1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Zmienne losowe wielowymiarowe."

Transkrypt

1 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n, X(ω)=(X 1 (ω),x (ω),...,x k (ω)) Definicja1.. Dystrybuanta n-wymiarowejzmiennejlosowejxnazywamyfunkcję F X (t 1,t,...,t n ):IR n IRokreślonąwzorem F X (t 1,t,...,t n )=P(X 1 <t 1,X <t,...,x n <t n ) Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi. Dwuwymiarową zmienną losową(x,y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele wartości (x i,y j ):i I,j J} nazywamydwuwymiarowązmiennąlosowądyskretną. Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci ((x i,y j ),p ij )}, gdzie p ij =P(X=x i,y=y j ), dla i I,j J. Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w postaci tabeli X\Y y 1 y... y n x 1 p 11 p 1... p 1n x p 1 p... p n. x m p m1 p m... p mn Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcją schodkową F(x,y)=P(X<x,Y<y)= i,j;x i <x,y j <y p ij. Przykład 1.1. Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. Łączny rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego(x, Y) przedstawia następujaca tabela. X\Y

2 Mówimy, że zmienna losowa(x, Y) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja całkowalna f(x, y) taka, że dystrybuanta ma postać F(x,y)= x y Wpunktachciągłości(x 0,y 0 )funkcjif(x,y) f(u,v))dudv. F x y (x 0,y 0 )=f(x 0,y 0 ). DlaborelowskiegozbioruA IR mamy P((X,Y) A)= f(x,y))dxdy. Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej Twierdzenie 1.1. Funkcja F(x, y) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej(x, Y)wtedy itylkowtedy,gdy: F(x,y)jestniemalejącazewzględunakażdązezmiennych, F(x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych, dlakażdegoxikażdegoy lim F(x,y)=0, lim F(x,y)=0 x y oraz lim F(x,y)=1. x,y + dlakażdychx 1 <x,y 1 <y A F(x,y ) F(x 1,y ) F(x,y 1 )+F(x 1,y 1 ) 0. Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości. Twierdzenie 1.. Funkcja f(x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy: f(x,y) 0dlakażdego(x,y) IR, + + f(x,y)dxdy=1. Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora(x, Y) możemy wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X, Y. Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej(x, Y) są one określone wzorami: p i =P(X=x i )= j p ij, oraz p j =P(Y=y j )= i p ij Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej(x, Y) tzw. gęstości brzegowe są następujące: f X (x)= f(x,y)dy, f Y (y)= f(x,y)dx. Rozkład wektora losowego(mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.

3 Twierdzenie1.3.ZmiennelosoweX,Y sąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy F (X,Y) (x,y)=f X (x) F Y (y). W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi p ik =p i p k dlawszystkichi,k a dla zmiennych typu ciągłego warunkowi f (X,Y) (x,y)=f X (x)f Y (y) dlawszystkichx,y IR. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych X 1,X,...,X n. Przykład 1.. Zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. Łączny rozkład wektora losowego (X,Y)opisujetabela X\Y a)obliczyćp((x,y) (,0),(,1)}). b)wyznaczyćrozkładybrzegowezmiennejlosowejxorazy.ilewynosip(x =1), P(Y=0).ObliczyćEX, EY. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora(x, Y) mamy P((X,Y) (,0),(,1)})= =0.1. b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y) X\Y 0 1 r.brzegowy X r.brzegowy Y Mamywtedy:P(X=1)=0.07, P(Y=0)=0.8oraz EX= =0.31 EY= =0.18 c)w twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmiennych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład P(X=0,Y=0)= =P(X=0) P(Y=0). 3

4 Przykład 1.3. Wektorlosowy(X,Y)marozkładogęstości cxy dla 0 x 1,0 y x 0 poza tym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? d)obliczyćp(0.5<x<0.5,y>0.5). e)obliczyćp(0.5<x<1,y X). a)funkcjaf(x,y)jestgęstościąwtedyitylkowtedygdyf(x,y) 0dla(x,y) R i Mamyzatemc 0oraz f(x,y)dxdy=1. czylic=6. f(x,y)dxdy= 1 0 x 1 x dx cxydy=c 0 0 dx=c 6 =1 b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 0, x 0,x 1 x 0 6xydy=3x, gdy0<x<1, 0, y 0,y 1 1 y 6xydx=3y 3y5, gdy0<y<1 c)zmiennelosowex,yniesąniezależneboniejestspełnionywarunek f X (x) f Y (y)dlakażdego(x,y) R ; naprzykładf( 1,1 )= =f 3 X( 1) f Y( 1). d)p(0.5<x<0.5,y>0.5)= dx x 0.56xydy= x(x 0.5)dx= 5 18 e)p(0.5<x<1,y X)= dx x x 6xydy= xdx x x ydy= x(x x )dx= Przykład 1.4. Gęstośćwektoralosowego(X,Y)danajestwzorem 1 π e x a)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? b)obliczyćp(x>1). c)obliczyćp((x,y) A),gdzieA=(x,y):x +y <1}. a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X +y. f X (x)= 1 e x +y dy= 1 x 1 π π e e y dy= e x, x R π 4

5 Wobliczeniachwykorzystaliśmyznanynamfakt,że Podobnie obliczając mamy: e y f Y (y)= 1 π e y, y R. dy= π. Równośćf X (x) f Y (y)zachodzidlakażdego(x,y) R zatemzmiennelosowe X, Y sa niezależne. Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana gęstość wektora losowego(x, Y) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego. b)zmiennalosowaxmarozkładn(0,1)zatemp(x>1)=1 Φ(1)= A e x +y dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzy- c)p((x,y) A)= 1 mujemy π 1 e x +y dxdy= 1 π 1 1 dϕ re r dr=1 e. π A π Parametry rozkładu wektorów losowych Gdydanyjestrozkładwektoralosowego(X,Y)orazh:IR IRjestfunkcjącałkowalną, todlaz=h(x,y) h(x, y)f(x, y)dxdy dla wektora losowego typu ciągłego EZ=Eh(X,Y)= h(x i,y k )p i,k dlawektoralosowegotypudyskretnego i,k Definicja1.3. Dla wektora losowego(x,y) kowariancja zmiennychx,y nazywamy liczbe Cov(X,Y)=E(X EX)(Y EY)=EXY EXEY. Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem korelacji. ρ (X,Y) = Cov(X,Y) VarX VarY. Twierdzenie 1.4.(Własności współczynnika korelacji): 1. ρ(x,y) 1.Jeżelizmiennelosowesąniezależne,toρ(X,Y)=0. 3.ρ(aX+b,cY+d)=sgn(ac)ρ(X,Y). 4.ρ(X,Y)=±1wtedyitylkowtedy,gdyistniejąstałea,btakie,żeP(Y=aX+b)=1. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y. W przypadku, gdy ρ=0,zmiennelosowenazywamynieskorelowanymi.jeżeliρ(x,y)=0,tozmienne losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład. 5

6 Przykład 1.5. ZmiennalosowaXmarozkładN(0,σ)iniechY=X.Sprawdzić,żeCov(X,Y)=0,a zmiennex,ysązależne. Zmienna losowa o rozkładzie N(0, σ) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe 0.WszczególnościEX=0, EX 3 =0,zaśEY=VarX=σ.Mamyzatem Cov(X,Y)=Cov(X,X )=EX 3 EX EX =0. Definicja1.4.Dlawektoralosowego(X 1,X,...,X n )określamymacierzkowariacji C n n,wktórej c ij =Cov(X i,x j ), i,j=1,,...,n MacierzCjestmacierząsymetryczną,c ii 0. Przykład 1.6. Gęstość wektora losowego(x, Y) dana jest wzorem 3 8 y cosx dla π x π,0 y 0 poza tym a) Znaleźć rozkłady brzegowe b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. Czy X, Y są niezależne? a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 3 8 0, x π,x π 0 y cosxdy= cosx, gdy π<x<π, 3 8 ππ 0, y 0,y y cosxdx= 3 8 y, gdy0<y< b)zauważmy,żezmiennelosowex,y sąniezależne(ponieważf X (x) f Y (y) dlakażdego(x,y))zatemcov(x,y)=0orazρ(x,y)=0. Przykład 1.7. Wektor losowy(x, Y) ma następującą funkcję gęstości 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego(x, Y). 6

7 a)cov(x,y)=exy EX EY Obliczmy najpierw EXY. EXY= 0 x dx xy 1 0 xydy=1 x 5 dx= Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych XorazY. 0, x 0,x f X (x)= f(x,y)dy= x 0 1 xydy=1 4 x3, gdy0<x<, f Y (y)= Obliczmy jeszcze; EX= 0 x x3 4 dx=8 5 EY= 0 y(y y3 4 )dy= EX = 0 x x3 4 dx=8 3 VarX=EX (EX) = 8 75 EY = 0 y (y y3 4 )dy=4 3 VarY=EY (EY) = 44 5 Mamy zatem: Cov(X,Y)= 16 9 ρ(x,y)= Cov(X,Y) VarX VarY = = 16 5 f(x,y)dx= 66. 0, y 0,y y 1 xydx=y 1 4 y3, gdy0<y< b)macierzkowariancjicwektoralosowegox,y,gdzie c 1 =c 1 =Cov(X,Y),c 11 =VarX,c =VarY jestnastepująca: C= Przykład 1.8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacjimajązmiennelosowe4x 3oraz Y+4? Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy ρ(4x 3, Y+4)=sgn( 8)ρ(X,Y)= 0.5 7

8 1..1 Rozkładywarunkowe W rozdziale rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe( warunek był zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego(x, Y) interesujące jest pytanie jak wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe. Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego(x, Y) warunkowy rozkład zmiennejxprzywarunku(y=y k ),P(Y=y k ) 0określamyjako i analogicznie. (x i,p(x=x i Y=y k )),i I warunkowyrozkładzmiennejyprzywarunku(x=x i ),P(X=x i ) 0to (y k,p(y=y k X=x i )),k J Definicja 1.6. Dla wektora losowego(x, Y) typu ciągłego gęstością warunkową zmiennejlosowejxprzywarunku(y=y),f Y (y)>0nazywamyfunkcję f X Y (x y)= f(x,y) f Y (y) i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku(x = x), f X (x)>0nazywamyfunkcję f Y X (y x)= f(x,y) f X (x). Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobieństwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych losowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gęstości warunkowe są gęstościami brzegowymi. Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego. Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy warunku(y=y k )określamynastępujaco: E(X Y=y k )= i Ix i P(X=x i Y=y k ), gdy(x,y)jestdyskretny xf(x y k)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego i analogicznie warunkowąwartośćoczekiwanązmiennejlosowejy przywarunku(x=x i ) określamy następujaco: E(Y X=x i )= k Jy k P(Y=y k X=x i ), gdy(x,y)jestdyskretny yf(y x i)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego 8

9 Twierdzenie1.5.JeśliistniejeEXtoistniejeE(X Y=y). W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X, oznaczanej przez E(Y X). E(Y X)tonowazmiennalosowapostacim Y (X).Najczęściejpodajemywarunkowąwartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję : m Y (x)=e(y X=x). Funkcjęm Y (X)nazywamyfunkcjąregresjizmiennejlosowjYwzględemzmiennej losowej X. Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X Y). Twierdzenie1.6.JeśliVarX<, VarY< todlam Y (X)=E(Y X)zachodzi min h E(Y h(x)) =E(Y m Y (X)), gdzieh(x)jestdowolnąfunkcjąborelowską,żeeh (X)<. Twierdzenie1.7.Niech(X,Y)będziewektoremlosowymiistniejeEXto: 1.E(E(X Y))=EX.dlaniezależnychzmiennychX,Y mamye(x Y)=EX. Przykład 1.9. Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć: a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku(x = k), b) rozkład łączny wektora(x, Y), rozkłady brzegowe, c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres. Przykład Dwuwymiarowazmiennalosowa(X,Y)marozkładjednostajnynazbiorzeD=(x,y): x +y 9,y 0},toznaczy c, gdy(x,y) D 0, pozatym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y. c)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X. d)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X. 9

10 Przykład Gęstością wektora losowego(x, Y) jest funkcja 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X.CzyzmiennelosoweX,Ysąniezależne. b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. Definicja 1.8. Mówimy,że wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli jego funkcja gęstości ma postać gdzie 1 πσ x σ y 1 ρ e 1 [(x mx) (1 ρ ) σx ρ(x mx)(y my) σxσy ] + (y my) σy EX=m X, EY=m Y, VarX=σ X, VarY=σ Y, ρ(x,y)=ρ. Jeśli wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny icov(x,y)=0tozmiennelosowex,y sąniezależne. Przykład 1.1. Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna losowa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych (X,Y)dobrzeopisujedwuwymiarowyrozkładnormalnyoparametrachm X =3,m Y = 1.6,σ X =1, σ Y =0.4,ρ=0.9. a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X. b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość tworzywa Y przekroczy, z prawdopodobieństwem 0.9? W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszystkich prostych leżących na płaszczyżnie xoy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od tej prostej jest najmniejsze. Definicja1.9.Prostąy=a 0 x+b 0 dlaktórejzachodzi E(Y (a 0 X+b 0 )) =min a,b E(Y (ax+b)) nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X. 10

11 Nietrudno uzasadnić następujący fakt. JeśliVarX,VarY sąskończonetoprostay=a 0 x+b 0 gdzie a 0 = Cov(X,Y) VarX,b 0=EY a 0 EX jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X. Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać y EY VarX =ρ(x,y) x EX VarY Dla wektora losowego(x, Y) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji pokrywaja się z prostymi regresji. Przykład Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y. 11

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. Semestr letni 2014. Poniedziałki 12:15-15:00, sala HS. Wykładowca: Ryszard Szekli, pok. 514, konsultacje: poniedziałki 10-12, terminy egzaminów: I termin 18.06.2014, (ŚRODA)

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW - 2

STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW - 2 STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW - 2 B. Kamys Spis tre±ci 1 Wstep - podstawowe poj cia 4 2 Wielowymiarowe zmienne losowe 11 2.1 Rozkªad prawdopodobie«stwa funkcji wielowymiarowej zmiennej losowej..

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cieciura, Janusz Zacharski PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ III RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na prawach rękopisu Warszawa, wrzesień 0 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

0, 4 0, 3 A = 0, 4 0, 7. Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, 1 0, 2 0, 9 0, 6

0, 4 0, 3 A = 0, 4 0, 7. Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, 1 0, 2 0, 9 0, 6 Zastosowania Zadanie. Macierz migracji między dwoma miastami ma postać: 0, 0, 3 0, 4 0, 7 Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, x(0)

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania

Metoda Monte Carlo i jej zastosowania i jej zastosowania Tomasz Mostowski Zajęcia 31.03.2008 Plan 1 PWL 2 3 Plan PWL 1 PWL 2 3 Przypomnienie PWL Istnieje wiele wariantów praw wielkich liczb. Wspólna ich cecha jest asymptotyczne zachowanie

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka

EGZAMIN DYPLOMOWY, część II, 20.09.2006 Biomatematyka Biomatematyka Załóżmy, że częstości genotypów AA, Aa i aa w całej populacji wynoszą p 2, 2pq i q 2. Wiadomo, że czynnik selekcyjny sprawia, że osobniki o genotypie aa nie rozmnażają się. 1. Wyznacz częstości

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A,

na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli σ(x) A, 1 Wykład 2 2 Warunkowa wartość oczekiwana 2.1 Definicja Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenia probabilistyczna, X- zmienna losowa określona na tej przestrzeni, i A F pewnym σ-ciałem podzbiorów Ω. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Jan Rusinek. Elementy rachunku prawdopodobiestwa i statystyki matematycznej

Jan Rusinek. Elementy rachunku prawdopodobiestwa i statystyki matematycznej Jan Rusinek Elementy rachunku prawdopodobiestwa i statystyki matematycznej UWAGA! Ten tekst jest cały czas w trakcie przygotowania i sprawdzania. Może zawierać błędy. Jest sukcesywnie poprawiany i umieszczany

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Probabilistyka i statystyka - Teoria

Probabilistyka i statystyka - Teoria Probabilistyka i statystyka - Teoria 1 Prawdopodobieństwo 1. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa: P (E) 0 - prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest większe lub równe 0 by Antek Grzanka,

Bardziej szczegółowo

Generacja liczb pseudolosowych

Generacja liczb pseudolosowych Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Dwuczynnikowa analiza wariancji (2-way

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

EGZAMIN MAGISTERSKI, czerwiec 2014 Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Sprawdź, czy wektor x 0 = (0,5,,0,0) jest rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego: Zminimalizować 3x 1 +x +x 3 +4x 4 +6x 5, przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Procesy stochastyczne

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079

STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 STATYSTYKA STOSOWANA MAP1079 LISTY ZADAŃ opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1.J.Koronacki, J.Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa

Bardziej szczegółowo