1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Zmienne losowe wielowymiarowe."

Transkrypt

1 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n, X(ω)=(X 1 (ω),x (ω),...,x k (ω)) Definicja1.. Dystrybuanta n-wymiarowejzmiennejlosowejxnazywamyfunkcję F X (t 1,t,...,t n ):IR n IRokreślonąwzorem F X (t 1,t,...,t n )=P(X 1 <t 1,X <t,...,x n <t n ) Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi. Dwuwymiarową zmienną losową(x,y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele wartości (x i,y j ):i I,j J} nazywamydwuwymiarowązmiennąlosowądyskretną. Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci ((x i,y j ),p ij )}, gdzie p ij =P(X=x i,y=y j ), dla i I,j J. Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w postaci tabeli X\Y y 1 y... y n x 1 p 11 p 1... p 1n x p 1 p... p n. x m p m1 p m... p mn Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcją schodkową F(x,y)=P(X<x,Y<y)= i,j;x i <x,y j <y p ij. Przykład 1.1. Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. Łączny rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego(x, Y) przedstawia następujaca tabela. X\Y

2 Mówimy, że zmienna losowa(x, Y) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja całkowalna f(x, y) taka, że dystrybuanta ma postać F(x,y)= x y Wpunktachciągłości(x 0,y 0 )funkcjif(x,y) f(u,v))dudv. F x y (x 0,y 0 )=f(x 0,y 0 ). DlaborelowskiegozbioruA IR mamy P((X,Y) A)= f(x,y))dxdy. Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej Twierdzenie 1.1. Funkcja F(x, y) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej(x, Y)wtedy itylkowtedy,gdy: F(x,y)jestniemalejącazewzględunakażdązezmiennych, F(x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych, dlakażdegoxikażdegoy lim F(x,y)=0, lim F(x,y)=0 x y oraz lim F(x,y)=1. x,y + dlakażdychx 1 <x,y 1 <y A F(x,y ) F(x 1,y ) F(x,y 1 )+F(x 1,y 1 ) 0. Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości. Twierdzenie 1.. Funkcja f(x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy: f(x,y) 0dlakażdego(x,y) IR, + + f(x,y)dxdy=1. Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora(x, Y) możemy wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X, Y. Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej(x, Y) są one określone wzorami: p i =P(X=x i )= j p ij, oraz p j =P(Y=y j )= i p ij Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej(x, Y) tzw. gęstości brzegowe są następujące: f X (x)= f(x,y)dy, f Y (y)= f(x,y)dx. Rozkład wektora losowego(mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.

3 Twierdzenie1.3.ZmiennelosoweX,Y sąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy F (X,Y) (x,y)=f X (x) F Y (y). W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi p ik =p i p k dlawszystkichi,k a dla zmiennych typu ciągłego warunkowi f (X,Y) (x,y)=f X (x)f Y (y) dlawszystkichx,y IR. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych X 1,X,...,X n. Przykład 1.. Zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. Łączny rozkład wektora losowego (X,Y)opisujetabela X\Y a)obliczyćp((x,y) (,0),(,1)}). b)wyznaczyćrozkładybrzegowezmiennejlosowejxorazy.ilewynosip(x =1), P(Y=0).ObliczyćEX, EY. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora(x, Y) mamy P((X,Y) (,0),(,1)})= =0.1. b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y) X\Y 0 1 r.brzegowy X r.brzegowy Y Mamywtedy:P(X=1)=0.07, P(Y=0)=0.8oraz EX= =0.31 EY= =0.18 c)w twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmiennych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład P(X=0,Y=0)= =P(X=0) P(Y=0). 3

4 Przykład 1.3. Wektorlosowy(X,Y)marozkładogęstości cxy dla 0 x 1,0 y x 0 poza tym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? d)obliczyćp(0.5<x<0.5,y>0.5). e)obliczyćp(0.5<x<1,y X). a)funkcjaf(x,y)jestgęstościąwtedyitylkowtedygdyf(x,y) 0dla(x,y) R i Mamyzatemc 0oraz f(x,y)dxdy=1. czylic=6. f(x,y)dxdy= 1 0 x 1 x dx cxydy=c 0 0 dx=c 6 =1 b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 0, x 0,x 1 x 0 6xydy=3x, gdy0<x<1, 0, y 0,y 1 1 y 6xydx=3y 3y5, gdy0<y<1 c)zmiennelosowex,yniesąniezależneboniejestspełnionywarunek f X (x) f Y (y)dlakażdego(x,y) R ; naprzykładf( 1,1 )= =f 3 X( 1) f Y( 1). d)p(0.5<x<0.5,y>0.5)= dx x 0.56xydy= x(x 0.5)dx= 5 18 e)p(0.5<x<1,y X)= dx x x 6xydy= xdx x x ydy= x(x x )dx= Przykład 1.4. Gęstośćwektoralosowego(X,Y)danajestwzorem 1 π e x a)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? b)obliczyćp(x>1). c)obliczyćp((x,y) A),gdzieA=(x,y):x +y <1}. a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X +y. f X (x)= 1 e x +y dy= 1 x 1 π π e e y dy= e x, x R π 4

5 Wobliczeniachwykorzystaliśmyznanynamfakt,że Podobnie obliczając mamy: e y f Y (y)= 1 π e y, y R. dy= π. Równośćf X (x) f Y (y)zachodzidlakażdego(x,y) R zatemzmiennelosowe X, Y sa niezależne. Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana gęstość wektora losowego(x, Y) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego. b)zmiennalosowaxmarozkładn(0,1)zatemp(x>1)=1 Φ(1)= A e x +y dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzy- c)p((x,y) A)= 1 mujemy π 1 e x +y dxdy= 1 π 1 1 dϕ re r dr=1 e. π A π Parametry rozkładu wektorów losowych Gdydanyjestrozkładwektoralosowego(X,Y)orazh:IR IRjestfunkcjącałkowalną, todlaz=h(x,y) h(x, y)f(x, y)dxdy dla wektora losowego typu ciągłego EZ=Eh(X,Y)= h(x i,y k )p i,k dlawektoralosowegotypudyskretnego i,k Definicja1.3. Dla wektora losowego(x,y) kowariancja zmiennychx,y nazywamy liczbe Cov(X,Y)=E(X EX)(Y EY)=EXY EXEY. Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem korelacji. ρ (X,Y) = Cov(X,Y) VarX VarY. Twierdzenie 1.4.(Własności współczynnika korelacji): 1. ρ(x,y) 1.Jeżelizmiennelosowesąniezależne,toρ(X,Y)=0. 3.ρ(aX+b,cY+d)=sgn(ac)ρ(X,Y). 4.ρ(X,Y)=±1wtedyitylkowtedy,gdyistniejąstałea,btakie,żeP(Y=aX+b)=1. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y. W przypadku, gdy ρ=0,zmiennelosowenazywamynieskorelowanymi.jeżeliρ(x,y)=0,tozmienne losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład. 5

6 Przykład 1.5. ZmiennalosowaXmarozkładN(0,σ)iniechY=X.Sprawdzić,żeCov(X,Y)=0,a zmiennex,ysązależne. Zmienna losowa o rozkładzie N(0, σ) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe 0.WszczególnościEX=0, EX 3 =0,zaśEY=VarX=σ.Mamyzatem Cov(X,Y)=Cov(X,X )=EX 3 EX EX =0. Definicja1.4.Dlawektoralosowego(X 1,X,...,X n )określamymacierzkowariacji C n n,wktórej c ij =Cov(X i,x j ), i,j=1,,...,n MacierzCjestmacierząsymetryczną,c ii 0. Przykład 1.6. Gęstość wektora losowego(x, Y) dana jest wzorem 3 8 y cosx dla π x π,0 y 0 poza tym a) Znaleźć rozkłady brzegowe b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. Czy X, Y są niezależne? a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 3 8 0, x π,x π 0 y cosxdy= cosx, gdy π<x<π, 3 8 ππ 0, y 0,y y cosxdx= 3 8 y, gdy0<y< b)zauważmy,żezmiennelosowex,y sąniezależne(ponieważf X (x) f Y (y) dlakażdego(x,y))zatemcov(x,y)=0orazρ(x,y)=0. Przykład 1.7. Wektor losowy(x, Y) ma następującą funkcję gęstości 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego(x, Y). 6

7 a)cov(x,y)=exy EX EY Obliczmy najpierw EXY. EXY= 0 x dx xy 1 0 xydy=1 x 5 dx= Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych XorazY. 0, x 0,x f X (x)= f(x,y)dy= x 0 1 xydy=1 4 x3, gdy0<x<, f Y (y)= Obliczmy jeszcze; EX= 0 x x3 4 dx=8 5 EY= 0 y(y y3 4 )dy= EX = 0 x x3 4 dx=8 3 VarX=EX (EX) = 8 75 EY = 0 y (y y3 4 )dy=4 3 VarY=EY (EY) = 44 5 Mamy zatem: Cov(X,Y)= 16 9 ρ(x,y)= Cov(X,Y) VarX VarY = = 16 5 f(x,y)dx= 66. 0, y 0,y y 1 xydx=y 1 4 y3, gdy0<y< b)macierzkowariancjicwektoralosowegox,y,gdzie c 1 =c 1 =Cov(X,Y),c 11 =VarX,c =VarY jestnastepująca: C= Przykład 1.8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacjimajązmiennelosowe4x 3oraz Y+4? Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy ρ(4x 3, Y+4)=sgn( 8)ρ(X,Y)= 0.5 7

8 1..1 Rozkładywarunkowe W rozdziale rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe( warunek był zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego(x, Y) interesujące jest pytanie jak wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe. Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego(x, Y) warunkowy rozkład zmiennejxprzywarunku(y=y k ),P(Y=y k ) 0określamyjako i analogicznie. (x i,p(x=x i Y=y k )),i I warunkowyrozkładzmiennejyprzywarunku(x=x i ),P(X=x i ) 0to (y k,p(y=y k X=x i )),k J Definicja 1.6. Dla wektora losowego(x, Y) typu ciągłego gęstością warunkową zmiennejlosowejxprzywarunku(y=y),f Y (y)>0nazywamyfunkcję f X Y (x y)= f(x,y) f Y (y) i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku(x = x), f X (x)>0nazywamyfunkcję f Y X (y x)= f(x,y) f X (x). Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobieństwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych losowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gęstości warunkowe są gęstościami brzegowymi. Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego. Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy warunku(y=y k )określamynastępujaco: E(X Y=y k )= i Ix i P(X=x i Y=y k ), gdy(x,y)jestdyskretny xf(x y k)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego i analogicznie warunkowąwartośćoczekiwanązmiennejlosowejy przywarunku(x=x i ) określamy następujaco: E(Y X=x i )= k Jy k P(Y=y k X=x i ), gdy(x,y)jestdyskretny yf(y x i)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego 8

9 Twierdzenie1.5.JeśliistniejeEXtoistniejeE(X Y=y). W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X, oznaczanej przez E(Y X). E(Y X)tonowazmiennalosowapostacim Y (X).Najczęściejpodajemywarunkowąwartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję : m Y (x)=e(y X=x). Funkcjęm Y (X)nazywamyfunkcjąregresjizmiennejlosowjYwzględemzmiennej losowej X. Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X Y). Twierdzenie1.6.JeśliVarX<, VarY< todlam Y (X)=E(Y X)zachodzi min h E(Y h(x)) =E(Y m Y (X)), gdzieh(x)jestdowolnąfunkcjąborelowską,żeeh (X)<. Twierdzenie1.7.Niech(X,Y)będziewektoremlosowymiistniejeEXto: 1.E(E(X Y))=EX.dlaniezależnychzmiennychX,Y mamye(x Y)=EX. Przykład 1.9. Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć: a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku(x = k), b) rozkład łączny wektora(x, Y), rozkłady brzegowe, c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres. Przykład Dwuwymiarowazmiennalosowa(X,Y)marozkładjednostajnynazbiorzeD=(x,y): x +y 9,y 0},toznaczy c, gdy(x,y) D 0, pozatym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y. c)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X. d)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X. 9

10 Przykład Gęstością wektora losowego(x, Y) jest funkcja 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X.CzyzmiennelosoweX,Ysąniezależne. b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. Definicja 1.8. Mówimy,że wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli jego funkcja gęstości ma postać gdzie 1 πσ x σ y 1 ρ e 1 [(x mx) (1 ρ ) σx ρ(x mx)(y my) σxσy ] + (y my) σy EX=m X, EY=m Y, VarX=σ X, VarY=σ Y, ρ(x,y)=ρ. Jeśli wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny icov(x,y)=0tozmiennelosowex,y sąniezależne. Przykład 1.1. Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna losowa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych (X,Y)dobrzeopisujedwuwymiarowyrozkładnormalnyoparametrachm X =3,m Y = 1.6,σ X =1, σ Y =0.4,ρ=0.9. a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X. b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość tworzywa Y przekroczy, z prawdopodobieństwem 0.9? W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszystkich prostych leżących na płaszczyżnie xoy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od tej prostej jest najmniejsze. Definicja1.9.Prostąy=a 0 x+b 0 dlaktórejzachodzi E(Y (a 0 X+b 0 )) =min a,b E(Y (ax+b)) nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X. 10

11 Nietrudno uzasadnić następujący fakt. JeśliVarX,VarY sąskończonetoprostay=a 0 x+b 0 gdzie a 0 = Cov(X,Y) VarX,b 0=EY a 0 EX jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X. Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać y EY VarX =ρ(x,y) x EX VarY Dla wektora losowego(x, Y) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji pokrywaja się z prostymi regresji. Przykład Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y. 11

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne

Wprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne Wprowadzenie Prostym podejściem do klasyfikacji jest estymacja funkcji regresji r(x) =E(Y X =x)zpominięciemestymacjigęstościf k. Zacznijmyodprzypadkudwóchgrup,tj.gdy Y = {1,0}. Wówczasr(x) =P(Y =1 X =x)ipouzyskaniuestymatora

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa II

Rachunek prawdopodobieństwa II Leszek Słomiński achunek prawdopodobieństwa II Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki przygotowane w ramach projektu IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki.

Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Zaj ecia 5 Natalia Nehrebeceka 04 maja, 2010 Plan zaj eć 1 Rachunek prawdopodobieństwa Wektor losowy Wartość oczekiwana Wariancja Odchylenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa. Stanisław Jaworski

Rachunek prawdopodobieństwa. Stanisław Jaworski Rachunek prawdopodobieństwa Stanisław Jaworski Rachunek prawdopodobieństwa: dział matematyki zajmujący się badaniem modeli zjawisk losowych (przypadkowych) i praw nimi rządzących (Encyklopedia Popularna

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Korelacja i regresja Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/30 Ostrożnie z interpretacją p wartości p wartości zależą od dwóch rzeczy

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

W ykład 4: Z m ienna losow a. Ciągła zmienna losowa. Zmienna losowa dyskretna. Dystrybuanta zmiennej X:

W ykład 4: Z m ienna losow a. Ciągła zmienna losowa. Zmienna losowa dyskretna. Dystrybuanta zmiennej X: W ykład 4: Z m ienna losow a Wartość zależna od wyniku eksperymentu. Przykład: Liczba orłów uzyskanych w jednym rzucie monetą. Zmienna losowa dyskretna Zbiór wartości, które może przyjąć zmienna losowa

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Joanna Konieczna Repetytorium ze statystyki opisowej (materiał roboczy)

Joanna Konieczna Repetytorium ze statystyki opisowej (materiał roboczy) 1. Dana jest niekompletna macierz danych surowych zawierająca informację o zmiennych X i Y oraz rozkłady zmiennych X i Y. Uzupełnij macierz tak, aby zmienne X i Y miały w tej populacji taki rozkład, jak

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3

5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3 LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest

Bardziej szczegółowo

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F; Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702 Wydział Mechaniczny 2014/2015 Rachunek Prawdopodobieństwa MAP4702 Listy zadań opracowanie W. Wawrzyniak-Kosz Literatura podstawowa 1. J.Jakubowski, R.Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego,script,

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Rozdział Metoda największej wiarygodności Ogólnie w procesie estymacji na podstawie prób x i (każde x i może być wektorem) wyznaczamy parametr λ (w ogólnym przypadku również wektor) opisujący domniemany

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo