Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe."

Transkrypt

1 Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1

2 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana została przez G.B.Dantziga i jest szczególnym przypadkiem algorytmu sympleks. Pierwotnie zagadnienie transportowe było rzeczywiście stosowane do rozwiązywania problemów związanych z transportem, później okazało się, że stosuje się do wielu innych zagadnień praktycznych. Najbardziej znane warianty zagadnienia transportowego to: 1. zagadnienie transportowe (zamknięte i otwarte) 2. zagadnienie transportowo-produkcyjne 3. zagadnienie lokalizacji produkcji 4. zagadnienie minimalizacji pustych przebiegów Pewien produkt dostarczany jest przez m dostawców do n odbiorców. Znane są liczby a i, i N 1,m oznaczające ilość produktu jaką może dostarczyć i-ty dostawca, b j, j N 1,n oznaczające ilość produktu jaką powinien otrzymać j-ty odbiorca oraz c ij, i N 1,m, j N 1,n oznaczające koszt transportu jednostki produktu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Zatem C = [c ij ] M m,n. Macierz C nazywana jest macierzą jednostkowych kosztów transportu. Niech x ij, i N 1,m, j N 1,n oznacza ilość produktu jaka ma być przewieziona od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Zatem X = [x ij ] M m,n. Macierz X jest macierzą zmiennych decyzyjnych. Zadanie. Opracować plan przewozu produktu, tak aby łączny koszt transportu był jak najmniejszy. 1 Zagadnienie transportowe zamknięte Przyjmijmy dodatkowe założenie, że m n a i = b j. Warunek ten oznacza, że podaż i popyt się równoważą. Innymi słowy cały zgromadzony towar zostanie wywieziony do odbiorców. Mówimy wtedy, że zadanie jest zamknięte lub zbilansowane. Przy powyższych oznaczeniach i założeniach zagadnienie transportowe zamknięte przyjmuje postać: zminimalizować funkcjonał m n c ij x ij, (1) przy warunkach n x ij = a i (i = 1,..., m), (2) j=1 m x ij = b j (j = 1,..., n), (3) i=1 x ij 0 (i = 1,..., m ; j = 1,..., n). (4) Warunki (2) nazywamy ograniczeniami dla dostawców, a warunki (3) - ograniczeniami dla odbiorców. Funkcjonał (1) nazywamy funkcją kosztu. 2

3 2 Zagadnienie transportowe otwarte Przyjmijmy teraz założenie, że m n a i > b j. Mówimy wtedy, że zadanie jest otwarte lub niezbilansowane. Założenie oznacza, że nie cały towar zostanie rozwieziony do odbiorców. Przy powyższych oznaczeniach i założeniach zagadnienie transportowe otwarte przyjmuje postać: zminimalizować funkcjonał m n c ij x ij, (5) przy warunkach n x ij a i (i = 1,..., m), (6) j=1 m x ij = b j (j = 1,..., n), (7) i=1 x ij 0 (i = 1,..., m ; j = 1,..., n). (8) Zagadnienie transportowe otwarte sprowadzamy do zagadnienia zamkniętego wprowadzając zmienne dodatkowe x in+1, i = 1,..., m interpretowane jako ilości towaru odebranego przez fikcyjnego odbiorcę, faktycznie zaś nie odebranego przez nikogo. Przyjmujemy, że dla każdego i = 1,..., m zachodzi n x i,n+1 = a i x ij. Ostatecznie otrzymujemy zagadnienie postaci: m n+1 j=1 c ij x ij, (9) przy warunkach n+1 j=1 x ij = a i (i = 1,..., m), (10) m x ij = b j (j = 1,..., n + 1), (11) i=1 x ij 0 (i = 1,..., m ; j = 1,..., n + 1). (12) 3 Zagadnienie transportowe a problem programowania liniowego Macierze problemu PL zapiszmy wykorzystując wielkości występujące w zagadnieniu transportowym: x = [ x x 1n x x 2n... x m1... x mn ] T, (13) c = [ c c 1n c c 2n... c m1... c mn ], (14) 3

4 b = [ ] T a 1... a m b 1... b n, (15) A = (16) Zatem x M mn,1, c M 1,mn, b M m+n,1, A M m+n,mn. Zauważmy, że m n cx = c ij x ij oznacza wartość funkcji kosztu. Z kolei równanie macierzowe Ax = b generuje m + n równań skalarnych postaci: oraz x x 1n = a 1... (17) x m x mn = a m x x m1 = b 1... (18) x 1n x mn = b n. Oznacza to, że zagadnienie transportowe można sprowadzić do problemu programowania liniowego. Na podstawie informacji dotyczących tego problemu wiadomo, że do jego rozwiązania można użyć algorytmu sympleks. Zachowują ważność wszystkie teoretyczne faktu leżące u podstaw tego algorytmu. Warto zwrócić uwagę na fakt, że nawet niezbyt rozbudowany problem transportowy prowadzi do dużych macierzy występujących w algorytmie sympleks. I tak na przykład, jeśli jest 3 odbiorców i 4 dostawców, to macierz A ma wymiar Co za tym idzie wielościany wypukłe (sympleksy) mają bardzo dużą ilość wierzchołków. Opracowano więc na podstawie algorytmu sympleks bardzo efektywny algorytm rozwiązywania zagadnień transportowych, zwany algorytmem transportowym. Zauważmy ponadto, że sumując równania (17)-(18) otrzymamy, przy wykorzystaniu założenia m i=1 a i = n j=1 b j, tożsamość 0 = 0. Oznacza to, że rząd macierzy A nie przekracza n + m 1. Mozna wykazać, że jest dokładnie równy tej liczbie. 4 Algorytm transportowy Przed podaniem dokładnego algorytmu transportowego potrzebne będą pewne pojęcia pomocnicze. 4

5 Niech dana będzie macierz M M mn. Parę (i, j), i N 1,m, j N 1,n nazywamy węzłem. Dowolny wiersz lub dowolną kolumnę macierzy M nazywamy linią. Cyklem nazywamy niepusty zbiór węzłów taki, że w każdej linii znajduje się 0 lub 2 węzły tego zbioru. Przykład. Niech M M 34. Przykładowymi cyklami w tej macierzy są zbiory: {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} oraz {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 1)}. Półcyklem danego cyklu nazywamy podzbiór węzłów cyklu składający się z połowy węzłów tego cyklu taki, że w każdej linii znajduje się co najwyżej jeden węzeł tego podzbioru. Każdy cykl Γ można podzielić na dwa półcykle Γ 1 i Γ 2 w ten sposób, że dowolny jeden węzeł zaliczamy do Γ 1 a następny węzeł cyklu Γ znajdujący się w tej samej linii co węzeł zaliczony do Γ 1 zaliczamy do Γ 2. Procedurę powtarzamy do wyczerpania nieprzypisanych węzłów. Przykład. Dla M M 34 i cyklu {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 1)} mamy dwa półcykle: {(1, 1), (2, 3), (3, 4)} oraz {(1, 3), (2, 4), (3, 1)}. Rolę wskaźnika optymalności w algorytmie transportowym pełni zerowa macierz równoważna macierzy kosztów c. Zerową macierzą równoważną macierzy kosztów c względem zbioru bazowego B nazywamy macierz c B = [(c B ) ij ] określoną wzorami (c B ) ij = c ij + u i + v j (i = 1,..., m ; j = 1,..., n + 1) (c B ) ij = c ij + u i + v j = 0 dla (i, j) B, gdzie u 1,..., u m, v 1,..., v n oznaczają odpowiednie stałe. Schemat algorytmu transportowego 1. Wyznaczamy zbiór bazowy B oraz początkowe rozwiązanie dopuszczalne X[B]. 2. Wyznaczamy zerową macierz c B = [(c B ) ij ] równoważną macierzy kosztów c względem zbioru bazowego B: dla jednej z niewiadomych u 1,..., u m, v 1,..., v n przyjmujemy dowolną wartość (np 0), pozostałe niewiadome wyznaczamy z układu równań wyznaczamy c ij + u i + v j = 0 dla (i, j) B, (c B ) ij = c ij + u i + v j (i = 1,..., m ; j = 1,..., n + 1). 3. Jeśli c B 0, to rozwiązanie X[B] jest optymalne. koniec działania algorytmu! 4. Wyznaczamy nowy zbiór bazowy i odpowiadające mu rozwiązanie dopuszczalne: wyznaczamy węzeł (k, l) spełniający kryterium wejścia (c B ) kl = min{(c B ) ij : (i, j) B}, znajdujemy cykl Γ zawarty w zbiorze B {(k, l)} i dzielimy go na dwa półcykle Γ 1 i Γ 2, zaliczając (k, l) do Γ 1, wyznaczamy węzeł (p, q) półcyklu Γ 2 spełniający kryterium wyjścia x[b] pq = min{x[b] ij : (i, j) Γ 2 }, 5

6 tworzymy zbiór B = (B \ {(p, q)}) {(k, l)}, wyznaczamy x[b ] ze wzoru x[b] ij + x[b] pq dla (ij) Γ 1 x[b ] ij = x[b] ij x[b] pq dla (ij) Γ 2 x[b] ij dla (ij) / Γ. 5. Przechodzimy do punktu 2. Uwaga. Do wyznaczenia rozwiązania początkowego można zastosować jedną z metod: 1. metoda kąta północno-zachodniego, 2. metoda elementu minimalnego macierzy. W obu metodach wybieramy do bazy B węzły (i, j) i przypisujemy elementom x ij macierzy X maksymalną dopuszczalną, dodatnią ilość transportowanego produktu, tak by przy tym spełnione były ograniczenia zarówno dla dostawców jak i odbiorców. W metodzie kąta północno-zachodniego wybieramy węzeł o najmniejszych indeksach i oraz j. W metodzie elementu minimalnego macierzy wybieramy węzeł (i, j), dla którego koszt transportu jest najmniejszy. Uwaga. Przypomnijmy, że w niezdegenerowanym problemie programowania liniowego metoda sympleks kończy się w skończonej liczbie iteracji. Zatem to samo dotyczy algorytmu transportowego. Mówimy, że zagadnienie transportowe jest niezdegenerowane, jeśli każde jego bazowe rozwiązanie dopuszczalne jest niezdegenerowane, tzn. x[b] ij > 0 dla każdego (i, j) B. 5 Przykłady zastosowań algorytmu transportowego Zadanie 1 Trzy magazyny M 1, M 2, M 3 zaopatrują w mąkę cztery piekarnie P 1, P 2, P 3, P 4. Koszty transportu (w zł za tonę) a ij oraz ilość oferowanej mąki przez poszczególne magazyny A i i zapotrzebowanie poszczególnych piekarń B j podaje tabela: M M M B j Opracować plan przewozu mąki z magazynów do piekarń, tak aby łączny koszt transportu był jak najmniejszy. Rozwiązanie 3 4 A i = B j zagadnienie transportowe zamknięte zmienne decyzyjne x ij - ilość ton mąki, którą trzeba przewieźć z i-tego magazynu do j-tej piekarni ograniczenia dla dostawców: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 70 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 50 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 80 6

7 ograniczenia dla odbiorców: x 11 + x 21 + x 31 = 40 x 12 + x 22 + x 32 = 60 x 13 + x 23 + x 33 = 50 x 14 + x 24 + x 34 = 50 warunki brzegowe: x ij 0 funkcja celu: 3 4 K(x ij ) = a ij x ij min Wyznaczenie rozwiązania początkowego metodą kąta północno-zachodniego M M M B j M M M B j K(x ij ) = = Wyznaczenie rozwiązania początkowego metodą elementu minimalnego macierzy M M M B j M M M B j K(x ij ) = = 8500 Wyznaczenie rozwiązania optymalnego - algorytm transportowy I. Wyznaczamy zbiór bazowy B oraz początkowe rozwiązanie dopuszczalne X[B]: B = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} X[B] =

8 Wyznaczamy zerową macierz c B równoważną macierzy kosztów c względem zbioru bazowego B: Z układu równań 40 + u 1 + v 2 = u 1 + v 4 = u 2 + v 1 = u 2 + v 3 = u 3 + v 2 = u 3 + v 3 = 0 przyjmując u 1 = 0, otrzymujemy Stąd u 1 = 0, u 2 = 0, u 3 = 0, v 1 = 40, v 2 = 40, v 3 = 70, v 4 = c[b] = Ponieważ niespełniony jest warunek c[b] 0, więc rozwiązanie nie jest optymalne. Z kryterium wejścia do bazy wchodzi (k, l) = (1, 3). W zbiorze B {(k, l)} tworzymy cykl Γ i półcykle Γ 1 oraz Γ 2 : Ponieważ więc z bazy wychodzi węzeł Γ = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3)}, Γ 1 = {(1, 3), (3, 2)}, Γ 2 = {(1, 2), (3, 3)}. min{x[b] ij : (i, j) Γ 2 } = 20 = x[b] 12 (p, q) = (1, 2). II. Wyznaczamy nowy zbiór bazowy B oraz początkowe rozwiązanie dopuszczalne X[B ]: B = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} X[B ] = Wyznaczamy zerową macierz c B równoważną macierzy kosztów c względem zbioru bazowego B : Z układu równań 50 + u 1 + v 3 = u 1 + v 4 = u 2 + v 1 = u 2 + v 3 = u 3 + v 2 = u 3 + v 3 = 0 8

9 przyjmując u 1 = 0, otrzymujemy Stąd u 1 = 0, u 2 = 20, u 3 = 20, v 1 = 20, v 2 = 20, v 3 = 50, v 4 = c[b ] = Ponieważ niespełniony jest warunek c[b ] 0, więc rozwiązanie nie jest optymalne. Z kryterium wejścia do bazy wchodzi (k, l) = (2, 4). W zbiorze B {(k, l)} tworzymy cykl Γ i półcykle Γ 1 oraz Γ 2 : Ponieważ więc z bazy wychodzi węzeł Γ = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}, Γ 1 = {(2, 4), (1, 3)}, Γ 2 = {(1, 4), (2, 3)}. min{x[b ] ij : (i, j) Γ 2 } = 10 = x[b ] 23 (p, q) = (2, 3). III. Wyznaczamy nowy zbiór bazowy B oraz początkowe rozwiązanie dopuszczalne X[B ]: B = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 2), (3, 3)} X[B ] = Wyznaczamy zerową macierz c B równoważną macierzy kosztów c względem zbioru bazowego B : Z układu równań 50 + u 1 + v 3 = u 1 + v 4 = u 2 + v 1 = u 2 + v 4 = u 3 + v 2 = u 3 + v 3 = 0 przyjmując u 1 = 0, otrzymujemy Stąd u 1 = 0, u 2 = 10, u 3 = 20, v 1 = 20, v 2 = 20, v 3 = 50, v 4 = c[b ] = Ponieważ spełniony jest warunek c[b ] 0, więc rozwiązanie jest optymalne. 9

10 M M M B j M M M B j K(x ij ) = = 8000 Zadanie 2 Trzy magazyny M 1, M 2, M 3 zaopatrują w mąkę cztery piekarnie P 1, P 2, P 3, P 4. Koszty transportu (w zł za tonę) a ij oraz ilość oferowanej mąki przez poszczególne magazyny A i i zapotrzebowanie poszczególnych piekarń B j podaje tabela: M M M B j Przyjmijmy ponadto, że koszty magazynowania wynoszą odpowiednio dla poszczególnych magazynów: 5 zł, 5 zł, 6 zł za tonę. Opracować plan przewozu mąki z magazynów do piekarń, tak aby łączny koszt transportu był jak najmniejszy. Uwaga. Jest to modyfikacja zadania 1 polegająca na tym, że magazyn M 1 posiada nie 70, a 100 ton mąki. Jest więc nadwyżka podaży w stosunku do popytu. Rozwiązanie 3 4 A i = 230 > B j = 200 zagadnienie transportowe otwarte i=1 j=1 Ponieważ jest nadwyżka podaży w stosunku do popytu, to pewna ilość towaru zostanie w magazynie. W celu zrównoważenia zadania wprowadzamy fikcyjnego odbiorcę F. Fikcyjny odbiorca otrzyma nadwyżkę mąki, czyli = 30 ton. Po wprowadzeniu dodatkowego odbiorcy zadanie staje się zamkniętym zagadnieniem transportowym. zmienne decyzyjne x ij - ilość ton mąki, którą trzeba przewieźć z i-tego magazynu do j-tej piekarni dla j = 1, 2, 3, 4, a dla j = 5 ilość ton mąki, która zostanie w magazynie ograniczenia dla dostawców: ograniczenia dla odbiorców: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 100 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 50 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 80 x 11 + x 21 + x 31 = 40 x 12 + x 22 + x 32 = 60 x 13 + x 23 + x 33 = 50 x 14 + x 24 + x 34 = 50 x 15 + x 25 + x 35 = 30 10

11 warunki brzegowe: x ij 0 funkcja celu: 3 5 K(x ij ) = a ij x ij min Wyznaczenie rozwiązania metodą elementu minimalnego macierzy Magazyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j Magazyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j K(x ij ) = = 8650 Wyznaczenie rozwiązania optymalnego - algorytm transportowy Magazyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j Magazyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j K(x ij ) = = 7670 Koszty łączne 7670, w tym koszty transportu 7500 a koszty magazynowania 170. Zadanie 3 Trzy młyny M 1, M 2, M 3 produkują mąkę i zaopatrują w nią cztery piekarnie P 1, P 2, P 3, P 4. Koszty transportu (w zł za tonę) a ij oraz ilość oferowanej mąki przez poszczególne młyny A i, koszty produkcji 1 tony mąki C i oraz zapotrzebowanie poszczególnych piekarń B j podaje tabela: Młyny P 1 P 2 P 3 P 4 A i C i M M M B j Opracować optymalny plan produkcji i przewozu mąki z młynów do piekarń, tak aby łączny koszt był jak najmniejszy. Zakładamy, że nadwyżka produkcji mąki będzie zmagazynowana, a koszty magazynowania wynoszą odpowiednio dla poszczególnych młynów: 5 zł, 5 zł, 6 zł za tonę. Rozwiązanie Jest to przykład zagadnienia transportowo-produkcyjnego, czyli wariant zagadnienia transportowego otwartego ( 3 i=1 A i = 230 > 4 j=1 B j = 200). W celu zrównoważenia zadania wprowadzamy fikcyjnego odbiorcę F. Fikcyjny odbiorca otrzyma nadwyżkę mąki, czyli 30 ton. zmienne decyzyjne x ij - wielkość produkcji i-tego młyna bądź dostarczona do j-tej piekarni dla j = 1, 2, 3, 4, bądź pozostawiona w magazynie dla j = 5 Zestawienie łącznych kosztów produkcji i transportu 11

12 ograniczenia dla producentów: ograniczenia dla odbiorców: Młyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 100 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 50 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 80 x 11 + x 21 + x 31 = 40 x 12 + x 22 + x 32 = 60 x 13 + x 23 + x 33 = 50 x 14 + x 24 + x 34 = 50 x 15 + x 25 + x 35 = 30 warunki brzegowe: x ij 0 funkcja celu: 3 5 K(x ij ) = a ij x ij min Wyznaczenie rozwiązania optymalnego - algorytm transportowy Młyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j Młyny P 1 P 2 P 3 P 4 F A i M M M B j K(x ij ) = = Zadanie 4 Projektowana jest budowa maksymalnie 3 zakładów mleczarskich mających zaopatrywać w masło cztery miejscowości: P, R, S, T. Zakłady mogą powstać w miejsowościach P, R, S. Koszty transportu (w zł za kg) a ij oraz dzienne zdolności produkcyjne zakładów A i, koszty produkcji C i (w zł za kg) oraz zapotrzebowanie poszczególnych miast na masło B j podaje tabela: Odbiorcy Zakłady P R S T A i C i P 0 0,4 0, R 1 0 0,8 0, ,5 S 0,5 0,5 0 0, ,2 B j

13 Opracować optymalny plan lokalizacji zakładów tak, aby łączny koszt produkcji i transportu był jak najmniejszy. Rozwiązanie Jest to przykład zagadnienia lokalizacji produkcji, czyli wariant zagadnienia transportowego otwartego ( 3 i=1 A i = 7500 > 4 j=1 B j = 5000). W celu zrównoważenia zadania wprowadzamy fikcyjnego odbiorcę F oznaczającego niewykorzystaną zdolność produkcyjną. Zatem łączne koszty produkcji i transportu dla tego odbiorcy wynoszą 0 zł. Fikcyjny odbiorca otrzyma nadwyżkę masła, czyli 2500 ton. zmienne decyzyjne x ij - wielkość produkcji masła w i-tej miejscowości bądź dostarczona do j-tej miejscowości dla j = 1, 2, 3, 4, bądź niewykorzystana zdolność produkcyjna zakłądu w i-tej miejscowości dla j = 5 Zestawienie łącznych kosztów produkcji i transportu ograniczenia dla producentów: ograniczenia dla odbiorców: Odbiorcy Zakłady P R S T F A i P 4 4,4 4, R 5,5 4,5 5,3 5, S 4,7 4,7 4, B j x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 3000 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 2000 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 2500 x 11 + x 21 + x 31 = 1000 x 12 + x 22 + x 32 = 2000 x 13 + x 23 + x 33 = 1000 x 14 + x 24 + x 34 = 1000 x 15 + x 25 + x 35 = 2500 warunki brzegowe: x ij 0 funkcja celu: 3 5 K(x ij ) = a ij x ij min Wyznaczenie rozwiązania metodą elementu minimalnego macierzy Odbiorcy Zakłady P R S T F A i P 4 4,4 4, R 5,5 4,5 5,3 5, S 4,7 4,7 4, B j

14 Odbiorcy Zakłady P R S T F A i P R S B j K(x ij ) = , , , = Zauważmy, że baza jest złożona z 6 elementów, podczas gdy rząd macierzy A wynosi 7. Oznacza to, że to rozwiązanie bazowe, a co za tym idzie całe zagadnienie, jest zdegenerowane. W tym przypadku algorytm transportowy nie jest skuteczny. Problem można ewentualne rozwiązać przy pomocy przetworzonej macierzy kosztów. Macierz kosztów przekształcamy tak, aby w każdej kolumnie i każdym wierszu było przynajmniej jedno zero. Uzyskamy taki efekt odejmując od elementów poszczególnych wierszy macierzy kosztów element najmniejszy danego wiersza, a następnie odejmując od poszczególnych kolumn tak uzyskanej macierzy zmodyfikowanej element najmniejszy danej kolumny. Jeśli uda się rozmieścić przewozy wyłącznie na trasach, którym odpowiadają zera w przetworzonej macierzy kosztów, to rozwiązanie jest optymalne. Wyznaczenie rozwiązania metodą elementu minimalnego macierzy przy wykorzystaniu przetworzonej macierzy kosztów Odbiorcy Zakłady P R S T F A i P 4 4,4 4, R 5,5 4,5 5,3 5, S 4,7 4,7 4, B j Odbiorcy Zakłady P R S T F A i P 0 0 0, R 1,5 0,1 1,1 0, S 0,7 0, B j Odbiorcy Zakłady P R S T F A i P R S B j K(x ij ) = , , = Uwaga Rozwiązanie zadania oznacza, że należy zakłady ulokować w miejscowościach P i S. Możliwości zakładu w P będą wykorzystane w pełni, zakład w S będzie miał pewną rezerwę możliwości produkcyjnych (500 kg). Zakład w R jest niepotrzebny. 14

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1 Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego.

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego. Firma produkująca płatki śniadaniowe rozważa wypuszczenie na rynek nowego produktu. Ma to być mieszanka pszenicy, ryżu i kukurydzy. Normy zawartości przedstawia tabela: Dane Pszenica Ryż Kukurydza Zawartość

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu Tytuł: 06 Model: 2o1r_T Zastosowanie programowania liniowego Autor: iotr SAWC Zakład Systemów Transportowych WMRiT piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/iotr.sawicki.ut

Bardziej szczegółowo

Problem zarządzania produkcją i zapasami

Problem zarządzania produkcją i zapasami Problem zarządzania produkcją i zapasami Wykorzystamy zasadę optymalności Bellmana do poradzenia sobie z zarządzaniem zapasami i produkcją w określonym czasie z punktu widzenia istniejącego i mogącego

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220

Zagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220 Zagadnienie transportowe Firma produkująca papier kserograficzny posiada 4 wytwórnie i 5 hurtowni, do których dostarczany jest papier. Każda z fabryk wytwarza określoną liczbę ton papieru na miesiąc, i

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Lista zadań projektowych nr 2

Badania operacyjne. Lista zadań projektowych nr 2 Badania operacyjne Lista zadań projektowych nr 2 1. Trzy PGR-y mają odstawić do czterech punktów skupu pszenicę w następujących ilościach: PGR I - 100 ton, PGR II - 250 ton, PGR III - 100 ton. Punkty skupu

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007 ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny. Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo