Zagadnienie transportowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zagadnienie transportowe"

Transkrypt

1 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstok Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5 kg, 6 kg, i 5 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w ie, u, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6 kg, kg, kg oraz 5 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. Tablica. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła 5 5 Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty Przykład Kluczbork 7 6 Białystok 7 5 Piła Kluczbork Białystok 5 5 Piła 5 5 DOSTAWCY DECYZJA? ODBIORCY 9-9- Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i =,,, do odbiorcy j, j =,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Koszty transportu x 5 Kluczbork x 6x 7x 7x 5x 6 Białystok x 6 x 5x x x 5 Piła 5x

2 9//9 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x + x + 5x + x + 5x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i =,,; j =,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas Koszty transportu x 5 Kluczbork x x x x x 6 Białystok x x x 6 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x + x + 5x + x + 5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x x 5 Piła x Sformułowanie problemu Zmienna decyzyjna x ij ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i =,,; j =,,. Funkcja celu Minimalizacja kosztów transportu Ograniczenia Dostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas Odbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie Koszty transportu x 5 Kluczbork x x x x x 6 Białystok x x x x x 5 Piła x

3 9//9 Sformułowanie problemu zminimalizować: z = x + x + 7x + 6x + 7x + 5x + x + x + x + 5x + x + 5x przy ograniczeniach: x +x +x +x 5 x +x +x +x 6 x +x +x +x 5 x +x +x = 6 x +x +x = x +x +x = x +x +x = 5 x ij, i=,,; j=,,, 9-9- Sformułowanie problemu A = c = [ ] x x x x x x x = x x x x x x b = Ogólny model zagadnienia transportowego zminimalizować przy ograniczeniach n i = m j = n m i = j = c ij x ij x b, j =, K m ij j, xij ai, i =, K, n całkowity koszt zapotrzebowanie zapas Warianty zagadnienia transportowego całkowita podaż nie jest równa całkowitemu popytowi (zadanie niezbilansowane) maksymalizacja funkcji celu Dodajemy sztucznego dostawcę lub odbiorcę. Mnożymy przez (-). x ij, i =,,, m, j =,,, n gdzie: i - indeks dostawcy, i =,, n j - indeks odbiorcy, j =,, m x ij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy j c ij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy j a i - zapas dostawcy i b i - zapotrzebowanie odbiorcy j nieujemny przesył minimalne i maksymalne pojemności dróg niedopuszczalne połączenia Dodajemy ograniczenia. Obciążamy bardzo dużymi kosztami Własności zagadnienia transportowego Zadanie transportowe jest sformułowane jako zadanie programowania liniowego zatem można je rozwiązać stosując np. metodę simplex. Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania. Własności zagadnienia transportowego n =[ ] n =[ ] Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne. L n n n... n n n n... n E = L n A= L L L L n n n L n E n E n E n... E n Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n ) zmiennych bazowych. Jeżeli wszystkie a i i b j są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych

4 9//9 Własności zagadnienia transportowego Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania zbudowany w sposób następujący: wierzchołkami są węzły (i,, dla których x ij > każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i, j ) (i, j ), że albo i = i albo j = j oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków Własności zagadnienia transportowego Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był ł grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków. i \ j 5 5 i \ j Własności zagadnienia transportowego Niech x B będzie dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymy zbiór par (i,, takich że x ij jest zmienną bazową, to spełniony jest następujący układ równań: c ij + +v j = dla (i, B gdzie zmienne iv j noszą nazwę potencjałów. Macierz C =[(c ij z ij )] = [c ij + +v j ], i=,..m, j=,..,n, nazywamy równoważną macierzą zerową rozwiązania bazowego x B. Na to, aby rozwiązanie bazowe x B zadania transportowego było optymalne potrzeba i wystarcza, aby jego równoważna macierz zerowa była nieujemna Własności zagadnienia transportowego Układ równań: c ij + +v j = dla (i, B ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie one wyznaczają tę samą równoważną macierz zerową. Jeżeli macierz C zawiera elementy ujemne, to odpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym. Każde zbilansowane zadanie transportowe ma rozwiązanie dopuszczalne Własności zagadnienia transportowego Przez cykl γ( oznaczamy cykl w grafie rozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej ( do rozwiązania bazowego. i \ j 5 5 Niech γ n ((,5) = {(,5), (,)} ( = (,5) γ p ((,5) = {(,), (,5)} Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynając od wierzchołka (. Przez γ p ( oznaczamy zbiór wierzchołków o numerach parzystych, a przez γ n ( o numerach nieparzytych Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla (i, B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ 9-9-

5 9//9 Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metoda kąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i =,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j =,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl = min {c kj } albo c kl = min {c il } Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok 5 5. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła

6 9//9 Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork Białystok. Piła Metoda kąta północno-zachodniego.kluczbork 5 5. Białystok 6. Piła 5 5 b j 6 5 a i Czy jest to rozwiązanie bazowe? 9-9- Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B u = + + v = Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B + + v = 7 + u + ( ) =

7 9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B 5 + ( ) + v = + ( ) + v = Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B + u + = 5 + ( 6) + v = Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij = c ij + +v j c ij = c ij + +v j c ij = dla (i, B 9-9- Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j

8 9//9 Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij = c ij + +v j c ij = c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 6 v j 9-9- Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j 9-9- Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij = c ij + +v j c ij = c ij + +v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork. Białystok. Piła 7 6 v j Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła v j c ij = c ij + +v j Sprawdzanie czy rozwiązanie jest optymalne.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Równoważna macierz zerowa.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Zbadać, czy C. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ

9 9//9 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < } Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ Wyznaczanie cyklu.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Wyznaczyć cykl γ p (, γ n ( Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ Zmiana bazy.kluczbork 9 7. Białystok. Piła 7 6 v j Usunąć z bazy zmienną x rs, taką, że x rs = min ( i, j ) k, l ) θ = { x : ( i, j ) B} = θ ij.kluczbork 5. Białystok. Piła

10 9//9 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 xij dla ( i, j ) γ ( l ) xij = xij + θ n( θ = xij θ.kluczbork 5. Białystok. Piła Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 Czy jest to rozwiązanie bazowe? Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli. Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n ) wierzchołków Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m ) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero. Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi. Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli Rozwiązanie zdegenerowane.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 Metoda potencjałów. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.. Rozwiązać układ równań: c ij + + v j = dla i,j B. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C.. Zbadać, czy C. 5. Jeśli ta to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < }. 7. Wyznaczyć cykl γ n ( oraz γ p (. 8. Usunąć z bazy zmienną x rs taką, że xrs = min xij : ( i, j ) B = ( i, j ) k, l ) 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: xij γ ( xij = xij + θ n( xij θ. Wrócić do kroku. { } θ

11 9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B c ij + +v j = dla (i, B u = u = Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij = c ij + +v j Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Wprowadzić do bazy zmienną x kl taką, że c kl = min{ cij : cij < } Wyznaczanie cyklu.kluczbork 6 6. Białystok 7. Piła 5 v j Zmiana bazy.kluczbork 6. Białystok 7. Piła v j Wyznaczyć cykl γ p (, γ n (. Usunąć z bazy zmienną x rs, taką, że x rs = min ( i, j ) k, l ) { x : ( i, j ) B} = θ ij θ = 5.Kluczbork 5. Białystok. Piła

12 9//9 Zmiana bazy.kluczbork 5. Białystok. Piła 5 xij dla ( i, j ) γ ( l ) xij = xij + θ n( θ = 5 xij θ.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j c ij + +v j = dla (i, B.Kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła u = Wyznaczanie równoważnej macierzy zerowej.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 v j Rozwiązanie.Kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 v j c ij = c ij + +v j Równoważna macierz zerowa jest nieujemna rozwiązanie jest optymalne..kluczbork 8 6. Białystok. Piła 6 6 v j.kluczbork 5 5. Białystok 5 5. Piła Koszty transportu X =5 5 Kluczbork X =5 X =5 6 Białystok X = X =5 X =5 6 Rozwiązanie optymalne Odbiorca Dostawca Zmienna Ilość Koszt jednostkowy Koszt całkowity Kluczbork x 5 5 Kluczbork x 5 Białystok x Białystok x Białystok x 5 5 Piła x 5 5 Razem Piła 5 Minimalny całkowity koszt transportu wynosi 9 5,- PLN

13 9//9 Wyznaczanie rozwiązań bazowych Metoda kąta północno-zachodniego Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda VAM (Vogel s Approximation Method), i =,,..., m -różnica między dwoma najmniejszymi elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C, d j, j =,,..., n -różnica między dwoma najmniejszymi elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C, max(, d j ) c kl = min {c kj } albo c kl = min {c il } Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Postępujemy podobnie, jak w metodzie północnozachodniego narożnika, ale wybieramy, jako kolejny, wierzchołek odpowiadający najmniejszemu nieskreślonemu elementowi macierzy kosztów Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła

14 9//9 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 7 6. Białystok Piła Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów.kluczbork 5. Białystok Piła Oznaczmy przez (i =,, m) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami i-tego wiersza macierzy kosztów zredukowanej o dostawców, których zapas został już wyczerpany i o odbiorców, których zapotrzebowanie zostało już zaspokojone.. Oznaczmy przez d j (i =,, n) różnicę między dwoma najmniejszymi elementami j-tej kolumny zredukowanej macierzy kosztów.. Wybierz α = max{, d j }.. Jeżeli α =, to wybierz element w wierszu k = i oraz kolumnie l, takiej że c kl = min{c kj }. 5. Jeżeli α = d j, to wybierz element w kolumnie l = j oraz wierszu takim że c kl = min{c il } Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j

15 9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j α = max{, d j }

16 9//9.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j α = max{, d j }.Kluczbork Białystok Piła c kl = min{c il } Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5.Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j d j Kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j.kluczbork 7 6. Białystok 7 5. Piła 5 5 d j c kl = min{c kj }

17 9//9.Kluczbork 7 6.Kluczbork 7 6. Białystok Białystok 7 5. Piła Piła d j Kluczbork 7 6. Białystok Kluczbork 7 6. Białystok Piła Piła Kluczbork 7 6. Białystok Kluczbork 7 6. Białystok Piła Piła

18 9//9.Kluczbork Białystok Piła

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja systemów

Optymalizacja systemów Optymalizacja systemów Laboratorium Zadanie nr 3 Sudoku autor: A. Gonczarek Cel zadania Celem zadania jest napisanie programu rozwiązującego Sudoku, formułując problem optymalizacji jako zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu Tytuł: 06 Model: 2o1r_T Zastosowanie programowania liniowego Autor: iotr SAWC Zakład Systemów Transportowych WMRiT piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/iotr.sawicki.ut

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera

Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Wyznaczanie optymalnej trasy problem komiwojażera Optymalizacja w podejmowaniu decyzji Opracowała: mgr inż. Natalia Malinowska Wrocław, dn. 28.03.2017 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010

Algorytmy równoległe. Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2010 Algorytmy równoległe Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka Znajdowanie maksimum w zbiorze n liczb węzły - maksimum liczb głębokość = 3 praca = 4++ = 7 (operacji) n - liczność

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu

Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Marcin Anholcer Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 19 marca 2013, Ustroń Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 1/ 15 1 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11,

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 1 Kwantyzacja skalarna Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 10.05.005 Kwantyzacja polega na reprezentowaniu dużego zbioru wartości (być może nieskończonego) za pomocą wartości

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.asp Pokój A405 Literatura okukuła K.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego.

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego. Firma produkująca płatki śniadaniowe rozważa wypuszczenie na rynek nowego produktu. Ma to być mieszanka pszenicy, ryżu i kukurydzy. Normy zawartości przedstawia tabela: Dane Pszenica Ryż Kukurydza Zawartość

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej: Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................

Bardziej szczegółowo

Typowe zadania decyzyjne (zadania transportowe, zadania przydziału)

Typowe zadania decyzyjne (zadania transportowe, zadania przydziału) (zadania transportowe, zadania przydziału) Autor: Paweł Szołtysek O układzie prezentacji Decyzja Bardzo trudna decyzja Typowe zadania decyzyjne Wstęp Co to jest problem decyzyjny? I kwartał I II III IV

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU Dr inż. Jolanta KRYSTEK Mgr inż. Tomasz GRABALSKI Instytut Automatyki Politechnika Śląska KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU Streszczenie: Artykuł dotyczy modelowania procesu transportowego.

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne

Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych.

Algorytmy i struktury danych. Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności

Bardziej szczegółowo

Programowanie dynamiczne

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne Patryk Żywica 5 maja 2008 1 Spis treści 1 Problem wydawania reszty 3 1.1 Sformułowanie problemu...................... 3 1.2 Algorytm.............................. 3 1.2.1 Prosty

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium Zadanie nr 3 Osada autor: A Gonczarek Celem poniższego zadania jest zrealizowanie fragmentu komputerowego przeciwnika w grze strategiczno-ekonomicznej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe.

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. zajecia.jakubw.pl/nai Literatura: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 997. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA TECHNICZNE AI

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo