ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)"

Transkrypt

1 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że problemjestzbilansowany,tj. p i=1 a i = q i=1 b iczylicałkowita podaż jest równa całkowitemu popytowi. Dane są również koszty przewozu c ij jednostkitowaruod i-tegodostawcy(i = 1,...,p)do j-tegoodbiorcy(j = 1,...,q).Należywyznaczyćplantransportu towaru od dostawców do odbiorców o minimalnym łącznym koszcie przewozu.

2 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 2 Model liniowy dla ZT: Zmienne decyzyjne: x ij -ilośćtowaruprzewożonaod i-tegodostawcydo j-tego odbiorcy. Model: minz = p i=1 q j=1 c ijx ij q j=1 x ij = a i i = 1,...,p [Podażdostawców] p i=1 x ij = b i j = 1,...,q [Popytodbiorców] x ij 0 Przykład.. Rozpatrzmy następujący rysunek:

3 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 3 Fabryka Miasto 1 4 Fabryka Miasto 2 20 Fabryka Miasto 3 Miasto Zmienne decyzyjne: x ij -ilośćtowaruprzewożonaod i-tejfabrykido j-tegomiasta.

4 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 4 Model liniowy: minz = 8x x 12 + x x x x x 34 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = [Podażfabryki1] x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = [Podażfabryki2] x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = [Podażfabryki3] x 11 + x 21 + x 31 = 4 [Popytmiasta1] x 12 + x 22 + x 32 = 20 [Popytmiasta2] x 13 + x 23 + x 33 = 30 [Popytmiasta3] x 14 + x 24 + x 34 = 30 [Popytmiasta4] x ij 0

5 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Tablica transportowa: x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x x 31 x 32 x 33 x Modele niezbilansowane 1.Przypadek p i=1 a i > q i=1 b i(nadwyżkapodaży).dodajemy fikcyjnegoodbiorcę q + 1opopycie b q+1 = p i=1 a i q i=1 b ii kosztachprzewozu c iq+1 = 0, i = 1,...,p.

6 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 6 Przykład. Rozpatrzmy tablicę: x 13 x 11 x 14 x 11 x 12 x 12 x 13 x 21 x 21 x x 22 x 23 x 23 x W problemie tym występuje nadwyżka podaży równa 20. Dodajemy fikcyjnego odbiorcę numer 4 o popycie 20. Optymalne rozwiązaniewynosi: x 12 = 20, x 13 = 20, x 21 = 20, x 23 =, x 24 = 20.Fikcyjnyodbiorcaodbiera20jedn.oddostawcy2. Oznacza to faktycznie, że towar ten zostanie u dostawcy 2. 2.Przypadek p i=1 a i < q i=1 b i(nadwyżkapopytu).dodajemy fikcyjnegodostawcę p + 1opodaży a p+1 = q i=1 b i p i=1 a ii kosztachprzewozu c p+1i = 0, i = 1,...,q.

7 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 7 Metoda sympleks(potencjałów) dla zbilansowanego ZT Wyznaczanie pierwszego dopuszczalnego rozwiązania bazowego Ogólną idę konstrukcji podaje poniższy schemat: 1. Wybierz wśród nie skreślonych elementów tablicy transportowej dopuszczalną klatkę, powiedzmy (r, k) i wstaw do niej maksymalnie możliwą wielkość przewozu, tj. minimum z podaży wiersza r i popytu kolumny kczyli x rk = min(a r, b k ).Klatkatastajesięklatkąbazową odpowiadajejzmiennabazowa x rk. 2. Zmniejsz podaż r-tego dostawcy i popyt k-tego odbiorcy o wielkość ustalonegowkroku1przewozu x rk,tj. a r := a r x rk, b k := b k x rk. 3.Jeśli a r = 0,toskreślwtablicytransportowejr-tywiersz.Jeśli natomiast a r > 0,toskreślwtablicytransportowejk-tąkolumnę (wtedy b k = 0). 4. Jeśli wszystkie elementy tablicy transportowej zostały skreślone, to

8 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 8 KONIEC. Wyznaczono początkowe bazowe rozwiązanie dopuszczalne z dokładnie(jeśli w każdym kroku skreślamy dokładnie jedną linię, tj. wierszlubkolumnęmacierzy) m + n 1zmiennymibazowymi.W przeciwnym przypadku przejdź do kroku 1. W zależności od sposobu wyboru dopuszczalnej klatki w kroku 1 powyższego schematu otrzymujemy różne metody konstrukcji początkowego bazowego rozwiązania dopuszczalnego: metoda kąta północno-zachodniego- dopuszczalną jest klatka leżąca w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie nie skreślonej części tablicy; metoda minimalnego elementu macierzy- dopuszczalną jest klatka o minimalnym koszcie w nie skreślonej części tablicy; metoda Vogel a- VAM- dopuszczalną jest klatka o minimalnym koszcie w linii(wierszu lub kolumnie) z największym

9 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 9 współczynnikiem kary. Współczynnik kary(liczba nieujemna) jest modułem różnicy między najmniejszym i drugim z koleji najmniejszym kosztem w linii. Metoda kąta północno- zachodniego

10 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Otrzymujemy następujące bazowe rozwiązanie dopuszczalne: x 11 =, x 21 =, x 22 = 20, x 23 = 20, x 33 =, x 34 = 30,pozostałe zmienne mają wartość 0. Koszt tego rozwiązania(przewozu) wynosi Metoda minimalnego elementu macierzy

11 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 11 Otrzymujemyrozwiązaniebazowe(przewóz): x 14 = 30, x 12 =, x 21 = 4, x 23 =, x 32 = 1, x 33 = 2,pozostałezmiennemają wartość 0. Koszt tego rozwiązania wynosi 9. Klatki odpowiadające zmiennym bazowym nazywamy klatkami bazowymi. Uwaga: Jeśli w każdym kroku skreślamy tylko jeden wiersz albo jedną kolumnę, to otrzymamy bazowe rozwiązanie dopuszczalne o dokładnie p + q 1 zmiennych bazowych. Ocena klatek i iteracja sympleksowa. Ciągklatek (i 1, j 1 ), (i 2, j 2 ),...,(i l, j l ),gdzie l 4tablicy

12 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 12 transportowej nazywamy cyklem jeżeli: każdedwiesąsiednieklatkiznajdująsięwjednejliniitj.wjednej kolumnie lub jednym wierszu, ostatnia klatka znajduje się w tej samej linii co klatka pierwsza czyli i 1 = i l lub j 1 = j l żadnetrzykolejnekolejneklatkitegociągunieleżąwjednejlinii. Przykładowe cykle utworzone przez szare klatki pokazane są na poniższym rysunku:

13 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 13 Ciągi(szare klatki), które nie tworzą cyklu: Twierdzenie 1. Zestaw p + q 1 klatek odpowiada zmiennym bazowym wtedy i tylko wtedy gdy klatki te nie zawierają cyklu. Dodanie jednej klatki niebazowej do klatek bazowych powoduje powstanie dokładnie jednego cyklu.

14 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 14 Rozpatrzmy początkowe bazowe rozwiązanie dopuszczalne rozważanego przykładu uzyskane metodą kąta północnozachodniego. Zmiennymi bazowymi są: ZB = {x 11, x 21, x 22, x 23, x 33, x 34 } Jaką maksymalną wartość możemy wprowadzić do klatki[1,4]? Jeżeli

15 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 wprowadzimy do klatki[1,4] pewną wartość δ to aby zachować bilans podażyipopytumusimyodjąć δodwszystkichklatek-idodać δdo wszystkich klatek +. Do klatki[1,4] wprowadzamy więc najmniejszą wartość występującą w klatkach- czyli 20 z klatki[2,3]. Oznacza to, żezmienna x 23 wychodzizbazy(zostajewyzerowana).nowymi zmiennymibazowymisą {x 11, x 14, x 21, x 22, x 33, x 34 }abazowe rozwiązaniedopuszczalnejestnastępujące: x 11 = 1, x 14 = 20, x 21 = 30, x 22 = 20, x 13 = 30, x 14 =.

16 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Czywartośćfunkcjicelu(FC)zmalejepowprowadzeniu x 14 dobazy? Zmiana FC wyniesie: 20 ( ) = 20 ( 4) = 80, czylizmniejszysięo80.liczba-4jestocenąklatkiniebazowej [1, 4].

17 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 17 Twierdzenie 2. Aktualne rozwiązanie bazowe w tablicy transportowej jest optymalne jeżeli oceny(współczynniki optymalności) wszystkich klatek niebazowych są nieujemne. Jeżeli istnieje klatka niebazowa o ujemnej ocenie to można wyznaczyć lepsze rozwiązanie wprowadzając tą klatkę do bazy i wprowadzając do niej pewien niezerowy przewóz. Obliczanie ocen(współczynników optymalności) klatek niebazowych(zmiennych niebazowych) Współczynnikioptymalności c ij dlazmiennejniebazowej x ij można wyznaczyć bez znajomości tablicy sympleksowej wykorzystują tzw. potencjałytj.liczby u i, i = 1,...,poraz v j, j = 1,...,q.Wartości potencjałów wyznacza się następująco:

18 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 18 dlakażdejzmiennejbazowej x ij mamyrównanie: c ij = 0 = c ij + u i + v j. Mamyzatemukład p + q 1równańop + qniewiadomych. Przyjmujączajednąniewiadomązeronp. u 1 = 0możnagołatwo rozwiązać.znajomoścwartości u i, v j pozwalajużwyznaczyć współczynniki optymalności za wzoru: c ij = c ij + u i + v j dlakażdejzmiennejniebazowej x ij.

19 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 19 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v Potencjały dobieramy tak aby wyzerować współczynniki optymalności dla zmiennych bazowych, tj.:

20 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe u 1 + v 1 = 0 (x 11 ) 9 + u 2 + v 1 = 0 (x 21 ) 12 + u 2 + v 2 = 0 (x 22 ) 13 + u 2 + v 3 = 0 (x 23 ) 16 + u 3 + v 3 = 0 (x 33 ) + u 3 + v 4 = 0 (x 34 )

21 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Algorytm transportowy KROK 1 Na wejściu podajemy zbilansowane zagadnienie transportowe. Jeżeli model nie jest zbilansowany to należy go zbilansować wprowadzając fikcyjnego dostawcę albo fikcyjnego odbiorcę.

22 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 22 KROK 2 Skonstruuj tablicę transportową i pierwsze rozwiązanie bazowe(dowolną z podanych metod) KROK3Obliczpotencjały u i, i = 1,...,piv i = 1,...,qorazoceny klatekniebazowych c ij = c ij + u i + v i.jeżeliwszystkieoceny c ij 0 to KONIEC- rozwiązanie jest optymalne. W przeciwnym wypadku przejdź do kroku 4. KROK 4 Wybierz klatkę z najmniejszą ujemną oceną. Dodaj tą klatkę do klatek bazowych i zbuduj cykl zawierający dodawaną klatkę i pewne klatki bazowe(istnieje dokładnie jeden taki cykl). Oznacz dodawaną klatkę symbolem +. Następnie przesuwając się wzdłuż cyklu oznaczaj kolejne klatki cyklu na przemian- i +. Znajdź klatkę oznaczoną- dla której aktualna wielkość przewozu δ jest najmniejsza. Klatka ta wychodzi z bazy. Do klatek + dodaj przewóz

23 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 23 δaodklatek-odejmijprzewóz δ.jeżeli δ > 0,tootrzymaliśmy rozwiązanie o mniejszym koszcie. Wróć do kroku 3. Przykład. Rozwiążemy przykładowe zadanie ze strony Obliczamy potencjały:

24 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe u 1 + v 2 = 0 zmiennabazowa x u 1 + v 4 = 0 zmiennabazowa x u 2 + v 1 = 0 zmiennabazowa x u 2 + v 3 = 0 zmiennabazowa x u 3 + v 2 = 0 zmiennabazowa x u 3 + v 3 = 0 zmiennabazowa x 33 Otrzymujemy:

25 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Rozwiązanie nie jest optmalne ponieważ pewne klatki niebazowe mają ujemne oceny. Wybieramy klatkę z najmniejszą ujemną oceną, czyli [1,3]. Dodajemy tą klatkę do klatek bazowych i konstruujemy cykl:

26 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Najmniejszy przewóz dla klatek- znajduje się w klatce[1,2]. Klatka tawychodzizbazy.doklatek+dodajemyaodklatekodejmujemy. Otrzymujemy kolejne, lepsze rozwiązanie bazowe i ponownie obliczamy potencjały

27 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Ponieważ wszystkie oceny klatek niebazowych są nieujemne to tablica zawiera optymalne rozwiązanie. Przykład- rozwiązania zdegenerowane. Rozpatrzmy zagadnienie dla którego podaż, popyt, koszty oraz pierwsze rozwiązanie bazowe (metoda kąta) podane są w tabeli:

28 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe W pierwszym rozwiązaniu pewne zmienne bazowe mają wartość 0. Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem zdegenerowanym. Należy odróżniać klatki z zerami bazowymi od klatek niebazowych! Obliczamy potencjały:

29 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Do bazy wprowadzamy klatkę[1,2]. Tworzymy cykl i wykonujemy iterację:

30 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Należyuważaćabynieusunąćzbazydwóchklatek[1,1]i[2,2].Z bazy wychodzi tylko jedna z tych klatek(obojętnie która). Druga pozostaje klatką bazową. Otrzymujemy kolejne rozwiązanie zdegenerowane.

31 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 31 Trasy zakazane. Jeżeli połączenie między dostawą i a odbiorcą j nieistniejetopodstawiamy c ij = M,gdzie Mjestjakąśbardzodużą liczbą.jeżeliwkońcowejtablicytransportowejotrzymamy x ij > 0, to wyjściowe zagadnienie jest sprzeczne( nie istnieje dopuszczalny plan przewozów). Przykład. Rozpatrzmy problem:

32 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 32 Fabryka 1 3 Miasto Fabryka 2 9 Miasto 2 20 Fabryka Miasto 3 Miasto Pierwsza tablica(bazowe rozwiązanie dopuszczalne wyznaczone metodą kąta północno-zachodniego) i pierwsza iteracja są następujące:

33 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe M M M 2 6 M M 7 M M M-16 -M M 3 M M 2 9 M 7 M M

34 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 34 Rozwiązanie to nie jest jeszcze optymalne. Należy wykonać kolejne iteracje. Optymalne rozwiązanie pokazane jest w poniższej tablicy: 3 M M 2 9 M 7 M M Ponieważ przewóz na trasach zakazanych jest 0 to rozwiązanie to jest dopuszczalne(i optymalne). Wieloetapowe zagadnienie transportowe Przykład.TrzyfabrykiF1,F2iF3,którychpodażwynosi20,i

35 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 30majądostarczyćtowardodwóchodbiorcówO1iO2,których popytwynosi20i.towarmożebyćprzewożonypotrasach pokazanych na rysunku(czyli niekoniecznie bezpośrednio z fabryk do odbiorców). Wyznaczyć plan przewozu minimalizujący łączny koszt.

36 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 36 F2 F3 1 2 O1 O2 +20 F1 2 + F2 7 F1 F s F O2 1 F s s s O1-20 O2 1 0 s s s s s 20 +s Połączenia oraz odpowiednia tablica transportowa pokazane są na rysunku.

37 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 37 Uwaga: Do pustych klatek należy wpisać koszty M(ponieważ odpowiednie połączenia nie istnieją). Uwaga: Koszty przewozu między tymi samymi punktami, np: międzyf2if2wynoszą0.sątotzw.przewozyfikcyjne. Rozwiązanie optymalne pokazane jest na poniższym rysunku:

38 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 38 F2 F3 1 2 O1 O F F F O2 O1-20 F1 F2 F3 1 2 O

39 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 39 Końcowe uwagi na temat algorytmu transportowego: 1. Algorytm działa również wtedy, gdy koszty przewozów są ujemne. 2. Jeżeli celem jest maksymalizacja kosztów przewozu, to przed zastosowaniem algorytmu należy przemnożyć wszystkie koszty przez Jeżeli podaże i popyty wszystkich dostawców i odbiorców są liczbami całkowitymi, to algorytm zwraca optymalny przewóz całkowitoliczbowy.

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy

Bardziej szczegółowo

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1

Zadanie niezbilansowane. Gliwice 1 Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe 9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).

KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Wybrane elementy badań operacyjnych

Wybrane elementy badań operacyjnych Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220

Zagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220 Zagadnienie transportowe Firma produkująca papier kserograficzny posiada 4 wytwórnie i 5 hurtowni, do których dostarczany jest papier. Każda z fabryk wytwarza określoną liczbę ton papieru na miesiąc, i

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Sieć (graf skierowany)

Sieć (graf skierowany) Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel

Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały) Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia transportowe

Zagadnienia transportowe Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007

ALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007 ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy

Bardziej szczegółowo

Typowe zadania decyzyjne (zadania transportowe, zadania przydziału)

Typowe zadania decyzyjne (zadania transportowe, zadania przydziału) (zadania transportowe, zadania przydziału) Autor: Paweł Szołtysek O układzie prezentacji Decyzja Bardzo trudna decyzja Typowe zadania decyzyjne Wstęp Co to jest problem decyzyjny? I kwartał I II III IV

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w

zadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach

BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.asp Pokój A405 Literatura okukuła K.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU Dr inż. Jolanta KRYSTEK Mgr inż. Tomasz GRABALSKI Instytut Automatyki Politechnika Śląska KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU Streszczenie: Artykuł dotyczy modelowania procesu transportowego.

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu

Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Marcin Anholcer Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 19 marca 2013, Ustroń Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 1/ 15 1 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Optymalizacja zadań bazy transportowej ( część 2 ) Opracowano na podstawie : Stanisław Krawczyk, Metody ilościowe w logistyce ( przedsiębiorstwa ), Wydawnictwo C. H. Beck, Warszawa

Bardziej szczegółowo

Ekonometria dla Finansów i Rachunkowości

Ekonometria dla Finansów i Rachunkowości Ekonometria dla Finansów i Rachunkowości Dr Adam Kucharski Spis treści 1 Optymalizacja liniowa 2 1.1 Programowanie liniowe................................. 2 1.2 Metoda graficzna....................................

Bardziej szczegółowo

Lista 1 PL metoda geometryczna

Lista 1 PL metoda geometryczna Lista 1 PL metoda geometryczna 1.1. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=5x 1 +7x 2 przy ograniczeniach: 2x 1 +2x 2 600, 2x 1 +4x 2 1000, x i 0 dlai=1,2 1.2. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=2x

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

mgr Anna Bernaciak Wyższa Szkoła Logistyki Badania operacyjne II Zagadnienie komiwojażera Zadanie 1 Rozwiązanie zadania 1. Krok i to minimalny

mgr Anna Bernaciak Wyższa Szkoła Logistyki Badania operacyjne II Zagadnienie komiwojażera Zadanie 1 Rozwiązanie zadania 1. Krok i to minimalny mgr nna ernaciak adania operacyjne II Zadanie 1 Pan Jan Tomkowski znany poznański mechanik ma naprawić uszkodzony sprzęt należący do osób zamieszkujących różne podpoznańskie miejscowości (,, i ), a następnie

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

- modele liniowe. - modele nieliniowe.

- modele liniowe. - modele nieliniowe. Model decyzyjny sformalizowane ujęcie działania związanego z podejmowaniem decyzji. Decyzje dopuszczalne decyzje uwzględniające warunki ograniczające, jest ich wiele. Decyzja optymalna decyzja dopuszczalna

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo