Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji może zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0

Transkrypt

1 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solow-Swan W modelu lasycznym mieliśmy do czynienia ze stałą wielością czynniów producji, a zatem był to model statyczny, tóry nie poazywał nam dlaczego dany raj rozwija się szybciej niż inny. Model Solowa poazuje ja oszczędności, przyrost naturalny populacji oraz postęp technologiczny wpływają na stopę wzrostu gospodarczego. Podobnie ja w modelu lasycznym mamy 2 czynnii producji (K i L), tóre wchodzą w sład funcji producji opisującej całość producji wytworzonej w gospodarce (stąd nazwa model neolasyczny). Y = f(k, L) Funcja producji może załadać stałe przychody sali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0 Ponieważ jedna miarą dobrobytu danego raju jest dochód per capita to przyjmując, że z=1/l otrzymujemy wielość producji na 1 osobę: Y/L = f(k/l,1) Aby wyrazić wielości per capita przyjmujemy: y = Y/L oraz = K/L Wtedy możemy zapisać: y = f() gdzie f() = f(,1) W przypadu funcji Cobba-Douglasa mamy: Y = AK L α 1 α Dzieląc obie strony przez L otrzymujemy: 1 α Y / L= AK α L / L α α y = AK / L = A α Funcja producji poazuje nam, że ilość apitału w gospodarce determinuje nam wielość producji na 1 zatrudnionego. Nachylenie funcji producji jest równe rańcowej produtywności apitału. Widać wyraźnie, że rańcowy produt apitału jest malejący im więcej tym mniejszy jest przyrost producji na jego jednostę. Możemy to wyrazić matematycznie jao: y f () MPK = f( + 1) f() 1

2 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solowa w najprostszej postaci załada bra rządu w gospodarce, dlatego: G = T = 0 Czyli dochód per capita jest dzielony pomiędzy onsumpcję i inwestycje co zapisujemy jao: y = c + i (wszystie wielości wyrażone na 1 pracującego) Zgodnie z modelem funcja onsumpcji przyjmuje postać: c = (1 s)y gdzie s oznacza stopę oszczędności A zatem onsumpcja jest proporcjonalna do dochodu i nie ma onsumpcji autonomicznej. Podstawiając powyższe do funcji producji otrzymujemy: y = (1 s)y + i sy = i = sf() Oznacza to, że inwestycje ta ja onsumpcja są proporcjonalne do dochodu. Jednocześnie wielość inwestycji zależy taże od stopy oszczędności. Ponieważ w modelu Solowa funcja producji jest funcją zależną od wielości apitału, to siłą rzeczy wzrost gospodarczy jest pochodną zwięszania ilości apitału. Tymczasem zmiany ilości apitału mogą mieć miejsce w dwóch przypadach: apitał może rosnąć dzięi inwestycjom apitał może maleć na sute deprecjacji (zużycia) Ponieważ mieliśmy już wcześniej że: y i = sf() oraz y = c + i f () Z powyższego równania wynia jednoznacznie, iż im więsza jest ilość apitału, tym więsze są inwestycje. Zarazem poziom stopy oszczędności determinuje podział dochodu pomiędzy onsumpcję i inwestycje. y c i sf() δ * W przypadu deprecjacji załadamy, że jaaś stała część apitału ulega zużyciu ażdego rou. Np. załadając, że przeciętna długość życia samochodu wynosi 10 lat, należy przyjąć że jego wartość deprecjonuje się o 10% rocznie. Dlatego relacja pomiędzy ilością apitału a wielością deprecjacji jest liniowa. δ 2

3 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Przyrost apitału w modelu Solowa K& = I δk //L gdzie K = dk/dt = K & (oba zapisy są równorzędne) K& /L = i δ & = d(k/l)/dt = ( K& *L L& *K)/L 2 = K& /L L& /L*K/L = K& /L n & = i δ n = i (δ+n) Załadając, że liczba ludności jest stała (n = 0) to zmianę ilości apitału pomiędzy jednym roiem a drugim można wyrazić jao: & = i δ = sf() δ Osiąganie steady-state Rysune obo przedstawia zależność pomiędzy ilością apitału, inwestycjami i deprecjacją. Widać, że im więcej apitału tym więsza jest producja i inwestycje ale też i deprecjacja. Istnieje tylo jeden poziom apitału dla tórego inwestycje są równe deprecjacji. Jeśli gospodara osiągnie ten poziom to wielość apitału nie będzie się zmieniać w miarę upływu czasu steady-state level. Jeżeli jest poniżej tego poziomu to inwestycje przewyższają deprecjację, a więc capital stoc będzie rósł. δ,i δ* = i* 1 * 2 Jeśli jest powyżej poziomu ustalonego to deprecjacja przewyższa inwestycje poziom apitału musi zmaleć. Steady-state reprezentuje długooresową równowagę w gospodarce. Zatem zgodnie z modelem, niezależnie od tego na jaim poziomie jest apitał na samym początu i ta w ońcu musi się znaleźć na poziomie wyznaczonym przez steady-state. Jeżeli apitał jest początowo na poziomie niższym od stanu ustalonego to będzie rósł do chwili gdy go nie osiągnie. Analogicznie będzie również rosła producja. δ sf() Zadanie: 1/ 2 1/ 2 Funcja producji ma postać Y = K L, stopa oszczędności wynosi s = 0,3, zaś stopa deprecjacji δ = 0,1. Jaa będzie wielość apitału w steady-state w tej gospodarce? Odp. y = oraz = i δ = sf() δ Ponieważ w steady-state =0 to mamy s/δ=/ Dlatego * = 9 3

4 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Impliacje stanu ustalonego W stanie ustalonym mamy: sf(*) = δ* */f(*) = s/δ Stosune apitału do wytworzonego produtu jest miarą apitałochłonności gospodari, tóry w stanie ustalonym jest stały i równy stosunowi stopy oszczędności do deprecjacji. Jeżeli gospodara nie znajduje się w stanie ustalonym to współczynni apitałochłonności będzie się zmieniał, aż do chwili osiągnięcia steady-state. Zmiana stopy oszczędności δ,i,y Wzrost stopy oszczędności powoduje przesunięcie funcji oszczędności w górę. Oznacza to, iż nałady inwestycyjne są więsze y 2 dla ażdego poziomu apitału. Ponieważ przy poziomie apitału oreślającym δ 2 * = i* stan ustalony (* 1 ) inwestycje są więsze niż deprecjacja to zasób apitału będzie rósł, aż do chwili osiągnięcia nowego stanu ustalonego (* 2 ). W nowym stanie ustalonym zarówno apitał ja i producja są więsze. Widać zatem, że stopa oszczędności determinuje δ f() s 2 f() s 1 f() * 1 * 2 poziom apitału i producji. Kraje o nisiej stopie oszczędności będą miały nisi poziom apitału i nisi poziom producji, odwrotnie w rajach o wysoiej stopie oszczędności. Ale w rzeczywistości oazuje się, że często raje o niższym poziomie oszczędności charateryzują się wyższym poziomem dochodu. Wynia to z tego, iż ażdy z nich posiada inny stan ustalony. Zmiana stopy wzrostu populacji Ja poazaliśmy już wcześniej w rzeczywistości zmiana zasobu apitału per capita zależy taże od stopy wzrostu populacji. A zatem mamy: δ,i,y & = i δ n = i (δ+n) Wyższa stopa wzrostu populacji sprawia, (δ+n 1 )* = i* że rzywa deprecjacji przesuwa się w (δ+n 2 )* = i* górę. W efecie spada zasób apitału i poziom producji. Zgodnie z modelem raje o wyższej stopie wzrostu populacji będą miały niższy poziom apitału per capita i niższą producję. (δ+n 2 ) (δ+n 1 ) sf() 2 * 1 * 4

5 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Zadanie Nie mając żadnego cieawego pomysłu na zadanie dla swoich studentów el Maestro Roite postanowił sprawdzić, czy uważali oni na ostatnich zajęciach. Dlatego też olejne pytanie stawiane biednym, znudzonym studentom brzmi: Jai jest poziom apitału w stanie α ustalonym dla funcji Cobba-Douglasa w postaci y= A? Złota reguła aumulacji apitału Ja poazaliśmy już wcześniej zwięszanie stopy oszczędności w modelu Solowa prowadzi do wzrostu producji i zasobów apitału. Jednocześnie jedna dla danej rzywej deprecjacji istnieje tylo jeden optymalny poziom apitału, przy tórym onsumpcja przyjmuje masymalną wartość. Ponieważ dobrobyt danego społeczeństwa zależy od poziomu onsumpcji to ażdy naród powinien wybrać taą stopę oszczędności, tóra będzie masymalizować onsumpcję. Pamiętając o tym, że oszczędności to różnica pomiędzy dochodem i onsumpcją możemy zapisać: & = f() - c (δ+n) ale w steady-state mamy & = 0 dlatego 0 = f(*) c* (δ+n)* c* = f(*) (δ+n)* Aby otrzymać formułę złotej reguły wystarczy zmasymalizować onsumpcję w stanie ustalonym wobec apitału: dc*/d* = f (*) (δ+n) = 0 f (*) = (δ+n) = MPK W interpretacji graficznej powyższy wyni oznacza, że onsumpcja jest masymalna wtedy gdy nachylenie funcji producji jest równe (δ+n) (odległość między funcją producji i rzywą deprecjacji jest tutaj masymalna). Na wyresie obo poazane jest, że dla poziomu apitału przy tórym nachylenie funcji producji jest równe (δ+n) onsumpcja przyjmuje masymalną wartość. Warto pamiętać o tym, że w zależności od tego jaa jest stopa oszczędności, gospodara może lub nie osiągnąć punt *. Jeżeli gospodara znajduje się na prawo od puntu * to oznacza, że jest ona nieefetywna gdyż nie masymalizuje onsumpcji. δ,i c gold * (δ+n) f() 5

6 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Osiąganie poziomu apitału dla właściwego dla c gold gdy jest go za dużo Jeżeli w danym momencie w gospodarce jest więcej apitału niż wyniałoby to ze złotej reguły, to jedyną możliwością jego zmniejszenia jest spade stopy oszczędności. Spade stopy oszczędności powoduje natychmiastowy spade inwestycji i wzrost onsumpcji. Następnie jedna gdy gospodara zaczyna zmierzać w stronę stanu ustalonego spada poziom producji, dalej ograniczane są inwestycje oraz spada poziom onsumpcji (w efecie zmniejszenia producji). Niezależnie od spadu onsumpcji w oresie osiągania stanu ustalonego i ta jest ona więsza niż wcześniej. y c i t 0 time Osiąganie poziomu apitału dla właściwego dla c gold gdy jest go za mało W przypadu gdy zasób apitału jest mniejszy niż wynia to ze złotej reguły to racjonalne jest podwyższenie stopy oszczędności. W efecie nastąpi natychmiastowy wzrost inwestycji i spade onsumpcji. Następnie jedna wzrost inwestycji spowoduje wzrost producji, co z olei wpłynie na zwięszenie onsumpcji i dalszy wzrost inwestycji. W tym przypadu onsumpcja w pierwszym etapie jest niższa, jedna jej poziom stopniowo się zwięsza i po osiągnięciu stanu ustalonego jest wyższy niż na początu. y c i t 0 time Stopa wzrostu w modelu Solowa Ja poazywaliśmy już wcześniej producja w modelu Solowa jest rosnącą funcją apitału. Oznacza to w pratyce, że stopa wzrostu PKB per capita musi być proporcjonalna do stopy wzrostu apitału per capita. Ponieważ w funcji Cobba-Douglasa udział dochodu z apitału w całym dochodzie jest równy α to możemy zapisać stopę wzrostu jao: γ = y& / y = α& / = αγ dla stałego poziomu technologii y Wiemy już czemu równa jest zmiana apitału w czasie, a zatem żeby otrzymać stopę wzrostu apitału wystarczy podzielić zmianę przez poziom apitału w oresie początowym. Wtedy otrzymujemy: γ sf ( A, ) γ = & / = i / ( δ + n) = ( δ + n) Dlatego im więsza jest stopa oszczędności tym więsza jest też stopa wzrostu gospodarczego. 0 stopa wzrostu δ+n sf()/ 6 *

7 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Zadanie. Poaż właściwości funcji sf(,a)/ i jej wyres, gdzie f(,a) ma postać funcji Cobba-Douglasa. Im wyższy jest poziom technologiczny tym więsza jest ilość producji i inwestycji, a więc tym wyższa również stopa wzrostu. Im wyższa stopa deprecjacji tym mniejszy wzrost. Ja widać na wyresie im więcej jest apitału tym mniejszy jest stosune sf()/. Dlatego też im więcej apitału w gospodarce tym mniejsza jest stopa wzrostu. Najważniejszym wniosiem jai można wyciągnąć z powyższego wyresu jest tai, że w długim oresie gospodara powinna dążyć do osiągnięcia stanu ustalonego. A zatem z czasem stopa wzrostu powinna być coraz mniejsza! Tymczasem w rzeczywistości oazuje się, że jest możliwy wzrost gospodarczy w długim oresie, a zatem model neolasyczny w podstawowej wersji nie tłumaczy przyczyn jego występowania. Czy możliwe jest zwięszenie stopy wzrostu poprzez podwyższenie stopy oszczędności? Podwyższenie stopy oszczędności prowadzi do wyższej stopy wzrostu w rótim oresie. W długim oresie oazuje się jedna, że gospodara ponownie dąży do stanu ustalonego, w tórym stopa wzrostu jest równa zero. Co więcej ja poazywaliśmy już wcześniej, taa politya może być niewłaściwa w sytuacji gdy Poziom apitału w gospodarce jest więszy niż wyniałoby to ze złotej reguły. Dalsze podwyższanie stopy oszczędności prowadzi w tym przypadu do powięszania się nieefetywności gospodari. stopa wzrostu δ+n s 2 f()/ s 1 f()/ * Czy możliwe jest zwięszenie stopy wzrostu poprzez obniżenie stopy wzrostu populacji? Działania prowadzące do obniżenia stopy wzrostu populacji powodują spade rzywej deprecjacji oraz podwyższenie stopy wzrostu. Oazuje się jedna, że stopa wzrostu rośnie jedynie w rótim oresie, natomiast w długim ponownie będzie dążyła do zera. Poazuje to wyraźnie, że taa politya jest niesuteczna, co więcej może być również nieorzystna dla gospodari w długim oresie (efet starzenia się społeczeństwa). * stopa wzrostu δ+n 1 δ+n 2 sf()/ Ja można zatem wyjaśnić na bazie modelu neolasycznego istnienie długooresowego wzrostu gospodarczego? Odpowiedź na to pytanie leży w przemianach technologicznych. Do tej pory załadaliśmy, że technologia jest stała. Należy jedna pamiętać, iż nasza funcja producji ma postać: 7

8 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II y = f(a, ) lub w przypadu funcji Cobba-Douglasa y = A α Zatem im więsze jest A tym wyższy poziom producji. Na wyresie obo widać wyraźnie, że postęp technologiczny przesuwa rzywą oszczędności w prawo. Jedna w odróżnieniu od podwyższania Stopy oszczędności, postęp technologiczny jest nieograniczony i może powodować ciągłe przesuwanie stopa wzrostu się rzywej oszczędności w prawo. A zatem długooresowy wzrost gospodarczy w modelu δ+n Solowa może być wytłumaczony jao pochodna stałego postępu technologicznego. sf(a 2,)/ Jeżeli poziom technologii zwięsza się w stałym tempie sf(a 1,)/ x to poziom apitału typowy dla stanu ustalonego też zwięsza się w tym samym tempie x. * Oznacza to, że stopa wzrostu per capita w stanie ustalonym jest dodatnia i równa stopie postępu technologicznego x, tóra jest jedna egzogeniczna (a zatem model nie poazuje nam co jest przyczyną postępu technologicznego). Możemy również powyższe udowodnić algebraicznie, orzystając z własności logarytmów. I ta jeśli: y = A α to logy = loga + αlog oraz wiemy że d log y / dt = y& / y (stopa wzrostu) to wtedy mamy γ y = y& / y = A& / A+ α& / Analogicznie dla Y(PKB): γ = & / & α & α & gdzie L & / L= n α 1 α Y = AK L to wtedy Y Y Y = A / A+ K / K + (1 ) L / L Endogeniczne modele wzrostu model AK Ja poazaliśmy już wcześniej, założenia modelu Solowa powodują, że model ten nie tłumaczy występowania długooresowego wzrostu gospodarczego (nie wiadomo to miałby finansować postęp technologiczny, tóry jest onieczny dla zapewnienia wzrostu w długim oresie). Dlatego też część eonomistów zaczęła szuać taich rozwiązań, tóre pozwoliłyby wyeliminować tą ułomność. W ten sposób powstały endogeniczne modele wzrostu, tórych najprostszą wersją jest model AK. Utrzymuje on podstawowe założenia modelu Solowa, jedna zgodnie z jego założeniami funcja producji przyjmuje postać: Y = AK gdzie apitał zawiera w sobie również czynni ludzi (apitał ludzi) W postaci per capita otrzymujemy zatem: y = A Podobnie ja w modelu Solowa przyrost apitału jest równy: 8

9 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II & = i δ n = sf ( ) ( δ + n) A zatem stopa wzrostu producji jest proporcjonalna do stopy wzrostu apitału i analogicznie do modelu Solowa wyraża się wzorem: γ = & / = i/ (δ+n) = sf(,a)/ - (δ+n) Jeżeli jedna do powyższego wzoru podstawimy funcję producji AK to oazuje się, że model ten przewiduje nieograniczony, dodatni wzrost gospodarczy zawsze gdy sa>(δ+n): γ = & / = sa/ - (δ+n) = sa - (δ+n) Możemy to przedstawić graficznie, podobnie ja dla modelu Solowa. Widać wyraźnie, że dla sa>(δ+n) będziemy mieć zawsze dodatnią stopę wzrostu, niezależnie od ilości apitału w gospodarce. Co więcej, utrzymanie dodatniej stopy wzrostu jest możliwe nawet jeżeli A nie ulega zmianom. Model ten poazuje również, że gospodari z wyższą stopą oszczędności i poziomem technologicznym zawsze będą miały wyższą stopę wzrostu. A zatem bra jest tutaj możliwości dla wystąpienia procesu onwergencji. 0 stopa wzrostu sa δ+n Postęp technologiczny rozszerzenie modelu neolasycznego Aby do modelu Solowa włączyć postęp technologiczny musimy wrócić do funcji producji i założyć, że zależy ona nie tylo od ilości apitału i pracy ale taże od wydajności pracy. Mamy zatem: Y = f(k, L*A) gdzie A oznacza wydajność pracy, zaś L LA jest jednostą wydajności pracy W tym przypadu nałady siły roboczej mierzone są w jednostach wydajności, zaś wielość producji zależy od ilości apitału oraz od ilości jednoste wydajności. Przyjmijmy, że wydajność pracy rośnie w stałym tempie równym x, podczas gdy populacja zwięsza się w tempie n. Widać zatem, że liczba jednoste wydajności rośnie w tempie n + x (patrz własności logarytmów poazane powyżej). W efecie zmiana zasobu apitału w gospodarce będzie równa (przy czym apitał jest definiowany jao apitał na jednostę wydajności): ˆ / t = i δ ˆ ( n+ x) ˆ = sf ( ˆ) ( δ + n+ x) ˆ gdzie K ˆ = = L ˆ A 9

10 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II A zatem zwięszenie x (przy innych zmiennych costant) prowadzi do spadu ale jednocześnie powoduje wzrost oraz y, tóre w stanie ustalonym rosną w tempie x 1. Problemem z jaim mamy do czynienia w modelu neolasycznym jest założenie o tym, że cały dochód wytwarzany w gospodarce jest dzielony pomiędzy właścicieli czynnia apitału i pracy. Oznacza to, że nie ma już środów, tóre mogłyby być przeznaczone na finansowanie postępu technologicznego. Dlatego też musi on pozostać egzogeniczny co z inteletualnego puntu widzenia jest mało atracyjne. Zadanie. W ramach pracy domowej Maestro Roite jao prezent gwiazdowy postanowił dać bardzo łatwe ;-) zadanie, tóre polega na tym, że należy wyprowadzić poniższy wzór: d /dt = i δ (n+x) = sf( ) (δ+n+x) Konwergencja Pojęcie to opisuje zależność pomiędzy początowym poziomem dochodu (apitału w gospodarce) a wysoością stopy wzrostu. Ja poazywaliśmy już wcześniej model neolasyczny przewiduje, że im więcej jest apitału w gospodarce tym niższa jest stopa wzrostu. A zatem w przypadu gdy mamy do czynienia z dwoma gospodarami, tóre różnią się jedynie początowym zasobem apitału, to ta tóra jest biedniejsza powinna rozwijać się szybciej niż ta bogatsza. Mielibyśmy wtedy do czynienia z onwergencją absolutną. W pratyce jedna raje mogą się różnić zarówno stopą oszczędności, technologią, stopą wzrostu populacji czy stopą δ+n deprecjacji. Powoduje to, iż model neolasyczny sf(a 2,)/ nie przewiduje zawsze szybszego wzrostu w sf(a 1,)/ biedniejszych rajach. Możliwe jest jedna wtedy wystąpienie onwergencji warunowej, tóra oznacza * że ażdy raj dąży do swojego stanu ustalonego. Zadanie. Chcąc pomóc swoim wspaniałym studentom w przygotowaniu się na artówę, Maestro Roite wymyślił następujące zadanie: załadając, że poziom apitału per capita jest niższy niż byłby w warunach długooresowej równowagi proszę wyjaśnić: Proces dochodzenia do długooresowej równowagi czy w oresie dochodzenia do równowagi tempo wzrostu będzie się zmieniało? Jaie jest podstawowe założenie modelu, tóre warunuje taą dynamię? Czy raje uboższe mają szansę dogonić raje bogate pod względem PKB per capita? Jaie waruni muszą być spełnione? Jaie suti dla odpowiedzi w poprzednim puncie będzie miało przyjęcie funcji producji Y = AK α L β gdzie α +β > 1 1 Soro ˆ = to A & ˆ ˆ = & A& ˆ & & A&. A zatem w stanie ustalonym = 0 = = x A ˆ A 10

11 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Zadanie 1. W ramach swojej pracy poza uniwersytetem im. Wieliego Kanibala, Maestro Roite był również onsultantem eonomicznym rozmaitych ministerstw. Dlatego też, nie było dla niego żadną niespodzianą, iż pewnego słonecznego dnia został poproszony o analizę długooresowych sutów przystąpienia Canibalii do Światowej Ligi Ludożerców. Najważniejszą orzyścią wejścia do Ligi miał być napływ środów przeznaczonych na rozwój infrastrutury w Canibalii. Dlatego też zadaniem Maestro Roita było: Poazanie co stanie się ze stopą wzrostu gospodarczego, poziomem producji i apitału per capita w efecie napływu środów z Ligi; Analiza możliwych sutów przerwy w napływie środów po upływie jaiegoś czasu. Analiza oparta miała być na neolasycznym modelu wzrostu, zaś puntem wyjścia założenie o tym, że gospodara Canibalii znajduje się na ścieżce zrównoważonego wzrostu. Ponieważ Maestro ja zwyle był przepracowany to postanowił sprawdzić ja powyższe zadanie rozwiążą jego studenci, tórych dodatowo zdopingował wiadomością o tym, iż podobny problem może się pojawić na olowium Zadanie 2. Całowite wynagrodzenie pracy w gospodarce wynosi 60, a wartość producji, tórej proces jest opisany prostą funcją Cobba-Douglasa, wynosi 100. Tempo wzrostu PKB wynosi 10%, a tempo wzrostu zasobu apitału i pracy, odpowiednio, 10% i 5%. a) Jaie jest tempo wzrostu wieloczynniowej produtywności w tej gospodarce (TFP)? b) Powtórz obliczenia z (a) dla osztów pracy równych 80 zamiast 60. c) Wyprowadź wyrażenie na tempo wzrostu wieloczynniowej produtywności, gdy funcja α β 1 α β producji ma postać Y = AK H T, gdzie T oznacza zasób gruntów ornych. Zadanie 3. Maestro Roite otrzymał od ministra gospodari w raju o wdzięcznej nazwie Canibalia zadanie obliczenia stopy wzrostu PKB per capita. Dane jaie otrzymał od ministra wyglądają następująco: Funcja producji ma postać Y = K 2/3 (AL) 1/3 Stopa oszczędności wynosi 0.24, stopa deprecjacji 0.03, stopa przyrostu naturalnego 0.01, zaś tempo postępu technicznego Dodatową informacją jest to, iż K = 48000, A = 15 a L = 50 Maestro Roite spędził ila bezsennych nocy ślęcząc nad zadaniem ale niestety nie udało mu się nic wymyślić. Dodatowo dobił go psychicznie telefon od ministra, tóry zażyczył sobie aby poazać mu co się stanie ze stopą wzrostu PKB per capita gdy nastąpi import nowych technologii prowadzący do wzrostu parametru A do 320/9 oraz zwięszenia tempa postępu technicznego do Dlatego też postanowił dać powyższe zadanie do rozwiązania swoim studentom z nadzieją, że uchronią go oni od niechybnej śmierci w uchni ministra... 11

12 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Zadanie 4. Somentuj stwierdzenie: Z modelu Solowa wynia, że wielość gospodari mierzona poziomem PKB jest ujemnie zależna od tempa przyrostu naturalnego i stopy deprecjacji apitału (rzywa efetywnej deprecjacji apitału jest bardziej stroma i przecina rzywą oszczędności przy niższym poziomie apitału). Zadanie 5. Rozważmy dwa raje, AA i BB, charateryzujące się taą samą funcją producji. Załóżmy, ze początowo w obu rajach poziom apitału pracy i technologii jest identyczny, a poziom apitału na 1 zatrudnionego jest niższy niż w stanie ustalonym. W raju AA stopa oszczędności jest równa 20%, a w raju BB wynosi 25%. W obu rajach tempo przyrostu naturalnego równa się 3% rocznie, stopa deprecjacji apitału wynosi 5%, zaś tempo postępu technicznego to 3%. Zgodnie z przewidywaniami modelu Solowa: a) Który z rajów, jeśli w ogóle, ma początowo wyższą stopę wzrostu producji na 1 zatrudnionego. Dlaczego? b) Który z rajów, jeśli w ogóle, ma wyższa stopę wzrostu producji na 1 zatrudnionego w stanie ustalonym. Dlaczego? c) Jaie jest tempo wzrostu PKB w stanie ustalonym w obu rajach? Zadanie 6. Załóżmy, że na ścieżce zrównoważonego wzrostu, raj pustoszy trąba powietrzna, w wyniu czego liczba ludności maleje o 50%, natomiast zasób apitału o 75%. Katalizm nie powoduje zmiany stopy oszczędności, ani tempa przyrostu naturalnego, tóre wynosi n. Nie obserwujemy postępu technicznego, czyli g=0. Sorzystaj z własności funcji producji i naszicuj zmiany w czasie (przed i po przejściu trąby powietrznej) a) apitału i producji na 1 zatrudnionego ( oraz y) b) zasobu siły roboczej N c) zasobu apitału K d) poziomu dochodu Y W nietórych przypadach wsazane może być wyorzystanie logarytmów zmiennych. Zadanie 7. Rozważmy gospodarę, tóra znajdowała się na ścieżce wzrostu zrównoważonego W wyjątowo deszczowym, listopadowym dniu stopa amortyzacji (fizycznego zużycia apitału w procesie producji) wzrosła z poziomu 1 do poziomu 2 a ¼ pracowniów rezygnuje z pracy i decyduje się na emigracje na słoneczne południe Europy. Stopa oszczędności, s, I tempo przyrostu naturalnego, n, pracowniów pozostałych w raju nie ulega zmianie. Wiadomo również, ze tempo postępu technicznego wynosi zero. Korzystając z modelu Solowa, naszicuj ścieżi opisujące ewolucje w czasie: a) apitału na jednego zatrudnionego () i producji na jednego zatrudnionego (y) ; b) całowitego zasobu pracy (N), apitału (K) i producji (Y) (wsazane wyorzystanie logarytmów). Zadanie 8. Po uzysaniu członostwa w UE Polsa otrzymała bezzwrotna pomoc w postaci maszyn i innego wyposażenia apitałowego. Minister gospodari, opierając się na wniosach wyciągniętych z modelu Solowa, stwierdził ze społeczeństwo musi zacząć oszczędzać więcej, aby podarowany zasób apitału zaowocował wyższym poziomem producji na 1 zatrudnionego. Jeśli stopa oszczędności nie wzrośnie mówił minister powrócimy do 12

13 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II wyjściowego poziomu producji, a w oresie przejściowym stopa wzrostu gospodarczego spadnie. Czy minister miał racje? Zadanie 9. Stopa wzrostu producji całowitej w pewnym oresie wynosi 0,07, stopa wzrostu zasobu apitału jest równa 0,03. Tempo przyrostu naturalnego wynosi 0,01. Wiadomo, że funcja producji ma postać Cobba-Douglasa Y = K α (AN) 1-α, gdzie K i N oznaczają nałady pracy i apitału, a parametr α=0,5. Korzystając z deompozycji Solowa i modelu wzrostu jego autorstwa: a) oblicz tempo postępu technologicznego b) oblicz poziom wynagrodzenia za prace, przyjmując, że jest on równy rańcowemu produtowi pracy. Jeśli omawiana gospodara znajdowała sie w stanie ustalonym, w jaim tempie rosną płace? Zadanie 10. Funcja producji wyrażona w ategoriach na 1 zatrudnionego ma postać α 1 α y= A h gdzie A poziom zaawansowania technologicznego, parametr 0<α<1, y producja na 1 zatrudnionego, apitał fizyczny na 1 zatrudnionego, h apitał ludzi na 1 zatrudnionego, odzwierciedlający poziom wyształcenia, umiejętności i doświadczenia zawodowego pracowniów. Stopa oszczędności wynosi s, zaś oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powięszanie zasobu apitału fizycznego, tórego stopa deprecjacji wynosi d. Kapitał ludzi jest aumulowany podczas uczestnictwa w procesie producji im więszy zasób apitału fizycznego, tóry przypada na 1 zatrudnionego tym szybciej rosną jego walifiacje: h = B, gdzie B jest parametrem. Tempo przyrostu naturalnego i postępu technicznego wynoszą zero. a) Wyprowadź wzór na wartość łącznej producji Y w omawianej gospodarce. Oblicz wielość całowitych oszczędności w gospodarce, pamiętając że stopa oszczędności wynosi s. Uwzględniając fat, że oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powięszanie zasobu apitału fizycznego, oblicz tempo wzrostu zasobu całowitego apitału fizycznego K, ludziego H, oraz całowitej producji Y; b) Jai będzie wpływ wzrostu stopy oszczędności na tempo wzrostu całowitej producji w omawianej gospodarce. Porównaj otrzymany wyni z wpływem wzrostu stopy oszczędności w modelu Solowa z neolasyczną funcją producji y = A, nie uwzględniającą apitału ludziego. Z czego wynia różnica? Zadanie 11. Rozważmy model Solowa z apitałem ludzim w ujęciu Maniw, Romera i α β 1 α β Weila, tórzy przyjmują następującą postać funcji producji: Y = K H (AN) gdzie Y to wielość producji, K oraz H oznacza poziom apitału, odpowiednio, fizycznego i ludziego, A jest miarą zaawansowania technologicznego, zaś N to zasób siły roboczej. Produowane dobro jest homogeniczne i może być albo sonsumowane, albo przeznaczone na inwestycje w apitał ludzi lub fizyczny. Stopy inwestycji w oba rodzaje apitału są stałe i równe sh oraz sk. a) Zapisz funcje producji w postaci intensywnej, wyrażając wszystie zmienne w ategoriach na jednostę efetywnej pracy AN; b) Zapisz równania opisujące dynamię ˆ= K / AN oraz h ˆ= &ˆ H / AN, czyli równania na i h &ˆ, przyjmując ze stopa deprecjacji obu rodzajów apitału wynosi d; c) Oblicz wartości ˆ, ĥ oraz ŷ w stanie ustalonym. 13

14 dr Bartłomiej Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Zadanie 12. Porównaj ewolucje producji na 1 zatrudnionego (sporządź wyres lny względem czasu) w modelu Solowa bez postępu technicznego oraz modelu AK przed i po następujących zdarzeniach: a) Wzrost tempa przyrostu naturalnego b) Spade stopy oszczędności c) Wzrost (jednorazowy) wartości parametru A d) Spade liczby ludności w wyniu emigracji Zadanie 13. Stopień rozwoju finansowego wpływa na wzrost gospodarczy. Fat ten jest zilustrowany na poniższym wyresie, tóry poazuje zależność miedzy średnim tempem wzrostu realnego PKB per capita i stosuniem redytów dla setora prywatnego do PKB (miara rozwoju finansowego) w oresie w grupie 82 rajów. a) Jai jest wpływ rozwoju finansowego na tempo wzrostu gospodarczego w świetle danych przedstawionych na wyresie? Czy możliwa jest inna interpretacja przedstawionej zależności, zgodnie z tórą wyższy poziom wzrostu gospodarczego powoduje espansję redytową? (Podpowiedź: wyorzystaj poznane teorie onsumpcji i inwestycji, żeby oreślić związe między oczeiwanymi zmianami dochodu a wartością zaciągniętych redytów). b) Obserwując zależność między początowym stopniem rozwoju finansowego a późniejszym wzrostem gospodarczym można dojść do wniosu, że rozwój finansowy powoduje wzrost gospodarczy (a nie odwrotnie). Zjawiso to można wyjaśnić odwołując się do modelu wzrostu AK. Wyższy stopień rozwoju rynu finansowego reduuje oszty transacyjne przeształcenia oszczędności w inwestycje. Na rynach słabiej rozwiniętych odsete (1 f) jest tracony przez nieefetywnie działające instytucje pośrednictwa finansowego i jedynie odsete f jest przeznaczony na inwestycje. Poaż, orzystając z modelu AK, że wzrost parametru f podniesie tempo wzrostu gospodarczego produtu na 1 zatrudnionego. 14