteresowania z pojedynczego przedsiębiorstwa na wiele przedsiębiorstw tworzących łańcuch dostaw przed metodami wyznaczania tras pojazdów, są stawiane nowe wymagania. Stosunowo dobrze przeanalizowane metody rozwiązywania lasycznego VRP wymagają olejnych rozszerzeń i modyfiacji ta, aby możliwe było ich stosowanie w nowych sytuacjach. Konieczne jest taże stwierdzenie zasadności stosowania metody optymalizacyjnych dla nowych zagadnień oraz ich możliwości i ograniczeń. Analiza literatury pozwala zidentyfiować 3 podstawowe ieruni rozwoju opisywanego obszaru. Jao pierwszy wymienić należy wspomniane już wcześniej zagadnienie VMI, tóre łączy w sobie podejmowanie decyzji dotyczące zarówno planowania tras, ja i sterowania zapasami. Druga grupa zagadnień to problematya wyboru dostawcy usług transportowych. Ja- 68

15 Paweł Hanczar o ostatni ierune należy wymienić wyznaczanie tras dostaw w wielopoziomowych sieciach dystrybucyjnych Zarządzanie zapasami sterowane przez dostawcę Zarządzanie zapasami sterowane przez dostawcę (ang. vendor managed inventory replenishment) to przyład oncepcji, tóra dotyczy co najmniej dwóch przedsiębiorstw. Strategia ta polega na przeniesieniu odpowiedzialności za sterowanie poziomem zapasów u odbiorcy z odbiorcy na dostawcę. Odbiorca w tej oncepcji nie słada zamówień (ta ja w lasycznych strategiach) tylo ustala masymalny poziom magazynu dla surowców objętych VMI. W zamian za przejęcie tego zobowiązania dostawca ma możliwość oreślania wielości oraz terminów dostaw. Poprawnie wdrożone VMI gwarantuje zwięszenie efetywności zarówno po stronie odbiorcy (zmniejszenie osztów sterowania zapasami), a taże po stronie dostawcy (zmniejszenie osztów dystrybucji poprzez mniejsze ograniczenia podczas jej planowania) (Bell, 1983), (Hannon, 2005), (Mongelluzzo, 1998) i (Waller, 1999). Problem dostawcy w oncepcji VMI doczeał się licznych modeli badań operacyjnych oraz ilu metod ich rozwiązywania. Na gruncie badań operacyjnych zagadnienia te są oreślane jao problemy wyznaczania tras przepływu zapasów (ang. inventory routing problem IRP). W IRP jest rozważana powtarzająca się dystrybucja jednorodnego produtu od dostawcy do n odbiorców w zadanym horyzoncie planowania T. Dzienne zużycie u i ażdego odbiorcy jest znane. Ponadto ażdy odbiorca dysponuje magazynem o pojemności C i przeznaczonym do sładowania dystrybuowanych towarów, a jego stan w czasie 0 (na początu analizy) wynosi I i. Dostawca dysponuje jednorodnym taborem m samochodów, ażdy o pojemności Q, umożliwiających dystrybucję produtu. Celem jest minimalizacja osztów dystrybucji w planowanym oresie T oznaczona jao v T przy założeniu, że u żadnego odbiorcy nie wystąpią brai w magazynie. Rozwiązaniem problemu IRP jest szczegółowy sposób dystrybucji towarów (ilość oraz terminy lub waruni wywołania dostaw, a taże trasy dostaw dla poszczególnych pojazdów w ażdym oresie) oreślany jao strategia uzupełniania zapasów. W IRP wyróżnia się dwie odmiany strategii uzupełniania zapasów. Pierwsza z nich to tzw. strategia czysta. Polega na wyznaczeniu stałych trasy dla pojazdów. Oznacza to, że w sytuacji, iedy wymagana jest dostawa towaru do jednego lienta, pojazd przejeżdża swoją stałą trasę, dostarczając produty wszystim lientom przypisanym do tej trasy. Druga odmiana to strategia mieszana, tóra w odróżnieniu od strategii czystej nie załada stałych tras dostarczania w analizowanym oresie. Stosowanie wyłącznie 69

16 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW czystej strategii może charateryzować się wyższymi osztami, jedna wyznaczenie najlepszej, czystej strategii jest łatwiejsze od znalezienia strategii optymalnej. W celu uazania złożoności zagadnień z tej grupy zostaną przeanalizowane dwa najprostsze przypadi IRP. Pierwszy z nich to sytuacja, w tórej dostawca zaopatruje tylo jednego odbiorcę, drugi to zadanie sładające się z dwóch odbiorców. Nietrudno zauważyć, że w IRP sładającym się tylo z jednego odbiorcy, optymalną strategią uzupełniania zapasów będzie dostarczanie towarów w oresie, iedy ma wystąpić ich bra. Przyjmując, że c 1 oznacza oszt dostawy do odbiorcy, utożsamiany często z długością trasy dostawy, oszt v T dla tego przypadu można wyznaczyć za pomocą wzoru [15]. v T max 0, Tu I 1 1 = c1 min( C1, Q) [15] Jeśli zadanie zawiera dwóch odbiorców, dostawca ma do dyspozycji dwie czyste strategie. Pierwsza z nich to dostarczanie towarów oddzielnie dla ażdego odbiorcy. Jej oszt będzie sumą osztów oddzielnych dostaw do pierwszego i do drugiego odbiorcy wzór [16]. We wzorze symbolem c i oznaczono oszt dostawy do odbiorcy i. Tu I Tu I vt = max 0, c + max 0, c min(, ) min(, ) C1 Q C2 Q [16] Druga to dostarczanie towarów do obydwu odbiorców w jednej trasie. Jeśli przyjmiemy, że TSP(c 1, c 2 ) oznacza oszt optymalnej trasy dostawy do odbiorców c 1 i c 2, to oszt taiej strategii oreśla wzór [17]. v T = max 0, TSP( c1, c2) T C1 C2 Q min( u,, ) 1 u2 u1+ u2 [17] Jeśli dla omawianego przypadu dopuścimy użycie strategii mieszanych to liczba możliwych strategii znacznie się zwięsza i zależy od wielości zapotrzebowań poszczególnych odbiorców. Przyładowo jeżeli zużycie u jednego odbiorcy jest dwa razy więsze niż u drugiego, opłacalne może oazać się wyorzystywanie na przemian obu strategii czystych. Problem wyznaczania tras przepływu zapasów jest szczegółowo przedstawiony np. w pracach Campbella i Savelsbergha (Campbell, 2002) oraz Campbella i innych (Campbell, 1998). 70

17 Paweł Hanczar Pierwsze prace na temat rozwiązywania problemów wyznaczania tras przepływu zapasów zaliczyć można do podejść oreślanych jao rótoterminowe, ponieważ zagadnienie oryginalne przez silne srócenie horyzontu planowania (nawet do jednego dnia) jest sprowadzane do problemu wyznaczania tras pojazdów. Fundamentalne w realizacji metod z tej grupy są procedury oreślające, tórzy odbiorcy powinni zostać zaopatrzeni w najbliższym oresie. Następnie, po wyznaczeniu zbioru odbiorców są uładane trasy, ale w sposób, tóry ma zmasymalizować wyorzystanie środów transportowych. Działanie taie wynia głównie z postawy aseuracyjnej dostawcy, tóry obawia się, że w przyszłości może nie być w stanie zrealizować wszystich wymaganych dostaw. Podstawową wadą tego typu podejść są: tendencja do podnoszenia stanów magazynów, nierównomierne wyorzystanie środów transportowych, a taże uniemożliwienie poprawy strutury środów transportowych (w nietórych oresach orzysta się ze wszystich pojazdów). Przyładami tego typu badań są prace Golden, 1984; Chien, 1989 oraz Bell, Drugi nurt badań to podejścia, w tórych próbuje się uwzględniać średnie oszty stosowania strategii w całym planowanym horyzoncie czasowym oreślane jao długoterminowe. Podstawą w ich modelowaniu są najczęściej stałe trasy, tóre w pratycznych zastosowaniach nie zawsze mogą być stosowane. Dodatowo, taże w tym przypadu, występują pewne wady, z tórych najistotniejsze to niepełne wyorzystanie ładowności pojazdów oraz zwięszanie liczby realizowanych dostaw. Problem VRP jest zadaniem NP-trudnym. Uwzględnienie wymagań związanych ze podejściem VMI dodatowo znacznie ompliuje model IRP i sposób jego rozwiązywania. Uwzględniając powyższe, podstawowym celem opisanej w dalszej części próby zdefiniowania modelu programowania liniowego IRP jest sprawdzenie możliwości doładnego rozwiązywania zadań tego typu. Zaprezentowane sformułowanie IRP jest połączeniem modelu podziału zbioru odbiorców wyznaczania tras pojazdów z dysretnym, cylicznym modelem planowania zapasów. Modelu podziału zbioru odbiorców został wybrany ze względu na możliwość doładnego oreślenia realizowanych tras. Postępowanie taie jest stosowane w pratyce. W prezentowanym wzorami [18]-[25] sformułowaniu indesy i, j oraz t to odpowiednio odbiorcy, trasy i oresy. Parametr a ij oznacza analogicznie ja w sformułowaniu VRP przynależność odbiorcy i do trasy j. Przyjmuje wartość 1, gdy odbiorca i jest obsługiwany w trasie j oraz 0 w przeciwnym przypadu. Parametry b i oraz w j to odpowiednio oszty sładowania jednosti towaru u odbiorcy i oraz waga trasy j. Symbolem uit oznaczono zużycie odbiorcy i w oresie t. Dodatowo parametr Q to ładowność pojazdu stosowanego w dystrybucji. W sformułowaniu wyorzystano taże parametr M, tóry oznacza dodatnią wartość więszą niż suma zapotrzebowań wszystich odbiorców w analizowanym horyzoncie. Jest on używany w modelu z powodów technicznych. 71

18 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW W sformułowaniu wyorzystano trzy grupy zmiennych decyzyjnych. Jao pierwszą wymienić należy grupę binarnych zmiennych x jt. Przyjmują one wartość 1, gdy trasa j jest realizowana w oresie t oraz 0 w przeciwnym przypadu. Dalej użyto dwie grupy zmiennych związane z zapasami y it oraz z ijt. Pierwsza z nich to wielość zapasu odbiorcy i w oresie t, druga natomiast to wielość zrealizowanej dostawy do odbiorcy i w trasie j oraz w oresie t. z ijt a x M 0 ij jt min w x + bi y j jt it j = 1.. m, t = 1.. p i= 1.. n, t = 1.. p [18] i = 1.. n dla ażdego j = 1.. m [19] t = 1.. p zijt i= 1.. n y Q i, t + zi, j, t di yi, t + 1 = j = 1.. m 0 j = 1.. m dla ażdego t = 1.. p [20] i = 1.. n dla ażdego t = 1.. p 1 [21] y it + z ijt j= 1.. m d i y i1 = 0 i = 1.. n dla ażdego [22] t = p x jt { 0,1} j = 1.. m dla ażdego [23] t = 1.. p y it z ijt 0 0 Funcja celu zapisana wzorem [18] zapewnia minimalizacje łącznych osztów w całym horyzoncie planowania. Pierwszy sładni sumy to oszty dystrybucji, drugi to oszty magazynowania. Ograniczenie [19] zapewnia połączenie zmiennych x jt i z ijt. Gwarantuje ono, że dostawy będą realizowane tylo w oresach, w tórych będzie wyonywana trasa uwzględniająca danego odbiorcę. Ograniczenie [20] odpowiada za zachowa- i = 1.. n dla ażdego [24] t = 1.. p i = 1.. n dla ażdego j = 1.. m [25] t = 1.. p 72

19 Paweł Hanczar nie masymalnej ładowności pojazdu. Wzorami [21] i [22] są zapisane ograniczenia gwarantujące ciągłość polityi magazynowania. I ta ograniczenie [21] gwarantuje ciągłość w oresach od 1 do p 1. Natomiast ograniczenie [22], ponieważ przyjęto założenie o cyliczności dystrybucji, łączy stany z oresu p ze stanami z oresu 1. Ograniczenie [23], [24] oraz [25] to ograniczenia brzegowe zmiennych decyzyjnych x, y oraz z. Podstawowym problemem w tym sformułowaniu jest proces generowania tras. Przed rozpoczęciem procesu optymalizacji onieczne jest wygenerowanie wszystich tras, sprawdzenie ich wyonywalności, a taże oreślenia osztów ażdej z nich. Sformułowanie to jest bardzo elastyczne i stanowi dobrą podstawę do budowania bardziej złożonych modeli. Przyładowo uwzględnienie różnych zapotrzebowań na produty w olejnych oresach czy dopuszczenie heterogenicznego taboru nie stanowi dużego problemu. Taie zmiany nie wpływają nawet na wielość modelu oraz na czas jego rozwiązywania. Ponadto możliwe jest stosowanie podejść upraszczających model ja przyładowo predefiniowane wielości dostaw. Natomiast duża liczba tras nie jest jedna problemem, tóry uniemożliwiałby orzystanie z tego sformułowania. Analogicznie ja w przypadu modeli podziału zbioru odbiorców do obsługi tras można używać technii generowania olumn, tórej zastosowanie w przytoczonej grupie modeli znacznie zwięsza rozmiar rozwiązywanych zadań. Zaprezentowanie sformułowanie zostało użyte do przygotowanie heurystycznej metody wyznaczenia harmonogramu i tras dostaw w 5 oresach w systemie dystrybucyjnym sładającym się z 30 odbiorców (Hanczar, 2006). Uzysane wynii zostały porównane z planami dotyczącymi tego samego zadania przygotowanymi przez 6 zespołów menedżerów. Wynii te przedstawia tabela 2. Tabela 2. Wynii symulacji planowanie tras przepływu zapasów Lp. Zespół Łączna długość Suma dostarczonych produtów pojazdów [m/szt.] Max liczba Wsaźni tras , , , , , , , , , , , , AVG 210, , TR 198, ,0062 Źródło: Opracowanie własne na podstawie wyniów symulacji. W tabeli 2 zaprezentowano łączną długość tras (olumna 3), sumę dostarczonych produtów (olumna 4), masymalną liczbę pojazdów w oresie użytą do dystrybucji (olumna 5) oraz wsaźni m/szt. (olumna 6) oreślający, ile ilometrów należy poonać celem dostarczenia jednej jednosti produtu. Pierwsze 6 wierszy tabeli prezen- 73

20 WSPOMAGANIE DECYZJI W OBSZARZE WYZNACZANIA TRAS POJAZDÓW tuje wynii dla poszczególnych zespołów, wiersz 7 to wyni średni, natomiast w wierszu 8 przedstawiono wyni uzysany za pomocą omawianego tutaj sformułowania. Analiza wyniów zawartych w tabeli 2 nie jest jednoznaczna. Powodem tego jest specyfia problemu wyznaczania tras przepływu zapasów, w tórym wynii decyzji operacyjnych mogą być oceniane dopiero w długim oresie. W pierwszej olejności należy zauważyć, że wyni uzysany za pomocą metod optymalizacyjnych nie jest, pod względem długości trasy, rozwiązaniem najlepszym. Najlepszy uzysany wyni to rozwiązanie zaproponowane przez zespół 04. Jedna dużą zaletą tego pierwszego jest fat, że we wszystich oresach do realizacji dystrybucji są wyorzystywane tylo dwa pojazdy. Ponadto suma dostarczonych produtów jest również więsza dla rozwiązania uzysanego za pomocą metod optymalizacyjnych. Stosune łącznej długości tras do liczby dostarczonych produtów, tóry oreśla część ilometra, jaą poonano w celu dostarczenia jednej sztui produtu, w przypadu obu tych rozwiązań są taie same Wybór dostawcy usług dystrybucyjnych w warunach różnych taryf transportowych Gwałtowny rozwój przedsiębiorstw transportowych działających na podstawie różnych typów taryf spowodował pojawienie się zapotrzebowanie na wspomaganie decyzji planowania tras z uwzględnieniem różnych taryf transportowych. Z jednej strony oferta usług dużych, międzynarodowych przedsiębiorstw transportowych gwarantuje nisie ceny. Z drugiej strony małe rajowe firmy przewozowe zapewniają w swoim często jedynym odbiorcom wysoą jaość i elastyczność świadczonych usług. Taryfę transportową oreślić możemy jao wyaz cen za usługi transportowe wraz z przepisami ich stosowania. Biorąc pod uwagę ryterium sposobu obliczania osztów dostawy, możemy wyróżnić dwa podstawowe typy taryfy: zależne od odległości i wielości przesyłi, zależne od długości trasy przebytej w celu dostarczenia przesyłi. W taryfie pierwszego typu nie uwzględnia się bezpośrednio rzeczywistej odległości poonywanej przez przesyłę, lecz dla ujednolicenia i ułatwienia rozliczeń są ustalane uśrednione stawi transportowe zależne od wagi przesyłi oraz od odległości pomiędzy puntami nadania i odbioru. Najorzystniejsze dla firmy transportowej są tutaj przesyłi na trasach o dużym wolumenie. Jedna wybierając ten typ taryfy, firma przewozowa zobowiązuje się do realizowania wszystich nadań. Stąd głównym problemem w stosowaniu taryf tego typu jest wyznaczenia odpowiednich stawe. Często 74

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału.

koszt kapitału D/S L dźwignia finansowa σ EBIT zysku operacyjnego EBIT firmy. Firmy Modele struktury kapitału Rys. 8.3. Krzywa kosztów kapitału. Modele strutury apitału oszt apitału Optymalna strutura apitału dźwignia finansowa / Rys. 8.3. Krzywa osztów apitału. Założenia wspólne modeli MM Modigliani i Miller w swoich rozważaniach ograniczyli się

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze

Wyznaczenie prędkości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Podstawy analizy wypadów drogowych Instrucja do ćwiczenia 1 Wyznaczenie prędości pojazdu na podstawie długości śladów hamowania pozostawionych na drodze Spis treści 1. CEL ĆWICZENIA... 3. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 760 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 59 2013

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 760 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 59 2013 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 760 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 59 2013 MAGDALENA WASYLKOWSKA OCENA SYTUACJI FINANSOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA PRZY ZASTOSOWANIU METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ

Bardziej szczegółowo

HIERARCHICZNY SYSTEM ZARZĄDZANIA RUCHEM LOTNICZYM - ASPEKTY OCENY BEZPIECZEŃSTWA

HIERARCHICZNY SYSTEM ZARZĄDZANIA RUCHEM LOTNICZYM - ASPEKTY OCENY BEZPIECZEŃSTWA Jace Sorupsi Hierarchiczny system Zarządzania ruchem lotniczym aspety oceny bezpieczeństwa, Logistya (ISSN 1231-5478) No 6, Instytut Logistyi i HIERARCHICZNY SYSTEM ZARZĄDZANIA RUCHEM LOTNICZYM - ASPEKTY

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji może zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0

Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji może zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solow-Swan W modelu lasycznym mieliśmy do czynienia ze stałą wielością czynniów producji, a zatem był to model statyczny, tóry nie poazywał nam dlaczego

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE POWIATOWY URZĄD PRACY W ŚWIĘTOCHŁOWICACH RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE Stan na 2010 ro ŚWIĘTOCHŁOWICE 2011 1 SPIS TREŚCI I. WSTĘP II. ANALIZA ZAWODÓW OSÓB

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,

Bardziej szczegółowo

METODY GENERACJI I SELEKCJI CECH GRAFU W ROZPOZNAWANIU ZDJĘĆ SATELITARNYCH *)

METODY GENERACJI I SELEKCJI CECH GRAFU W ROZPOZNAWANIU ZDJĘĆ SATELITARNYCH *) Wojciech CZECH METODY GENERACJI I SELEKCJI CECH GRAFU W ROZPOZNAWANIU ZDJĘĆ SATELITARNYCH *) STRESZCZENIE W pracy tej przedstawiona została nowa metoda rozpoznawania zdjęć satelitarnych i lotniczych w

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie metody DEA w przestrzenno-czasowej analizie efektywności inwestycji

Wykorzystanie metody DEA w przestrzenno-czasowej analizie efektywności inwestycji Wyorzystanie metody DEA w przestrzenno-czasowej analizie... 49 Nierówności Społeczne a Wzrost Gospodarczy, nr 39 (3/04) ISSN 898-5084 dr Bogdan Ludwicza Katedra Finansów Uniwersytet Rzeszowsi Wyorzystanie

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

Możliwości arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie z wykorzystaniem kontraktów terminowych

Możliwości arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie z wykorzystaniem kontraktów terminowych 1 Możliwości arbitrażu na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie z wyorzystaniem ontratów terminowych dr Krzysztof Pionte Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń Aademia Eonomiczna we Wrocławiu

Bardziej szczegółowo

, to niepewność sumy x

, to niepewność sumy x Wydział Fizyi UW (wersja instrucji 04.04a) Pracownia fizyczna i eletroniczna dla Inżynierii Nanostrutur oraz Energetyi i Chemii Jądrowej Ćwiczenie 6 Elementy testowania hipotez (z błędami złożonymi) oraz

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA NOWEGO ALGORYTMU W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ

PROPOZYCJA NOWEGO ALGORYTMU W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Helena GASPARS* PROPOZYCJA NOWEGO ALGORYTMU W ANALIZIE CZASOWO-KOSZTOWEJ PRZEDSIĘWZIĘĆ Autora pracy nawiązuje do swojego poprzedniego opracowania,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANIE PLANU PRZEPŁYWU ŁADUNKÓW W SYSTEMIE AGV

PROJEKTOWANIE PLANU PRZEPŁYWU ŁADUNKÓW W SYSTEMIE AGV Technologia i Automatyzacja ontażu 1/2013 PROJEKTOWAIE PLAU PRZEPŁYWU ŁADUKÓW W SYSTEIE AGV Alesander IEOCZY Streszczenie Artyuł zawiera opis podstawowych problemów projetowania systemu AGV oraz stosowanego

Bardziej szczegółowo

Do Szczegółowych Zasad Prowadzenia Rozliczeń Transakcji przez KDPW_CCP

Do Szczegółowych Zasad Prowadzenia Rozliczeń Transakcji przez KDPW_CCP Załączni nr Do Szczegółowych Zasad Prowadzenia Rozliczeń Transacji rzez KDPW_CCP Wyliczanie deozytów zabezieczających dla rynu asowego (ozycje w acjach i obligacjach) 1. Definicje Ileroć w niniejszych

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Urząd Pracy w Szczecinie

Wojewódzki Urząd Pracy w Szczecinie Szczecin 2009 Wojewódzi Urząd Pracy w Szczecinie Zachodniopomorsie Obserwatorium Rynu Pracy Oblicze młodego poolenia Oczeiwania zawodowe młodzieży a ryne pracy Szczecin 2009 Niniejsza publiacja została

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Heurystyki. Strategie poszukiwań

Heurystyki. Strategie poszukiwań Sztuczna inteligencja Heurystyki. Strategie poszukiwań Jacek Bartman Zakład Elektrotechniki i Informatyki Instytut Techniki Uniwersytet Rzeszowski DLACZEGO METODY PRZESZUKIWANIA? Sztuczna Inteligencja

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Powiatowy Urząd Pracy

Powiatowy Urząd Pracy Powiatowy Urząd Pracy RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W MIIEŚCIIE BIIELSKO-BIIAŁA w II-półłroczu 2011rou SPIS TREŚCI Wstęp 3 1. Analiza bezrobocia według zawodów 4 1.1 Charaterystya bezrobocia

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2

Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra. v 1. v 2 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szole atematyi Poglądowej, Sojarzenia i analogie, Otwoc Śródborów, styczeń 22. W przestrzeni Zofia IECHOWICZ, Zielona Góra Naturalna analogia? Nie mylił się,

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1

ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 ROZDZIAŁ 1 Opracowanie danych pomiarowych 1 Andrzej Zięba Pomiary wielości fizycznych mogą być doonywane tylo ze sończoną doładnością. Powodem tego jest niedosonałość przyrządów pomiarowych i nieprecyzyjność

Bardziej szczegółowo

Ocena siły przetargowej w negocjacjach. Evaluation of Bargaining Power JEL: M19. Andrzej Kozina 1. Abstrakt. Abstract

Ocena siły przetargowej w negocjacjach. Evaluation of Bargaining Power JEL: M19. Andrzej Kozina 1. Abstrakt. Abstract Management and Business Administration. Central Europe Vol. 22, No. 3(126): p. 72 84, ISSN 2084 3356, Copyright by Kozminsi University Ocena siły przetargowej w negocjacjach Andrzej Kozina 1 Nadesłany:

Bardziej szczegółowo

PRAKTYCZNY PRZYKŁAD OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO

PRAKTYCZNY PRZYKŁAD OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO PRAKTYCZNY PRZYKŁAD OCENY ŚRODOWISKOWEGO RYZYKA ZDROWOTNEGO Mgr Beata Malec, dr Mare Biesiada, dr Anicenta Buba Instytut Medycyny Pracy i Zdrowia Środowisowego, Sosnowiec Wstęp Zagrożenia zdrowotne stwarzane

Bardziej szczegółowo

Planowanie tras transportowych

Planowanie tras transportowych Jerzy Feldman Mateusz Drąg Planowanie tras transportowych I. Przedstawienie 2 wybranych systemów: System PLANTOUR 1.System PLANTOUR to rozwiązanie wspomagające planowanie i optymalizację transportu w przedsiębiorstwie.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa

Spis treści. Przedmowa Spis treści Przedmowa 1.1. Magazyn i magazynowanie 1.1.1. Magazyn i magazynowanie - podstawowe wiadomości 1.1.2. Funkcje i zadania magazynów 1.1.3. Rodzaje magazynów 1.1.4. Rodzaje zapasów 1.1.5. Warunki

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO DO WYBORU TRAS DOSTAW W SIECI DYSTRYBUCJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO DO WYBORU TRAS DOSTAW W SIECI DYSTRYBUCJI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XV/3, 2014, str. 199 207 ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA MATEMATYCZNEGO DO WYBORU TRAS DOSTAW W SIECI DYSTRYBUCJI Mirosław Liana, Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych

Bardziej szczegółowo

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne,

Temat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne, sg M 6-1 - Teat: Prawo Hooe a. Oscylacje haroniczne. Zagadnienia: prawa dynaii Newtona, siła sprężysta, prawo Hooe a, oscylacje haroniczne, ores oscylacji. Koncepcja: Sprężyna obciążana różnyi asai wydłuża

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań Raport 1/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE POWIATOWY URZĄD PRACY W ŚWIĘTOCHŁOWICACH RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE MIASTA ŚWIĘTOCHŁOWICE Stan na 2011 ro ŚWIĘTOCHŁOWICE 2012 1 SPIS TREŚCI I. WSTĘP II. CHARAKTERYSTYKA BEZROBOCIA

Bardziej szczegółowo

DOBÓR NASTAW ZABEZPIECZEŃ NADPRĄDOWYCH ZWARCIOWYCH DLA LINII ŚREDNIEGO NAPIĘCIA

DOBÓR NASTAW ZABEZPIECZEŃ NADPRĄDOWYCH ZWARCIOWYCH DLA LINII ŚREDNIEGO NAPIĘCIA dr inż. Witold HOPPEL DOBÓR NASTAW ZABEZPECZEŃ NADPRĄDOWYCH ZWARCOWYCH DLA LN ŚREDNEGO NAPĘCA 1. Wprowadzenie W liniach SN od sutów zwarć międzyfazowych (tylo taich załóceń dotyczy artyuł) stosuje się

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

5. WARUNKI REALIZACJI ZADAŃ LOGISTYCZNYCH

5. WARUNKI REALIZACJI ZADAŃ LOGISTYCZNYCH 5. WARUNKI REALIZACJI ZADAŃ LOGISTYCZNYCH Praktyka działania udowadnia, że funkcjonowanie organizacji w sektorze publicznym, jak i poza nim, oparte jest o jej zasoby. Logistyka organizacji wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

PROFESJONALNE KABINY LAKIERNICZE

PROFESJONALNE KABINY LAKIERNICZE PROFESJONALNE KABINY LAKIERNICZE O Firmie ASTHERM Sp. z o.o. działa od 2005 rou. Jej wspólnicy i założyciele już we wcześniejszych latach swojej działalności zawodowo zajmowali się tematyą urządzeń służących

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE ŻORSKIM W 2012 ROKU

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE ŻORSKIM W 2012 ROKU POWIATOWY URZĄD PRACY W ŻORACH RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE ŻORSKIM W 2012 ROKU Żory 2013 SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 3 2. ANALIZA BEZROBOCIA WG ZAWODÓW... 4 3. ANALIZA OFERT PRACY

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu. Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych. (pod red. Krzysztofa Jajugi), Wydawnictwo AE Wrocław, 1999.

Analiza popytu. Ekonometria. Metody i analiza problemów ekonomicznych. (pod red. Krzysztofa Jajugi), Wydawnictwo AE Wrocław, 1999. Analiza popyu Eonomeria. Meody i analiza problemów eonomicznych (pod red. Krzyszofa Jajugi) Wydawnicwo AE Wrocław 1999. Popy P = f ( X X... X ε ) 1 2 m Zmienne onrolowane: np.: cena (C) nałady na relamę

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE KŁOBUCKIM W I-PÓŁROCZU 2011 ROKU

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W POWIECIE KŁOBUCKIM W I-PÓŁROCZU 2011 ROKU POWATOWY URZĄD PRACY W KŁOBUCKU RANKNG ZAWODÓW DEFCYTOWYCH NADWYŻKOWYCH W POWECE KŁOBUCKM W -PÓŁROCZU 2011 ROKU KŁOBUCK, październi 2011 r. Spis treści strona 1. Wstęp. 3 2. Analiza napływu bezrobotnych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna.

Ćwiczenie 4. Zagadnienia: spektroskopia emisyjna, budowa i działanie spektrofluorymetru, widma. Wstęp. Część teoretyczna. Ćwiczenie 4 Wyznaczanie wydajności wantowej emisji. Wpływ długości fali wzbudzenia oraz ształtu uweti i jej ustawienia na intensywność emisji i na udział filtru wewnętrznego. Zagadnienia: spetrosopia emisyjna,

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania: Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Algorytmy i struktury danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 5: Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Informatyczne narzędzia procesów. Przykłady Rafal Walkowiak Zastosowania informatyki w logistyce 2011/2012

Informatyczne narzędzia procesów. Przykłady Rafal Walkowiak Zastosowania informatyki w logistyce 2011/2012 Przykłady Rafal Walkowiak Zastosowania informatyki w logistyce 2011/2012 Płaszczyzny powiązań logistyki i informatyki Systemy informatyczne będące elementami systemów umożliwiają wykorzystanie rozwiązań

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

1. Opakowania wielokrotnego użytku: 2. Logistyczny łańcuch opakowań zawiera między innymi następujące elementy: 3. Które zdanie jest prawdziwe?

1. Opakowania wielokrotnego użytku: 2. Logistyczny łańcuch opakowań zawiera między innymi następujące elementy: 3. Które zdanie jest prawdziwe? 1. Opakowania wielokrotnego użytku: A. Są to zwykle opakowania jednostkowe nieulegające zniszczeniu po jednokrotnym użyciu (opróżnieniu), które podlegają dalszemu skupowi. B. Do opakowań wielokrotnego

Bardziej szczegółowo

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W ZABRZU ZA ROK 2008

RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W ZABRZU ZA ROK 2008 P o w i a t o w y U r z ą d P r a c y w Z a b r z u RANKING ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH W ZABRZU ZA ROK 2008 POWIATOWY RAPORT ROCZNY II/P/2008 CZĘŚĆ DIAGNOSTYCZNA Zabrze 2009 Raning zawodów deficytowych

Bardziej szczegółowo

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC

1 Programowanie całkowitoliczbowe PLC Metody optymalizacji, wykład nr 9 Paweł Zieliński Programowanie całkowitoliczbowe PLC Literatura [] S.P. Bradley, A.C. Hax, T. L. Magnanti Applied Mathematical Programming Addison-Wesley Pub. Co. (Reading,

Bardziej szczegółowo

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna

Metody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

Monitoring zawodów deficytowych i nadwyżkowych w województwie zachodniopomorskim w 2011 roku

Monitoring zawodów deficytowych i nadwyżkowych w województwie zachodniopomorskim w 2011 roku WOJEWÓDZKI URZĄD PRACY W SZCZECINIE Wydział Badań i Analiz Monitoring zawodów deficytowych i nadwyżowych w województwie zachodniopomorsim w 2011 rou Opracowanie: Marta Sapińsa Szczecin 2011 WSTĘP... 3

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali

ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali ZADANIE 52 INTERFERENCYJNY POMIAR KRZYWIZNY SOCZEWKI (pierścienie Newtona) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, przy znanej długości fali świetlnej, promienia rzywizny soczewi płaso-wypułej

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

SigmaMRP zarządzanie produkcją w przedsiębiorstwie z branży metalowej.

SigmaMRP zarządzanie produkcją w przedsiębiorstwie z branży metalowej. SigmaMRP zarządzanie produkcją w przedsiębiorstwie z branży metalowej. Wstęp SigmaMRP to nowość na polskim rynku, która jest już dostępna w ofercie firmy Stigo. Program MRP (ang. Material Requirements

Bardziej szczegółowo

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS TURYSTYKA W SZCZECINIE W ODNIESIENIU DO BADAŃ ANKIETOWYCH

FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS TURYSTYKA W SZCZECINIE W ODNIESIENIU DO BADAŃ ANKIETOWYCH FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin., Oeconomica 2014, 308(74)1, 17 28 Iwona Bą, Beata Szczecińsa* TURYSTYKA W SZCZECINIE W ODNIESIENIU DO BADAŃ ANKIETOWYCH

Bardziej szczegółowo

116 Paweł Kobus Stowarzyszenie Ekonomistów Rolnictwa i Agrobiznesu

116 Paweł Kobus Stowarzyszenie Ekonomistów Rolnictwa i Agrobiznesu 116 Paweł Kobus Stowarzyszenie Eonomistów Rolnictwa i Agrobiznesu Rocznii Nauowe tom XVII zeszyt 6 Paweł Kobus Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego w Warszawie Wpływ ubezpieczeń rolniczych na stabilność

Bardziej szczegółowo

Moduł stolika liniowego

Moduł stolika liniowego Podstawy Konstrucji Urządzeń Precyzyjnych Materiały pomocnicze do ćwiczeń projetowych część 1 Moduł stolia liniowego Presrypt opracował: dr inż. Wiesław Mościci Warszawa 2014 Materiały zawierają informacje

Bardziej szczegółowo

Zapytanie ofertowe. Poznań, 10.05.2010.

Zapytanie ofertowe. Poznań, 10.05.2010. Poznań, 10.05.2010. Zapytanie ofertowe Kontekst: realizacja przez spółkę PROLOG sp. z o.o. Projektu Stworzenie internetowego serwisu do automatycznego rozwiązywania problemów logistyczno dystrybucyjnych

Bardziej szczegółowo

METODA KOSZTÓW NARASTAJĄCYCH W OCENIE EKONOMICZNEJ EFEKTYWNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH W ENERGETYCE ROZPROSZONEJ

METODA KOSZTÓW NARASTAJĄCYCH W OCENIE EKONOMICZNEJ EFEKTYWNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH W ENERGETYCE ROZPROSZONEJ Metoda osztów narastających w ocenie eonomicznej efetywności przedsięwzięć inwestycyjnych w energetyce rozproszonej 43 METODA OSZTÓW NARASTAJĄCYCH W OCENIE EONOMICZNEJ EFETYWNOŚCI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE ORAZ ŚREDNIE 1. Procenty i proporcje DEFINICJA 1. Jeden procent (1%) pewnej liczby a to setna część tej liczby, tórą oznacza się: 1% a, przy czym 1% a = 1 p a, zaś

Bardziej szczegółowo

ALOKACJA ZASOBU W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI: MODELE DECYZYJNE I PROCEDURY OBLICZENIOWE

ALOKACJA ZASOBU W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI: MODELE DECYZYJNE I PROCEDURY OBLICZENIOWE B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 1 2007 Helena GASPARS ALOKACJA ZASOBU W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI: MODELE DECYZYJNE I PROCEDURY OBLICZENIOWE Sformułowano modele optymalizacyne, maące zastosowanie

Bardziej szczegółowo

WYODRĘBNIANIE ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH INSTRUMENTEM DOSTOSOWANIA KIERUNKÓW KSZTAŁCENIA DO POTRZEB RYNKU PRACY? REFLEKSJA KRYTYCZNA

WYODRĘBNIANIE ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH INSTRUMENTEM DOSTOSOWANIA KIERUNKÓW KSZTAŁCENIA DO POTRZEB RYNKU PRACY? REFLEKSJA KRYTYCZNA Rafał Muster Uniwersytet Śląsi w Katowicach WYODRĘBNIANIE ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I NADWYŻKOWYCH INSTRUMENTEM DOSTOSOWANIA KIERUNKÓW KSZTAŁCENIA DO POTRZEB RYNKU PRACY? REFLEKSJA KRYTYCZNA Wprowadzenie Na

Bardziej szczegółowo

Teoria treningu. Projektowanie. systemów treningowych. jako ciąg zadań optymalizacyjnych. Jan Kosendiak. Istota projektowania. systemów treningowych

Teoria treningu. Projektowanie. systemów treningowych. jako ciąg zadań optymalizacyjnych. Jan Kosendiak. Istota projektowania. systemów treningowych Teoria treningu 77 Projektowanie procesu treningowego jest jednym z podstawowych zadań trenera, a umiejętność ta należy do podstawowych wyznaczników jego wykształcenia. Projektowanie systemów treningowych

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe

ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe opracował:

Bardziej szczegółowo

IDZ DO KATALOG KSI EK TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE CZYTELNIA PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG

IDZ DO KATALOG KSI EK TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE CZYTELNIA PRZYK ADOWY ROZDZIA SPIS TRE CI KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG IDZ DO PRZYK ADOWY ROZDZIA KATALOG KSI EK ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG Wydawnictwo Helion ul. Chopina 6 44-100 Gliwice tel. (32)230-98-63 e-mail: helion@helion.pl TWÓJ KOSZYK CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające

Temat 9. Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Temat 9 Zabłocone miasto Minimalne drzewa rozpinające Streszczenie Nasze życie związane jest z funkcjonowaniem wielu sieci: telefonicznych, energetycznych, komputerowych i drogowych. W przypadku każdej

Bardziej szczegółowo

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA. Przetarg nieograniczony na: OPRACOWANIE NOWYCH ZALECEO METODYCZNYCH PROWADZENIA MONITORINGU ZAWODÓW

SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA. Przetarg nieograniczony na: OPRACOWANIE NOWYCH ZALECEO METODYCZNYCH PROWADZENIA MONITORINGU ZAWODÓW Projet współfinansowany ze środów Unii Europejsiej w ramach Europejsiego Funduszu Społecznego SPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA Przetarg nieograniczony na OPRACOWANIE NOWYCH ZALECEO METODYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Problemy z ograniczeniami

Problemy z ograniczeniami Problemy z ograniczeniami 1 2 Dlaczego zadania z ograniczeniami Wiele praktycznych problemów to problemy z ograniczeniami. Problemy trudne obliczeniowo (np-trudne) to prawie zawsze problemy z ograniczeniami.

Bardziej szczegółowo

Grupowe zakupy usług transportowych praktyczna redukcja kosztów transportu

Grupowe zakupy usług transportowych praktyczna redukcja kosztów transportu Grupowe zakupy usług transportowych praktyczna redukcja kosztów transportu 1 Cel oraz agenda Cel Zaprezentowanie rzeczywistych korzyści wynikających ze współpracy firm w grupowej konsolidacji usług transportowych

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo