OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Transkrypt

1 OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ

2 Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (dostawcy) a punktami odbioru (odbiorcy). podaż a 1 punkty nadania (i) D 1 x 11 c 11 punkty odbioru (j) O 1 popyt b 1 x 12 c 12 x 1n c 1n x 21 c 21 a 2 D 2 x 22 c 22 O 2 b 2 x 2n c 2n x m1 c m1 x m2 c m2 a m D m x mn c mn O n b n

3 Założenia klasycznego zadania transportowego: Klasyczne zagadnienie transportowe 2 x ij a i b j - zmienne decyzyjne; ilość przewożonego jednorodnego dobra na trasie pomiędzy i-tym dostawcą a j-tym odbiorcą [i=1,2,,m; j=1,2,,n;] - parametr problemu; zasób dobra u i-tego dostawcy (podaż) [i=1,2,,m] a = [a 1,a 2,,a m ] - parametr problemu; zapotrzebowanie na dobro j-tego odbiorcy (popyt) [j=1,2,,n] b = [b 1,b 2,,b n ] c ij - parametr problemu; koszt przewozu jednostki dobra na trasie pomiędzy i-tym dostawcą a j-tym odbiorcą [i=1,2,,m; j=1,2,,n;] c11 c12 c1 n m a n c 21 c22 c2n i b C j i1 j1 cm1 cm2 cmn

4 Klasyfikacja zadań transportowych: 1. Zamknięte ( zbilansowane ) m a n i bj i1 j1 2. Otwarte ( niezbilansowane ) - przypadek 1 m i1 n a i b j1 j Otwarte Zamknięte: a) dodać n+1 punkt odbioru b) zapotrzebowanie b n+1 dodanego punktu odbioru różnica między całkowitą podażą a całkowitym popytem: b n1 m a i1 i n b j1 j Klasyczne zagadnienie transportowe 3

5 Klasyczne zagadnienie transportowe 4 jednostkowe koszty transportu podaż jednostkowe koszty transportu podaż O1 O2 O3 O1 O2 O3 O4 D D D popyt D D D popyt Jeżeli założymy, że na n+1 punkt odbioru składają się magazyny w punktach nadania, to możemy przyjąć, że jednostkowe koszty transportu do punktu n+1 są równe zero, a przewozy do niego odpowiadają ilościom dobra pozostawionego w punktach nadania.

6 Klasyczne zagadnienie transportowe 5 2. Otwarte ( niezbilansowane ) - przypadek n j j m i a i b Otwarte Zamknięte: a) dodać m+1 punkt nadania b) zapotrzebowanie a m+1 dodanego punktu nadania różnica między całkowitym popytem a całkowitą podażą: m i i n j j m a b a

7 Klasyczne zagadnienie transportowe 6 jednostkowe koszty transportu podaż jednostkowe koszty transportu podaż O1 O2 O3 O1 O2 O3 D D D D D D popyt D popyt Dodatkowy m+1 punkt nadania nazywamy fikcyjnym dostawcą, a jednostkowe koszty transportu z nim związane są równe zero ponieważ dobra, które on oferuje faktycznie nie ma. Ilość dobra zaplanowana do dostarczenia od fikcyjnego dostawcy do dowolnego odbiorcy w praktyce oznacza, że jego popyt w takiej wielkości nie zostanie zrealizowany.

8 Funkcja celu: (łączny koszt transportu) m n F ( x ) c ij x ij Ograniczenia: n x i1 m ij x i1 ij i1 j1 a b Warunki brzegowe: i j i = 1,2,,m j = 1,2,,n Klasyczne zagadnienie transportowe 7 model decyzyjny min (bilanse dla punktów nadania) (bilanse dla punktów odbioru) x ij 0 i = 1,2,,m j = 1,2,,n Rozwiązać można tylko zbilansowane zagadnienie transportowe!!!!

9 Klasyczne zagadnienie transportowe 8 Przykład Pewien jednorodny produkt należy dostarczyć z trzech hurtowni do trzech sklepów. Hurtownie dysponują następującymi ilościami produktu: 60, 30 i 20 jednostek. Zapotrzebowanie sklepów to: 30,35 i 45 jednostek. Jednostkowe koszty transportu między każdą hurtownią a sklepem ( w zł za sztukę ) dane są w następującej macierzy kosztów: C Należy znaleźć taki plan przewozów, przy którym łączne koszty transportowe będą najniższe.

10 Klasyczne zagadnienie transportowe 9 Przykład jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D D D popyt

11 popyt podaż Klasyczne zagadnienie transportowe 10 Przykład F() = 4x 11 +2x 12 +3x 13 +3x 21 +x 22 +2x 23 +x 31 +3x 32 +x 33 min x 11 +x 12 +x 13 = 60 +x 21 +x 22 +x 23 = 30 +x 31 +x 32 +x 33 = 20 x 11 +x 21 +x 31 = 30 x 12 +x 22 +x 32 = 35 x 13 +x 23 +x 33 = 45 x 11 0 x 12 0 x 13 0 x 21 0 x 22 0 x 23 0 x 31 0 x 32 0 x 33 0

12 Klasyczne zagadnienie transportowe 11 Algorytm transportowy 1 Początkowy program przewozowy 1 6 Skoryguj program przewozowy 2 Program optymalny? NIE 5 Ustal maksymalny przewóz na trasie ustalonej w [3] TAK 4 Zbuduj cykl Korygujący przewozy KONIEC 3 Wybierz trasę dającą największą obniżkę kosztów

13 Klasyczne zagadnienie transportowe 12 Algorytm transportowy 2 Początkowy program przewozowy Metoda kąta północno-zachodniego 1. Wprowadź maksymalny przewóz na trasie (i,j): x ij = min(a i,b j ) - rozpoczynamy od trasy D1 O1 2. Skoryguj podaż w i-tym punkcie nadania: a i = a i x ij i popyt w j-tym punkcie odbioru: b i = b i x ij Każdy program przewozowy nie może się składać z większej ilości tras, po których przewozimy towary niż m+n-1 (gdzie: m ilość dostawców, n ilość odbiorców. W niektórych przypadkach program przewozowy może się składać z mniejszej ilości tras niż m+ n -1, po których przewozimy towary. Mamy wówczas do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym.

14 Klasyczne zagadnienie transportowe 13 Algorytm transportowy 3 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D D D popyt Koszty = 30*4 +30*2 + 5*1 + 25*2 + 20*1 = 255

15 Klasyczne zagadnienie transportowe 14 Algorytm transportowy 4 Początkowy program przewozowy Metoda minimalnego elementu macierzy 1. Wybierz trasę o najmniejszym jednostkowym koszcie transportu. Jeżeli jest ich kilka wybór jest dowolny. 2. Wprowadź maksymalny przewóz na wybranej trasie (i,j): x ij = min(a i,b j ) 3. Skoryguj podaż w i-tym punkcie nadania: a i = a i x ij i popyt w j-tym punkcie odbioru: b i = b i x ij

16 Klasyczne zagadnienie transportowe 15 Algorytm transportowy 5 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D D D popyt

17 Klasyczne zagadnienie transportowe 16 Algorytm transportowy 6 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 60 D2 30 D popyt

18 Klasyczne zagadnienie transportowe 17 Algorytm transportowy 7 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D D D3 20 popyt

19 Klasyczne zagadnienie transportowe 18 Algorytm transportowy 8 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D1 60 D D popyt

20 Klasyczne zagadnienie transportowe 19 Algorytm transportowy 9 jednostkowe koszty transportu O1 O2 O3 podaż D D D popyt Koszt= 10*4 + 5*2 + 45*3 + 30*1 + 20*1 = 235 porównaj wynik z poprzednią metodą

21 Klasyczne zagadnienie transportowe 20 Algorytm transportowy 10 Model decyzyjny klasycznego zagadnienia transportowego jest zadaniem programowania liniowego. W celu ustalenia optymalnego programu przewozowego można posłużyć się metodą simpleks. Nie jest to jednak efektywne podejście z uwagi na dużą liczbę zmiennych ( m x n ) i ograniczeń ( m + n ). Dlatego do rozwiązywania klasycznego zagadnienia transportowego opracowano efektywniejsze numerycznie postępowanie tzw. algorytm transportowy. Oznaczenia: u i - zmienna dualna związana z bilansem dla i tego punktu nadania (i=1,2, m) v j - zmienna dualna związana z bilansem dla j tego punktu odbioru (j=1,2,,n) Tak jak w metodzie simpleks w algorytmie transportowym, dokonuje się uporządkowanego przeglądu rozwiązań bazowych wykorzystując do oceny każdego z nich wskaźniki optymalności. Wskaźniki optymalności w klasycznym zagadnieniu transportowym dają się przedstawić następująco: ij c ij u v i 1,2,..., m j 1,2,..., n i j

22 Klasyczne zagadnienie transportowe 21 Algorytm transportowy 11 Interpretacja wskaźnika optymalności: Jeżeli w aktualnym programie przewozowym pojawiłby się przewóz na trasie (i,j), to każda jednostka dobra przewożona na niej powodowałaby zmianę łącznych kosztów transportu o ij jednostek. Przy ij < 0 byłby to spadek łącznych kosztów, a przy ij > 0 - wzrost. Do wyznaczenia wskaźników optymalności dla aktualnego programu przewozowego należy obliczyć wartości wszystkich m+n zmiennych dualnych u i oraz v j. Do tego celu wykorzystuje się własność, że wskaźniki optymalności dla zmiennych bazowych (tras z przewozami, których jest m+n-1) są równe zero. Można zatem skonstruować układ m+n-1 równań z m+n niewiadomymi u i oraz v j i jednostkowymi kosztami transportu c ij jako wyrazami wolnymi : u i v j c ij ( i, j): x 0 ij Jest to układ z jednym stopniem swobody. W celu rozwiązania go dla dowolnie wybranej zmiennej u i lub v j należy przyjąć wartość zerową i rozwiązać układ ze względu na pozostałe m+n-1 zmiennych. Przyjęło się, że wartość zero nadajemy zmiennej u 1.

23 Klasyczne zagadnienie transportowe 22 Algorytm transportowy 12 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego - tabela wskaźników optymalności 1. pola tabeli wskaźników optymalności, dla których x ij >0 zawierają jedną liczbę: jednostkowy koszt transportu c ij 2. pozostałe pola tabeli wskaźników optymalności zawierają dwie liczby: (u i +v j ) oraz wskaźnik optymalności ij = c ij (u i +v j ) 3. program przewozowy jest optymalny, jeżeli wszystkie ij 0 ( gdy wszystkie ij dla zmiennych niebazowych - tras po których nie przewozimy towarów są ij >0 to rozwiązanie jest optymalne jednoznacznie, jeżeli przynajmniej jeden z tych wskaźników optymalności jest równy 0 to rozwiązanie jest optymalne niejednoznacznie. 4. wyznaczenie trasy dającej największą obniżkę kosztów (jeżeli uzyskany program przewozowy nie jest optymalny): dla wszystkich ij <0 kl = min{ ij }

24 Klasyczne zagadnienie transportowe 23 Algorytm transportowy 13 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego uzyskanego metodą kąta północno - zachodniego O1 O2 O3 u i 3 D1 4 2 D D v j 4 2 3

25 Klasyczne zagadnienie transportowe 24 Algorytm transportowy 14 Korekta programu przewozowego 1. postaw znak + na wytypowanej trasie dającej największą obniżkę kosztów 2. w rozpatrywanym programie przewozowym znakuj trasy o przewozie niezerowym znakami + i - w taki sposób, aby w każdym wierszu i każdej kolumnie była para + - lub nie było ich w ogóle 3. wyznacz wielkość korekty poprzez wybór wartości najmniejszej oznaczonej znakiem - : = min(x ij - ) 4. skoryguj rozpatrywany program przewozowy poprzez: x * ij = x ij + dla tras oznaczonych znakiem + x * ij = x ij - dla tras oznaczonych znakiem - x * ij = x ij dla tras nieoznaczonych

26 Klasyczne zagadnienie transportowe 25 Algorytm transportowy 15 Korekta programu przewozowego O1 O2 O3 podaż D D D popyt min{30,5,20} = 5

27 Klasyczne zagadnienie transportowe 26 Algorytm transportowy 16 Poprawiony program przewozowy O1 O2 O3 podaż D D D popyt Koszt = = 250 lub Koszt = ( 1 )= = 250

28 Klasyczne zagadnienie transportowe 27 Algorytm transportowy 17 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego iteracja 2 O1 O2 O3 u i D D D v j

29 Korekta programu przewozowego Klasyczne zagadnienie transportowe 28 Algorytm transportowy 18 O1 O2 O3 podaż D D D popyt min{25,15} = 15

30 Poprawiony program przewozowy Klasyczne zagadnienie transportowe 29 Algorytm transportowy 19 O1 O2 O3 podaż D D D popyt Koszt = = 235 lub Koszt = ( 1) = = 235

31 Klasyczne zagadnienie transportowe 30 Algorytm transportowy 20 Sprawdzenie optymalności programu przewozowego iteracja 3 O1 O2 O3 u i D D D v j Rozwiązanie optymalne niejednoznacznie

32 Klasyczne zagadnienie transportowe 31 Algorytm transportowy 21 O1 O2 O3 podaż D D D popyt min{10,30} = 10

33 Pierwszy alternatywny program przewozowy Klasyczne zagadnienie transportowe 32 Algorytm transportowy 22 O1 O2 O3 podaż D D D popyt Koszt = = 235

34 Klasyczne zagadnienie transportowe 33 Algorytm transportowy 23 O1 O2 O3 podaż D D D popyt min{35,30} = 30

35 Drugi alternatywny program przewozowy Klasyczne zagadnienie transportowe 34 Algorytm transportowy 24 O1 O2 O3 podaż D D D popyt Koszt = = 235

36 Klasyczne zagadnienie transportowe 35 Algorytm transportowy 25 Kombinacja liniowa rozwiązania niejednoznacznego: 0,, X opt

37 Klasyczne zagadnienie transportowe 36 Całkowita blokada trasy Załóżmy, że z trzeciej hurtowni nie można dostarczyć towaru do pierwszego sklepu. W celu całkowitej blokady wybranej trasy zwiększamy odpowiadający jej jednostkowy koszt transportu. O1 O2 O3 podaż D D M D3 M popyt

38 Klasyczne zagadnienie transportowe 37 Częściowa blokada trasy Załóżmy, że z pierwszej hurtowni do trzeciego sklepu można dostarczyć nie więcej niż 10 sztuk towaru. W celu częściowej blokady wybranej trasy podwajamy odbiorcę lub dostawcę, który jej odpowiada. Przypadek I podwojenie odbiorcy: O1 O2 O3 O3 podaż D M 60 D M D popyt

39 Klasyczne zagadnienie transportowe 38 Częściowa blokada trasy Przypadek II podwojenie dostawcy: O1 O2 O3 podaż D D1 4 2 M 50 M D D popyt

40 Rozważmy następujący problem transportowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 39 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D D D Popyt

41 Klasyczne zagadnienie transportowe 40 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego Wyznaczamy wyjściowy program przewozowy metodą kąta północnozachodniego O1 O2 O3 Podaż D D D Popyt Należy zauważyć, że pierwszy program przewozowy składa się z się z m+n-2 zmiennych bazowych (tras po których przewozimy towar). Z tego powodu nie jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości zmiennych dualnych u i oraz v j, a tym samym obliczyć wskaźników optymalności ij.

42 Klasyczne zagadnienie transportowe 41 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego Jeżeli degeneracja wystąpi na etapie wyznaczania rozwiązania początkowego, należy zaburzyć strukturę popytu i podaży poprzez dodanie do każdej ze składowych wektora podaży pewnej stałej ξ (ξ>0, ξ 0). Powstanie wówczas nadwyżka podaży w kwocie m*ξ, o którą należy zwiększyć popyt w dowolnym punkcie odbioru (na przykład w n-tym). O1 O2 O3 Podaż D ξ D ξ D ε Popyt ξ 190+3ξ

43 Klasyczne zagadnienie transportowe 42 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego Wyznaczamy wyjściowy program przewozowy metodą kąta północnozachodniego: Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 Podaż D ξ + 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D ξ ξ 80+ε Popyt ξ 190+3ξ O1 O2 O3 u i D D D v j 5 3 4

44 Korygujemy program przewozowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 43 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 20+2ξ - 50-ξ + 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D3 50-2ξ ξ - 80+ξ Popyt ξ 190+3ξ Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 u i D D D v j 5 3 8

45 Korygujemy program przewozowy: Sprawdzamy optymalność: Klasyczne zagadnienie transportowe 44 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 50-ξ ξ + 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D ξ - 80+ξ Popyt ξ 190+3ξ O1 O2 O3 u i D D D v j

46 Korygujemy program przewozowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 45 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 40-2ξ 30+3ξ 70+ξ D ξ - 40+ξ D ξ + 80+ξ Popyt ξ 190+3ξ Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 u i D D D v j Rozwiązanie niejednoznaczne. Przyjmujemy ξ=0 Koszt =40*3+40*3+10*1+70*1+30*1=370

47 Generujemy rozwiązanie alternatywne: Klasyczne zagadnienie transportowe 46 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 1 degeneracja pierwszego programu przewozowego O1 O2 O3 Podaż D1 40-2ξ 30+3ξ 70+ξ D2 40+ξ 40+ξ D3 30-ξ 50+2ξ 80+ξ Popyt ξ 190+3ξ Przyjmujemy ξ=0 Koszt =40*1+30*1+40*3+50*3+30*1=370 Kompletne rozwiązanie przedstawiamy w postaci kombinacji liniowej. X opt ,

48 Rozważmy następujący problem transportowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 47 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt

49 Klasyczne zagadnienie transportowe 48 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Wyznaczamy pierwsze rozwiązanie metodą kąta północno-zachodniego: Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt O1 O2 O3 O4 u i D D D v j

50 Klasyczne zagadnienie transportowe 49 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt

51 Korygujemy program przewozowy: Klasyczne zagadnienie transportowe 50 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt W nowym programie przewozowym występują tylko cztery zmienne bazowe (cztery trasy po których przewozimy towary) mamy więc do czynienia z degeneracją ponieważ m+n-1=6. W takim przypadku należy wpisać zera w te pola tabeli przewozów, z których zniknęły one w wyniku korekty przewozów in minus. Oczywiście liczba wpisanych zer musi być taka, aby liczba tras przewozowych wyniosła dokładnie m+n-1. Podstawowym zaleceniem przy wyborze tras do wpisywania zer jest wybór tras o najniższych kosztach c ij. W tym przypadku po korekcie przewozy zniknęły z tras : (1,1) (c 11 =2), (2,2)(c 22 =1),(3,3)(c 33 =4). Mamy do czynienia z degeneracją drugiego stopnia, co oznacza, że musimy do tabeli przewozów wpisać dwa zera. Z pośród trzech możliwych tras wybieramy dwie o najniższych kosztach jednostkowych przewozu: X 11 =0 i X 22 =0

52 Klasyczne zagadnienie transportowe 51 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Sprawdzamy optymalność: O1 O2 O3 O4 u i D D D v j Korygujemy program przewozowy: O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt

53 Klasyczne zagadnienie transportowe 52 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Nowy program przewozowy: O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt Ponownie zadanie jest zdegenerowane ponieważ wyzerowały się przewozy na trasach (1,1) i (2,2). Pozostawiamy trasę (2,2) jako bazową z zerowym przewozem. O1 O2 O3 O4 u i D D D v j

54 Klasyczne zagadnienie transportowe 53 Degeneracja programu przewozowego Przypadek 2 degeneracja pojawia się w trakcie rozwiązywania Otrzymaliśmy rozwiązanie optymalne jednoznacznie: O1 O2 O3 O4 Podaż D D D Popyt Koszt= 100*2+150*1+50*2+150*4=1050

55 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 1 W zagadnieniu transportowo-produkcyjnym dostawcami są producenci towaru. Ogólnie rozważamy m producentów pewnego jednorodnego produktu, z których każdy ma zdolność produkcyjną A i (i=1,,m) jednostek towaru i zaopatruje w swoją produkcję n odbiorców. Każdy odbiorca zgłasza zapotrzebowanie na B j jednostek (j=1,,n). Zakłada się, że łączne zdolności produkcyjne zakładów przekraczają zapotrzebowanie. Dane są ponadto jednostkowe koszty transportu c ij oraz jednostkowe koszty produkcji h i. W praktyce można także założyć, że zdolności produkcyjne wytwórców będą w pełni wykorzystane, a ich nadwyżka będzie magazynowana u producentów w celu zaspokojenia przyszłego popytu przy jednostkowych kosztach magazynowania z i. Mamy więc do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym, które bilansujemy wprowadzając fikcyjnego odbiorcę. Należy zauważyć, że zmienne decyzyjne x ij oznaczają ilości towaru wyprodukowane w i-tym zakładzie, dostarczone j-temu odbiorcy, natomiast x i,n+1 to nie wykorzystane zdolności produkcyjne lub ilości towaru pozostające w magazynach u producentów. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

56 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 2 Sposób postępowania: 1. Bilansowanie wprowadzamy fikcyjnego odbiorcę, którego popyt będzie oznaczał: nie wykorzystane możliwości produkcyjne, nadwyżkę produkcyjną zmagazynowaną u producentów. B n1 m i1 A i n j 1 B j 2. Konstruowanie macierzy łącznych kosztów działalności: koszty produkcji i transportu : k ij h i koszty produkcji i magazynowania: c ij (i 1,...,m; j 1,..., n) ki n1, 0 k ij h i c ij ( i 1,..., m; j 1,..., n) k i, n1 h i z i Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

57 Zagadnienie transportowo produkcyjne 3 Przykład Trzy młyny dostarczają mąkę do czterech piekarń. Jednostkowe koszty produkcji, transportu, magazynowania oraz popyt i podaż są następujące: Młyny Piekarnie A i h i z i P1 P2 P3 P4 M M M B j Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

58 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 4 Przykład Przypadek I nie wykorzystujemy nadwyżki zdolności produkcyjnych. Młyny Piekarnie A i P1 P2 P3 P4 F M M M B j Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

59 Zagadnienie transportowo-produkcyjne Metoda węgierska 5 5 Przykład 1 Funkcja celu : (łączne koszty produkcji i transportu) F(X) = 1130x x x x 14 +0x x x x x 24 +0x x x x x 34 +0x 35 min x 11 +x 12 +x 13 +x 14 +x 15 = 100 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 +x 25 = 50 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 +x 35 = 80 x 11 +x 21 +x 31 = 40 x 12 +x 22 +x 32 = 60 x 13 +x 23 +x 33 = 50 x 14 +x 24 +x 34 = 50 X 15 +x 25 +x 35 =30 X ij 0 i=1,,m j=1,,n Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

60 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 6 Przykład Rozwiązanie: [ x ij ] = Łączny koszt produkcji i transportu: F(X) = 10* * * * * * *0= PLN Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

61 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 7 Przykład Przypadek II magazynujemy nadwyżki produkcyjne. Młyny Piekarnie A i P1 P2 P3 P4 F M M M B j Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

62 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 8 Przykład Funkcja celu : (łączne koszty produkcji, transportu i magazynowania) F(X) = 1130x x x x x x x x x x x x x x x 35 min x 11 +x 12 +x 13 +x 14 +x 15 = 100 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 +x 25 = 50 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 +x 35 = 80 x 11 +x 21 +x 31 = 40 x 12 +x 22 +x 32 = 60 x 13 +x 23 +x 33 = 50 x 14 +x 24 +x 34 = 50 X 15 +x 25 +x 35 =30 X ij 0 i=1,,m j=1,,n Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

63 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 9 Przykład Rozwiązanie: [ x ij ] = Łączny koszt produkcji, transportu i magazynowania: F(X) = 50* * * * * *1106=256670PLN Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

64 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 10 Przykład Możliwość wykorzystania zmodyfikowanej metody minimalnego elementu macierzy do szybkiego uzyskania rozwiązania optymalnego. Punktem wyjścia jest przekształcenie macierzy kosztów do takiej postaci, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowało przynajmniej jedno zero. Można to uzyskać, odejmując od elementów poszczególnych wierszy macierzy kosztów najmniejszy element znajdujący się w danym wierszu, a następnie od poszczególnych kolumn otrzymanej w ten sposób macierzy odejmując najmniejszy element znajdujący się w danej kolumnie. Jeżeli uda się rozmieścić przewozy w miejscach, w których w macierzy występują zera, to otrzymane rozwiązanie jest optymalnym planem przewozów. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

65 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 11 Przykład Młyny Piekarnie min P1 P2 P3 P4 F M M M Młyny Piekarnie P1 P2 P3 P4 F M M M min Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010

66 Zagadnienie transportowo-produkcyjne 12 Przykład Młyny Piekarnie P1 P2 P3 P4 F M M M Młyny Piekarnie A i P1 P2 P3 P4 F M M M B j Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 2010