Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Transkrypt

1 Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki podwójne str. 1/46

2 Podział prostokata Podziałem prostokatap nazywamy zbiór n złożony z prostokątówp 1,P 2,...,P n, które całkowicie wypełniają prostokąt P oraz mają parami rozłączne wnętrza (tzn.(intp i ) (intp j )=, dlai j). d y P 2 P 3 P k y k c a P 1 x k b x Całki podwójne str. 2/46

3 Oznaczenia w definicji całki po prostokacie x k, y k - wymiary prostokątap k, gdzie1kn; d k = ( x k ) 2 +( y k ) 2 - długość przekątnej prostokątap k, gdzie1kn; δ( n )=max 1kn d k - średnica podziału n ; A={A 1 (x 1,y 1),A 2 (x 2,y 2),...,A n (x n,y n)}, gdzie A k (x k,y k ) P k dla1kn,a-zbiór punktów pośrednich podziału n. Całki podwójne str. 3/46

4 Suma całkowa funkcji po prostokacie Niech funkcjaf będzie ograniczona na prostokąciep oraz niech n będzie podziałem tego prostokąta, aazbiorem punktów pośrednich. Suma całkowa funkcjif odpowiadajac a podziałowi n oraz punktom pośrednimanazywamy liczbę n k=1 f(x k,y k) ( x k ) ( y k ). Całki podwójne str. 4/46

5 Suma całkowa funkcji po prostokacie Uwaga: Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej wykresem funkcjiz=f(x,y) 0leżącym nad prostokątemp oraz płaszczyznaxoy przez objętości prostopadłościanów o podstawachp k i wysokościachf(x k,y k ), dla1 k n. Całki podwójne str. 5/46

6 Całki podwójne po prostokacie Niech funkcjaf będzie ograniczona na prostokąciep. Całkę podwójna funkcjif po prostokaciep definiujemy wzorem P f(x,y)dxdy def = lim δ( n ) 0 n k=1 f(x k,y k) ( x k ) ( y k ), o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału n prostokątap ani od sposobu wyboru punktów pośrednicha. Mówimy wtedy, że funkcjaf jest całkowalna na prostokaciep. Całki podwójne str. 6/46

7 Całki podwójne po prostokacie Całkę podwójną z funkcjif po prostokąciep oznaczamy też symbolem: P f(x,y)dp. Całka podwójna po prostokącie jest uogólnieniem całki z funkcji jednej zmiennej po przedziale. Całki podwójne str. 7/46

8 Twierdzenie o całkowalności funkcji ciagłych: Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna. Twierdzenie o liniowości całki: Niech funkcjef ig będą całkowalne na prostokąciep oraz niech α,β R. Wtedy P [αf(x,y)+βg(x,y)]dxdy=α P f(x,y)dxdy+β P g(x, y)dxdy. Całki podwójne str. 8/46

9 Twierdzenie o addytywności całki względem obszaru całkowania Jeżeli funkcjaf jest całkowalna na prostokąciep, to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokątyp 1 ip 2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość P f(x,y)dxdy= P 1 f(x,y)dxdy+ P 2 f(x,y)dxdy. Całki podwójne str. 9/46

10 Twierdzenia o zamianie całki podwójnej na całkę iterowana Jeżeli funkcjaf jest całkowalna na prostokącie P= a,b c,d, to P f(x,y)dxdy= b a [ d c f(x,y)dy ] dx = d c [ b a f(x,y)dx ] dy. Całki podwójne str. 10/46

11 Całkę iterowaną b a [ d c f(x,y)dy ] dx możemy zapisywać umownie b a dx d c f(x,y)dy. Podobną umowę możemy przyjąć dla drugiej całki iterowanej, tzn. d c [ b a f(x,y)dx ] dy= d c dy b a f(x,y)dx. Całki podwójne str. 11/46

12 Przykład NiechP= Obliczyć P π 4,π 4 0, π. 4 sin(x+y)dxdy. Całki podwójne str. 12/46

13 Całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych Jeżeli funkcjaf jest funkcją postacif(x,y)=g(x) h(y), gdzieg ihsą ciągłe odpowiednio na przedziałach a,b i c,d, to P g(x) h(y)dxdy= b a g(x)dx d c h(y)dy. Całki podwójne str. 13/46

14 Przykład NiechP= 0,1 1,1. Obliczyć P e x+y dxdy. Całki podwójne str. 14/46

15 Całki podwójne po obszarach Niechf będzie funkcją określoną i ograniczoną w obszarze ograniczonymd R 2 oraz niechp będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszarp. Ponadto niechf oznacza rozszerzenie funkcjif nap określone wzorem: f (x,y) def = f(x,y), dla(x,y) D, 0, dla(x,y) P\D. Całki podwójne str. 15/46

16 Całki podwójne po obszarach Całkę podwójna funkcjif po obszarzed definiujemy wzorem: f(x,y)dxdy def = f (x,y)dxdy, D P o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcjaf jest całkowana w obszarzed. Całka P f (x,y)dxdy nie zależy od wyboru prostokątap. Całki podwójne str. 16/46

17 Obszary normalne względem osi układu 1 Obszar domkniętyd nazywamy obszarem normalnym względem osiox, jeżeli można go zapisać w postaci: D={(x,y): a xb g(x) y h(x)}, gdzie funkcjeg ihsą ciągłe na a,b, przy czymg(x)<h(x) dlax (a,b). Całki podwójne str. 17/46

18 Obszary normalne względem osi układu 2 Obszar domkniętyd nazywamy obszarem normalnym względem osioy, jeżeli można go zapisać w postaci: D={(x,y): c y d p(y) xq(y)}, gdzie funkcjepiq są ciągłe na c,d, przy czymp(y)<q(y) dlay (c,d). Całki podwójne str. 18/46

19 Przykład ObszarDograniczony krzywymiy=0,x=2 iy=x 2 jest obszarem normalnym zarówno względem osiox jak również względem osioy. ObszarDograniczony krzywymiy= 1,y=1, x=2 1 y 2 ix= 1 y 2 1 jest obszarem normalnym względem osioy. Całki podwójne str. 19/46

20 Całki iterowane po obszarach normalnych Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze domkniętym D={(x,y): a xb g(x) y h(x)} normalnym względem osiox, to D f(x,y)dxdy= b a [ h(x) g(x) f(x,y)dy ] dx. Całki podwójne str. 20/46

21 Całki iterowane po obszarach normalnych Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze domkniętym D={(x,y): c y d p(y) xq(y)} normalnym względem osioy, to D f(x,y)dxdy= d c [ q(y) p(y) f(x,y)dx ] dy. Całki podwójne str. 21/46

22 Przykład NiechD={(x,y): y x y 3x x 2 }. ( Obliczyć x 2 xy ) dxdy. D Całki podwójne str. 22/46

23 Obszar regularny na płaszczyźnie Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem osi układu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Całki podwójne str. 23/46

24 Całka po obszarze regularnym Niech obszar regularnyd=d 1 D 2... D n i intd i intd j =, dlai j oraz niech funkcjaf będzie całkowalna nad. Wtedy D f(x,y)dxdy= D 1 f(x,y)dxdy+ + D 2 f(x,y)dxdy+...+ D n f(x,y)dxdy. Całki podwójne str. 24/46

25 Przykład NiechD={(x,y): xy 1 x y 1}. Obliczyć D xydxdy. Całki podwójne str. 25/46

26 Wartość średnia funkcjif w obszarzed Wartościa średnia funkcjif na obszarzed nazywamy liczbę def fśr = 1 D D f(x,y)dxdy, gdzie D oznacza pole obszarud. Wartość średnia funkcjif w obszarzed jest równa wysokości walca o podstawied, który ma tę samą objętość co bryłav. Całki podwójne str. 26/46

27 Wartość średnia funkcjif w obszarzed Przykład. Wysokość nad poziomem morza pewnego terenu jest opisana wzoremw(x,y)=20+sinxcos2y, gdzie (x,y) 0,π π 2,π. Oblicz średnie wzniesienie tego 2 terenu. Twierdzenie: Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze normalnym D, to w tym obszarze istnieje punkt(x 0,y 0 ), taki że fśr =f(x 0,y 0 ). Całki podwójne str. 27/46

28 Przekształcenia obszarów na płaszczyźnie Niech R 2 id R 2 będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach U OV i XOY. Przekształceniem obszaru wobszard nazywamy funkcję F: D określoną wzorem gdzie(u,v). (x,y)=f(u,v)=(ϕ(u,v),ψ(u,v)), F( ) def ={(x,y):x=ϕ(u,v) y=ψ(u,v) (u,v) }F( )- obraz zbioru. Jeżeli funkcjeϕ,ψ są ciągłe na obszarze, to przekształcenief nazywamy ciagłym. Jeżeli różnym punktom obszaru odpowiadają różne punkty jego obrazud, to przekształcenief nazywamy różnowartościowym. Całki podwójne str. 28/46

29 Przekształcenia obszarów na płaszczyźnie J F (u,v)= ϕ u (u,v) ϕ v (u,v) ψ u (u,v) ψ v (u,v) - jakobian przekształceniaf. Twierdzenie: Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym jest również obszarem. Przykład: NiechF(u,v)=(u+v,u v) i ={(u,v):0 u1 2 v 4}. Całki podwójne str. 29/46

30 Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Niech przekształcenief odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego na wnętrze obszaru regularnegod, funkcjeϕ,ψ mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar, funkcjaf będzie ciągła na obszarzed, J F (u,v) 0, dla(u,v) int. Wtedy f(x,y)dxdy= f(ϕ(u,v),ψ(u,v)) J F (u,v) dudv. D Całki podwójne str. 30/46

31 Przykład NiechD będzie obszarem ograniczonym krzywymi2x+y=2, 2x+y=3,x y= 1 ix y=1. Obliczyć D (x+y)dxdy. Całki podwójne str. 31/46

32 Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych Położenie punktua(x,y) na płaszczyźnie można opisać parą liczb (ϕ, ), gdzie: ϕ oznacza miara kąta między dodatnią częścią osiox a promieniem wodzącym punktua,0ϕ<2π lub π<ϕπ, oznacza odległość punktuaod początku układu współrzędnych,0 <. Parę liczb(ϕ, ) nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny. Całki podwójne str. 32/46

33 Zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi B: x= cosϕ y= sinϕ PrzekształcenieB, które każdemu punktowi(ϕ, ) przyporządkowuje punkt(x,y) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem biegunowym. Jakobian przekształcenia biegunowegoj B =. Całki podwójne str. 33/46

34 Twierdzenie - współrzędne biegunowe w całce podwójnej Niech obszar we współrzędnych biegunowych będzie obszarem regularnym funkcjaf będzie ciągła na obszarzed, który jest obrazem obszaru przy przekształceniu biegunowym, tzn.d=b( ). Wtedy f(x,y)dxdy= f( cosϕ, sinϕ) d dϕ. D Całki podwójne str. 34/46

35 Przykład NiechD będzie obszarem ograniczonym krzywąx 2 +y 2 =1. Obliczyć D ln(1+x 2 +y 2 )dxdy. Całki podwójne str. 35/46

36 Przykład NiechD będzie obszarem ograniczonym krzywąx 2 +y 2 =2. Obliczyć D e (x2 +y 2) dxdy. Całki podwójne str. 36/46

37 Zastosowania całek podwójnych w geometrii Pole obszaru Pole obszaru regularnegod R 2 wyraża się wzorem: D = D dxdy. Całki podwójne str. 37/46

38 Zastosowania całek podwójnych w geometrii Objętość bryły Objętość bryłyv położonej nad obszarem regularnymd R 2 i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji ciągłych z = d(x, y) i z = g(x, y) wyraża się wzorem: V = D [g(x,y) d(x,y)]dxdy. Całki podwójne str. 38/46

39 Zastosowania całek podwójnych w geometrii Pole płata Pole płataσ, który jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie (x, y) D wyraża się wzorem: Σ = D 1+( f x ) 2 + ( ) f 2 dxdy. y Całki podwójne str. 39/46

40 Zastosowania całek podwójnych w mechanice Masa obszaru Masa obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyraża się wzorem: M= D ρ(x, y)dxdy. Całki podwójne str. 40/46

41 Zastosowania całek podwójnych w mechanice Momenty statyczne Momenty statyczne względem osiox ioy obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyrażają się wzorami: MS x = D yρ(x, y)dxdy, MS y = D xρ(x, y)dxdy. Całki podwójne str. 41/46

42 Zastosowania całek podwójnych w mechanice Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyrażają się wzorami: x C = MS y M, y C = MS x M. Całki podwójne str. 42/46

43 Momenty bezwładności Momenty bezwładności względem osiox,oy obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyrażają się wzorami: I x = D y 2 (x,y)dxdy, I y = D x 2 (x,y)dxdy. Całki podwójne str. 43/46

44 Moment bezwładności względem punktuo(0,0) Moment bezwładności względem punktuo(0,0) obszarud R 2 o gęstości powierzchniowej masyρwyraża się wzorem: I O = D (x 2 +y 2 ) (x,y)dxdy. Całki podwójne str. 44/46

45 Podsumowanie Całki podwójne po prostokącie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Całki podwójne str. 45/46

46 Dziękuję za uwagę ;) Całki podwójne str. 46/46