Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik"

Transkrypt

1 Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik

2 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM Metoda kąta północno-zachodniego Metoda potencjałów Bilansowanie zadania niezbilansowanego Fikcyjny dostawca Fikcyjny odbiorca Degeneracja w zadaniu transportowym Problem komiwojażera Algorytm genetyczny T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

3 3.. Wprowadzenie Zadanie transportowe Mamy ustaloną liczbę dostawców i odbiorców, znamy podaż każdego dostawcy i zapotrzebowanie każdego odbiorcy w ustalonym odcinku czasu oraz koszty jednostkowe transportu pomiędzy poszczególnymi dostawcami i odbiorcami, proporcjonalnie do ilości przewiezionego towaru. Należy znaleźć taki plan przewozów, który minimalizuje łączny ich koszt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

4 3.. Wprowadzenie Problem komiwojażera Mamy n miast, które należy odwiedzić w dowolnej kolejności, rozpoczynając podróż z miasta o numerze i wracając c do niego, przy czym każde z miast można odwiedzić dokładnie jeden raz. Znając wszystkie odległości miedzy miastami należy znaleźć trasę przejazdu o minimalnej długości. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

5 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (/3) Przykład 3. Miejscowość O O 2 O D D D D D 2 D O O 2 5 O 3 45 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

6 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (2/3) Model matematyczny Cel Określenie planu przewozów, który minimalizuje łączny koszt. Zmienne decyzyjne x - planowany przewóz na trasie od D do O x 2 - planowany przewóz na trasie od D do O2 x 3 - planowany przewóz na trasie od D do O3 x 2 - planowany przewóz na trasie od D2 do O x 22 - planowany przewóz na trasie od D2 do O2 x 23 - planowany przewóz na trasie od D2 do O3 x 3 - planowany przewóz na trasie od D3 do O x 32 - planowany przewóz na trasie od D3 do O2 x 33 - planowany przewóz na trasie od D3 do O3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

7 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie transportowe w ujęciu programowania liniowego (3/3) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f (x, x 2, x 3, x 2, x 22, x 23, x 3,x 32, x 33 ) = x +4x 2 +7x x 2 +5x 22 +x 23 +6x 3 +7x 32 +9x 33 min Ograniczenia x +x 2 +x 3 = 2 x 2 +x 22 +x 23 = 2 x 3 +x 32 +x 33 = 3 Rozwiązanie optymalne x,..., x 33 x +x 2 +x 3 = x 2 +x 22 +x 32 = 5 x 3 +x 23 +x 33 = 45 x = 5 x 2 = x 3 = 5 x 2 = 5 x 22 = 5 x 23 = x 3 = x 32 = x 33 = 3 Minimalny koszt transportu wynosi 47. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

8 oblem komiwojażera c - wektor funkcji celu, A - macierz współczynników, b - wektor warunków ograniczających, x - wektor zmiennych. min = x b Ax cx c c x b Ax cx = = przy czym max 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (/7) Postać macierzowa zadania prymalnego 3. Zadanie transportowe i pro T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8 x - wektor zmiennych. = x x x x x x x x x x [ ] = c = A = b

9 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (2/7) Zasady tworzenia zadania dualnego Zadanie prymalne (ZP) Zadanie dualne (ZD) cx max yb min Ax = b ya c x y dowolne y = [ y y y y y ] y6 Przyjmujemy, że y = [u, v] u wektor zmiennych ZD odpowiadających dostawcom, v wektor zmiennych ZD odpowiadających odbiorcom. u = [ u u ] 2 u3 y = v [ v v ] 2 v3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9 = [ u u u v v ] v3

10 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (3/7) Postać zadania dualnego yb = [ u u2 u3 v v2 v3] 2 = 2u + 2u2 + 3u3 + v + 5v2 + 45v3 min ya = [ u u2 u3 v v2 v3 ] = c u u u + v 2 + v 3 + v 3 6 u u u + v2 2 + v2 3 + v v3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem u u u 2 + v3 3 + v3 7 9

11 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (4/7) Zadanie prymalne i dualne zestawienie Zadanie prymalne x 4x 2 7x 3 3x 2 5x 22 x 23 6x 3 7x 32 9x 33 max Zadanie dualne x +x 2 +x 3 = 2 x +x 2 +x 3 = x 2 +x 22 +x 23 = 2 x 2 +x 22 +x 32 = 5 x 3 +x 32 +x 33 = 3 x 3 +x 23 +x 33 = 45 x,..., x 33 2u + 2u 2 + 3u 3 + v + 5v v 3 min u + v + u + v u + v u 2 + v + 3 u 2 + v u 2 + v 3 + u 3 + v + 6 u 3 + v u 3 + v u, u 2, u 3, v, v 2, v 3 - dowolne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

12 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (5/7) Zależności między zmiennymi i warunkami ograniczającymi x odpowiada warunkowi u + v + x 2 odpowiada warunkowi u + v x 3 odpowiada warunkowi u + v x 2 odpowiada warunkowi u 2 + v + 3 x 22 odpowiada warunkowi u 2 + v x 23 odpowiada warunkowi u 2 + v 3 + x 3 odpowiada warunkowi u 3 + v + 6 x 32 odpowiada warunkowi u 3 + v x 33 odpowiada warunkowi u 3 + v T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

13 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (6/7) Twierdzenie o komplementarności czyli: stąd: (u + v + ) x = (u 2 + v + 3) x 2 = (u 3 + v + 6) x 3 = (ya c) = ([u, v] A c) x = (u + v 3 + 7) x 3 = (u 2 + v 3 + ) x 23 = (u 3 + v 3 + 9) x 33 = (u + v 2 + 4) x 2 = (u 2 + v 2 + 5) x 22 = (u 3 + v 2 + 7) x 32 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

14 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Zadanie dualne do zadania transportowego (7/7) Wnioski z twierdzenia o komplementarności Jeżeli x >, to u + v + = Jeżeli x 2 >, to u + v = Jeżeli x 3 >, to u + v = Jeżeli x 2 >, to u 2 + v + 3 = Jeżeli x 22 >, to u 2 + v = Jeżeli x 23 >, to u 2 + v 3 + = Jeżeli x 3 >, to u 3 + v + 6 = Jeżeli x 32 >, to u 3 + v = Jeżeli x 33 >, to u 3 + v = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

15 3.2. Zadanie transportowe i jego własności Sformułowanie zadania transportowego (/) Zbilansowane zadanie transportowe Oznaczenia m - liczba dostawców, n - liczba odbiorców, a i - podaż i -tego dostawcy (i =,...,m), b j - popyt j -tego odbiorcy (j =,...,n), x ij - ilość towaru przewieziona od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, c ij - koszt przewozu jednostki towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Sformułowanie zadania n x = a ij j= m x ij = i= b i j m m i= n i= j= n a i = b j= c ij x ij min dla i =,...,m dla j =,...,n j x ij T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

16 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (/7) Definicje X = Rozwiązanie bazowe Węzły bazowe Linia Wielkość przewozu Macierz przewozów Podaż i popyt po modyfikacji _ Macierz kosztów C = zawiera n + m - zmiennych bazowych - odpowiadają zmiennym bazowym - węzły ustalonego wiersza lub ustalonej kolumny x ij = min (a i,b j ) a i = a i x ij b j = b j x ij T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

17 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (2/7) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

18 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (3/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

19 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (4/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9

20 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (5/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

21 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (6/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

22 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (7/7) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Macierz kosztów jednostkowych Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 22

23 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda VAM (/3) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż Popyt Macierz kosztów jednostkowych Różnice w wierszach Różnice w kolumnach T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

24 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda VAM (2/3) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Podaż Macierz kosztów jednostkowych Popyt Różnice w wierszach Różnice w kolumnach T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

25 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda VAM (3/3) Przebieg obliczeń (c.d.) Rozwiązanie początkowe Macierz kosztów jednostkowych Podaż 5 Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 25 3 Różnice w wierszach Różnice w kolumnach

26 3.3. Pierwsze dopuszczalne rozwiązanie bazowe Metoda kąta północno-zachodniego (/) Przebieg obliczeń Rozwiązanie początkowe Podaż (metoda kąta północno-zachodniego) Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 26

27 3.4. Metoda potencjałów Szkic algorytmu. Znaleźć pierwsze, dopuszczalne rozwiązanie bazowe. 2. Ocenić, czy jest ono optymalne, czy też nie. 3. Jeżeli nie jest optymalne, wyznaczyć nowe sąsiednie rozwiązanie bazowe. W tym celu należy: - wybrać zmienną wchodzącą do bazy, - wybrać zmienną usuwaną z bazy, - znaleźć rozwiązanie bazowe odpowiadające bazie sąsiedniej 4. Jeżeli otrzymane rozwiązanie jest optymalne, zakończyć postępowanie. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 27

28 3.4. Metoda potencjałów Badanie optymalności rozwiązania (/3) Konstrukcja układu równań Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Podaż Popyt Ponieważ x >, więc u + v + = Ponieważ x 2 >, więc u + v = Ponieważ x 22 >, więc u 2 + v = Ponieważ x 23 >, więc u 2 + v 3 + = Ponieważ x 33 >, więc u 3 + v = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 28 u = a, v = a u 2 = + a, v 2 = 4 a u 3 = + a, v 3 = a

29 3.4. Metoda potencjałów Badanie optymalności rozwiązania (2/3) Wskaźniki optymalności C = c ij = u i + v j + c ij c = u + v + = a + ( a) + = c 2 = u + v = a + ( 4 a) + 4 = c 3 = u + v = a + ( a) + 7 = 3 c 2 = u 2 + v + 3 = ( + a) + ( a) + 3 = c 22 = u 2 + v = ( + a) + ( 4 a) + 5 = c 23 = u 2 + v 3 + = ( + a) + ( a) + = c 3 = u 3 + v + 6 = ( + a) + ( a) + 6 = 6 c 32 = u 3 + v = ( + a) + ( 4 a) + 7 = 4 c 33 = u 3 + v = ( + a) + ( a) + 9 = u = a, v = a u 2 = + a, v 2 = 4 a u 3 = + a, v 3 = a 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 29 C' = 6 4

30 3.4. Metoda potencjałów Badanie optymalności rozwiązania (3/3) Kryterium optymalności Jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są dodatnie lub równe zeru, wtedy rozpatrywane rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli choć jeden ze wskaźników optymalności jest ujemny, wtedy istnieje możliwość poprawy tego rozwiązania. C' = Istnieje możliwość poprawy rozwiązania początkowego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

31 3.4. Metoda potencjałów Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy (/) Kryterium wejścia W macierzy wskaźników optymalności znajdujemy element najmniejszy. Odpowiadającą mu zmienną wprowadzamy do nowej bazy. Jeżeli najmniejszej wartości wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jedna zmienna, to do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze wiersza, a gdy numer wiersza dla dwóch zmiennych jest taki sam, wówczas do nowej bazy wprowadzamy zmienną o najmniejszym numerze kolumny. C' = Do bazy wprowadzamy zmienną x 3. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

32 3.4. Metoda potencjałów Wybór zmiennej opuszczającej bazę (/) Kryterium wyjścia Półcykl dodatni: węzły (2, 2), (, 3) Półcykl ujemny: węzły (, 2), (2, 3) Bazę opuszcza ta zmienna należąca do półcyklu ujemnego, dla której wielkość przewozu w dotychczasowym rozwiązaniu jest minimalna. W przypadku niejednoznaczności postępujemy tak samo, jak w przypadku wystąpienia niejednoznaczności w kryterium wejścia. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 32

33 3.4. Metoda potencjałów Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego (/) Wyznaczenie cyklu Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Nowe rozwiązanie dopuszczalne (iteracja ) Wartość funkcji celu 5 Wartość funkcji celu 48 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33

34 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (/6) Iteracja 2 Macierz wskaźników optymalności Układ równań: u + v = u + v 3 3 = u 2 + v 2 = u 2 + v 3 = u 3 + v 3 = Rozwiązanie: u =, v =, u 2 = 3, v 2 = 3, u 3 = 3, v 3 = 3. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34

35 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (2/6) Iteracja 2 (c.d.) Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35 u i 3 3 v j

36 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (3/6) Iteracja 2 (c.d.) Rozwiązanie dopuszczalne Podaż Popyt Macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36

37 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (4/6) Iteracja 2 (c.d.) Dotychczasowe rozwiązanie dopuszczalne Nowe rozwiązanie dopuszczalne Podaż T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Popyt Wartość funkcji celu (iteracja 2) 47

38 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (5/6) Iteracja 3 Macierz wskaźników optymalności Układ równań u + v = u + v 3 = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 = u 3 + v 3 = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38 Rozwiązanie: u =, v =, u 2 = 2, v 2 = 2, u 3 =, v 3 =.

39 3.4. Metoda potencjałów Kolejne iteracje (6/6) Iteracja 3 (c.d.) Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39 u i 2 v j

40 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (/9) Przykład 3.2 a =, a 2 =2, a 3 =3 b =, b 2 =2, b 3 =3 Rozwiązanie początkowe (metoda kąta północno-zachodniego) C 3 = Podaż T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Popyt

41 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (2/9) Rozwiązania początkowe T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

42 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (3/9) Iteracja u + v + 7 = u + v = u 2 + v = u 2 + v 3 + = u 3 + v = Macierz kosztów jednostkowych u =, v = 7 u 2 = 2, v 2 = 4 u 3 = 6, v 3 = 7 4 v j Macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 42 u i 2 6

43 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (4/9) Iteracja (c.d.) Rozwiązanie początkowe Początkowa + wartość funkcji 2 + celu Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 Wartość funkcji celu (iteracja ) 23 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43

44 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (5/9) Iteracja 2 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44 u i v j

45 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (6/9) Iteracja 2 (c.d.) Rozwiązanie początkowe Nowe rozwiązanie dopuszczalne 2 Początkowa wartość funkcji celu 23 Wartość funkcji celu (iteracja 2) 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45

46 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (7/9) Iteracja 3 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46 u i 7 7 v j

47 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (8/9) Iteracja 3 (c.d.) Rozwiązanie początkowe Nowe rozwiązanie dopuszczalne Początkowa wartość funkcji celu 6 Wartość funkcji celu (iteracja 3) 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47

48 3.4. Metoda potencjałów Degeneracja w zadaniu transportowym (9/9) Iteracja 4 Dotychczasowa macierz wskaźników optymalności Nowa macierz wskaźników optymalności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 48 u i 2 2 v j

49 3.4. Metoda potencjałów Reguły postępowania w rozwiązywaniu zadania transportowego (/) Algorytm. Uzyskanie pierwszego rozwiązania bazowego. 2. Wyznaczenie wskaźników optymalności. 3. Badanie optymalności rozwiązania. 4. Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy. 5. Konstrukcja cyklu. 6. Wybór zmiennej opuszczającej bazę. 7. Przejście do rozwiązania bazowego sąsiedniego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 49

50 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Podaż przewyższa popyt (/2) Fikcyjny odbiorca m i= n a i > b j= a = 25, a 2 = 2, a 3 = 3 b =, b 2 = 5, b 3 = C = b 4 = (a + a 2 + a 3 ) (b + b 2 + b 3 ) = ( ) ( ) = 5 j T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

51 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Podaż przewyższa popyt (2/2) Fikcyjny odbiorca (c.d.) Rozwiązanie początkowe (metoda minimalnego elementu) Macierz kosztów jednostkowych Rozwiązanie optymalne 5 x = x 2 = x 3 = 5 x 4 = x 2 = x 22 = 5 x 23 = x 24 = 5 x 3 = x 32 = x 33 = 3 x 34 = Optymalna wartość funkcji celu jest równa Podaż Popyt Wartość funkcji celu 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

52 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Popyt przewyższa podaż (/2) Fikcyjny dostawca m i= n a i < b j= a = 2, a 2 = 2, a 3 = 3 b =, b 2 = 5, b 3 = C = a 4 = (b + b 2 + b 3 ) (a + a 2 + a 3 ) = ( ) ( ) = 5 j T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 52

53 3.5. Bilansowanie zadania transportowego Popyt przewyższa podaż (2/2) Fikcyjny dostawca (c.d.) Rozwiązanie początkowe Rozwiązanie początkowe (metoda VAM) Podaż Popyt Nowa macierz wskaźników optymalności Rozwiązanie optymalne x = x 2 = x 3 = x 2 = x 22 = 5 x 23 = 5 x 3 = x 32 = x 33 = 3 x 4 = x 42 = x 43 = 5 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 47. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 53

54 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (/4) Przykład 3.5 Komiwojażer wyjeżdża z miasta i ma odwiedzić miasta o numerach 2, 3, 4 i 5, Do każdego z nich przyjeżdża dokładnie jeden raz, po czym wraca do miasta. Szukamy trasy najkrótszej. Miasto T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 54

55 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (2/4) Modelowanie trasy przejazdu x ij = gdy planowany jest przejazd na trasie od i do j w przeciwnym przypadku Trasa przejazdu x 2 =, x 23 =, x 34 =, x 45 =, x 5 =, pozostałe x ij = Miasto T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 55

56 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (3/4) Model transportowy Zadanie o 5 dostawcach i 5 odbiorcach Miasto Podaż Popyt T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 56

57 3.6. Problem komiwojażera Problem komiwojażera a zagadnienie transportowe (4/4) Model transportowy (c.d.) Rozwiązanie: x 2 =, x 25 =, x 34 =, x 43 =, x 5 = ; pozostałe zmienne są równe. Optymalna wartość funkcji celu wynosi T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 57

58 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (/5) Model matematyczny Funkcja celu: f(x 2,x 3,x 4,x 5,x 2,x 23,x 24,x 25,x 3,x 32,x 34,x 35,x 4,x 42,x 43,x 45,x 5,x 52,x 53,x 54 ) = = x 2 + 2x 3 + 5x 4 + x 5 + x 2 + 9x 23 + x 24 + x x 3 + 9x x x x 4 + x 42 + x x 45 + x 5 + x x x 54 min Warunki ograniczające jednokrotny wyjazd z każdego miasta (3.) (3-5) jednokrotny wjazd do każdego miasta (3.6) (3.2) eliminacja cyklów między miastami (3.2) (3.3) wszystkie zmienne x ij są zmiennymi binarnymi x ij {;} dla i,j =,...,5. (3.3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 58

59 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (2/5) Jednokrotny wyjazd z miasta i Miasto x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (3.) Miasto 2 x 2 + x 23 + x 24 + x 25 = (3.2) Miasto 3 x 3 + x 32 + x 34 + x 35 = (3.3) Miasto 4 x 4 + x 42 + x 43 + x 45 = (3.4) Miasto 5 x 5 + x 52 +x 53 + x 54 = (3.5) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 59

60 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (3/5) Jednokrotny wjazd do miasta i Miasto x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = (3.6) Miasto 2 x 2 + x 32 + x 42 + x 52 = (3.7) Miasto 3 x 3 + x 23 + x 43 + x 53 = (3.8) Miasto 4 x 4 + x 24 + x 34 + x 54 = (3.9) Miasto 5 x 5 + x 25 + x 35 + x 45 = (3.2) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

61 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (4/5) Eliminacja cyklów pomiędzy miastami Miasta i 2: x 2 + x 2 (3.2) Miasta i 3: x 3 + x 3 (3.22) Miasta i 4: x 4 + x 4 (3.23) Miasta i 5: x 5 + x 5 (3.24) Miasta 2 i 3: x 23 + x 32 (3.25) Miasta 2 i 4 x 24 + x 42 (3.26) Miasta 2 i 5 x 25 + x 52 (3.27) Miasta 3 i 4 x 34 + x 43 (3.28) Miasta 3 i 5 x 35 + x 53 (3.29) Miasta 4 i 5 x 45 + x 54 (3.3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

62 3.6. Problem komiwojażera Zadanie komiwojażera jako zadanie programowania całkowitoliczbowego (5/5) Rozwiązanie optymalne x 5 =, x 2 =, x 34 =, x 42 =, x 53 =, pozostałe zmiennych x ij =. Optymalna wartość funkcji celu jest równa 53. Zapis tabelaryczny x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 62

63 3.6. Problem komiwojażera Mechanizmy działania algorytmu genetycznego (/) Podstawowe pojęcia populacja populacja początkowa chromosom gen funkcja przystosowania selekcja krzyżowanie mutacja warunek końca algorytmu T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 63

64 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (/9) Populacja początkowa Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C C 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

65 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (2/9) Populacja początkowa (c.d.) C C 2 C C 4 C 5 C 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 65

66 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (3/9) Wartości funkcji przystosowania Chromosom Numery naruszonych ograniczeń C (3.2), (3.3), (3.4), (3.7), (3.8), (3.9), (3.2), (3.25), (3.27) Długość Odcinków Kara Wartość funkcji przystosowania 9 9 C 2 (3.4), (3.2) C 3 (3.6), (3.7) C 4 (3.3), (3.6), (3.8), (3.9), (3.26) C 5 (3.3), (3.4), (3.5), (3.6), (3.7), (3.2), (3.24) C 6 (3.3), (3.6), (3.9), (3.2) Suma 3428 Średnia wartość funkcji przystosowania wynosi 3428 : 6 = 57,33. Najlepsza wartość funkcji przystosowania w tej populacji wynosi 25. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 66

67 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (4/9) Prawdopodobieństwo selekcji Chromosom Wartość funkcji przystosowania Odwrotność wartości funkcji przystosowania Suma odwrotności funkcji przystosowania Prawdopodobieństwo selekcji C 9,97,3863,6544 7% C 2 25,4, % C 3 269,3775, % C 4 55,849,395 3% C 5 785,2739,989 9% C 6 464,2552,5546 5% T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 67

68 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (5/9) Selekcja i krzyżowanie Wylosowane chromosomy Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 PK C 5 C 2 C 6 C 2 3 C 4 C 3 7 Nowa populacja po krzyżowaniu Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 68

69 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (6/9) Mutacja Prawdopodobieństwo mutacji = /. Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 24 C 24 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 69

70 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (7/9) Populacja początkowa dla następnej iteracji Chromosom x 2 x 3 x 4 x 5 x 2 x 23 x 24 x 25 x 3 x 32 x 34 x 35 x 4 x 42 x 43 x 45 x 5 x 52 x 53 x 54 C 2 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 2 C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

71 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (8/9) Populacja początkowa dla następnej iteracji (c.d.) C 2 C 22 C C 24 C 25 C 26 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

72 3.6. Problem komiwojażera Symulacja działania algorytmu genetycznego (9/9) Wartości funkcji przystawania Chromosom Numery naruszonych ograniczeń Długość trasy Kara Wartość funkcji przystosowania C C 22 (3.4), (3.5), (3.7), (3.9) C 23 (3.4), (3.2) C 24 (3.2), (3.4), (3.8), (3.2) C 25 (3.3), (3.6), (3.26) C 26 (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.3) Średnia wartość funkcji przystosowania wynosi 358,33 Suma 25 Najlepsza wartość funkcji przystosowania w tej populacji wynosi 72 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 72

73 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (/7) Przykład 3.6 Mamy układ ośmiu miast, między którymi istnieją połączenia komunikacyjne. Z każdego z nich wywozi się i do każdego przywozi określoną masę towarową wykorzystując do przewozu samochody o tej samej ładowności. Odległości między miastami: T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 73

74 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (2/7) Przykład 3.6 (c.d.) Przewidywany przewóz masy towaru, mierzony liczbą samochodów: Przywóz do mias sta i w i Wywóz z miasta i Znaleźć plan przewozów minimalizujących puste przebiegi. p i T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 74

75 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (3/7) Nadwyżka/niedobór samochodów w kolejnych miastach p i w i w i a nadwyżka samochodów w mieście (dostawca pierwszy), a 2 nadwyżka samochodów w mieście 3 (dostawca drugi), a 3 nadwyżka samochodów w mieście 5, (dostawca trzeci), a 4 nadwyżka samochodów w mieście 7 (dostawca czwarty), b niedobór samochodów w mieście 2 (odbiorca pierwszy), b 2 niedobór samochodów w mieście 4 (odbiorca drugi), b 3 niedobór samochodów w mieście 6 (odbiorca trzeci), b 4 niedobór samochodów w mieście 8 (odbiorca czwarty). T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 75

76 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (4/7) Podaż i popyt na puste samochody dostawca b a 35 odbiorca b 2 b 3 b a a a 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 76

77 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (5/7) Model matematyczny Cel określenie takiego planu przewozów, który minimalizuje łączną liczbę kilometrów pustych przebiegów. Zmienne decyzyjne Liczba pustych przebiegów: x z miasta do miasta 2, x 2 z miasta do miasta 4, x 3 z miasta do miasta 6, x 4 z miasta do miasta 8, x 2 z miasta 2 do miasta 2, x 22 z miasta 2 do miasta 4, x 23 z miasta 2 do miasta 6, x 24 z miasta 2 do miasta 8, x 3 z miasta 3 do miasta 2, x 32 z miasta 3 do miasta 4, x 33 z miasta 3 do miasta 6, x 34 z miasta 3 do miasta 8, x 4 z miasta 4 do miasta 2, x 42 z miasta 4 do miasta 4, x 43 z miasta 4 do miasta 6, x 44 z miasta 4 do miasta 8. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 77

78 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (6/7) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33, x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 )= = 35x + 9x 2 + 8x x x x x x x x x x x x x x 44 min Ograniczenia dostawca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 9 dostawca 2: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 7 dostawca 3: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = dostawca 4: x 4 + x 42 + x 43 + x 44 = 5 Warunki nieujemności odbiorca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 odbiorca 2: x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = 9 odbiorca 3: x 3 + x 23 + x 33 + x 43 = 2 odbiorca 4: x 4 + x 24 + x 34 + x 44 = 6 x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33,x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 78

79 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Minimalizacja pustych przebiegów (7/7) Rozwiązanie optymalne x = 2 x 2 = 5 x 3 = 2 x 4 = x 2 = 7 x 22 = x 23 = x 24 = x 3 = x 32 = 4 x 33 = x 34 = 6 x 4 = 5 x 42 = x 43 = x 44 = Optymalna wartość funkcji celu : 69 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 79

80 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (/4) Przykład 3.7 Zdolności produkcyjne zakładów: 4, 5, 3 Zapotrzebowanie odbiorców: 45,, 3, 35 Jednostkowe koszty produkcji: 4, 3, Jednostkowe koszty transportu 4 C = Jednostkowe koszty produkcji i transportu Znaleźć taki plan produkcji, by zminimalizować łączne koszty produkcji i transportu. J = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

81 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (2/4) Model matematyczny Cel Minimalizacja łącznych kosztów produkcji i transportu. Zmienne decyzyjne Ilość produktu wytworzona: x - przez zakład dla odbiorcy x 2 - przez zakład dla odbiorcy 2 x 3 - przez zakład dla odbiorcy 3 x 4 - przez zakład dla odbiorcy 4 x 2 - przez zakład 2 dla odbiorcy x 22 - przez zakład 2 dla odbiorcy 2 x 23 - przez zakład 2 dla odbiorcy 3 x 24 - przez zakład 2 dla odbiorcy 4 x 3 - przez zakład 3 dla odbiorcy x 32 - przez zakład 3 dla odbiorcy 2 x 33 - przez zakład 3 dla odbiorcy 3 x 34 - przez zakład 3 dla odbiorcy 4 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

82 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (3/4) Model matematyczny Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33, x 34 ) = = 8x + 7x 2 + 6x 3 + 5x x 2 + 4x 22 + x x x 3 + 4x 32 + x x 34 min Ograniczenia zakład : x + x 2 + x 3 + x 4 = 4 zakład 2: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 5 zakład 3: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = 3 Warunki nieujemności odbiorca : x + x 2 + x 3 + x 4 = 45 odbiorca 2: x 2 + x 22 + x 32 + x 42 = odbiorca 3: x 3 + x 23 + x 33 + x 43 = 3 odbiorca 4: x 4 + x 24 + x 34 + x 44 = 35 x, x 2, x 3, x 4, x 2, x 22, x 23, x 24, x 3, x 32, x 33,x 34, x 4, x 42, x 43, x 44 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 82

83 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie transportowo-produkcyjne (4/4) Rozwiązanie optymalne x = x 2 = x 3 = 3 x 4 = x 2 = 45 x 22 = 5 x 23 = x 24 = x 3 = x 32 = 5 x 33 = x 34 = 25 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 665 Plan przewozów odbiorca odbiorca 2 odbiorca 3 odbiorca Produkcja zakład zakład 2 zakład 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem

84 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (/5) Przykład 3.8 Czas pracy doradców firmy consultingowej : X - 4 godz., Y - 4 godz., Z - 2 godz. Wymagania czasowe nowych kontraktów: Klient Liczba godzin A 65 B 5 C 8 D 7 Stawki godzinowe: Doradca X Y Z Klient A 9 5 Klient B,5 3 4,5 Klient C 2,5 4 Klient D 2 3 W jaki sposób przydzielić doradcom kontrakty tak, by łączny koszt ich realizacji był najmniejszy? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 84

85 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (2/5) Model matematyczny Cel Minimalizacja kosztów wynagrodzenia doradców. Zmienne decyzyjne Liczba godzin pracy: x - doradcy X dla klienta A, x 2 - doradcy X dla klienta B, x 3 - doradcy X dla klienta C, x 4 - doradcy X dla klienta D, x 5 - doradcy X dla fikcyjnego klienta E, x 2 - doradcy Y dla klienta A, x 22 - doradcy Y dla klienta B, x 23 - doradcy Y dla klienta C, x 24 - doradcy Y dla klienta D, x 25 - doradcy Y dla fikcyjnego klienta E, x 3 - doradcy Z dla klienta A, x 32 - doradcy Z dla klienta B, x 33 - doradcy Z dla klienta C, x 34 - doradcy Z dla klienta D, x 35 - doradcy Z dla fikcyjnego klienta E. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 85

86 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (3/5) Model matematyczny (c.d.) Funkcja celu f(x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 2, x 22, x 23, x 24, x 25, x 3, x 32, x 33, x 34, x 35 ) = = 9x + 5x 2 + 2x 3 + x 4 + x x 2 + 3x x x 24 + x x x x x 34 + x 35 min Ograniczenia dla doradcy X: x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 4 dla doradcy Y: x 2 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 4 dla doradcy Z: x 3 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 2 Warunki nieujemności dla zmiennych decyzyjnych dla klienta A: x + x 2 + x 3 = 65 dla klienta B: x 2 + x 22 + x 32 = 5 dla klienta C: x 3 + x 23 + x 33 = 8 dla klienta D: x 4 + x 24 + x 34 = 7 dla klienta E: x 5 + x 25 + x 35 = 35 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 2, x 22, x 23, x 24, x 25, x 3, x 32, x 33, x 34, x 35 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 86

87 3.7. Przykłady wykorzystania zadania transportowego Zagadnienie przydziału (5/5) Rozwiązanie optymalne x = 4 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 2 = 25 x 22 = 35 x 23 = 8 x 24 = x 25 = x 3 = x 32 = 5 x 33 = x 34 = 7 x 35 = 35 Optymalna wartość funkcji celu jest równa 437,5 Doradca X Y Z Klient A 4 25 Klient B 35 5 Klient C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 87 8 Klient D 7

88 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Zadanie transportowe i problem komiwojażera

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1 Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 2 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie transportowe z kryterium czasu I rodzaju () Jeżeli w modelu klasycznego zagadnienia transportowego

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie sieciowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie Tadeusz Trzaskalik 8.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Drzewo rozpinające Minimalne drzewo rozpinające Najkrótsza droga w sieci Wierzchołek początkowy Maksymalny przepływ w sieci Źródło Ujście

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego

Rozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki. Adam Żychowski

Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki. Adam Żychowski Podejście memetyczne do problemu DCVRP - wstępne wyniki Adam Żychowski Na podstawie prac X. S. Chen, L. Feng, Y. S. Ong A Self-Adaptive Memeplexes Robust Search Scheme for solving Stochastic Demands Vehicle

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia

Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia SZKUTNIK Joanna 1 ZIÓŁKOWSKI Jarosław 2 Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia WSTĘP Zagadnienie transportowe jest szczególnym rodzajem zadania programowania liniowego. Polega

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP)

Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) & Zagadnienie komowojażera 1 Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) Danych jest miast oraz macierz odległości pomiędzy każdą parą miast. Komiwojażer wyjeżdża z miasta o numerze 1 chce

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik

Zarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Programowanie liniowe

Wykład 6. Programowanie liniowe Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne

Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia stacjonarne i niestacjonarne

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia stacjonarne i niestacjonarne Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia stacjonarne i niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału

Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału Temat: Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału Zadanie 1 Trzy piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z trzech magazynów znajdujących się na peryferiach. Zasoby mąki

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia niestacjonarne

Algorytmy genetyczne. Materiały do laboratorium PSI. Studia niestacjonarne Algorytmy genetyczne Materiały do laboratorium PSI Studia niestacjonarne Podstawowy algorytm genetyczny (PAG) Schemat blokowy algorytmu genetycznego Znaczenia, pochodzących z biologii i genetyki, pojęć

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz

Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM dr inż. Władysław Wornalkiewicz Występuje wiele metod rozwiązywania optymalizacyjnego zagadnienia transportowego. Jedną z nich jest VAM (Vogel s approximation

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE

Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algorytm genetyczny (genetic algorithm)-

Algorytm genetyczny (genetic algorithm)- Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie

Bardziej szczegółowo

Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar

Bardziej szczegółowo

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.

[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 1 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ZADANIE KOMIWOJAŻERA METODY ROZWIĄZYWANIA. Specyfika zadania komiwojażera Reprezentacje Operatory

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA ZADANIE KOMIWOJAŻERA METODY ROZWIĄZYWANIA. Specyfika zadania komiwojażera Reprezentacje Operatory PLAN WYKŁADU Specyfika zadania komiwojażera Reprezentacje Operatory OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wykład 5 dr inż. Agnieszka Bołtuć ZADANIE KOMIWOJAŻERA Koncepcja: komiwojażer musi odwiedzić każde miasto na swoim

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2010/2011

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2010/2011 SYLLABUS na rok akademicki 00/0 Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Imię, nazwisko i tytuł/stopień KOORDYNATORA przedmiotu zatwierdzającego protokoły w systemie USOS Jacek Marcinkiewicz, dr

Imię, nazwisko i tytuł/stopień KOORDYNATORA przedmiotu zatwierdzającego protokoły w systemie USOS Jacek Marcinkiewicz, dr Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu w systemie USOS 1000-ES1-3EC1 Liczba

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne. Paweł Cieśla. 8 stycznia 2009

Algorytmy genetyczne. Paweł Cieśla. 8 stycznia 2009 Algorytmy genetyczne Paweł Cieśla 8 stycznia 2009 Genetyka - nauka o dziedziczeniu cech pomiędzy pokoleniami. Geny są czynnikami, które decydują o wyglądzie, zachowaniu, rozmnażaniu każdego żywego organizmu.

Bardziej szczegółowo