ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
|
|
- Zbigniew Osiński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że problemjestzbilansowany,tj. p i=1 a i = q i=1 b iczylicałkowita podaż jest równa całkowitemu popytowi. Dane są również koszty przewozu c ij jednostkitowaruod i-tegodostawcy(i = 1,...,p)do j-tegoodbiorcy(j = 1,...,q).Należywyznaczyćplantransportu towaru od dostawców do odbiorców o minimalnym łącznym koszcie przewozu.
2 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 2 Model liniowy dla ZT: Zmienne decyzyjne: x ij -ilośćtowaruprzewożonaod i-tegodostawcydo j-tego odbiorcy. Model: minz = p i=1 q j=1 c ijx ij q j=1 x ij = a i i = 1,...,p [Podażdostawców] p i=1 x ij = b i j = 1,...,q [Popytodbiorców] x ij 0 Przykład.. Rozpatrzmy następujący rysunek:
3 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 3 Fabryka Miasto 1 4 Fabryka Miasto 2 20 Fabryka Miasto 3 Miasto Zmienne decyzyjne: x ij -ilośćtowaruprzewożonaod i-tejfabrykido j-tegomiasta.
4 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 4 Model liniowy: minz = 8x x 12 + x x x x x 34 x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = [Podażfabryki1] x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = [Podażfabryki2] x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = [Podażfabryki3] x 11 + x 21 + x 31 = 4 [Popytmiasta1] x 12 + x 22 + x 32 = 20 [Popytmiasta2] x 13 + x 23 + x 33 = 30 [Popytmiasta3] x 14 + x 24 + x 34 = 30 [Popytmiasta4] x ij 0
5 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Tablica transportowa: x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x x 31 x 32 x 33 x Modele niezbilansowane 1.Przypadek p i=1 a i > q i=1 b i(nadwyżkapodaży).dodajemy fikcyjnegoodbiorcę q + 1opopycie b q+1 = p i=1 a i q i=1 b ii kosztachprzewozu c iq+1 = 0, i = 1,...,p.
6 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 6 Przykład. Rozpatrzmy tablicę: x 13 x 11 x 14 x 11 x 12 x 12 x 13 x 21 x 21 x x 22 x 23 x 23 x W problemie tym występuje nadwyżka podaży równa 20. Dodajemy fikcyjnego odbiorcę numer 4 o popycie 20. Optymalne rozwiązaniewynosi: x 12 = 20, x 13 = 20, x 21 = 20, x 23 =, x 24 = 20.Fikcyjnyodbiorcaodbiera20jedn.oddostawcy2. Oznacza to faktycznie, że towar ten zostanie u dostawcy 2. 2.Przypadek p i=1 a i < q i=1 b i(nadwyżkapopytu).dodajemy fikcyjnegodostawcę p + 1opodaży a p+1 = q i=1 b i p i=1 a ii kosztachprzewozu c p+1i = 0, i = 1,...,q.
7 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 7 Metoda sympleks(potencjałów) dla zbilansowanego ZT Wyznaczanie pierwszego dopuszczalnego rozwiązania bazowego Ogólną idę konstrukcji podaje poniższy schemat: 1. Wybierz wśród nie skreślonych elementów tablicy transportowej dopuszczalną klatkę, powiedzmy (r, k) i wstaw do niej maksymalnie możliwą wielkość przewozu, tj. minimum z podaży wiersza r i popytu kolumny kczyli x rk = min(a r, b k ).Klatkatastajesięklatkąbazową odpowiadajejzmiennabazowa x rk. 2. Zmniejsz podaż r-tego dostawcy i popyt k-tego odbiorcy o wielkość ustalonegowkroku1przewozu x rk,tj. a r := a r x rk, b k := b k x rk. 3.Jeśli a r = 0,toskreślwtablicytransportowejr-tywiersz.Jeśli natomiast a r > 0,toskreślwtablicytransportowejk-tąkolumnę (wtedy b k = 0). 4. Jeśli wszystkie elementy tablicy transportowej zostały skreślone, to
8 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 8 KONIEC. Wyznaczono początkowe bazowe rozwiązanie dopuszczalne z dokładnie(jeśli w każdym kroku skreślamy dokładnie jedną linię, tj. wierszlubkolumnęmacierzy) m + n 1zmiennymibazowymi.W przeciwnym przypadku przejdź do kroku 1. W zależności od sposobu wyboru dopuszczalnej klatki w kroku 1 powyższego schematu otrzymujemy różne metody konstrukcji początkowego bazowego rozwiązania dopuszczalnego: metoda kąta północno-zachodniego- dopuszczalną jest klatka leżąca w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie nie skreślonej części tablicy; metoda minimalnego elementu macierzy- dopuszczalną jest klatka o minimalnym koszcie w nie skreślonej części tablicy; metoda Vogel a- VAM- dopuszczalną jest klatka o minimalnym koszcie w linii(wierszu lub kolumnie) z największym
9 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 9 współczynnikiem kary. Współczynnik kary(liczba nieujemna) jest modułem różnicy między najmniejszym i drugim z koleji najmniejszym kosztem w linii. Metoda kąta północno- zachodniego
10 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Otrzymujemy następujące bazowe rozwiązanie dopuszczalne: x 11 =, x 21 =, x 22 = 20, x 23 = 20, x 33 =, x 34 = 30,pozostałe zmienne mają wartość 0. Koszt tego rozwiązania(przewozu) wynosi Metoda minimalnego elementu macierzy
11 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 11 Otrzymujemyrozwiązaniebazowe(przewóz): x 14 = 30, x 12 =, x 21 = 4, x 23 =, x 32 = 1, x 33 = 2,pozostałezmiennemają wartość 0. Koszt tego rozwiązania wynosi 9. Klatki odpowiadające zmiennym bazowym nazywamy klatkami bazowymi. Uwaga: Jeśli w każdym kroku skreślamy tylko jeden wiersz albo jedną kolumnę, to otrzymamy bazowe rozwiązanie dopuszczalne o dokładnie p + q 1 zmiennych bazowych. Ocena klatek i iteracja sympleksowa. Ciągklatek (i 1, j 1 ), (i 2, j 2 ),...,(i l, j l ),gdzie l 4tablicy
12 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 12 transportowej nazywamy cyklem jeżeli: każdedwiesąsiednieklatkiznajdująsięwjednejliniitj.wjednej kolumnie lub jednym wierszu, ostatnia klatka znajduje się w tej samej linii co klatka pierwsza czyli i 1 = i l lub j 1 = j l żadnetrzykolejnekolejneklatkitegociągunieleżąwjednejlinii. Przykładowe cykle utworzone przez szare klatki pokazane są na poniższym rysunku:
13 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 13 Ciągi(szare klatki), które nie tworzą cyklu: Twierdzenie 1. Zestaw p + q 1 klatek odpowiada zmiennym bazowym wtedy i tylko wtedy gdy klatki te nie zawierają cyklu. Dodanie jednej klatki niebazowej do klatek bazowych powoduje powstanie dokładnie jednego cyklu.
14 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 14 Rozpatrzmy początkowe bazowe rozwiązanie dopuszczalne rozważanego przykładu uzyskane metodą kąta północnozachodniego. Zmiennymi bazowymi są: ZB = {x 11, x 21, x 22, x 23, x 33, x 34 } Jaką maksymalną wartość możemy wprowadzić do klatki[1,4]? Jeżeli
15 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 wprowadzimy do klatki[1,4] pewną wartość δ to aby zachować bilans podażyipopytumusimyodjąć δodwszystkichklatek-idodać δdo wszystkich klatek +. Do klatki[1,4] wprowadzamy więc najmniejszą wartość występującą w klatkach- czyli 20 z klatki[2,3]. Oznacza to, żezmienna x 23 wychodzizbazy(zostajewyzerowana).nowymi zmiennymibazowymisą {x 11, x 14, x 21, x 22, x 33, x 34 }abazowe rozwiązaniedopuszczalnejestnastępujące: x 11 = 1, x 14 = 20, x 21 = 30, x 22 = 20, x 13 = 30, x 14 =.
16 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Czywartośćfunkcjicelu(FC)zmalejepowprowadzeniu x 14 dobazy? Zmiana FC wyniesie: 20 ( ) = 20 ( 4) = 80, czylizmniejszysięo80.liczba-4jestocenąklatkiniebazowej [1, 4].
17 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 17 Twierdzenie 2. Aktualne rozwiązanie bazowe w tablicy transportowej jest optymalne jeżeli oceny(współczynniki optymalności) wszystkich klatek niebazowych są nieujemne. Jeżeli istnieje klatka niebazowa o ujemnej ocenie to można wyznaczyć lepsze rozwiązanie wprowadzając tą klatkę do bazy i wprowadzając do niej pewien niezerowy przewóz. Obliczanie ocen(współczynników optymalności) klatek niebazowych(zmiennych niebazowych) Współczynnikioptymalności c ij dlazmiennejniebazowej x ij można wyznaczyć bez znajomości tablicy sympleksowej wykorzystują tzw. potencjałytj.liczby u i, i = 1,...,poraz v j, j = 1,...,q.Wartości potencjałów wyznacza się następująco:
18 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 18 dlakażdejzmiennejbazowej x ij mamyrównanie: c ij = 0 = c ij + u i + v j. Mamyzatemukład p + q 1równańop + qniewiadomych. Przyjmujączajednąniewiadomązeronp. u 1 = 0możnagołatwo rozwiązać.znajomoścwartości u i, v j pozwalajużwyznaczyć współczynniki optymalności za wzoru: c ij = c ij + u i + v j dlakażdejzmiennejniebazowej x ij.
19 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 19 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 v Potencjały dobieramy tak aby wyzerować współczynniki optymalności dla zmiennych bazowych, tj.:
20 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe u 1 + v 1 = 0 (x 11 ) 9 + u 2 + v 1 = 0 (x 21 ) 12 + u 2 + v 2 = 0 (x 22 ) 13 + u 2 + v 3 = 0 (x 23 ) 16 + u 3 + v 3 = 0 (x 33 ) + u 3 + v 4 = 0 (x 34 )
21 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Algorytm transportowy KROK 1 Na wejściu podajemy zbilansowane zagadnienie transportowe. Jeżeli model nie jest zbilansowany to należy go zbilansować wprowadzając fikcyjnego dostawcę albo fikcyjnego odbiorcę.
22 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 22 KROK 2 Skonstruuj tablicę transportową i pierwsze rozwiązanie bazowe(dowolną z podanych metod) KROK3Obliczpotencjały u i, i = 1,...,piv i = 1,...,qorazoceny klatekniebazowych c ij = c ij + u i + v i.jeżeliwszystkieoceny c ij 0 to KONIEC- rozwiązanie jest optymalne. W przeciwnym wypadku przejdź do kroku 4. KROK 4 Wybierz klatkę z najmniejszą ujemną oceną. Dodaj tą klatkę do klatek bazowych i zbuduj cykl zawierający dodawaną klatkę i pewne klatki bazowe(istnieje dokładnie jeden taki cykl). Oznacz dodawaną klatkę symbolem +. Następnie przesuwając się wzdłuż cyklu oznaczaj kolejne klatki cyklu na przemian- i +. Znajdź klatkę oznaczoną- dla której aktualna wielkość przewozu δ jest najmniejsza. Klatka ta wychodzi z bazy. Do klatek + dodaj przewóz
23 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 23 δaodklatek-odejmijprzewóz δ.jeżeli δ > 0,tootrzymaliśmy rozwiązanie o mniejszym koszcie. Wróć do kroku 3. Przykład. Rozwiążemy przykładowe zadanie ze strony Obliczamy potencjały:
24 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe u 1 + v 2 = 0 zmiennabazowa x u 1 + v 4 = 0 zmiennabazowa x u 2 + v 1 = 0 zmiennabazowa x u 2 + v 3 = 0 zmiennabazowa x u 3 + v 2 = 0 zmiennabazowa x u 3 + v 3 = 0 zmiennabazowa x 33 Otrzymujemy:
25 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Rozwiązanie nie jest optmalne ponieważ pewne klatki niebazowe mają ujemne oceny. Wybieramy klatkę z najmniejszą ujemną oceną, czyli [1,3]. Dodajemy tą klatkę do klatek bazowych i konstruujemy cykl:
26 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Najmniejszy przewóz dla klatek- znajduje się w klatce[1,2]. Klatka tawychodzizbazy.doklatek+dodajemyaodklatekodejmujemy. Otrzymujemy kolejne, lepsze rozwiązanie bazowe i ponownie obliczamy potencjały
27 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Ponieważ wszystkie oceny klatek niebazowych są nieujemne to tablica zawiera optymalne rozwiązanie. Przykład- rozwiązania zdegenerowane. Rozpatrzmy zagadnienie dla którego podaż, popyt, koszty oraz pierwsze rozwiązanie bazowe (metoda kąta) podane są w tabeli:
28 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe W pierwszym rozwiązaniu pewne zmienne bazowe mają wartość 0. Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem zdegenerowanym. Należy odróżniać klatki z zerami bazowymi od klatek niebazowych! Obliczamy potencjały:
29 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Do bazy wprowadzamy klatkę[1,2]. Tworzymy cykl i wykonujemy iterację:
30 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe Należyuważaćabynieusunąćzbazydwóchklatek[1,1]i[2,2].Z bazy wychodzi tylko jedna z tych klatek(obojętnie która). Druga pozostaje klatką bazową. Otrzymujemy kolejne rozwiązanie zdegenerowane.
31 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 31 Trasy zakazane. Jeżeli połączenie między dostawą i a odbiorcą j nieistniejetopodstawiamy c ij = M,gdzie Mjestjakąśbardzodużą liczbą.jeżeliwkońcowejtablicytransportowejotrzymamy x ij > 0, to wyjściowe zagadnienie jest sprzeczne( nie istnieje dopuszczalny plan przewozów). Przykład. Rozpatrzmy problem:
32 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 32 Fabryka 1 3 Miasto Fabryka 2 9 Miasto 2 20 Fabryka Miasto 3 Miasto Pierwsza tablica(bazowe rozwiązanie dopuszczalne wyznaczone metodą kąta północno-zachodniego) i pierwsza iteracja są następujące:
33 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe M M M 2 6 M M 7 M M M-16 -M M 3 M M 2 9 M 7 M M
34 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 34 Rozwiązanie to nie jest jeszcze optymalne. Należy wykonać kolejne iteracje. Optymalne rozwiązanie pokazane jest w poniższej tablicy: 3 M M 2 9 M 7 M M Ponieważ przewóz na trasach zakazanych jest 0 to rozwiązanie to jest dopuszczalne(i optymalne). Wieloetapowe zagadnienie transportowe Przykład.TrzyfabrykiF1,F2iF3,którychpodażwynosi20,i
35 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 30majądostarczyćtowardodwóchodbiorcówO1iO2,których popytwynosi20i.towarmożebyćprzewożonypotrasach pokazanych na rysunku(czyli niekoniecznie bezpośrednio z fabryk do odbiorców). Wyznaczyć plan przewozu minimalizujący łączny koszt.
36 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 36 F2 F3 1 2 O1 O2 +20 F1 2 + F2 7 F1 F s F O2 1 F s s s O1-20 O2 1 0 s s s s s 20 +s Połączenia oraz odpowiednia tablica transportowa pokazane są na rysunku.
37 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 37 Uwaga: Do pustych klatek należy wpisać koszty M(ponieważ odpowiednie połączenia nie istnieją). Uwaga: Koszty przewozu między tymi samymi punktami, np: międzyf2if2wynoszą0.sątotzw.przewozyfikcyjne. Rozwiązanie optymalne pokazane jest na poniższym rysunku:
38 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 38 F2 F3 1 2 O1 O F F F O2 O1-20 F1 F2 F3 1 2 O
39 A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 39 Końcowe uwagi na temat algorytmu transportowego: 1. Algorytm działa również wtedy, gdy koszty przewozów są ujemne. 2. Jeżeli celem jest maksymalizacja kosztów przewozu, to przed zastosowaniem algorytmu należy przemnożyć wszystkie koszty przez Jeżeli podaże i popyty wszystkich dostawców i odbiorców są liczbami całkowitymi, to algorytm zwraca optymalny przewóz całkowitoliczbowy.
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 2)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część ) Zadanie niezbilansowane Zadanie niezbilansowane Przykład 11. 5 3 8 A 4 6 4 B 9 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy Dostawcy: A :15 B : C :6 Odbiorcy: D :8 E :3 F :4 G :5
Bardziej szczegółowoZadanie niezbilansowane. Gliwice 1
Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe
Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).
KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoRozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego
Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoRozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz
Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM dr inż. Władysław Wornalkiewicz Występuje wiele metod rozwiązywania optymalizacyjnego zagadnienia transportowego. Jedną z nich jest VAM (Vogel s approximation
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowo1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11
Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...
Bardziej szczegółowoOptymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia
SZKUTNIK Joanna 1 ZIÓŁKOWSKI Jarosław 2 Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia WSTĘP Zagadnienie transportowe jest szczególnym rodzajem zadania programowania liniowego. Polega
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoWieloetapowe zagadnienia transportowe
Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych
Bardziej szczegółowoStatystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda
Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.
Bardziej szczegółowoWybrane elementy badań operacyjnych
Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe
Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220
Zagadnienie transportowe Firma produkująca papier kserograficzny posiada 4 wytwórnie i 5 hurtowni, do których dostarczany jest papier. Każda z fabryk wytwarza określoną liczbę ton papieru na miesiąc, i
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoSieć (graf skierowany)
Sieci Sieć (graf skierowany) Siecia (grafem skierowanym) G = (V, A) nazywamy zbiór wierzchołków V oraz zbiór łuków A V V. V = {A, B, C, D, E, F}, A = {(A, B), (A, D), (A, C), (B, C),..., } Ścieżki i cykle
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 2 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie transportowe z kryterium czasu I rodzaju () Jeżeli w modelu klasycznego zagadnienia transportowego
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)
Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoc j x x
ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony
Bardziej szczegółowoCałkowitoliczbowe programowanie liniowe
Przykład Algorytm Ralph Gomory Inne przykłady Badania operacyjne Instytut Informatyki Przykład Algorytm Ralph Gomory Inne przykłady Zadanie Producent dwóch typów szynobusów planuje produkcję na najbliższy
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoWspomaganie Decyzji. Roman Słowiński. Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji. Instytut Informatyki. Politechniki Poznańskiej
Wspomaganie Decyzji Roman Słowiński Zakład Inteligentnyc Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politecniki Poznańskiej Roman Słowiński Problem decyzyjny Istnieje cel lub cele do osiągnięcia
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoNarzędzia wspomagania decyzji logistycznych
Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................
Bardziej szczegółowoWSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM VI METODA WĘGIERSKA
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM VI METODA WĘGIERSKA 1. Proble przydziału. Należy przydzielić zadań do wykonawców. Każde zadanie oże być wykonywane przez co najwyżej jednego wykonawcę
Bardziej szczegółowoZagadnienia transportowe
Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoUkłady równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoZadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby
Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowozadaniem programowania liniowego całkowitoliczbowego. nazywamy zadaniem programowania liniowego 0-1. Zatem, w
Sformułowanie problemu Zastosowania Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Jeżeli w zadaniu programowania liniowego pewne (lub wszystkie) zmienne musza przyjmować wartości całkowite, to takie zadanie
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:
Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach
BADANIA OPERACYJNE Programowanie liniowe i jego zastosowanie w innych zagadnieniach dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.asp Pokój A405 Literatura okukuła K.
Bardziej szczegółowoTypowe zadania decyzyjne (zadania transportowe, zadania przydziału)
(zadania transportowe, zadania przydziału) Autor: Paweł Szołtysek O układzie prezentacji Decyzja Bardzo trudna decyzja Typowe zadania decyzyjne Wstęp Co to jest problem decyzyjny? I kwartał I II III IV
Bardziej szczegółowoKOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU
Dr inż. Jolanta KRYSTEK Mgr inż. Tomasz GRABALSKI Instytut Automatyki Politechnika Śląska KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESU MODELOWANIA TRANSPORTU Streszczenie: Artykuł dotyczy modelowania procesu transportowego.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowo[1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985.
Metody optymalizacji, wykład nr 10 Paweł Zieliński 1 Literatura [1] E. M. Reingold, J. Nievergelt, N. Deo Algorytmy kombinatoryczne PWN, 1985. [2] R.S. Garfinkel, G.L. Nemhauser Programowanie całkowitoliczbowe
Bardziej szczegółowoSchemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming)
Schemat programowania dynamicznego (ang. dynamic programming) Jest jedną z metod rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jej twórcą (1957) był amerykański matematyk Richard Ernest Bellman. Schemat ten
Bardziej szczegółowo