Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki podwójne i potrójne

Transkrypt

1 Rchunek cłkowy funkcji wielu zmiennych Cłki podwójne i potrójne wykłd z MATEMATYKI Automtyk i Robotyk studi stcjonrne sem. II, rok k. 2009/2010 Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki olitechnik Biłostock 1 Cłki podwójne 1.1 Cłki podwójne po prostokącie efinicj 1.1 (podził prostokąt). odziłem prostokąt nzywmy zbiór n złożony z prostokątów 1, 2,..., n, które cłkowicie wypełniją prostokąt orz mją prmi rozłączne wnętrz (tzn.(int i ) (int j )=, dli j). d c y k x k y k Oznczeni w definicji cłki po prostokącie b x x k, y k - wymiry prostokąt k, gdzie1kn; d k = ( x k ) 2 +( y k ) 2 - długość przekątnej prostokąt k, gdzie1kn; δ( n )= mx 1kn d k - średnic podziłu n ; A={A 1 (x 1,y 1 ),A 2(x 2,y 2 ),...,A n(x n,y n)}, gdziea k (x k,y k ) k dl1kn,a-zbiór punktów pośrednich podziłu n. efinicj 1.2 (Sum cłkow funkcji po prostokącie). Niech funkcjf będzie ogrniczon n prostokącie orz niech n będzie podziłem tego prostokąt, A zbiorem punktów pośrednich. 1

2 Sumą cłkową funkcjif odpowidjącą podziłowi n orz punktom pośrednimanzywmy liczbę n f(x k,yk) ( x k ) ( y k ). k=1 Uwg 1. Sum cłkow jest przybliżeniem objętości bryły ogrniczonej wykresem funkcjiz=f(x,y) 0 leżącym nd prostokątem orz płszczyznąxoy przez objętości prostopdłościnów o podstwch k i wysokościchf(x k,y k ), dl1 k n. efinicj 1.3. Niech funkcjf będzie ogrniczon n prostokącie. Cłkę podwójną funkcjif po prostokącie definiujemy wzorem n f(x,y)dxdy def = lim f(x k,yk) ( x k ) ( y k ), δ( n) 0 k=1 o ile grnic po prwej stronie znku równości jest włściw i nie zleży od sposobu podziłu n prostokąt ni od sposobu wyboru punktów pośrednicha. Mówimy wtedy, że funkcjf jest cłkowln n prostokącie. Uwg 2. Cłkę podwójną z funkcjif po prostokącie oznczmy też symbolem: f(x,y)d. Cłk podwójn po prostokącie jest uogólnieniem cłki z funkcji jednej zmiennej po przedzile. Twierdzenie 1.4 (o cłkowlności funkcji ciągłych). Funkcj ciągł n prostokącie jest n nim cłkowln. Twierdzenie 1.5 (o liniowości cłki). Niech funkcjef ig będą cłkowlne n prostokącie orz niechα,β R. Wtedy [αf(x,y)+βg(x,y)]dxdy=α f(x,y)dxdy+β g(x, y)dxdy. Twierdzenie 1.6 (o ddytywności cłki względem obszru cłkowni). Jeżeli funkcj f jest cłkowln n prostokącie, to dl dowolnego podziłu tego prostokąt n prostokąty 1 i 2 o rozłącznych wnętrzch zchodzi równość f(x,y)dxdy= f(x,y)dxdy+ f(x,y)dxdy. 1 2 Twierdzenie 1.7 (o zminie cłki podwójnej n cłkę iterowną). Jeżeli funkcj f jest cłkowln n prostokącie =, b c, d, to f(x,y)dxdy= b [ d c f(x,y)dy ] dx= d c [ b f(x,y)dx ] dy. 2

3 Uwg 3. Cłkę iterowną możemy zpisywć umownie b b [ d c d dx f(x,y)dy ] dx c f(x,y)dy. odobną umowę możemy przyjąć dl drugiej cłki iterownej, tzn. rzykłd 1.8. Niech= π 4,π 0, π. 4 4 Obliczyć sin(x+y)dxdy. d c [ b f(x,y)dx ] dy= d c b dy f(x,y)dx. Twierdzenie 1.9 (cłk podwójn z funkcji o rozdzielonych zmiennych). Jeżeli funkcjf jest funkcją postcif(x,y)=g(x) h(y), gdzieg ihsą ciągłe odpowiednio n przedziłch,b i c,d, to b d g(x) h(y)dxdy= g(x)dx h(y)dy. rzykłd Niech= 0,1 1,1. Obliczyć e x+y dxdy. c 1.2 Cłki podwójne po obszrch normlnych Niechf będzie funkcją określoną i ogrniczoną w obszrze ogrniczonym R 2 orz niech będzie dowolnym prostokątem zwierjącym obszr. ondto niechf ozncz rozszerzenie funkcjif n określone wzorem: f (x,y) def = f(x,y), dl(x,y), 0, dl(x,y) \. 3

4 efinicj Cłkę podwójną funkcjif po obszrze definiujemy wzorem: f(x,y)dxdy def = f (x,y)dxdy, o ile cłk po prwej stronie znku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcjf jest cłkown w obszrze. Uwg 4. Cłk f (x,y)dxdy nie zleży od wyboru prostokąt. efinicj 1.12 (Obszry normlne względem osi ukłdu). Obszr domkniętynzywmy obszrem normlnym względem osiox, jeżeli możn go zpisć w postci: ={(x,y): xb g(x) y h(x)}, gdzie funkcjegihsą ciągłe n,b, przy czymg(x)<h(x) dlx (,b). Obszr domkniętynzywmy obszrem normlnym względem osioy, jeżeli możn go zpisć w postci: ={(x,y): c y d p(y) xq(y)}, gdzie funkcjepiq są ciągłe n c,d, przy czymp(y)<q(y) dly (c,d). rzykłd Obszrogrniczony krzywymiy=0,x=2iy=x 2 jest obszrem normlnym zrówno względem osiox jk również względem osioy. Obszrogrniczony krzywymiy= 1,y=1,x=2 1 y 2 ix= 1 y 2 1 jest obszrem normlnym względem osi OY. 4

5 Twierdzenie 1.14 (Cłki iterowne po obszrch normlnych). Jeżeli funkcjf jest ciągł n obszrze domkniętym normlnym względem osiox, to ={(x,y): xb g(x) y h(x)} f(x,y)dxdy= b [ h(x) f(x,y)dy ] dx. g(x) Jeżeli funkcjf jest ciągł n obszrze domkniętym normlnym względem osioy, to ={(x,y): c y d p(y) xq(y)} f(x,y)dxdy= d c [ q(y) f(x,y)dx ] dy. p(y) rzykłd Niech={(x,y): y x y 3x x 2 }. ( ) Obliczyć x 2 xy dxdy. efinicj 1.16 (obszr regulrny n płszczyźnie). Sumę skończonej liczby obszrów normlnych względem osi ukłdu o prmi rozłącznych wnętrzch nzywmy obszrem regulrnym n płszczyźnie. Twierdzenie 1.17 (cłk po obszrze regulrnym). Niech obszr regulrny= n iint i int j =, dli j orz niech funkcjf będzie cłkowln n. Wtedy f(x,y)dxdy= f(x,y)dxdy+ f(x,y)dxdy+...+ f(x,y)dxdy. 1 2 n rzykłd Niech={(x,y): xy 1 x y 1}. Obliczyć xydxdy. 5

6 efinicj 1.19 (wrtość średni funkcjif w obszrze). Wrtością średnią funkcjifn obszrzenzywmy liczbę gdzie ozncz pole obszru. def f śr = 1 f(x,y)dxdy, Uwg 5. Wrtość średni funkcjif w obszrzejest równ wysokości wlc o podstwie, który m tę smą objętość co brył. rzykłd Wysokość nd poziomem morz pewnego terenu jest opisn wzorem w(x, y) = 20 + sinxcos2y, gdzie(x,y) 0,π π 2,π. Oblicz średnie wzniesienie tego terenu. 2 Twierdzenie Jeżeli funkcj f jest ciągł n obszrze normlnym, to w tym obszrze istnieje punkt(x 0,y 0 ), tki że f śr =f(x 0,y 0 ). 6

7 1.3 Zmin zmiennych w cłkch podwójnych efinicj 1.22 (przeksztłceni obszrów n płszczyźnie). Niech R 2 i R 2 będą obszrmi odpowiednio n płszczyznchuo ixoy. rzeksztłceniem obszru w obszr nzywmy funkcję F: określoną wzorem gdzie(u,v). (x,y)=f(u,v)=(ϕ(u,v),ψ(u,v)), F( ) def ={(x,y): x=ϕ(u,v) y=ψ(u,v) (u,v) } - obrz zbioru. Jeżeli funkcjeϕ,ψ są ciągłe n obszrze, to przeksztłcenief nzywmy ciągłym. Jeżeli różnym punktom obszru odpowidją różne punkty jego obrzu, to przeksztłcenief nzywmy różnowrtościowym. ϕ J F (u,v)= u (u,v) ϕ v (u,v) ψ u (u,v) ψ v (u,v) - jkobin przeksztłcenif. Twierdzenie Obrz obszru przy przeksztłceniu ciągłym i różnowrtościowym jest również obszrem. rzykłd NiechF(u,v)=(u+v,u v) i ={(u,v): 0 u1 2 v 4}. Twierdzenie 1.25 (o zminie zmiennych w cłkch podwójnych). Niech przeksztłcenief odwzorowuje różnowrtościowo wnętrze obszru regulrnego n wnętrze obszru regulrnego, funkcjeϕ,ψ mją ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego n pewnym zbiorze otwrtym zwierjącym obszr, funkcjf będzie ciągł n obszrze, J F (u,v) 0, dl(u,v) int. Wtedy f(x,y)dxdy= f(ϕ(u,v),ψ(u,v)) J F (u,v) dudv. rzykłd Niechbędzie obszrem ogrniczonym krzywymi2x+y=2,2x+y=3,x y= 1 ix y=1. Obliczyć (x+y)dxdy. 7

8 1.4 Współrzędne biegunowe w cłkch podwójnych ołożenie punktua(x,y) n płszczyźnie możn opisć prą liczb(ϕ, ), gdzie: ϕ ozncz mir kąt między dodtnią częścią osiox promieniem wodzącym punktua,0 ϕ<2π lub π<ϕπ, ozncz odległość punktuaod początku ukłdu współrzędnych,0 <. rę liczb(ϕ, ) nzywmy współrzędnymi biegunowymi punktu płszczyzny. Zleżność między współrzędnymi biegunowymi i krtezjńskimi x= cosϕ B: y= sinϕ rzeksztłcenie B, które kżdemu punktowi(ϕ, ) przyporządkowuje punkt(x, y) określony powyższymi wzormi, nzywmy przeksztłceniem biegunowym. Jkobin przeksztłceni biegunowegoj B =. Twierdzenie 1.27 (współrzędne biegunowe w cłce podwójnej). Niech obszr we współrzędnych biegunowych będzie obszrem regulrnym funkcjf będzie ciągł n obszrze, który jest obrzem obszru przy przeksztłceniu biegunowym, tzn.=b( ). Wtedy f(x,y)dxdy= f( cosϕ, sinϕ) d dϕ. rzykłd Niechbędzie obszrem ogrniczonym krzywąx 2 +y 2 =1. Obliczyć ln(1+x 2 +y 2 )dxdy. rzykłd Niechbędzie obszrem ogrniczonym krzywąx 2 +y 2 =2. Obliczyć e (x2 +y 2) dxdy. 8

9 1.5 Zstosowni cłek podwójnych w geometrii ole obszru ole obszru regulrnego R 2 wyrż się wzorem: = dxdy. Objętość bryły Objętość bryły położonej nd obszrem regulrnym R 2 i ogrniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresmi funkcji ciągłych z = d(x, y) i z = g(x, y) wyrż się wzorem: = [g(x,y) d(x,y)]dxdy. ole płt ole płtσ, który jest wykresem funkcjiz=f(x,y), gdzie(x,y) wyrż się wzorem: Σ = 1+ ( ) f 2 + x ( ) f 2 dxdy. y rzykłd Oblicz pole obszru ogrniczonego krzywymix=y 2 ix=1. Oblicz objętość bryły ogrniczonej wskznymi powierzchnimix 2 +z 2 =4,y 2 +z 2 =4 ix,y,z 0. Oblicz pole części powierzchniz= x 2 +y 2 odciętych płszczyznmiz=1 iz=2. 9

10 1.6 Zstosowni cłek podwójnych w mechnice Ms obszru Ms obszru R 2 o gęstości powierzchniowej msyρwyrż się wzorem: M= ρ(x, y)dxdy. Momenty sttyczne Momenty sttyczne względem osiox ioy obszru R 2 o gęstości powierzchniowej msyρwyrżją się wzormi: MS x = yρ(x, y)dxdy, MS y = xρ(x, y)dxdy. Współrzędne środk msy Współrzędne środk msy obszru R 2 o gęstości powierzchniowej msyρwyrżją się wzormi: x C = MS y M, y C = MS x M. Momenty bezwłdności Momenty bezwłdności względem osiox,oy obszru R 2 o gęstości powierzchniowej msyρ wyrżją się wzormi: I x = y 2 (x,y)dxdy, I y = x 2 (x,y)dxdy. Moment bezwłdności względem punktuo(0,0) obszru R 2 o gęstości powierzchniowej msyρ wyrż się wzorem: I O = (x 2 +y 2 ) (x,y)dxdy. 10

11 2 Cłki potrójne 2.1 Cłki potrójne po prostopdłościnie Rozwżmy prostopdłościn określony w przestrzeni ukłdu OXY Z nierównościmi: : xb cyd pzq orz funkcję trzech zmiennych f(x, y, z) określoną i ogrniczoną w tym prostopdłościnie. efinicj 2.1. odziłem prostopdłościnu nzywmy zbiór n złożony z prostopdłościnów 1, 2,..., n, które cłkowicie wypełniją orz mją prmi rozłączne wnętrz (tzn.(int i ) (int j )=, dli j). Oznczeni stosowne w definicji cłki po prostopdłościnie: x k, y k, z k - wymiry prostopdłościnu k, gdzie1kn; d k = ( x k ) 2 +( y k ) 2 +( z k ) 2 - długość przekątnej prostopdłościnu k, gdzie1kn; δ n = mx 1kn d k - średnic podziłu n ; A={A 1 (x 1,y 1,z 1 ),A 2(x 2,y 2,z 2 ),...,A n(x n,y n,z n)}, gdziea k (x k,y k,z k ) k dl1kn,azbiór punktów pośrednich podziłu n. efinicj 2.2 (sum cłkow funkcji po prostopdłościnie). Niech funkcjf będzie ogrniczon n prostopdłościnie orz niech n będzie podziłem tego prostopdłościnu, A zbiorem punktów pośrednich. Sumą cłkową funkcjif odpowidjącą podziłowi n orz punktom pośrednima nzywmy liczbę n f(x k,y k,z k ) ( x k) ( y k ) ( z k ). k=1 efinicj 2.3 (cłkow potrójn po prostopdłościnie). Niech funkcjf będzie ogrniczon n prostopdłościnie. Cłkę potrójną funkcjif po prostopdłościnie definiujemy wzorem n f(x,y,z)dxdydz def = lim f(x k,yk,z k) ( x k ) ( y k ) ( z k ), δ n 0 k=1 o ile grnic po prwej stronie znku równości jest włściw i nie zleży od sposobu podziłu n prostopdłościnu ni od sposobu wyboru punktów pośrednicha. Mówimy wtedy, że funkcjf jest cłkowln n prostopdłościnie. 11

12 Uwg 6. Cłkę potrójną z funkcjif po prostopdłościnie oznczmy też symbolem: f(x,y,z)d. Twierdzenie 2.4. Funkcj ciągł n prostopdłościnie jest n nim cłkowln. Twierdzenie 2.5 (o liniowości cłki). Niech funkcjef ig będą cłkowlne n prostopdłościnie orz niechα,β R. Wtedy (αf(x,y,z)+βg(x,y,z))dxdydz=α f(x,y,z)dxdydz+β g(x,y,z)dxdydz. Twierdzenie 2.6 (o ddytywności względem obszru cłkowni). Jeżeli funkcj f jest cłkowln n prostopdłościnie, to dl dowolnego podziłu tego prostopdłościnu n prostopdłościny 1 i 2 o rozłącznych wnętrzch zchodzi równość f(x,y,z)dxdydz= f(x,y,z)dxdydz+ f(x,y,z)dxdydz. 1 2 Twierdzenie 2.7 (o zminie cłki potrójnej n cłkę iterowną). Jeżeli funkcj f jest cłkowln n prostopdłościnie =, b c, d p, q, to,b c,d p,q f(x,y,z)dxdydz= b d q c p f(x,y,z)dz dy dx. Uwg 7. owyższe twierdzenie będzie prwdziwe tkże wtedy, gdy po prwej stronie równości npiszemy dowolną cłkę iterowną (jest sześć rodzjów cłek iterownych). Cłkę iterowną możemy zpisywć umownie b d q c p b d dx c f(x,y,z)dz dy dx q dy p f(x,y,z)dz. odobną umowę możemy przyjąć dl pozostłych cłek iterownych. rzykłd 2.8. Niech= 1,1 0,1 2,4. Oblicz (2x y+3z)dxdydz. 12

13 2.2 Cłki potrójne po obszrch normlnych efinicj 2.9 (cłk potrójn po obszrze). Niechf będzie funkcją ogrniczoną n obszrze ogrniczonym R 3 orz niech będzie dowolnym prostopdłościnem zwierjącym obszr. ondto niechf ozncz rozszerzenie funkcjif n określone wzorem: f (x,y,z) def = f(x,y,z), dl(x,y,z), 0, dl(x,y,z) \. Cłkę potrójną funkcjif po obszrze definiujemy wzorem: f(x,y,z)dxdydz def = f (x,y,z)dxdydz, o ile cłk po prwej stronie znku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcjf jest cłkown w obszrze Uwg 8. Cłk f (x,y,z)dxdydz nie zleży od wyboru prostopdłościnu. efinicj 2.10 (Obszry normlne względem płszczyzn ukłdu współrzędnych). 1 Obszr domknięty nzywmy obszrem normlnym względem płszczyzny XOY, jeżeli możn go zpisć w postci: ={(x,y,z): (x,y) xy g(x,y)zh(x,y)}, gdzie xy jest obszrem normlnym n płszczyźniexoy, funkcjegihsą ciągłe n xy, przy czymg(x,y)<h(x,y) dl punktów(x,y) nleżących do wnętrz obszru xy ( ). 2 Obszr domknięty nzywmy obszrem normlnym względem płszczyzny XOZ, jeżeli możn go zpisć w postci: ={(x,y,z): (x,z) xz p(x,z)yq(x,z)}, gdzie xz jest obszrem normlnym n płszczyźniexoz, funkcjepiq są ciągłe n xz, przy czymp(x,z)<q(x,z) dl punktów(x,z) nleżących do wnętrz obszru xz ( ). 3 Obszr domknięty nzywmy obszrem normlnym względem płszczyzny Y OZ, jeżeli możn go zpisć w postci: ={(x,y,z): (y,z) yz r(y,z)xs(y,z)}, gdzie yz jest obszrem normlnym n płszczyźnieyoz, funkcjerissą ciągłe n yz, przy czymr(y,z)<s(y,z) dl punktów(y,z) nleżących do wnętrz obszru yz ( ). ( ) xy - rzut obszru n płszczyznęxoy. ( ) xz - rzut obszru n płszczyznęxoz. ( ) yz - rzut obszru n płszczyznęyoz. 13

14 Twierdzenie Jeżeli funkcjf jest ciągł n obszrze domkniętym ={(x,y,z): (x,y) xy g(x,y)zh(x,y)} normlnym względem płszczyznyxoy, gdzie funkcjegihsą ciągłe n xy, to h(x,y) f(x,y,z)dxdydz= xy g(x,y) f(x,y,z)dz dxdy. Uwg 9. rwdziwe są nlogiczne wzory z cłkmi iterownymi po obszrch normlnych względem pozostłych płszczyzn ukłdu. Jeżeli obszr normlny względem płszczyzny XOY możn zpisć w postci: : xb g(x)y h(x) g(x,y)zh(x,y),. to zchodzi równość f(x,y,z)dxdydz= b h(x) g(x) b dx h(x,y) g(x,y) h(x) g(x) dy f(x,y,z)dz dy dx h(x,y) g(x,y) f(x,y,z)dz. rzykłd Niech będzie obszrem ogrniczonym powierzchnimiz=y 2 x 2,z=0,x=0, y=1 iy=x. Oblicz (x 2 +y 2 )dxdydz. rzykłd Niech będzie obszrem ogrniczonym powierzchnimiz=y,z=0 iy=1 x 2. Oblicz ydxdydz. 14

15 efinicj Sumę skończonej liczby obszrów normlnych względem płszczyzn ukłdu o prmi rozłącznych wnętrzch nzywmy obszrem regulrnym w przestrzeni. Twierdzenie Niech obszr regulrny= n orzint i int j =, dli j orz niech funkcjf będzie cłkowln n. Wtedy f(x,y,z)dxdydz= f(x,y,z)dxdydz+ f(x,y,z)dxdydz+...+ f(x,y,z)dxdydz. 1 2 n Uwg 10. Cłki po obszrch regulrnych mją te sme włsności co cłki po prostopdłościnch, tzn. liniowość, ddytywność względem obszru cłkowni. efinicj Wrtością średnią funkcjif n obszrze nzywmy liczbę gdzie ozncz objętość obszru. f śr := 1 f(x,y,z)dxdydz, Twierdzenie Jeżeli funkcj f jest ciągł n obszrze normlnym, to w tym obszrze istnieje punkt(x 0,y 0,z 0 ), tki że f śr =f(x 0,y 0,z 0 ). rzykłd Niech={(x,y,z):0x1 0 y x 0 z x+y}. Oblicz wrtość średnią funkcji f(x,y,z)=x+y+z. rzykłd W punkcie(x,y,z) prostopdłościnu={(x,y,z):0x1 0 y 2 0 z 3}. tempertur określon jest wzorem T(x,y,z)=ysinπx+z. Oblicz średnią temperturę w tym prostopdłościnie. 15

16 2.3 Zmin zmiennych w cłkch potrójnych Niech Ω i będą obszrmi odpowiednio w przestrzenich U O W i XOY Z. rzeksztłceniem obszru Ω w obszr nzywmy funkcję F: Ω określoną wzorem gdzie(u,v,w) Ω. (x,y,z)=f(u,v,w)=(ϕ(u,v,w),ψ(u,v,w),χ(u,v,w)), F(Ω) def ={(x,y,z): x=ϕ(u,v,w) y=ψ(u,v,w) z=χ(u,v,w) (u,v,w) Ω} - obrz zbioruω. Jeżeli funkcjeϕ,ψ,χ są ciągłe n obszrzeω, to przeksztłcenief nzywmy ciągłym. Jeżeli różnym punktom obszru Ω odpowidją różne punkty jego obrzu, to przeksztłcenie F nzywmy różnowrtościowym. ϕ u (u,v,w) ϕ v (u,v,w) ϕ w (u,v,w) ψ J F (u,v,w)= u (u,v,w) ψ v (u,v,w) ψ w (u,v,w) - jkobin przeksztłcenif χ u (u,v,w) χ v (u,v,w) χ w (u,v,w) Stwierdzenie Obrz obszru przy przeksztłceniu ciągłym i różnowrtościowym jest również obszrem. Twierdzenie 2.21 (o zminie zmiennych w cłce potrójnej). Niech przeksztłcenief odwzorowuje różnowrtościowo wnętrze obszru regulrnegoω n wnętrze obszru regulrnego, funkcjeϕ,ψ,χ mją ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego n pewnym zbiorze otwrtym zwierjącym obszrω, funkcjf będzie ciągł n obszrze, J F (u,v,w) 0, dl(u,v,w) intω. Wtedy f(x,y,z)dxdydz= Ω f(ϕ(u,v,w),ψ(u,v,w),χ(u,v,w)) J F (u,v,w) dudvdz. Współrzędne wlcowe w cłkch potrójnych ołożenie punktu A(x, y, z) w przestrzeni możn opisć trójką liczb(ϕ,, h), gdzie: ϕ ozncz mir kąt między rzutem promieni wodzącego punktuan płszczyznęxoy, dodtnią częścią osiox,0ϕ<2π lub π<ϕπ, ozncz odległość rzutu punktuan płszczyznęxoy od początku ukłdu współrzędnych, 0 <, h ozncz odległość (dodtni dlz>0iujemną dlz<0) punktu od płszczyznyxoy, <h<. 16

17 Trójkę liczb(ϕ,,h) nzywmy współrzędnymi wlcowymi punktu przestrzeni. Zleżność między współrzędnymi wlcowymi i krtezjńskimi: x= cosϕ W: y= sinϕ z=h rzeksztłceniew, które kżdemu punktowi(ϕ,,h) przyporządkowuje punkt(x,y,z) określony powyższymi wzormi, nzywmy przeksztłceniem wlcowym. Jkobin przeksztłceni wlcowegoj W =. Twierdzenie Niech obszrωwe współrzędnych wlcowych będzie obszrem normlnym funkcjf będzie ciągł n obszrze, który jest obrzem obszruωprzy przeksztłceniu wlcowym, tzn.=w(ω). Wtedy f(x,y,z)dxdydz= Ω f( cosϕ, sinϕ,h) dhd dϕ. rzykłd Niech będzie obszrem ogrniczonym prboloidąz=9 x 2 y 2 i płszczyznąz=0. Oblicz x 2 dxdydz. rzykłd Niech będzie obszrem ogrniczonym powierzchnią stożkz=2 x 2 +y 2 i płszczyznąz=8. Oblicz (x 2 +y 2 )dxdydz. 17

18 Współrzędne sferyczne w cłkch potrójnych ołożenie punktu A(x, y, z) w przestrzeni możn opisć trójką liczb(ϕ, ψ, ), gdzie: ϕ ozncz mir kąt między rzutem promieni wodzącego punktuan płszczyznęxoy, dodtnią częścią osiox,0ϕ<2π lub π<ϕπ, ψ ozncz mir kąt między promieniem wodzącym punktua, płszczyznąxoy, π 2 ψπ 2, ozncz odległość punktuaod początku ukłdu współrzędnych,0 <. Trójkę liczb(ϕ,ψ, ) nzywmy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni. Zleżność między współrzędnymi sferycznymi i krtezjńskimi: x= cosϕcosψ S: y= sinϕcosψ z= sinψ rzeksztłcenie S, które kżdemu punktowi(ϕ, ψ, ) przyporządkowuje punkt(x, y, z) określony powyższymi wzormi, nzywmy przeksztłceniem sferycznym. Jkobin przeksztłceni sferycznegoj W = 2cosψ. Twierdzenie Niech Wtedy obszrωwe współrzędnych biegunowych będzie obszrem normlnym funkcjf będzie ciągł n obszrze, który jest obrzem obszruωprzy przeksztłceniu sferycznym, tzn.=s(ω). f(x,y,z)dxdydz= f( cosϕcosψ, sinϕcosψ, sinψ) 2 cosψd dψdϕ. Ω rzykłd Niech będzie obszrem ogrniczonym półsferąz= 4 x 2 y 2 i płszczyznąz=0. Oblicz z x 2 2 +y 2 +z 2 dxdydz. 18

19 rzykłd Niech będzie obszrem ogrniczonym powierzchniąz=2 1 x 2 y 2 i płszczyzną z= 1 2. Oblicz dxdydz x 2 +y 2 +z 2. 19

20 Zstosowni cłek potrójnych w geometrii i mechnice Objętość obszru Objętość obszru R 3 wyrż się wzorem: = dxdydz. Ms obszru Ms obszru R 3 o gęstości objętościowej msy wyrż się wzorem: M= (x,y,z)dxdydz. Momenty sttyczne Momenty sttyczne względem płszczyzn ukłdu współrzędnych obszru R 3 o gęstości objętościowej msy wyrżją się wzormi: MS xy = z (x, y, z)dxdydz, MS xz = y (x, y, z)dxdydz, MS yz = x (x, y, z)dxdydz. Współrzędne środk msy Współrzędne środk msy obszru R 3 o gęstości objętościowej msy wyrżją się wzormi: Momenty bezwłdności x C = MS yz M, y C= MS xz M, z C= MS xy M. Momenty bezwłdności względem osiox,oy,oz obszru R 3 o gęstości objętościowej msy wyrżją się wzormi: I x = (y 2 +z 2 ) (x,y,z)dxdydz, I y = (x 2 +z 2 ) (x,y,z)dxdydz, I z = (x 2 +y 2 ) (x,y,z)dxdydz. Moment bezwłdności względem punktuo(0,0,0) obszru R 3 o gęstości objętościowej msy wyrż się wzorem: I O = (x 2 +y 2 +z 2 ) (x,y,z)dxdydz. 20