OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Transkrypt

1 OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa 2001

2 Problem komiwojażera 1 Sformułowanie problemu Zadanie komiwojażera jest znane od kiedy kupcy zaczęli dostarczać produkty klientom. Podstawową wersję problemu komiwojażera można przedstawić w dwóch zdaniach: 1. Komiwojażer pragnie odwiedzić pewną liczbę klientów w różnych miejscowościach i po zakończeniu odwiedzin wrócić do domu. 2. Jaką drogę powinien wybrać ( w jakiej kolejności powinien odwiedzać klientów) aby przebyta przez niego droga była możliwie najkrótsza?

3 Problem komiwojażera 2 Pierwsze reguły wyznaczania trasy zostały opracowane na podstawie doświadczeń praktycznych już w połowie XIX wieku przez komiwojażerów w USA. Jednak dopiero formalne ujęcie matematyczne pozwoliło odkryć, że to niby proste zadanie obejmuje bardzo szeroką klasę przypadków, z których tylko niektóre można rozwiązać dokładnie. Założenia: 1. Każdego klienta można identyfikować przez podanie miejscowości (węzła w grafie), w której zamieszkuje ( w jednej miejscowości znajduje się jeden klient ). 2. Między miejscowościami istnieją połączenia pozwalające na przemieszczanie w obu kierunkach ( krawędzie grafu ). 3. Każdej krawędzi przyporządkowana jest liczba określająca uogólnioną odległość. 4. Wyróżnione miejscowości oraz potencjalne trasy przejazdu można przedstawić za pomocą grafu G=[ V, E, c ], nieskierowanego, spójnego, o n węzłach, w którym liczby przyporządkowane krawędziom są nieujemne cij = cji 0 5. Dla dowolnych trzech węzłów i,j,k powinna być spełniona nierówność: cik cij + cjk 6. Dla dowolnych dwóch miejscowości nie mogą występować połączenia przez inne miejscowości. 7. Wyróżniamy jeden węzeł odpowiadający miejscu startu komiwojażera i przyjmujemy, że jego trasa powinna kończyć się powrotem do tego węzła.

4 Problem komiwojażera 3 Każdą trasę spełniająca te warunki nazywamy trasą okrężną komiwojażera, która jest optymalna, gdy łączna jej długość jest minimalna. Każda z miejscowości ( z wyjątkiem startowej ) musi wystąpić na niej tylko raz. W teorii grafów trasę tego typu nazywa się cyklem Hamiltona. Jeżeli nie wymaga się odwiedzenia wszystkich miejscowości mówimy o cyklu skróconym

5 Problem komiwojażera 4 Poszukiwany cykl Hamiltona oznaczymy krótko symbolem H. Aby móc zapisać, że pewna krawędź należy do tego cyklu, wprowadzimy zmienne binarne xij, i,j= 1, n. x ij 1, 0, gdy droga i, j cyklu H w przeciwnymprzypadku Ponieważ każda miejscowość może tylko raz wystąpić w trasie, więc każdy węzeł i może tylko raz wystąpić jako węzeł początkowy krawędzi : n i1 x ij 1, j 1,...,n. Każdy węzeł może być również tylko raz węzłem końcowym krawędzi, co prowadzi do układu ograniczeń: n j1 x ij 1, i 1,...,n.

6 Minimalizacja trasy może być ujęta w formie funkcji kryterium: z n n i1 j1 c ij x ij min Wprowadzamy sztuczne założenie, na mocy którego, gdy między dwoma węzłami p i r nie istnieje połączenie, to przyjmujemy, że są one oddalone nieskończenie daleko, a więc cpr =, oraz również cii = Próba tak sformułowanego zadania kończy się jednak bardzo często wskazaniem cykli skróconych, których przyjęte ograniczenia niestety nie wykluczają. Aby do tego nie dopuścić do zadania należy wprowadzić dodatkowe ograniczenia, które czynią zadanie trudnym do praktycznego rozwiązania. W literaturze można spotkać różne wersje ograniczeń uniemożliwiających powstawanie cykli skróconych. Często spotykaną jest następująca: 1. Rozpatrujemy wszystkie k elementowe permutacje węzłów [ i1, i2,, ik ], przy czym Gdy liczba węzłów jest parzysta: n k = 2,3,, 2 Problem komiwojażera 5

7 Problem komiwojażera 6 Gdy liczba węzłów n jest nieparzysta: k = 2,3,, n Dla każdego k tworzymy układ ograniczeń: x x... x k i i2 i2i3 iki n k 1! Należy teraz wziąć pod uwagę, że dla każdego k otrzymujemy k ograniczeń. Dla n=6 otrzymamy 55 ograniczeń, ale ich liczba rośnie bardzo szybko dla n=14 wynosi prawie 3 miliony, co czyni zadanie niemożliwym do rozwiązania. Z tego względu w praktyce najczęściej wykorzystywane są algorytmy heurystyczne.

8 Problem komiwojażera 6 Algorytm droga do najbliższego sąsiada Założenia startowe Startujemy węźle a. Symbolem z oznaczamy długość drogi okrężnej. Przyjmujemy: k1 := a, z := 0. Iteracje Numery iteracji będziemy kojarzyć z liczbą odwiedzanych miejscowości, dlatego. rozpatrujemy iteracje j = 2,3,,n. Krok 1 Wskazujemy węzeł kj, dla którego c k c k, przy czymi k1 k j 1, k min,..., j j1, i j1 Czyli wskazujemy węzeł, który nie jest zakwalifikowany do drogi i leży najbliżej ostatniego z już uwzględnionych w drodze. Krok 2 Tworzymy ciąg [ k1,, kj ].

9 Problem komiwojażera 7 Krok 3 Przyjmujemy: z z c k j 1, k j Po n iteracjach do ciągu [ k1,, kn-1, kn ] dołączamy węzeł startowy k1, tworząc drogę okrężną H = [ k1,, kn-1, kn, k1 ], której długość wynosi: z z c kn, k1

10 Problem komiwojażera 8 KURIER MA DO ROZWIEZIENIA 9 PRZESYŁEK. ABY OBNIŻYĆ KOSZTY DOSTARCZENIA PRZESYŁKI MUSI ON ZMINIMALIZOWAĆ TRASĘ JAKĄ POKONA. NIESTETY ZE WZGLĘDU NA REMONTY DRÓG NIE KAŻDA TRASA ŁĄCZĄCA POSZCZEGÓLNYCH ODBIORCÓW JEST PRZEJEZDNA. ODLEGŁOŚCI MIĘDZY ODBIORCAMI I MAGAZYNEM ORAZ NIEPRZEJEZDNE TRASY PREZENTUJE TABELA: opracowali : Sylwia Głowacka, Kacper Mroczek, Kamil Ligenza Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 0 nowe rumunki X spaliny wielkie 201 X koziebrody X twarogi ruskie X żebrak X piekiełko X potworów X włochy X bujny księże X 77 9 wągry X - trasa nieprzejezdna

11 Problem komiwojażera 9 - najbliższy, nieodwiedzony wcześniej sąsiad - odbiorca u którego był już kurier Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 0 nowe rumunki X H : 0 2 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 2 koziebrody X H : 2 7 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 7 włochy X H : 7 5

12 Problem komiwojażera 10 Lp Nazwa H : 5 6 nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 5 piekiełko X Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 6 potworów X H : 6 9 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 9 wągry X H : 9 8

13 Problem komiwojażera 11 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 8 bujny księże X 77 H : 8 4 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 4 żebrak X H : 4 3 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 3 twarogi ruskie X H : 3 1

14 Problem komiwojażera 12 Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 1 spaliny wielkie 201 X H : 1 0 ODPOWIEDŹ: H = T = = 1142

15 Postępując zgodnie z zasadami wyznaczania najbliższego sąsiada wyznaczamy kolejno w wierszach zaczynając od wiersza 1: - W wierszu 1 : węzeł 3 czas 78 - W wierszu 3 : węzeł 5 czas 66 Problem komiwojażera 10 2 Lp Nazwa Wrocław Wałbrzych Legnica Poznań Jelenia Góra 1 Wrocław Wałbrzych Legnica Poznań Jelenia Góra W wierszu 5 : węzeł 4 czas 288,nie można wybrać 2 bo nie ma z niego dojazdu do 4, ale z 4 nie możliwy jest także dojazd do 2. Należy postępowanie zacząć od początku biorąc pod uwagę, że najgorszy dojazd jest do 2 i 4 - W wierszu 1 : węzeł 3 czas 78 - W wierszu 3 : węzeł 2 czas 81 - W wierszu 2 : węzeł 5 czas 63 - W wierszu 5 : węzeł 4 - czas W wierszu 4 : węzeł 1 - czas 198 Łączny czas przejazdu 708

16 Problem komiwojażera 11 2 Drugi wariant drogi okrężnej W wierszu 1 : węzeł 3 czas 78 W wierszu 3 : węzeł 4 czas 277 W wierszu 4 : węzeł 5 - czas 288 W wierszu 5 : węzeł 2 - czas 63 W wierszu 2 : węzeł 1 czas 83 Łączny czas przejazdu 789 Trzeci wariant drogi okrężnej: W wierszu 1 : węzeł 2 czas 83 W wierszu 2 : węzeł 5 czas 63 W wierszu 5 : węzeł 3 - czas 66 W wierszu 3: węzeł 4 - czas 277 W wierszu 4 : węzeł 1 czas 198 Łączny czas przejazdu 687

17 Problem komiwojażera Poznań Jelenia Góra 5 3 Legnica 1 Wrocław 2 Wałbrzych

18 Problem komiwojażera 13 2 Jak widać algorytmu nie da się zawsze zastosować nie odchodząc od wcześniej przedstawionych reguł postępowania. Wszystko zależy od konfiguracji połączeń. Dlatego należy pamiętać, że stosując algorytmy heurystyczne nie zawsze otrzymujemy rozwiązanie optymalne ale jedynie dopuszczalne.

19 Problem komiwojażera 14 Algorytm sukcesywne dołączanie węzłów. Dla z góry zadanego węzła startowego a należy już na starcie wybrać inny węzeł b i utworzyć początkową trasę z a do b i powrotem: [a,b,a]. W trakcie postępowania będziemy sukcesywnie modyfikować tę drogę przez dołączanie nowych węzłów. Wybór nowego węzła nie jest jednoznacznie określony, ale korzystnie jest stosować następująca regułę: Najmniejsza z odległości dołączanego węzła do wcześniej określonej drogi powinna. być możliwie największa. Przyjmujemy zatem: a węzeł startowy, b węzeł najbardziej oddalony od a, z określona długość okrężnej drogi; w iteracja pośrednich drogi częściowej, H cykl węzłów tworzących drogę okrężną; w iteracjach pośrednich jest to droga częściowa

20 Problem komiwojażera 15 Założenia startowe Przyjmujemy: k k 1, k2, k1, z k 1 k c 2 k a, k2 b, H c k Iteracje Numery iteracji kojarzyć będziemy z liczbą odwiedzonych miejscowości, dlatego. rozpatrujemy iteracje j = 3,,n. Przyjmijmy, że w iteracji (j-1) otrzymaliśmy częściową. drogę okrężną : H k1, k2,..., k j 1, k j o długości z. Ze względu na stosowane dalej wzory ostatni z węzłów jest oznaczony przez kj, a w rzeczywistości jest nim węzeł k1.

21 Problem komiwojażera 16 W każdej iteracji należy wskazać, który z nie uwzględnionych jeszcze węzłów powinien być dołączony i rozstrzygnąć, między którymi węzłami istniejącej trasy powinien być Dołączony. Krok 1 Dla każdego węzła p k1, k2,, kj-1 obliczamy : d p min ck p, ck p,..., c k j p Krok 2 Jako węzeł i, który ma być dołączony do drogi wybieramy ten, dla którego: d i max p d p

22 Problem komiwojażera 17 Krok 3 Mając wybrany węzeł i musimy rozstrzygnąć, między które węzły drogi H wstawić ten węzeł. W nowej drodze pojawiają się krawędzie [kt, i] oraz [i, kt+1 ] natomiast wypada z niej krawędź [kt, kt+1 ] i Ckti Cikt+1 k1 kt Kt+1 k1 Cktkt+1

23 Dołączenie nowych odcinków drogi powoduje zmianę jej długości. Wielkość tej zmiany oznaczamy symbolem st i obliczamy następująco : Jesteśmy zainteresowani takim rozwiązaniem, które będzie powodowało najmniejszy przyrost długości drogi, dlatego postępujemy zgodnie z następującym kryterium: Krok 4 Tworzymy nową częściową trasę 1 1 t t t t k k ik i k t c c c s min1 1,..., t t h h t t k k ik i k j h ik i k t c c c c c s j t t k k i k k H,...,,,,..., 1 1 Problem komiwojażera 18

24 Problem komiwojażera 19 Krok 5 Sprawdzamy czy zostały uwzględnione wszystkie węzły. Jeżeli nie to przechodzimy do następnej iteracji. Jeżeli tak wyznaczanie trasy komiwojażera kończy się. Otrzymujemy drogę okrężną, która jest cyklem Hamiltona H k 1 kn,,..., k 1

25 Problem komiwojażera 20 opracowali : Sylwia Głowacka, Kacper Mroczek, Kamil Ligenza Lp Nazwa nowe rumunki spaliny wielkie koziebrody twarogi ruskie żebrak piekiełko potworów włochy bujny księże wągry 0 nowe rumunki X spaliny wielkie - NAJDŁUŻSZA PRZEJEZDNA TRASA W OBIE STRONY, MIĘDZY MAGAZYNEM A ODBIORCĄ H=[0, 1, 0] T 1 =402 ITERACJA 1 p=2 r 1 2= min[c 02, c 12 ]= min[54, 157]=54 p=3 r 1 3= min[c 03, c 13 ]= min[10.000, 170]=170 p=4 r 1 4= min[c 04, c 14 ]= min[10.000,203]=203 p=5 r 1 5= min[c 05, c 15 ]= min[123, ]=123 p=6 r 1 6= min[c 06, c 16 ]= min[152, 273]=152 p=7 r 1 7= min[c 07, c 17 ]= min[111, ]=111 p=8 r 1 8= min[c 08, c 18 ]= min[149, ]=149 p=9 r 1 9= min[c 09, c 19 ]= min[96, ]=96 max r 1 i = r 1 4=203

26 Problem komiwojażera 21 s 1 0= c 04 + c 41 - c 01 = = s 1 1= c 14 + c 40 - c 10 = = H= [0, 1, 4, 0] T 2 = = T1 + s 1 1=

27 Problem komiwojażera 22 ITERACJA 2 p=2 r 2 2= min[c 02, c 12, c 42 ]= min[54, 157, 195]=54 p=3 r 2 3= min[c 03, c 13, c 42 ]= min[10.000, 170, 100]=100 p=5 r 2 5= min[c 05, c 15, c 42 ]= min[123, , 105]=105 p=6 r 2 6= min[c 06, c 16, c 42 ]= min[152, 273, 156]=152 p=7 r 2 7= min[c 07, c 17, c 42 ]= min[111, , ]=111 p=8 r 2 8= min[c 08, c 18, c 42 ]= min[149, , 241]=149 p=9 r 2 9= min[c 09, c 19, c 42 ]= min[96, , 181]=96 max r 2 i = r 2 6=152

28 Problem komiwojażera 23 s 2 0= c 06 + c 16 - c 01 = =224 s 2 1= c 16 + c 64 - c 14 = =226 s 2 4= c 46 + c 60 - c 40 = =-9692 H= [0, 1, 4, 6, 0] T 3 = = T 2 + s 2 4= 712

29 Problem komiwojażera 24 ITERACJA 3 p=2 r 3 2= min[c 02, c 12, c 42, c 62 ]= min[54, 157, 195, ]=54 p=3 r 3 3= min[c 03, c 13, c 43, c 63 ]= min[10.000, 170, 100, 239]=100 p=5 r 3 5= min[c 05, c 15, c 45, c 65 ]= min[123, , 105, 54]=54 p=7 r 3 7= min[c 07, c 17, c 47, c 67 ]= min[111, , , 91]=91 p=8 r 3 8= min[c 08, c 18, c 48, c 68 ]= min[149, , 241, 116]=111 p=9 r 3 9= min[c 09, c 19, c 49, c 69 ]= min[96, , 181, 83]=83 max r 3 i = r 3 8=111

30 Problem komiwojażera 25 s 3 0= c 08 + c 18 - c 01 = = s 3 1= c 18 + c 84 - c 14 = = s 3 4= c 48 + c 86 - c 46 = = 201 s 3 6= c 68 + c 80 - c 60 = = 113 H= [0, 1, 4, 6, 8, 0] T 4 = = T 3 + s 3 6= 825

31 Problem komiwojażera 26 ITERACJA 4 p=2 r 4 2= min[c 02, c 12, c 42, c 62, c 82 ]= min[54, 157, 195, , 205]=54 p=3 r 4 3= min[c 03, c 13, c 43, c 63, c 83 ]= min[10.000, 170, 100, 239, 323]=100 p=5 r 4 5= min[c 05, c 15, c 45, c 65, c 85 ]= min[123, , 105, 54, ]=54 p=7 r 4 7= min[c 07, c 17, c 47, c 67, c 87 ]= min[111, , , 91, 161]=91 p=9 r 4 9= min[c 09, c 19, c 49, c 69, c 89 ]= min[96, , 181, 83, 77]=77 max r 4 i = r 4 3=100

32 Problem komiwojażera 27 s 4 0= c 03 + c 31 - c 01 = =9.969 s 4 1= c 13 + c 34 - c 14 = =67 s 4 4= c 43 + c 36 - c 46 = =183 s 4 6= c 63 + c 38 - c 68 = =446 s 4 8= c 63 + c 30 - c 80 = = H= [0, 1, 3, 4, 6, 8, 0] T 5 = =T 4 + s 4 1 = 892

33 Problem komiwojażera 27 ITERACJA 5 p=2 r 5 2= min[c 02, c 12, c 32, c 42, c 62, c 82 ]= min[54, 157, 212, 195, , 205] = 54 p=5 r 5 5= min[c 05, c 15, c 35, c 45, c 65, c 85 ]= min[123, , 188, 105, 54, ] = 54 p=7 r 5 7= min[c 07, c 17, c 37, c 47, c 67, c 87 ]= min[111, , 50, , 91, 161] = 50 p=9 r 5 9= min[c 09, c 19,c 39, c 49, c 69, c 89 ]= min[96, , , 181, 83, 77] = 77 max r 5 i = r 5 9=77

34 Problem komiwojażera 27 s 5 0= c 09 + c 91 - c 01 = =9.895 s 5 1= c 19 + c 93 - c 13 = = s 5 3= c 39 + c 94 - c 34 = =341 s 5 4= c 49 + c 96 - c 46 = =108 s 5 6= c 69 + c 98 - c 68 = =44 s 5 8= c 69 + c 90 - c 80 = =24 H= [0, 1, 3, 4, 6, 8, 9, 0] T 6 = =T 5 + s 5 8= 916

35 Problem komiwojażera 28 ITERACJA 6 p=2 r 6 2= min[c 02, c 12, c 32, c 42, c 62, c 82, c 92 ]= min[54, 157, 212, 195, , 205, 145]=54 p=5 r 6 5= min[c 05, c 15, c 35, c 45, c 65, c 85, c 95 ]= min[123, , 188, 105, 54, , ]=54 p=7 r 6 7= min[c 07, c 17, c 37, c 47, c 67, c 87, c 97 ]= min[111, , 50, , 91, 161, 102]=50 max r 6 i = r 6 2=r 6 5=54

36 Problem komiwojażera 29 s 6 0= c 02 + c 21 - c 01 = =10 s 6 1= c 12 + c 23 - c 13 = =199 s 6 3= c 32 + c 24 c 34 = =307 s 6 4= c 42 + c 26 - c 46 = = s 6 6= c 62 + c 28 - c 68 = = s 6 8= c 82 + c 29 - c 89 = =273 s 6 9= c 92 + c 20 - c 90 = =103 H= [0, 2, 1, 3, 4, 6, 8, 9, 0] T 7 = = T 6 + s 6 0 = 926

37 Problem komiwojażera 30 ITERACJA 7 p=5 r 7 5= min[c 05, c 25, c 15, c 35, c 45, c 65, c 85, c 95 ]= min[123, 157, , 188, 105, 54, , ]=54 p=7 r 7 7= min[c 07, c 27, c 17, c 37, c 47, c 67, c 87, c 97 ]= min[111, 112, , 50, , 91, 161, 102]=50 max r 7 i = r 67 5=54

38 Problem komiwojażera 31 s 7 0= c 05 + c 52 - c 02 = =226 s 7 2= c 15 + c 51 - c 21 = = s 7 1= c 15 + c 53 - c 13 = = s 7 3= c 35 + c 54 c 34 = =193 s 7 4= c 45 + c 56 - c 46 = =3 s 7 6= c 65 + c 58 - c 68 = =9.938 s 7 8= c 85 + c 59 - c 89 = = s 7 9= c 95 + c 50 - c 90 = = H= [0, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 0] T 8 = = T 7 + s 7 4 = 929

39 Problem komiwojażera 32 s 8 0= c 07 + c 72 - c 02 = =169 s 8 2= c 17 + c 71 - c 21 = =9.955 s 8 1= c 17 + c 73 - c 13 = =9.945 s 8 3= c 37 + c 74 c 34 = = s 8 4= c 47 + c 75 - c 45 = =9.945 s 8 5= c 57 + c 76 - c 56 = =87 s 8 6= c 67 + c 78 - c 68 = =136 s 8 8= c 87 + c 79 - c 89 = =186 s 7 9= c 97 + c 70 - c 90 = = 117 ODPOWIEDŹ: H= [0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9, 0] T 9 = = T 7 + s 8 5 =