Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Transkrypt

1 GRY (część 1)

2

3 Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy - wybór strategii postępowania przedwyborczego przez konkurujących ze sobą polityków - analiza strategicznych konfliktów międzynarodowych - problem wspólnego pastwiska (problem of commons) - problem gazeciarza 3

4 Założenia: - każdy z graczy dysponuje pewną ilością strategii - każdy z graczy zna możliwe strategie przeciwnika - gracze podejmują decyzje równocześnie i niezależnie * - żaden z graczy nie wie, którą strategię wybierze przeciwnik - gracze postępują ostrożnie i zakładają, że przeciwnik postępuje racjonalnie 4

5 Rozwiązanie gry: - określenie optymalnych strategii dla każdego z graczy 5

6 ad. założenie *: Gry dwuosobowe o sumie zero gracze podejmują decyzję równocześnie i niezależnie skutki jednoczesnego zastosowania przez graczy swoich strategii opisuje tzw. macierz wypłat Interpretacja macierzy wypłat: macierz korzyści Gracza 1. i macierz strat Gracza 2. Gracz 1. maksymalizuje wygraną Gracz 2. minimalizuje przegraną 6

7 Przykład 6. Gry dwuosobowe o sumie zero Sztaby wyborcze dwóch polityków, kandydujących do senatu spodziewają się, że decydujący wpływ na wynik kampanii mogą mieć jej dwa ostatnie dni. Obaj politycy zdają sobie sprawę, że kluczową rolę w wyborach mogą odegrać głosy mieszkańców dwóch dużych miast: X i Y. Każdy z polityków może wybrać jedną z trzech strategii postępowania: - spędzić dwa dni w mieście X - spędzić dwa dni w mieście Y - spędzić jeden dzień w mieście X i jeden w mieście Y Sztab wyborczy Polityka 1. przygotował prognozy przyrostu głosów na Polityka 1. kosztem Polityka 2. w zależności od wybranych przez nich strategii. 7

8 Przyrost głosów na Polityka 1., kosztem Polityka 2. Polityk 1. Polityk 2. ( w tys. głosów) XX XX -50 XX YY -30 XX XY 40 YY XX 20 YY YY -10 YY XY 20 XY XX 50 XY YY 10 XY XY 20 Tabela

9 Na podstawie tablicy prognoz, zbudować macierz wypłat. Polityk 1. Gracz 1. Polityk 2. Gracz 2. XX strategia 1. YY strategia 2. XY strategia 3. 9

10 Polityk 2. strategie XX YY XY XX Polityk 1. YY XY Tabela

11 Gracz 2. strategie Gracz Tabela

12 Przykład 7. Gry dwuosobowe o sumie zero Dwa koncerny samochodowe konkurują ze sobą na rynku pewnego kraju. Koncern A rozważa uruchomienie w lokalnej fabryce jednego z czterech modeli samochodów. Koncern B natomiast jednego z pięciu modeli samochodów. W macierzy wypłat przedstawiono zyski koncernu A (straty koncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, w zależności od decyzji podjętych przez koncerny. Należy podjąć decyzję o rodzaju produkcji, będąc dyrektorem koncernu A. Koncern A Gracz 1. Koncern B Gracz 2. 12

13 Gracz 2. strategie Gracz Tabela

14 I. ETAP: REDUKCJA MACIERZY WYPŁAT Poszukiwanie strategii zdominowanych a ij element macierzy wypłat i = 1...m j = 1...n m ilość strategii Gracza 1. (ilość wierszy) n ilość strategii Gracza 2. (ilość kolumn) 14

15 Poszukiwanie strategii zdominowanych dla Gracza 1. Porównujemy parami strategie Gracza 1. Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek: a a j = 1... n zj dj oraz co najmniej raz jest on spełniony ostro, to strategia z jest zdominowana przez strategię d. (strategia d to strategia dominująca strategię z) 15

16 Strategie 1 i 2: Gry dwuosobowe o sumie zero Tabela 7.2.a. Warunek dominacji nie jest spełniony Strategie 1 i 3: Tabela 7.2.b. Warunek dominacji nie jest spełniony 16

17 Strategie 1 i 4: Tabela 7.2.c Warunek dominacji nie jest spełniony Strategie 2 i 3: Tabela 7.2.d. Warunek dominacji nie jest spełniony 17

18 Strategie 2 i 4: Tabela 7.2.e Warunek dominacji jest spełniony Strategia 4. zdominowana Strategia 2. - dominująca Z macierzy wypłat usuwamy strategię 4. Gracza 1. Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 1. Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 1. 18

19 Gracz 2. strategie Gracz Tabela

20 Poszukiwanie strategii zdominowanych dla Gracza 2. Porównujemy parami strategie Gracza 2. Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek: a a i = 1... m iz id oraz co najmniej raz jest on spełniony ostro, to strategia d jest zdominowana przez strategię z. (strategia z to strategia dominująca strategię d) 20

21 Strategie 1 i 2: Strategie 1 i 3: Tabela 7.4.a. Warunek dominacji nie jest spełniony Tabela 7.4.b. Warunek dominacji nie jest spełniony 21

22 Strategie 1 i 4: Strategie 1 i 5: Tabela 7.4.c. Warunek dominacji nie jest spełniony Tabela 7.4.d. Warunek dominacji nie jest spełniony 22

23 Strategie 2 i 3: Strategie 2 i 4: Tabela 7.4.e. Warunek dominacji nie jest spełniony Tabela 7.4.f. Warunek dominacji jest spełniony 23

24 Strategia 2. zdominowana Strategia 4. - dominująca Z macierzy wypłat usuwamy strategię 2. Gracza 2. 24

25 Strategie 3 i 4: Strategie 3 i 5: Tabela 7.4.g. Warunek dominacji nie jest spełniony Tabela 7.4.h. Warunek dominacji jest spełniony 25

26 Strategia 5. zdominowana Strategia 3. - dominująca Z macierzy wypłat usuwamy strategię 5. Gracza 2. 26

27 Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 2. Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 2. 27

28 Gracz 2. strategie Gracz Tabela

29 Zmieniła się ilość strategii dla Gracza 2. Ponownie poszukujemy strategii zdominowanych dla Gracza 1. 29

30 Strategie 1 i 2: Gry dwuosobowe o sumie zero Tabela 7.6.a. Warunek dominacji nie jest spełniony Strategie 1 i 3: Tabela 7.6.b. Warunek dominacji nie jest spełniony 30

31 Strategie 2 i 3: Gry dwuosobowe o sumie zero Tabela 7.6.c. Warunek dominacji nie jest spełniony 31

32 Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 1. Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 1. Nie zmieniła się ilość strategii dla Gracza 1. Nie poszukujemy strategii zdominowanych dla Gracza 2. 32

33 Uwaga!!! W przypadku wyeliminowania strategii Gracza 1., należy ponownie sprawdzić strategie dla Gracza 2. itd... 33

34 II. ETAP: POSZUKIWANIE PUNKTU SIODŁOWEGO Gry dwuosobowe o sumie zero - dla każdego wiersza znajdujemy wartość minimalną - dla każdej kolumny znajdujemy wartość maksymalną 34

35 Gracz 2. strategie min a ij j Gracz max a ij i Tabela

36 - dla wyznaczonych minimalnych wartości z wierszy określamy wartość maksymalną: max(min a ) = max(10,70,0) = 70 i j ij - dla wyznaczonych maksymalnych wartości z kolumn określamy wartość minimalną: min(max a ) = min(200,100,80) = 80 j i ij 36

37 Punkt siodłowy istnieje, gdy spełniony jest warunek: max(min a ) = min(max a ) i j ij j i ij 37

38 W tym przykładzie warunek istnienia punktu siodłowego nie jest spełniony Stwierdzamy brak rozwiązania w zbiorze strategii czystych Szukamy rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych 38

39 III. ETAP: DEFINICJA ZADAŃ PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Macierz wypłat: A = A T =

40 Gracz 1. będzie stosował: Strategię 1. z częstością (prawdopodobieństwem) p 1 Strategię 2. z częstością (prawdopodobieństwem) p 2 Strategię 3. z częstością (prawdopodobieństwem) p 3 (dla wyeliminowanej strategii 4. p 4 = 0) v wartość gry 40

41 Na podstawie transponowanej macierzy wypłat: Gry dwuosobowe o sumie zero - wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będzie stosował strategię 1: 200 p + 70 p + 80 p = v wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będzie stosował strategię 3: 10 p p + 0 p = v wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będzie stosował strategię 4: 30 p + 80 p + 80 p = v

42 Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania wszystkich strategii musi być równa 1: p1 + p2 + p3 = 1 4 Strategia optymalna, przy dowolnym postępowaniu Gracza 2. powinna zapewnić Graczowi 1. wygraną nie mniejszą niż wartość gry v. 42

43 Czyli ograniczenia przyjmują postać: 200 p + 70 p + 80 p v p p + 0 p v p + 80 p + 80 p v oraz: p1 + p2 + p3 =

44 Gracz 1. dąży do maksymalizacji swojej wygranej. Funkcja celu: v MAX 5 44

45 v jest wartością nieznaną Gry dwuosobowe o sumie zero Rozwiązanie zadania programowania liniowego jest niemożliwe Aby się uniezależnić od wartości v: - układ ograniczeń dzielimy obustronnie przez v - podstawiamy: x i = p v i 45

46 200x + 70x + 80x x x + 0 x x + 80x + 80x

47 Korzystając z 4: x + x + x = v Otrzymujemy funkcję celu: v MAX 5 1 x1 + x2 + x3 = MIN 5 v 47

48 Model matematyczny: 1 x1 + x2 + x3 = MIN 5 v 200x + 70x + 80x x x + 0 x x + 80x + 80x Gry dwuosobowe o sumie zero x, x, x

49 Gracz 2. będzie stosował: Strategię 1. z częstością (prawdopodobieństwem) q 1 Strategię 3. z częstością (prawdopodobieństwem) q 3 Strategię 4. z częstością (prawdopodobieństwem) q 4 49

50 Na podstawie macierzy wypłat: - przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będzie stosował strategię 1: 200q + 10q + 30q = v przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będzie stosował strategię 2: 70q + 100q + 80q = v przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będzie stosował strategię 3: 80q + 0q + 80q = v

51 Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania wszystkich strategii musi być równa 1: q1 + q3 + q4 = 1 4 Strategia optymalna, przy dowolnym postępowaniu Gracza 1. powinna zapewnić Graczowi 2. przegraną nie większą niż wartość gry v. 51

52 Czyli ograniczenia przyjmują postać: 200q + 10q + 30q v q + 100q + 80q v q + 0q + 80q v oraz: q1 + q3 + q4 =

53 Gracz 2. dąży do minimalizacji swojej przegranej. Funkcja celu: v M IN 5 53

54 Aby się uniezależnić od wartości v: - układ ograniczeń dzielimy obustronnie przez v - podstawiamy: y j = q v j 54

55 200y + 10y + 30y y y + 80 y y + 0y + 80y

56 Korzystając z 4: y + y + y = v Otrzymujemy funkcję celu: v MIN 5 1 y1 + y3 + y4 = MAX 5 v 56

57 Model matematyczny: 1 y1 + y3 + y4 = M AX 5 v 200y + 10y + 30y y y + 80 y y + 0y + 80y Gry dwuosobowe o sumie zero y, y, y

58 IV. ETAP: ROZWIĄZANIE Rozwiązanie zadania programowania liniowego dla Gracza 1.: x = x = x = Rozwiązanie zadania programowania liniowego dla Gracza 2.: y = y = y =

59 Obliczenie wartości gry v. FC : x + x + x = Gracz 1.: v v = 1 1 x + x + x = = FC : y + y + y = Gracz 2.: v v = 1 1 y + y + y = =

60 Obliczenie częstości stosowania strategii. Gry dwuosobowe o sumie zero Gracz 1.: p1 = x1 v = p2 = x2 v = p3 = x3 v = Gracz 2.: q1 = y1 v = q3 = y3 v = q4 = y4 v =

61 Gracz 2. strategie p i Gracz q j Tabela

62 Wartość gry v = Wartość gry zawsze mieści się w przedziale: ( ) max(min a ), min(max a ) ij ij i j j i Tutaj: v ( 70,80) 62

63 Przykład 8. Gry dwuosobowe o sumie zero Dana jest następująca macierz wypłat: Gracz 2. strategie Gracz Tabela

64 Gracz 2. strategie min a ij j Gracz max a ij i Tabela

65 max(min a ) = 540 min(max a ) = 540 i j ij j i ij Punkt siodłowy istnieje Stwierdzamy, że istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych 65

66 Wartość gry: v = 540 Gracz 1. powinien stosować strategię 3. Gracz 2. powinien stosować strategię 3. 66

67 Przykład 9. Dana jest macierz wypłat: Gracz 2. Gry dwuosobowe o sumie zero strategie Gracz Tabela

68 Gracz 2. strategie min a ij j Gracz max a ij i Tabela

69 max(min a ) = 1 min(max a ) = 2 i j ij j i ij Wartość gry: v ( 1,2) W przypadku, gdy nie wiadomo, czy v jest liczbą dodatnią czy ujemną należy przekształcić macierz wypłat. 69

70 Znajdujemy w macierzy wypłat element najmniejszy: a 11 = 2 Do każdego elementu macierzy wypłat dodajemy wartość bezwzględną tego elementu, czyli 2. 70

71 Gracz 2. strategie Gracz Tabela

72 Gracz 2. strategie min a ij j Gracz max a ij i Tabela

73 Po rozwiązaniu gry, o wartość bezwzględną z elementu najmniejszego należy zmniejszyć v, aby otrzymać rzeczywistą wartość gry. 73