Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Transkrypt

1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy np. Down Jones Industrial ompiluje 30 acji. Inny, na przyład dochodowy WIG, uwzględniający dywidendy, szacowany jest na podstawie notowań 99% wszystich uczestniczących na giełdzie spółe ([4] str. 388). Prognozy ilościowe (np. robione przy użyciu przedziałów ufności) uwzględniają: funcję trendu najczęściej liniową badanie losowości rozładu reszt i autoorelacji sładnia losowego (zwyle addytywnego). rend jest estrapolowany (liniowo, rzadziej inną funcją ciągłą), odejmowany od szeregu czasowego indesu giełdowego, a pozostała reszta tratowana ja stacjonarny proces stochastyczny [5], często sprowadzany do tzw. białego szumu:.. [ Y f ( t)] N [ O, σ ] gdzie f (t) funcja trendu oreślona na przedziale czasowym (dysretnym),.2. t [t t n t n + ] gdzie: t t n czas przeszły, t n chwila obecna, wyprzedzenie prognozy. N[O, ] rozład normalny o wartości oczeiwanej O i wariancji niezależnej od czasu. Y Y(t) szereg czasowy indesu giełdowego. Niezależna zmienna czasowa t zwyle zmienia się co jeden dzień. Najczęściej jedna prognozy ilościowe indesów giełdowych wyorzystują autoorelacje szeregu czasowego i budowane są w oparciu o modele wygładzania wyładniczego. W wielu przypadach dają one zadowalające wynii (na przyjętym poziomie ufności) np. [6]. W nietórych jedna stanowią niepotrzebne obciążenie, sprowadzające rzecz do prognozy naiwnej typu: jutro będzie to samo co dzisiaj (np. [3]; str. 36, przyład 3.7.2). W wyżej przytoczonym przyładzie współczynni α 0,6, w prostej metodzie Browna, jest źle dobrany (metodami Montecarlo?) Minimum funcji błędu: n.3. S( α) [ y t y t ( α)] 2 n t Praca opubliowana w Zeszytach Nauowych Wyższej Szoły Działalności Gospodarczej w Warszawie. Nr 5, 2005.

2 α [0, ]. Znaiem oznaczono wartość prognozowaną. osiągane jest na granicy przedziału, dla wartości α. Sprowadza to prognozę do modelu:.4. y yt t + W tym przypadu model wygładzania wyładniczego z jednym parametrem w ogóle nie powinien być stosowany. Najlepsze rezultaty prognostyczne otrzymuje się modelami autoregresyjnymi typu ARMA i ARIMA ([2], [6]), tóre uwzględniają na złożonym poziomie ufności ciąg opóźnień zmiennej losowej, w omawianym przypadu indesu giełdowego. Nasuwa się pytanie, czy modeli tych dobrze opracowanych eonometrycznie i znajdujących się w standardowych paietach programowych nie można by wyorzystać jeszcze efetywniej? Wydaje się, że ta ja iedyś zrobiono to ze światłem białym, rozładając je na widmo spetralne, można by coś podobnego zrobić z notowaniami paietu acji (a nawet wszystimi acjami np. 99%), na wybranym rynu finansowym. Niniejsza praca jest próbą taiego właśnie podejścia. Wyorzystuje szeregi czasowe notowań poszczególnych acji (np. wiodących), sorelowane ze sobą, siłą rzeczy, działania jednego rynu finansowego. Szeregi te są przeształcane na szeregi ortogonalne tzn. niezależne od siebie (niesorelowane). Do ażdego z tych syntetycznych szeregów, tórych może być stosunowo niewiele (np. 3, 4, ), można zastosować modele ARMA i ARIMA, albo nawet prostsze wygładzania wyładniczego a potem znowu przejść na zwyłe notowania giełdowe acji poszczególnych firm. W dalszej części przedstawiony zostanie model matematyczny taiej operacji, oparty na prostej algebrze liniowej uwzględniający wartości własne macierzy wadratowych. (Niestety, nie uwzględnia tego program nauczania matematyi na ierunach eonomicznych). Studenci ostatnich lat eonometrii nie powinni mieć trudności ze zrozumieniem modelu. 2. SZCZEGÓŁOWY MODEL MAEMAYCZNY Historyczne (przeszłe) notowania wybranego paietu acji (np. w zł) zestawiamy w postaci tablicy tworzącej prostoątną macierz o n olumnach (zmienna czasowa) i wierszach (zmienna indesująca spółi giełdowe). Macierz tą oznaczamy ja następuje 2.. X n n 2n n przy czym n > 2

3 gdzie ij cena acji i-tej firmy w j-tym dniu. W dalszym ciągu przeprowadzimy standaryzację zmiennych losowych. (Nie jest to jedna onieczne). Przeształcamy zmienną losową w nową zmienną y według wzoru 2.2. y ij ij i S i i, 2 j,2 n gdzie: i wartość średnia szeregu czasowego (j, 2, n) dla i-tej zmiennej; S i pierwiaste ze średniego wadratowego odchylenia dla tej samej zmiennej. Symbolicznie: X n Y n Dalej mamy: 2.3. Yn Y K [ ρi l] gdzie K jest wadratową i symetryczną macierzą orelacji zmiennych y i, ρ il współczynniiem orelacji pomiędzy zmiennymi y i i y l (i, l, 2 ). Symbolem oznaczono transpozycję macierzy. Jest oczywiście: ρ ii ; ρ il ρ li Własności funcji własnych pozwalają na utworzenie następującego równania macierzowego (np. [] str. 46). 2.4a. K R λ R lub 2.4b. R K R λ Wyładniiem oznaczono macierz odwrotną do danej macierzy wadratowej, gdzie: R macierz wetorów własnych; λ diagonalna macierz wartości własnych macierzy wadratowej K. Oreślimy teraz nowe szeregi czasowe posługując się operacją: 2.5. n AYn gdzie A jest pewną macierzą (operatorem) przeształcenia, chwilową nieznaną. Dla macierzy wadratowej i symetrycznej jaą jest np. macierz współczynniów orelacji wetory własne są ortogonalne tzn. spełnione jest równanie: 2.6. R R I lub R R I 3

4 gdzie: I jest diagonalną macierzą jednostową. Wynia to natychmiast ze wzoru 2.4b. jest bowiem: K K i dalej (R K R) λ R (R K) λ R K(R ) λ a stąd R R co jest waruniem ortogonalności. Dalej doprowadzimy do sytuacji, w tórej szeregi czasowe n byłyby niezależne liniowo (niesorelowane) czyli aby spełniona była zależność: 2.7. n I W dalszym ciągu do równania 2.7 wstawiamy zależność 2.5, biorąc również pod uwagę, że: n ny A (transpozycja prawej strony zależności 2.5) Otrzymuje się: 2.8. A Yn Y A I Korzystając dalej ze wzorów 2.3. i 2.4 z równania 2.8 otrzymuje się: 2.9. A R λ R A I Jeżeli za niewiadomą macierz A (operator przeształcenia) przyjmiemy: A λ R 2 gdzie λ jest diagonalną macierzą odwrotności pierwiastów z wartości własnych λ i ; i, 2 Jest również: A R λ (transpozycja prawej strony zależności 2.0) bo dla macierzy diagonalnych mamy: 4

5 ( λ 2 ) 2 λ Ostatecznie po podstawieniu do równania 2.9 zależności 2.0 i 2., otrzymuje się: 2.2. λ 2 R R λ R R λ 2 I oraz dalej (po wyonaniu działań na lewej stronie 2.2, z uwzględnieniem 2.6) I I co dowodzi, że macierz oreślona wzorem ogólnym 2.0 jest rozwiązaniem równania 2.8. Równanie 2.5 może być również rozwiązane względem Y n 2.3. Yn A n Aby znaleźć elementy macierzy A zauważymy, że równanie 2.4b można przeształcić następująco: 2.4. K R R λ 0 (mnożąc prawostronnie przez R ) co prowadzi do uładu równań jednorodnych pierwszego stopnia względem współczynniów r j : 2.5. ( ij λ δij ) r j j 0 gdzie δ ij funcja Kroneera (δ ij dla i j δ ij 0 dla i j); ij, 2 pozwalających na obliczenie współczynniów r j zależnych od stałych parametrów. Parametry te można obliczyć z warunu ortogonalności 2.6. R R I Jest to uład równań 2-go stopnia względem współczynniów r j i do dalszych obliczeń można wyorzystać jedynie przeątną główną. 3. OGRANICZENIE MODELU Ja wynia z tou rozumowania przytoczonego w rozdziale 2, onieczne jest spełnienie następujących warunów: 3.. Wielomian charaterystyczny macierzy orelacji powinien posiadać różnych pierwiastów, stanowiących zbiór wartości własnych: λ, λ 2 λ 5

6 3.2. Wszystie wartości własne muszą być dodatnie, co bezpośrednio wynia ze wzoru 2.0, rozdziału 2. Być może metodę tę można będzie zastosować w dziedzinie liczb zespolonych, bo przeształcenie odwrotne (wzór 2.3 rozdział 2) zapewni powrót do liczb rzeczywistych. W tym przypadu pozostałoby jedynie -sze ograniczenie. 4. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Pomijając same szeregi czasowe, jao rzecz szeroo omówioną w najnowszej literaturze przedmiotu (np. [2], [4], [6]), przyjmiemy dla 3 następującą macierz orelacji: 4.. 3K 3 0,5 0,3 0,5 0,7 0,3 0,7 z wielomianu charaterystycznego 4.2. ( λ) 3 0,83( λ) + 0,2 0 Otrzymuje się następujące wartości własne λ 0,26264 λ 2 0, λ 3 2,07983 są zatem spełnione waruni 3. i 3.2 z rozdziału 3. Macierz wetorów własnych oznaczmy ja następuje 4.4. a 3R 3 d g b e h c f i Rozwiązanie uładu 9-ciu równań jednorodnych 2.5, po eliminacji trzech równań jao liniowo zależnych, daje wartości tej macierzy: ,434 α 3R 3,2438α α,54764β 0,26435β β,09246γ,097036γ γ Elementy tej macierzy zależą od trzech dowolnych parametrów: α; β i γ. Z trzech równań dla przeątnej głównej z zależności 2.6 otrzymuje się jedna: 6

7 4.6. zero: α ± 0, β ± 0, γ ± 0, Sprawdzamy jeszcze równanie dla elementu i 2 (2.6), tóry powinien być równy αβ ( 0,434,54764,2438 0, ) 2,84 0 Zatem postulat ten jest spełniony z doładnością do 5-go rzędu. Ostatecznie z zależności 2.0 macierz (operator) przeształcenia trzech szeregów czasowych w szeregi liniowo niezależne przedstawia się następująco: A 3 3 λ 2 3 R 3 0, , , ,420 0, ,537209, , , , , , Macierz (operator) przeształcenia odwrotnego wzór 2.3 oreśla wzór: A 3 0, ,738 0, , ,270477, ,4364 0, , UWAGI KOŃCOWE Przy dzisiejszym rozwoju techni obliczeniowych, przedstawiony wyżej model, nawet dla dużej liczby acji i długich szeregów czasowych, nie przedstawia więszych problemów rachunowych. Wyorzystuje on informacje historyczne jaie zawierają powiązania pomiędzy spółami emitującymi acje na tej samej giełdzie. Można go również potratować jao deompozycję -wymiarowego szeregu czasowego na sładowe syntetyczne. Czy przedstawiona metoda wnosi coś nowego, pomocnego przy prognozowaniu notowań acji? O tym można się będzie przeonać po przeprowadzeniu obliczeń na ilunastu przebiegach rzeczywistych. Jest to oczywiście zadanie wymagające zaangażowania pewnych środów, np. z K.B.N. 7

8 Wzory 2.5 i w onsewencji 2.3 mogą zostać ograniczone do ilu np. 5 6 wetorów własnych w ooło 90% wyjaśniających całowitą zmienność losową. Wydaje się również, że możliwe byłoby wyorzystanie tej metody do ontroli notowań acji spółe podejrzewanych o złamanie przepisów Komisji Papierów Wartościowych. LIERAURA [] Becenbach E. F.: Nowoczesna matematya dla inżynierów. Warszawa, PWN 962. [2] Kufel. (redacja): Analiza szeregów czasowych na początu XXI wieu. oruń, U.M.K [3] Malinowsi A., arapata Z.: Prognozowanie i symulacja rozwoju przedsiębiorstw. Warszawa, Wyższa Szoła Eonomiczna [4] Paradysz J.: Statystya. Wydawnictwo Aademii Eonomicznej w Poznaniu [5] Rozanow J.A.: Wstęp do teorii procesów stochastycznych. Warszawa, PWN 974. [6] Zelias A.: Prognozowanie eonomiczne. eoria, przyłady, zadania. Warszawa, PWN Autor słada podzięowanie profesorowi Stanisławowi Dembińsiemu z U.M.K. za sonsultowanie pracy i uwagi rytyczne. P.S. wrzesień, Przedstawiona praca jest adaptacją metody, tórą iedyś autor zastosował w badaniach zanieczyszczenia powietrza atmosferycznego. Metoda ta i jej numeryczne rozwinięcie (na maszynie cyfrowej ODRA) zostało dobrze ocenione przez prof. dr Jamesa L. McElroya z U.S.A. (zał. ; page 3, rozd. 9; page 5, p-t 4.5) 8