Funkcje dwóch i trzech zmiennych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje dwóch i trzech zmiennych"

Transkrypt

1 Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2, P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ), (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 + (z 1 z 0 ) 2, P 0 = (x 0, y 0, z 0 ), P 1 = (x 1, y 1, z 1 ). Definicja 1 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór O(P 0, r) = { P R 2 (R 3 ) : P 0 P < r }.

2 Definicja 2 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym swoim otoczeniem

3 Definicja 3 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A R 2 (R 3 ) o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. z = f(x, y), (x, y) A Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez D f.

4 Definicja 4 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, f(x, y)) : (x, y) D f }. Definicja 5 Poziomicą wykresu funkcji f, odpowiadającą poziomowi h R, nazywamy zbiór {(x, y) D f : f(x, y) = h}.

5 Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x 0, y 0 ). Definicja 6 f jest ciągła w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) D [( (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ) ( f(x, y) f(x 0, y 0 ) < ɛ)]

6 Pochodne cząstkowe Definicja 7 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x 0, y 0 ) określamy wzorem o ile ta granica istnieje. f x (x 0, y 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ), x Uwaga 1 Niech F (x) = f(x, y 0 ). Wtedy f x (x 0, y 0 ) = F (x 0 ).

7 Analogicznie o ile ta granica istnieje. f y (x 0, y 0 ) = lim y 0 f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ), y Uwaga 2 Niech G(y) = f(x 0, y). Wtedy f y (x 0, y 0 ) = G (y 0 ).

8 Definicja 8 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D R 2, to funkcje f f (x, y), (x, y), gdzie (x, y) D x y nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.

9 Płaszczyzna styczna Załóżmy, że pochodne cząstkowe f, f są ciągłe w punkcie (x x y 0, y 0 ). Wtedy płaszczyzna o równaniu z = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + f(x 0, y 0 ) jest styczna do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )).

10 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Niech f ma pochodne f x, f y na zbiorze otwartym D oraz niech (x 0, y 0 ) D. Definicja 9 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x 0, y 0 ) określamy wzorami: 2 f x 2 (x 0, y 0 ) = x ( f x )(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) 2 f x y (x 0, y 0 ) = x ( f y )(x 0, y 0 ) = f xy (x 0, y 0 ) 2 f y x (x 0, y 0 ) = y ( f x )(x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) 2 f y 2 (x 0, y 0 ) = y ( f y )(x 0, y 0 ) = f yy (x 0, y 0 )

11 Twierdzenie 1 (Schwartza o pochodnych mieszanych) Niech pochodne cząstkowe 2 f, 2 f istnieją na otoczeniu punktu (x x y y x 0, y 0 ) oraz będą ciągłe w punkcie (x 0, y 0 ). Wtedy 2 f x y (x 0, y 0 ) = 2 f y x (x 0, y 0 ).

12 Pochodna cząstkowa n-tego rzędu n f y k x l (x 0, y 0 ), gdzie k + l = n -pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) powstała w wyniku l- krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania względem zmiennej y

13 Pochodna kierunkowa funkcji Niech v = (v x, v y ) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D R 2 oraz niech punkt (x 0, y 0 ) D. Definicja 10 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wersora v określamy wzorem: f v (x 0, y 0 ) = lim t 0 + f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ) f(x 0, y 0 ). t Uwaga 3 Niech F (t) = f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ). Wtedy f v (x 0, y 0 ) = F +(0).

14 Gradient funkcji Definicja 11 Niech istnieją pochodne cząstkowe f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ). Gradientem funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor grad f(x 0, y 0 ) = ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )).

15 Twierdzenie 2 Niech pochodne f, f x y punkcie (x 0, y 0 ) D. Wtedy istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w f v (x 0, y 0 ) = grad f(x 0, y 0 ) v. Interpretacja geometryczna Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.

16 Ekstrema lokalne Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x 0, y 0 ). Definicja 12 f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeżeli [(x, y) O((x 0, y 0 ), δ) f(x, y) f(x 0, y 0 )]. δ>0 (x,y) D

17 Twierdzenie 3 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Jeśli f ma ekstremum lokalne w (x 0, y 0 ) i istnieją pochodne cząstkowe f (x x 0, y 0 ), f (x y 0, y 0 ) to f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0.

18 Twierdzenie 4 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) i f (x x 0, y 0 ) = f (x y 0, y 0 ) = 0 oraz det 2 f (x x 2 0, y 0 ) 2 f (x x y 0, y 0 ) to f ma ekstremum lokalne w (x 0, y 0 ) i jest to : minimum lokalne właściwe, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 albo maksimum lokalne właściwe, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0. 2 f (x x y 0, y 0 ) 2 f > 0 (x y 2 0, y 0 ) Uwaga 4 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x 0, y 0 ) ekstremum lokalnego.

19 Ekstrema warunkowe Definicja 13 Funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne właściwe z warunkiem g(x, y) = 0 gdy g(x 0, y 0 ) = 0 i δ>0 (x,y) D [(x, y) S((x 0, y 0 ), δ) g(x, y) = 0] [f(x, y) > f(x 0, y 0 )]

20 Zbiory domknięte Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni: Definicja 14 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli O(P, r) A oraz O(P, r) A. r>0 A -dopełnienie zbioru A.

21 Definicja 15 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. Definicja 16 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.

22 Definicja 17 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu D O(P 0, r). r>0 P 0 Twierdzenie 5 (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to (x 1,y 1 ) D (x 2,y 2 ) D f(x 1, y 1 ) = sup {f(x, y) : (x, y) D} f(x 2, y 2 ) = inf {f(x, y) : (x, y) D}

23 Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zbiorze domkniętym 1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne. 2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (ekstrema warunkowe). Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.

24 Całki podwójne Całka podwójna po prostokącie Niech P = {(x, y) : a x b, c y d} = [a, b] [c, d] i P = {P 1, P 2,..., P n } będzie podziałem prostokąta P na prostokąty P k, 1 k n. Oznaczmy -wymiary prostokąta P k, 1 k n, d k = x k, y k -długość przekątnej prostokąta P k, 1 k n, -średnica podziału P, ( x k ) 2 + ( y k ) 2 δ(p) = max {d k : 1 k n} (x k, y k) P k -punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 k n -zbiór punktów pośrednich podziału P. Σ = {(x k, y k) : 1 k n}

25 Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P. Definicja 18 Sumę nazywamy sumą całkową. n σ(f, P) = f(x k, yk) x k y k k=1 Ciąg podziałów (P n ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli lim δ(p n) = 0. n Definicja 19 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem P f(x, y)dxdy = lim σ(f, P n) n gdzie (P n ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σ n

26 Twierdzenie 6 (Warunek wystarczający całkowania funkcji) Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty nieciągłości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).

27 Twierdzenie 7 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c R, to (f(x, y) + g(x, y))dxdy = f(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy, P P P cf(x, y)dxdy = c f(x, y)dxdy, P P f(x, y)dxdy = P P 1 f(x, y)dxdy + P 2 f(x, y)dxdy gdzie {P 1, P 2 } jest podziałem prostokąta P na prostokąty P 1, P 2.

28 Twierdzenie 8 Jeżeli istnieje f(x, y)dxdy oraz istnieje całka d f(x, y)dy dla każdego x, to P P b f(x, y)dxdy = a d dx c f(x, y)dy = d c b dy a c f(x, y)dx. Wniosek 1 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] [c, d]. Wtedy P b f(x, y)dxdy = a d dx c f(x, y)dy = d c b dy a f(x, y)dx.

29 Interpretacja geometryczna Niech V = {(x, y, z) : (x, y) P, 0 z f(x, y)}. Wtedy V = P f(x, y)dxdy.

30 Obszary Definicja 20 Zbiór D R 2 (R 3 ) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą. Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.

31 Całka podwójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D R 2. Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D P. Określamy funkcję f (x, y) = { f(x, y) dla (x, y) D 0 dla (x, y) R 2 D. Definicja 21 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem f(x, y)dxdy = D P f (x, y)dxdy.

32 Definicja 22 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)} gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x (a, b). b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)} gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y (c, d).

33 Twierdzenie 9 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym a) D = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)}, to b f(x, y)dxdy = ( D b)d = {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)}, to d f(x, y)dxdy = ( D a c h(x) g(x) q(y) p(y) f(x, y)dy)dx, f(x, y)dx)dy.

34 Całka podwójna po obszarze regularnym Definicja 23 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem osi Ox lub Oy ) D 1,..., D n o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie. Twierdzenie 10 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to f(x, y)dxdy = D D 1 f(x, y)dxdy D n f(x, y)dxdy.

35 Zamiana zmiennych w całkach podwójnych Współrzędne biegunowe P = (x, y) (ϕ, ρ), gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P 0 ϕ < 2π (albo π < ϕ π), ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych. { x = ρcosϕ B := y = ρsinϕ. B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y).

36 Twierdzenie 11 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ) : α ϕ β, g(ϕ) ρ h(ϕ)}, gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] [0, 2π]. Niech f będzie ciągła na obszarze D = B(U). Wtedy f(x, y)dxdy = D U β α [ h(ϕ) g(ϕ) f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ = f(ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.

37 Całki potrójne Całka potrójna po prostopadłościanie Niech P = {(x, y, z) : a x b, c y d, p z q} = [a, b] [c, d] [p, q] i P = {P 1, P 2,..., P n } będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P k, 1 k n. Oznaczmy -wymiary prostopadłościanu P k, 1 k n, d k = x k, y k, z k ( x k ) 2 + ( y k ) 2 + ( z k ) 2 -długość przekątnej prostopadłościanu P k, 1 k n, -średnica podziału P, δ(p) = max {d k : 1 k n} (x k, y k, z k) P k -punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 k n -zbiór punktów pośrednich podziału P. Σ = {(x k, y k, z k) : 1 k n}

38 Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Definicja 24 Sumę nazywamy sumą całkową. n σ(f, P) = f(x k, yk, zk) x k y k z k k=1 Ciąg podziałów (P n ) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli lim δ(p n) = 0. n Definicja 25 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem P f(x, y, z)dxdydz = lim σ(f, P n) n gdzie (P n ) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σ n

39 Interpretacja fizyczna całki potrójnej Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę M = P f(x, y, z)dxdydz.

40 Twierdzenie 12 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α R, β R, to (αf(x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α f(x, y, z)dxdydz + β g(x, y, z)dxdydz, P P P f(x, y, z)dxdydz = P P 1 f(x, y, z)dxdydz + f(x, y, z)dxdydz gdzie {P 1, P 2 } jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P 1, P 2. P 2

41 Twierdzenie 13 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną) Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] [c, d] [p, q]. Wtedy P b f(x, y, z)dxdydz = a d dx c q dy p f(x, y, z)dz

42 Całka potrójna po obszarze Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V R 3. Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję f (x, y, z) = { f(x, y, z) dla (x, y, z) V 0 dla (x, y, z) R 3 V. Definicja 26 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem V f(x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz. P

43 Definicja 27 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xoy nazywamy zbiór {(x, y, z) : (x, y) U, D(x, y) z G(x, y)} gdzie U jest obszarem regularnym na xoy, funkcje D i G są ciągłe na U, przy czym D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U. Analogicznie: b) względem xoz {(x, y, z) : (x, z) U, D(x, z) y G(x, z)} c) względem yoz {(x, y, z) : (y, z) U, D(y, z) x G(y, z)}.

44 Twierdzenie 14 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze V = {(x, y, z) : (x, y) U, D(x, y) z G(x, y)} normalnym względem płaszczyzny xoy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regularnym U, to G(x,y) f(x, y, z)dxdydz = ( f(x, y, z)dz)dxdy. V U Jeżeli gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to D(x,y) U = {(x, y) : a x b, d(x) y g(x)}, V f(x, y, z)dxdydz = b a dx g(x) d(x) dy G(x,y) D(x,y) f(x, y, z)dz.

45 Całka potrójna po obszarze regularnym Definicja 28 Obszar V, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( względem płaszczyzn układu ) V 1,..., V n o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Twierdzenie 15 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V, to V f(x, y, z)dxdydz = V 1 f(x, y, z)dxdydz f(x, y, z)dxdydz. V n

46 Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Współrzędne walcowe P = (x, y, z) (ϕ, ρ, h), gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y), 0 ϕ < 2π, ( π < ϕ π), 0 ρ <, < h < x = ρcosϕ W := y = ρsinϕ z = h. W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

47 Twierdzenie 16 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ρ, h) : α ϕ β, d(ϕ) ρ g(ϕ), D(ϕ, ρ) h G(ϕ, ρ)}, gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ρ) : α ϕ β, d(ϕ) ρ g(ϕ)}. Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U), to β α dϕ g(ϕ) d(ϕ) V f(x, y, z)dxdydz = dρ G(ϕ,ρ) D(ϕ,ρ) f(ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.

48 Współrzędne sferyczne P = (x, y, z) (ϕ, ψ, ρ), 0 ϕ < 2π, ( π < ϕ π), π ψ π, 0 ρ <. 2 2 x = S := y = z = ρcosϕcosψ ρsinϕcosψ ρsinψ. S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

49 Twierdzenie 17 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym i ma postać U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ϕ β, d(ϕ) ψ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ρ G(ϕ, ψ)}, gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ψ) : α ϕ β, d(ϕ) ψ g(ϕ)}. Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U), to β α dϕ g(ϕ) d(ϕ) dψ G(ϕ,ψ) D(ϕ,ψ) V f(x, y, z)dxdydz = f(ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ 2 cosψdρ.

50 Zastosowania całek wielokrotnych Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f(x, y), gdzie (x, y) D, wyraża się wzorem Zakładamy, że f x, f y Σ = 1 + ( f D x )2 + ( f y )2 dxdy. są ciągłe na obszarze D.

51 Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru U R 3 o gęstości objętościowej masy γ. MS xy = U zγ(x, y, z)dxdydz, MS xz = MS yz = Współrzędne środka masy obszaru U x c = MS yz M U U xγ(x, y, z)dxdydz., y c = MS xz M, z c = MS xy M yγ(x, y, z)dxdydz,

52 Szeregi liczbowe Definicja 29 Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (S n ), gdzie S n = a 1 + a a n. Szereg oznaczamy przez n=1 a n, a n -n-ty wyraz, S n -n-ta suma częściowa szeregu.

53 Definicja 30 Mówimy, że szereg n=1 a n jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (S n ). Oznaczamy: lim n S n = n=1 a n.

54 Jeżeli lim n S n = ( ), to mówimy, że szereg n=1 a n jest rozbieżny do ( ). Jeżeli lim n S n nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

55 Twierdzenie 18 Jeżeli szeregi n=1 a n, n=1 b n są zbieżne i c R, to a) (a n + b n ) = a n + b n, n=1 n=1 n=1 b) ca n = c a n. n=1 n=1

56 Twierdzenie 19 Szereg geometryczny n=0 x n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy x < 1, x n = 1 1 x. n=0

57 Twierdzenie 20 Jeżeli szereg n=1 a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. Uwaga 5 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

58 Kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie 21 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n 0, ) [0, ), gdzie n 0 N, będzie funkcją nierosnącą. Wówczas szereg f(n) jest zbieżny całka n=1 n 0 f(x)dx jest zbieżna. n+1 f(x)dx R n n f(x)dx, gdzie R n = i=n+1 f(i) jest n tą resztą szeregu i n n 0.

59 Twierdzenie 22 Szereg n=1 1 n p jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p 1.

60 Twierdzenie 23 (Kryterium porównacze) Niech 0 a n b n dla każdego n n 0 i niech szereg n=1 b n będzie zbieżny. Wtedy szereg n=1 a n jest zbieżny. Jeśli n=1 a n jest rozbieżny do to szereg n=1 b n jest też rozbieżny do.

61 Twierdzenie 24 (Kryterium ilorazowe) Niech a n, b n > 0 (a n, b n < 0) dla każdego n n 0 oraz niech a n lim = k, n b n gdzie 0 < k <. Wówczas szereg n=1 a n jest zbieżny szereg n=1 b n jest zbieżny.

62 Twierdzenie 25 (Kryterium d Alemberta) 1. Jezeli lim a n+1 < 1, n a n to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. lim a n+1 > 1, n a n lim a n+1 = 1 n a n

63 Twierdzenie 26 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli n lim a n < 1 n to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. lim n lim n n a n > 1 n a n = 1

64 Twierdzenie 27 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (b n ) jest nierosnący od numeru n 0 N i lim n b n = 0 to szereg naprzemienny n=1 ( 1) n+1 b n jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu R n b n+1 dla każdego n n 0.

65 Definicja 31 Mówimy, że szereg n=1 a n jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg n=1 a n jest zbieżny. Twierdzenie 28 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.

66 Definicja 32 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo.

67 Szeregi potęgowe Definicja 33 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x 0 R i współczynnikach c n R, nazywamy szereg postaci c n (x x 0 ) n. n=0

68 Granica górna i dolna ciągu Definicja 34 Niech (k n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (a n ) będzie dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy ciąg (b n ) określony wzorem b n = a kn, gdzie n N.

69 Twierdzenie 29 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

70 Definicja 35 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a. Symbol ( ) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do ( ).

71 Definicja 36 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (a n ) (właściwych lub niewłaściwych). Wtedy lim n a n = inf S jest granicą dolną ciągu, a jest granicą górną ciągu. lim n a n = sup S

72 Twierdzenie 30 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli n lim n a n < 1 to szereg n=1 a n jest zbieżny. 2. Jeżeli to szereg n=1 a n jest rozbieżny. W przypadku kryterium nie rozstrzyga zbieżności. n lim n a n > 1 n lim n a n = 1

73 Promień zbieżności szeregu potęgowego R = 0 gdy n lim n c n =, gdy n 0 < lim n c n <, gdy n lim n c n = 0. 1 lim n n c n

74 Uwaga 6 R = lim c n, 1 n n - o ile granice w tych wzorach istnieją. R = lim c n n c n+1

75 Twierdzenie 31 (Cauchy ego-hadamarda) Niech 0 < R < będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n (x x 0 ) n. Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w każdym punkcie przedziału (x 0 R, x 0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru (, x 0 R) (x 0 + R, ).

76 Definicja 37 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n (x x 0 ) n nazywamy zbiór { } x R : szereg c n (x x 0 ) n jest zbieżny. n=0

77 Szereg Taylora funkcji Wzór Taylora Niech f ma w przedziale (x 0 δ, x 0 + δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy gdzie f(x) = n 1 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x) k! R n (x) = f (n) (c) (x x 0 ) n, n! c-punkt pośredni między x i x o.

78 Twierdzenie 32 Jeżeli dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) lim n R n (x) = 0, to dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n!

79 Uwaga 7 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że f (n) (x) M dla każdego n N {0} oraz dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ), to lim n R n (x) = 0.

80 Różniczkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 33 Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0 c n x n. Wtedy ( c n x n ) = nc n x n 1 dla każdego x ( R, R). n=0 Wniosek 2 Jeżeli f(x) = n=0 c n (x x 0 ) n dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ), gdzie δ > 0, to c n = f (n) (x 0 ) n! dla n = 0, 1,... n=1

81 Całkowanie szeregu potęgowego Twierdzenie 34 Niech 0 < R będzie promieniem zbieżności szeregu n=0 c n x n. Wtedy x ( c n t n c n )dt = 0 n + 1 xn+1 dla każdego x ( R, R). n=0 n=0

82 Twierdzenie 35 (Abela) Jeżeli szereg f(x) = n=0 c n x n jest zbieżny w końcowym przedziale zbieżności (np. w R), to lim f(x) = c n R n. x R n=0

83 Szeregi Fouriera Oznaczmy przez L[ π, π] przestrzeń funkcji całkowalnych na przedziale [ π, π]. W przestrzeni tej określamy pseudoiloczyn skalarny (f, g) = π π f(x)g(x)dx

84 Ciąg funkcji 1, cosx, sinx,..., cosnx, sinnx,... 2π π π π π stanowi układ ortonormalny w L[ π, π].

85 Definicja 38 Wielomianem trygonometrycznym nazywamy każdą funkcję okresową postaci S n (x) = a 0 n 2 + (a k coskx + b k sinkx), k=1 gdzie a k, b k są współczynnikami rzeczywistymi. Twierdzenie 36 Średni błąd kwadratowy jest najmniejszy jeśli a k = 1 π b k = 1 π δ 2 = 1 π [f(x) S n (x)] 2 dx 2π π π π π π f(x)coskxdx dla k = 0, 1, 2,..., n f(x)sinkxdx dla k = 1, 2,..., n.

86 Definicja 39 Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci a (a n cosnx + b n sinnx). n=1 Definicja 40 Sumą szeregu trygonometrycznego nazywamy granicę ciągu sum częściowych S n (x) = a 0 n 2 + (a k coskx + b k sinkx). k=1

87 Szereg Fouriera funkcji Niech f L[ π, π]. Definicja 41 Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny, gdzie a n = 1 π b n = 1 π π π π π f(x)cosnxdx dla n = 0, 1, 2,... f(x)sinnxdx dla n = 1, 2,... Liczby a n, b n nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji f. Będziemy stosowali oznaczenie f(x) a (a n cosnx + b n sinnx). n=1

88 Twierdzenie 37 Jeżeli f L[ π, π], to szereg Fouriera jest zbieżny średnio z kwadratem do danej funkcji, tzn. π lim [f(x) S n (x)] 2 dx = 0 n π

89 Twierdzenie 38 (Dirichleta) Jeżeli funkcja f okresowa o okresie 2π spełnia warunki: 1. przedział [ π, π] można rozłożyć na skończoną ilość przedziałów otwartych, w każdym z których funkcja f jest ciągła i monotoniczna, 2. w każdym punkcie nieciągłości f istnieją granice f(x ) i f(x + ), to szereg Fouriera tej funkcji jest zbieżny i jego suma równa się f(x) w punktach ciągłości f, a w punktach nieciągłości funkcji suma ta równa się 1 2 [f(x ) + f(x + )]

90 Uwaga 8 Jeżeli funkcja f jest okresowa o okresie 2π i całkowalna w przedziale [ π, π] oraz jest funkcją 1. parzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem cosinusowym (b n = 0), 2. nieparzystą, to jej szereg Fouriera jest szeregiem sinusowym (a n = 0).

91 Uwaga 9 Zamiast przedziału [ π, π] można rozpatrywać przedział [ l, l]. Szereg Fouriera ma postać a (a n cos πnx + b n sin πnx ), l l gdzie a n = 1 l b n = 1 l l l l n=1 l f(x)cos πnx dx dla n = 0, 1, 2,... l f(x)sin πnx dx dla n = 1, 2,... l

92 Transformata Fouriera Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji f : R R takich, że całka niewłaściwa jest zbieżna. f(x) dx Definicja 42 Transformatą Fouriera funkcji f L(R) nazywamy funkcję f(y) = 1 2π f(x)e ixy dx.

93 Twierdzenie 39 Jeżeli f L(R), to transformata f istnieje i jest funkcją ciągłą. Uwaga 10 Jeżeli f L(R) oraz f jest funkcją 1. parzystą, to 2 f(y) = f(x)cosxydx, π 0 2. nieparzystą, to 2 f(y) = i f(x)sinxydx. π 0

94 Transformata odwrotna do transformaty Fouriera Oznaczmy przez L(R) zbiór funkcji F : R C takich, że całka niewłaściwa jest zbieżna. F (x) dx Definicja 43 Transformatą odwrotną do transformaty Fouriera funkcji F L(R) nazywamy funkcję F (x) = 1 F (y)e ixy dy. 2π Zauważmy, że F (x) = F ( x).

95 Twierdzenie 40 Jeśli f L(R), to w każdym punkcie x, w którym funkcja f jest różniczkowalna, f(x) = 1 f(y)e ixy dy, 2π gdzie T = lim. T T Uwaga 11 Różniczkowalność można zastąpić słabszym warunkiem: Jeżeli istnieje δ > 0 taka, że f jest monotoniczna w S (x, δ) i S + (x, δ) oraz jest ograniczona w O(x, δ) to f(x + ) + f(x ) 2 = 1 2π f(y)e ixy dy.

96 Własności transformaty Fouriera Twierdzenie 41 Niech f L(R) i a R. Wtedy 1. jeżeli g(x) = f(x a), to ĝ(y) = f(y)e iay, 2. jeżeli a 0, g(x) = f( x ), to ĝ(y) = a f(ay), a 3. jeżeli założymy dodatkowo, że f jest funkcją różniczkowalną i f L(R), to f (y) = iy f(y).

97 Definicja 44 Niech f, g L(R). Wtedy funkcję h(x) = nazywamy splotem funkcji f, g i oznaczamy f g. f(x y)g(y)dy

98 Twierdzenie 42 Jeżeli f, g L(R), to f g L(R) and f g = 2π f ĝ.

99 Przekształcenie Laplace a Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0, ). Definicja 45 Przekształceniem Laplace a funkcji f nazywamy funkcję F (s) = L {f(t)} = gdzie s jest zmienną rzeczywistą. 0 f(t)e st dt,

100 Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Laplace a. Twierdzenie 43 Jeżeli f spełnia następujące warunki: 1. ma na każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0, skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, 2. istnieją C R, M > 0 takie, że to L {f(t)} istnieje dla s > C. f(t) Me Ct dla każdego t 0, Funkcję f spełniającą założenia powyższego twierdzenia będziemy nazywali oryginałem.

101 Linowość przekształcenia Laplace a Twierdzenie 44 Jeżeli istnieją L {f(t)} i L {g(t)} oraz c R, to L {f(t) + g(t)} = L {f(t)} + L {g(t)}, L {cf(t)} = cl {f(t)}.

102 Twierdzenie 45 Jeżeli funkcje f, g są ciągłe i L {f(t)} = L {g(t)}, to f(t) = g(t) dla każdego t [0, ).

103 Własności przekształcenia Laplace a Twierdzenie 46 Niech f będzie oryginałem, i F (s) = L {f(t)}, wtedy 1.L {f(at)} = 1F ( s ), gdzie a > 0, a a 2. L {t n f(t)} = ( 1) n F (n) (s), 3. L {e at f(t)} = F (s a), 4. L {1(t τ)f(t τ)} = e sτ F (s), gdzie τ > 0, 5. L { t 0 f(τ)dτ } = F (s) s.

104 Uwaga 12 Niech funkcje f(t) i g(t) będą określone na przedziale [0, ) oraz całkowalne w każdym przedziale [0, T ], gdzie T > 0 wtedy f(t) g(t) = t 0 f(τ)g(t τ)dτ.

105 Twierdzenie 47 (Wzór Borela) Jeżeli funkcje f(t) i g(t) są oryginałami, to L {f(t) g(t)} = L {f(t)} L {g(t)}.

106 Transformata n-tej pochodnej Twierdzenie 48 Jeżeli f oraz jej pochodne f, f,..., f (n 1) są oryginałami, a ponadto funkcja ta ma na przedziale (0, ) ciągłą n-tą pochodną, to istnieje L { f (n) (t) } oraz L { f (n) (t) } = s n L {f(t)} s n 1 f(0 + ) s n 2 f (0 + ) +... sf (n 2) (0 + ) f (n 1) (0 + ).

107 Niezależne zmienne losowe Funkcje f : [0, 1] R, które mają skończoną liczbę punktów nieciągłości, będziemy nazywali zmiennymi losowymi. Oznaczmy przez {f < x} = {t : f(t) < x}. Definicja 46 Dystrybuantą zmiennej losowej f nazywamy funkcję F f (x) = {f<x} (t)dt.

108 Definicja 47 Dystrybuantą typu absolutnie ciągłego nazywamy funkcję postaci F (x) = gdzie p(t) 0, p(t)dt = 1. Funkcję p(x) nazywamy gęstością rozkładu. x p(t)dt,

109 Definicja 48 Zmienne losowe f i g nazywamy niezależnymi, jeśli dla dowolnych x, y R {f<x} {g<y} (t)dt = F f (x)f g (y)

110 Twierdzenie 49 Jeżeli f i g są zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładach typu absolutnie ciągłego z gęstościami p i q to f + g ma rozkład o gęstości p q.

111 Definicja 49 Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej f o gęstości rozkładu p nazywamy funkcję ϕ f (t) = 2π p(t). Twierdzenie 50 Jeżeli zmienne losowe f i g o gęstościach rozkładu p i q są niezależne, to ϕ f+g (t) = ϕ f (t) ϕ g (t).

Określenie całki oznaczonej na półprostej

Określenie całki oznaczonej na półprostej Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMATA FOURIERA

TRANSFORMATA FOURIERA TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania

Bardziej szczegółowo

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej

Bardziej szczegółowo

Analiza I.2*, lato 2018

Analiza I.2*, lato 2018 Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE

WYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU 9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.NIK203 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Matematyka II

Opis przedmiotu: Matematyka II 24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK205 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera: Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Wykład 2: Szeregi Fouriera Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x

Bardziej szczegółowo