ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Transkrypt

1 ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia funkcyjne, ograniczenia trywialne oraz funkcja celu. Zmienne decyzyjne to wielkości, dla których należy ustalić wartość optymalną. Ograniczenia funkcyjne to układ nierówności lub równań opisujących warunki działania. Ograniczenia funkcyjne wynikają z treści problemu decyzyjnego. W konkretnych sytuacjach decyzyjnych nierówności w warunkach ograniczających mogą mieć przeciwny zwrot lub mogą to być równości. Ograniczenia trywialne (warunki brzegowe) informują, że zmienne decyzyjne są nieujemne i znajdują się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja celu umożliwia wybór optymalnych wielkości zmiennych decyzyjnych, przy określonych ograniczeniach. Funkcja celu może być maksymalizowana lub minimalizowana. Zbiór wszystkich rozwiązań, które spełniają warunki funkcyjne oraz warunki brzegowe nazywamy rozwiązaniami dopuszczalnymi. Wśród nich znajdują się takie, dla których funkcja celu przybiera wartość maksymalna lub minimalną. est to rozwiązanie optymalne. Rozwiązaniem programu liniowego jest wyznaczenie wartości optymalnych zmiennych decyzyjnych. Z wykorzystaniem programowania liniowego można opisać wiele sytuacji decyzyjnych, w których zależności pomiędzy zmiennymi są typu liniowego. edną z takich sytuacji decyzyjnych jest zagadnienie transportowe. Zagadnienie transportowe problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych źródeł zaopatrzenia do kilku punktów zgłaszających zapotrzebowanie na ten towar. Model zagadnienia transportowego można sformułować następująco: dostawców pewnego jednorodnego towaru, z których każdy dysponuje A i (i=1,,) jednostkami tego towaru, zaopatruje odbiorców. Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi B j jednostek (j=1,,). Każdy z dostawców może zaopatrywać dowolnego odbiorcę. Każdy odbiorca może otrzymywać towar od dowolnego dostawcy.

2 ednostkowe koszty transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy: c ij (i=1,2,,; j=1,2,,). Całkowity koszt transportu jest sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach. Należy opracować plan przewozu towarów pomiędzy dostawcami i odbiorcami, tak aby łączne koszty transportu były możliwie najniższe. Plan przewozu towarów ma określić ile towaru powinien dostarczyć i-ty dostawca j-temu odbiorcy te wielkości są zmiennymi decyzyjnymi.: x ij (i=1,2,,; j=1,2,,). Aby model transportowy miał rozwiązanie musi być spełniony następujący warunek: A i B j (łączna podaż dostawców powinna być nie mniejsza niż łączne zapotrzebowanie odbiorców). eżeli warunek jest spełniony z równością: A i = B j to mamy do czynienia z zamkniętym zagadnieniem transportowym. eżeli warunek jest spełniony z nierównością (ostro): A i > B j to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym.

3 ZAMKNĘTE ZAGADNENE TRANSPORTOWE (ZZT) posiada). Warunki dla dostawców (i-ty dostawca ma dostarczyć odbiorcom tyle towaru, ile x ij = A i j=1 (i = 1, 2,, ) Warunek dla odbiorców (j-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru, ile potrzebuje). x ij = B j i=1 (j = 1, 2,, ) Warunki brzegowe. x ij 0 (i = 1, 2,, ; j = 1, 2,, ) Funkcja celu (minimalizacja łącznych kosztów transportu od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców). c ij x ij MN

4 OTWARTE ZAGADNENE TRANSPORTOWE (OZT) A i > B j eżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. x ij A i j=1 (i = 1, 2,, ) Warunki dla dostawców (i-ty dostawca ma dostarczyć odbiorcom mniej lub tyle towaru, ile posiada). x ij = B j i=1 (j = 1, 2,, ) Warunek dla odbiorców (j-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru, ile potrzebuje). x ij 0 (i = 1, 2,, ; j = 1, 2,, ) Warunki brzegowe. c ij x ij MN Funkcja celu (minimalizacja łącznych kosztów transportu od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców).

5 ZADANE 1 Trzy magazyny: M 1, M 2 oraz M 3 zaopatrują w mąkę cztery piekarnie: P 1, P 2, P 3, P 4. Wielkości charakteryzujące popyt, podaż i koszty transportu mąki (w zł za tonę) z każdego magazynu do każdej piekarni ilustruje poniższa tablica. Magazyny Piekarnie Podaż P 1 P 2 P 3 P 4 M M M Popyt (1) Opracować plan przewozu mąki z magazynów do piekarń, w którym funkcja celu minimalizuje koszty przewozu. Pierwszym krokiem jest sprawdzenie, czy łączna podaż dostawców jest nie mniejsza niż łączny popyt odbiorców: 3 4 A i = B j = 200 Warunek jest spełniony z równością w takim wypadku mamy do czynienia z zamkniętym zagadnieniem transportowym (ZZT). Następnie należy zapisać powyższy problem decyzyjny za pomocą programu liniowego: Zmienne decyzyjne (jest dwanaście zmiennych decyzyjnych): x 1 1 wielkość przewozu mąki z pierwszego magazynu (M 1 ) do pierwszej piekarni (P 1 ) x 1 2 wielkość przewozu mąki z pierwszego magazynu (M 1 ) do drugiej piekarni (P 2 ) x 1 3 wielkość przewozu mąki z pierwszego magazynu (M 1 ) do trzeciej piekarni (P 3 ) x 3 4 wielkość przewozu mąki z trzeciego magazynu (M 3 ) do czwartej piekarni (P 4 )

6 Warunki ograniczające: Podażowe: x x x x 1 4 = 70 x x x x 2 4 = 50 x x x x 3 4 = 80 Popytowe: x x x 3 1 = 40 x x x 3 2 = 60 x x x 3 3 = 50 x x x 3 4 = 50 Trywialne (brzegowe): x 1 1, x 1 2, x 1 3,, x Funkcja celu: F(x 1 1, x 1 2, x 1 3,, x 3 4 ) = 50x x x x x x x x x x x x 3 4 MN

7 Po skonstruowaniu powyższego programu można go rozwiązać z wykorzystaniem pakietów optymalizacyjnych np. dodatku Solver, który znajduje się w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel W tym celu należy zaimplementować powyższy program do arkusza kalkulacyjnego. Przenosimy do arkusza poszczególne części programu: zmienne decyzyjne, warunki ograniczające, funkcję celu oraz tabelę z kosztami transportu.

8 Do konstrukcji funkcji celu wykorzystujemy tabelę z kosztami transportu:

9 Program rozwiązujemy z wykorzystaniem dodatku Solver. Należy pamiętać, że ograniczenia mają postać równości, ponieważ jest to zamknięte zagadnienie transportowe. Warunków ograniczających (popytowych i podażowych) jest razem siedem. Po zaimplementowaniu poszczególnych części zadania do dodatku Solver należy rozwiązań program.

10 wartości: Po rozwiązaniu programu zmienne decyzyjne i funkcja celu przyjęły następujące FCL = 8000, x 1 1 = 0, x 1 2 = 10, x 3 1 = 0, x 1 3 = 0, x 3 2 = 30, x 1 4 = 60, x 3 3 = 40, x 2 1 = 20, x 3 4 = 0 = 40, x 2 2 = 0, x 2 3 = 0, x 2 4 Odp1.: Z pierwszego magazynu należy przewieść 30 ton mąki do trzeciej piekarni oraz 40 ton mąki do czwartej piekarni. Z drugiego magazynu należy przewieść 40 ton mąki do pierwszej piekarni oraz 10 ton mąki do czwartej piekarni. Z trzeciego magazynu należy przewieść 60 ton mąki do drugiej piekarni oraz 20 ton mąki do trzeciej piekarni. Taki plan przewozu gwarantuje minimalne koszty transportu na poziomie 8000 zł.