Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne"

Transkrypt

1 Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL /10

2 Podejście dziel i zwyciężaj Problem dzieli się rekurencyjnie na kilka niezależnych podproblemów Rozwiązuje się niezależne problemy Rozwiązania niezależnych problemów scala się do uzyskania rozwiązania wyjściowego problemu Przykłady algorytmów: Merge Sort (sortowanie przez scalanie) Wyszukiwanie binarne 2

3 Zadanie wyszukiwanie binarne Czy podany uporządkowany ciąg zawiera liczbę 5? 1, 2, 4, 5, 8, 13, 27, 33, 35 3

4 Zadanie Sortowanie przez scalanie Posortuj poniższy ciąg liczb wykorzystując sortowanie przez scalanie: 32, 5, 7, 13, 12, 17, 25, 1 4

5 Własność optymalnej podstruktury Optymalne rozwiązanie problemu jest zależne od optymalnych rozwiązań jego podproblemów Optymalne rozwiązanie problemu jest funkcją optymalnych rozwiązań jego podproblemów Problemy posiadające własność optymalnej podstruktury często dają się rozwiązać za pomocą: Programowania dynamicznego Algorytmów zachłannych 5

6 Programowanie dynamiczne Problem daje się podzielić na podproblemy, które są od siebie zależne Każdy podproblem jest rozwiązywany tylko raz Na każdym etapie rozwiązywania probemu jest podejmowana decyzja, która prowadzi do kolejnego etapu decyzyjnego Decyzja w k-tym etapie procesu decyzyjnego zależy tylko od stanu procesu przy końcu k-1-ego etapu (własność Markowa) Optymalną funkcję celu opisuje równanie rekurencyjne 6

7 Programowanie dynamiczne przykładowy problem Problem ścieżki o zadanej długości w grafie skierowanym G(V,E): Dany jest dowolny graf skierowany G(V,E) Z każdym łukiem tego grafu związana jest dodatnia waga w(e) Wskazany jest wierzchołek startowy v 1 oraz wierzchołek końcowy v 2 pytanie: Czy istnieje ścieżka o zadanej długości przechodząca przez dowolne wierzchołki tego grafu rozpoczynająca się w v 1 i kończąca w v 2? 7

8 Programowanie dynamiczne, zadanie 1 Listonosz ma przebyć drogę 12 km. Swoją podróż powinien rozpocząć w mieście A i zakończyć w mieście B. Listonosz może wielokrotnie odwiedzać wszystkie miasta Odległości pomiędzy miastami: A B (2 km) A C (3 km) A D (5 km) B C (4 km) B D (1 km) C D (6 km) 8

9 Programowanie dynamiczne - Algorytm Viterbiego Ukryty model Markowa: Stany nie są widoczne dla obserwatora Obserwacje są widoczne dla obserwatora Algorytm znajdowania najbardziej prawdpodobnej sekwencji ukrytych stanów (tzw. ścieżka Viterbiego) Najbardziej prawdopodobna sekwencja w stanie t zależy jedynie od sekwencji w czasie t-1 Równanie rekurencyjne ma postać: t max ( j) [ ( i) t 1 1 i N Gdzie A jest tablicą przejść [aij ] B [ ( k)] jest tablicą obserwacji bi [ ] jest tablicą prawdopodobieństw początkowych i a ij ] b i ( O t ), 1 n N 9

10 Programowanie dynamiczne, zadanie 2 Znaleźć najbardziej prawdopodobną sekwencję stanów dla zdania Amino acid is compound wiedząc, że graf transycji przedstawia się następująco: 10

11 Algorytmy zachłanne W każdym kroku podejmowana jest lokalnie optymalna decyzja Podjęcie decyzji w danym kroku nie zależy od poprzednich decyzji Metody zachłanne nie gwarantują otrzymania optymalnego rozwiązania dla wszystkich problemów, dla których mogą być wykorzystane - istnieją jednak problemy, dla których te metody zawsze zwracają rozwiązanie optymalne 11

12 Problem wydawania reszty Polega na wybraniu monet ze zbioru monet o określonych nominałach w ten sposób, aby otrzymać żądaną kwotę przy użyciu minimalnej liczby monet Problem ma praktyczne zastosowanie: Bankomaty Automaty vendingowe 12

13 Problem wydawania reszty nominały polskie Zbiór dostępnych nominałów N { 1gr,2gr,5gr,10gr,20gr,50gr,1zł,2zł,5zł} Przykłady: 25 gr = 20 gr + 5 gr 30 gr = 20 gr + 10 gr 40 gr = 2 * 20gr 57 gr = 50 gr + 5 gr + 2 gr Czy rozwiązanie zachłanne Z(C) daje ten sam wynik co programowanie dynamiczne D(C)? Z(C) = D(C)? 13

14 Problem wydawania reszty inne nominały Zbiór nominałów N {1,2,5,10,20,25,50} Przykłady: 24 = = = = Optymalne rozwiązanie dla: 40 = rozwiązanie zachłanne nie jest w tym wypadku optymalne 14

15 Problem wydawania reszty - analiza rozwiązań Analiza optymalności zachłannego algorytmu wydawania reszty powinna być prowadzona dla konkretnego c a nie dla wszystkich możliwych C: Z ( c) D( c) dlapewnego c Jeśli algorytm Z(C) nie jest optymalny, to musi istnieć pewień kontrprzykład istnieje c dla którego: Z ( c) D( c) dla Zostało udowodnione, że dla dowolnego zbioru nominałów N {V } i, takiego że V... 1 i 1 V 2 V n jeśli istnieje kontrprzykład c to musi on się istnieć w przedziale c n V pewnego V V c 15

16 Problem wydawania reszty - zadanie Sprawdzić, czy metoda zachłanna dla problemu wydawania reszty jest optymalna dla zbioru nominałów N {1,2,5,7} 16

17 Matroid Niech N będzie skończonym zbiorem, a P niepustą rodziną podzbiorów N. Para (N,P) jest matroidem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1. Jeśli B P oraz A B, to A P 2. Jeśli A,B P oraz A + 1 = B, to istnieje x B\A, taki że A {x} P 17

18 Matroid - zadanie Zbudować najmniejszy matroid (N,P) taki, że N = {a,b,c,d} P zawiera zbiór {a,b} 18

19 Matroid grafowy Niech G=(V,E) będzie nieskierowanym grafem Niech zbiór N = E oraz P = { A : A E i (V,A) jest lasem} Twierdzenie: (N,P) jest matroidem 19

20 Problem minimalnego drzewa rozpinającego Drzewo rozpinające D(V 1,E 1 ) grafu G(V 2,E 2 ) to drzewo, które zawiera wszystkie wierzchołki tego grafu i podzbiór jego krawędzi: V 1 =V 2 E 1 E 2 Minimalne drzewo rozpinające grafu ważonego G to drzewo rozpinające tego grafu, dla którego suma wag jest najmniejsza 20

21 Algorytm Kruskala Utwórzenie lasu L(V,E 2 ) z wierzchołków grafu G(V,E 1 ) V 2 = V 1 E2 = Za zbiór S przyjmij zbiór wszystkich krawędzi E 1 oryginalnego grafu G Dopóki zbiór S jest niepusty: wybierz najmniejszą krawędź ze zbioru S Jeśli krawędź ta łączy 2 różne drzewa w lesie L to dodaj ją do zbioru E 2 Usuń wybraną krawędź ze zbioru S 21

22 Algorytm Kruskala - zadanie

23 Algorytmy zachłanne Jeśli problem posiada własność optymalnej podstruktury i można przeprowadzić dowód matematyczny (np. poprzez indukcję matematyczną), że dla dowolnej instancji tego problemu algorytm zachłanny zwraca optymalny wynik, to algorytm zachłanny dla tego problemu jest optymalny Jeśli problem daje się sformułować w kategoriach matroidu, to strategia zachłanna dla tego problemu jest optymalna 23

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów

Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne

Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. IX Jesień 2014 1 / 26 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek

Algorytmy i str ruktury danych. Metody algorytmiczne. Bartman Jacek Algorytmy i str ruktury danych Metody algorytmiczne Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Metody algorytmiczne - wprowadzenia Znamy strukturę algorytmów Trudność tkwi natomiast w podaniu metod służących

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy zachłanne, algoritme Dijkstry Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XI Jesień 2013 1 / 25 Algorytmy zachłanne Strategia polegająca na

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Temat: Algorytmy zachłanne

Temat: Algorytmy zachłanne Temat: Algorytmy zachłanne Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje się w danej chwili najkorzystniejsze. Wybiera zatem lokalnie optymalną możliwość w nadziei,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew

EGZAMIN - Wersja A. ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Lisek89 opracowanie kartki od Pani dr E. Koszelew 1. ( pkt) Dany jest algorytm, który dla dowolnej liczby naturalnej n, powinien wyznaczyd sumę kolejnych liczb naturalnych mniejszych od n. Wynik algorytmu jest zapisany w zmiennej suma. Algorytm i=1; suma=0;

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane algorytmy i struktury danych

Zaawansowane algorytmy i struktury danych Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.

Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj

Wykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj Wykład 3 Metoda dziel i zwyciężaj 1 Wprowadzenie Technika konstrukcji algorytmów dziel i zwyciężaj. przykładowe problemy: Wypełnianie planszy Poszukiwanie (binarne) Sortowanie (sortowanie przez łączenie

Bardziej szczegółowo

Strategia "dziel i zwyciężaj"

Strategia dziel i zwyciężaj Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Sortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania

Sortowanie danych. Jolanta Bachan. Podstawy programowania Sortowanie danych Podstawy programowania 2013-06-06 Sortowanie przez wybieranie 9 9 9 9 9 9 10 7 7 7 7 7 10 9 1 3 3 4 10 7 7 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 Gurbiel et al. 2000

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne

Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne Ćwiczenie 3 Programowanie dynamiczne [źródło: Wprowadzenie do algorytmów, T.H. Cormen, Ch.E. Leiserson, R.L.Rivest, Wyd. Naukowo-Techniczne Warszawa, 2001; ZłoŜoność obliczeniowa problemów kombinatorycznych,

Bardziej szczegółowo

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy:

Literatura. 1) Pojęcia: złożoność czasowa, rząd funkcji. Aby wyznaczyć pesymistyczną złożoność czasową algorytmu należy: Temat: Powtórzenie wiadomości z PODSTAW INFORMATYKI I: Pojęcia: złożoność czasowa algorytmu, rząd funkcji kosztu. Algorytmy. Metody programistyczne. Struktury danych. Literatura. A. V. Aho, J.E. Hopcroft,

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych IS/IO, WIMiIP

Algorytmy i struktury danych IS/IO, WIMiIP Algorytmy i struktury danych IS/IO, WIMiIP Danuta Szeliga AGH Kraków Spis treści I 1 Algorytmy i struktury danych 2 Spis treści 3 Organizacja zajęć 4 Literatura 5 Pojęcia podstawowe Rozwiązywanie problemu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Programowanie dynamiczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. X Jesień 2013 1 / 21 Dziel i zwyciężaj przypomnienie 1 Podział problemu na 2 lub

Bardziej szczegółowo

Algorytmy zachłanne. dr inż. Urszula Gałązka

Algorytmy zachłanne. dr inż. Urszula Gałązka Algorytmy zachłanne dr inż. Urszula Gałązka Algorytm zachłanny O Dokonuje wyboru, który w danej chwili wydaje się najkorzystniejszy. O Mówimy, że jest to wybór lokalnie optymalny O W rzeczywistości nie

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne (optymalizacja dynamiczna).

Programowanie dynamiczne (optymalizacja dynamiczna). Programowanie dynamiczne (optymalizacja dynamiczna). W wielu przypadkach zadania, których złożoność wynikająca z pełnego przeglądu jest duża (zwykle wyk ładnicza) można rozwiązać w czasie wielomianowym

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie

Bardziej szczegółowo

Problem straŝaka w drzewach. Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS

Problem straŝaka w drzewach. Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS Problem straŝaka w drzewach Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Algorytmy i Struktury Danych www.pk.edu.pl/~zk/aisd_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 9: Programowanie

Bardziej szczegółowo

Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury.

Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury. Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury. Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili

Bardziej szczegółowo

Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie

Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy

Bardziej szczegółowo

Projektowanie i analiza algorytmów

Projektowanie i analiza algorytmów POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Projektowanie i analiza algorytmów www.pk.edu.pl/~zk/piaa_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze

Bardziej szczegółowo

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:

Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne Patryk Żywica 5 maja 2008 1 Spis treści 1 Problem wydawania reszty 3 1.1 Sformułowanie problemu...................... 3 1.2 Algorytm.............................. 3 1.2.1 Prosty

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).

Działanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ). Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze

Bardziej szczegółowo

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy

Bardziej szczegółowo

Rekurencja. Przykład. Rozważmy ciąg

Rekurencja. Przykład. Rozważmy ciąg Rekurencja Definicje rekurencyjne Definicja: Mówimy, iż ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli: (P) Określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu, zwykle jest to pierwszy wyraz tego ciągu

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s].

Uwaga: Funkcja zamień(a[j],a[j+s]) zamienia miejscami wartości A[j] oraz A[j+s]. Zadanie 1. Wiązka zadań Od szczegółu do ogółu Rozważmy następujący algorytm: Dane: Algorytm 1: k liczba naturalna, A[1...2 k ] tablica liczb całkowitych. n 1 dla i=1,2,,k wykonuj n 2n s 1 dopóki s

Bardziej szczegółowo

[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).

[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). [12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). Tworzenie projektów informatycznych opiera się w dużej mierze na formułowaniu i implementacji algorytmów,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych.

Algorytmy i struktury danych. Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja. Algorytmy dokładne

Optymalizacja. Algorytmy dokładne dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

Programowanie od pierwszoklasisty do maturzysty. Grażyna Koba

Programowanie od pierwszoklasisty do maturzysty. Grażyna Koba Programowanie od pierwszoklasisty do maturzysty Grażyna Koba Krąg trzydziestolecia nauki programowania C++, Java Scratch, Baltie, Logo, Python? 2017? Informatyka SP, GIMN, PG 1987 Elementy informatyki

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Łańcuchy Markowa: zagadnienia graniczne. Ukryte modele Markowa. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ KLASYFIKACJA STANÓW Stan i jest osiągalny

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, Spis treści. Wprowadzenie 2

Wprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, Spis treści. Wprowadzenie 2 Wprowadzenie do algorytmów / Thomas H. Cormen [et al.]. - wyd. 7. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa XIII Część I Podstawy Wprowadzenie 2 1. Rola algorytmów w obliczeniach 4 1.1. Algorytmy 4 1.2. Algorytmy

Bardziej szczegółowo

Załącznik KARTA PRZEDMIOTU. KARTA PRZEDMIOTU Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010

Załącznik KARTA PRZEDMIOTU. KARTA PRZEDMIOTU Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010 1/1 Wydział Automatyki, Elektroniki i Informatyki, Rok akademicki: 2009/2010 Kierunek: INFORMATYKA Specjalność: PRZEDMIOT OBOWIĄZKOWY DLA WSZYSTKICH STUDENTÓW. Tryb studiów: NIESTACJONARNE PIERWSZEGO STOPNIA

Bardziej szczegółowo

Planowanie przedsięwzięć

Planowanie przedsięwzięć K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8 Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Konwersja NFA do DFA... 2 Minimalizacja liczby stanów DFA... 4 Konwersja automatu DFA do

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA

OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 16.01.2003 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ALGORYTMY ZACHŁANNE czas [ms] Porównanie Algorytmów Rozwiązyjących problem TSP 100 000 000 000,000 10 000 000

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych ELEMENTY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Laboratorium nr 9 PRZESZUKIWANIE GRAFÓW Z

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B),(A, D),(A, C),(B, C),...,} Ścieżki i cykle Ciag wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda Segmentacja obrazów cyfrowych Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp autor: Łukasz Chlebda 1 Segmentacja obrazów cyfrowych - temat pracy Temat pracy: Aplikacja do segmentacji

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem

Bardziej szczegółowo

Materiały dla finalistów

Materiały dla finalistów Materiały dla finalistów Malachoviacus Informaticus 2016 11 kwietnia 2016 Wprowadzenie Poniższy dokument zawiera opisy zagadnień, które będą niezbędne do rozwiązania zadań w drugim etapie konkursu. Polecamy

Bardziej szczegółowo

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie

Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7 Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI STYCZEŃ POZIOM ROZSZERZONY Część I

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI STYCZEŃ POZIOM ROZSZERZONY Część I Organizatorzy: Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki, Oddział Kujawsko-Pomorski Polskiego Towarzystwa Informatycznego, Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Poznaniu, Centrum

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI STYCZEŃ POZIOM ROZSZERZONY Część I

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI STYCZEŃ POZIOM ROZSZERZONY Część I Organizatorzy: Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki, Oddział Kujawsko-Pomorski Polskiego Towarzystwa Informatycznego, Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli w Poznaniu, Centrum

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Algorytmy na tablicach Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. III Jesień 2013 1 / 23 Dwadzieścia pytań Zasady 1 Osoba 1 wymyśla hasło z ustalonej

Bardziej szczegółowo

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany

Drzewa rozpinajace, zbiory rozłaczne, czas zamortyzowany , 1 2 3, czas zamortyzowany zajęcia 3. Wojciech Śmietanka, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński rozpinajace, 1 2 3 rozpinajace Mamy graf nieskierowany, ważony, wagi większe od 0. Chcemy wybrać taki podzbiór

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 8 1 / 39 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel

Wstęp do programowania. Drzewa. Piotr Chrząstowski-Wachtel Wstęp do programowania Drzewa Piotr Chrząstowski-Wachtel Drzewa Drzewa definiują matematycy, jako spójne nieskierowane grafy bez cykli. Równoważne określenia: Spójne grafy o n wierzchołkach i n-1 krawędziach

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9

Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9 Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 5 część I 2 Iteracja Rekurencja Indukcja Iteracja Rekurencja Indukcja Algorytmy sortujące Rozwiazywanie

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU. 1. Informacje ogólne. 2. Ogólna charakterystyka przedmiotu. Algorytmy i struktury danych, C3

KARTA PRZEDMIOTU. 1. Informacje ogólne. 2. Ogólna charakterystyka przedmiotu. Algorytmy i struktury danych, C3 KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu i kod (wg planu studiów): Nazwa przedmiotu (j. ang.): Kierunek studiów: Specjalność/specjalizacja: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Forma studiów:

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 22/23 Outline Programowanie zachłanne Programowanie zachłanne Rodzaje kodów Programowanie zachłanne Kody stałej długości (np. ASCII). Kody zmiennej

Bardziej szczegółowo

Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!

Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Metody przeszukiwania

Metody przeszukiwania Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH

ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH wykład 1 wprowadzenie, struktury sterujace, projektowanie algorytmów dr hab. inż. Andrzej Obuchowicz, prof. UZ Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych UZ p. 425 A2 tel.

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)

KONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.) Joanna Osio asiaosio@poczta.onet.pl Nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie KONSPEKT ZAJĘĆ KOŁA INFORMATYCZNEGO LUB MATEMATYCZNEGO W KLASIE III GIMNAZJUM LUB I LICEUM ( 2 GODZ.)

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika

Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Napisanie programu komputerowego: Zasada rozwiązania zadania Stworzenie sekwencji kroków algorytmu Przykłady algorytmów z życia codziennego (2/1 6)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna - zadania

Matematyka Dyskretna - zadania zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu

Bardziej szczegółowo

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Programowanie Dynamiczne dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 14 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo