1 Zmienne losowe wielowymiarowe.
|
|
- Oskar Jabłoński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n, X(ω)=(X 1 (ω),x (ω),...,x k (ω)) Definicja1.. Dystrybuanta n-wymiarowejzmiennejlosowejxnazywamyfunkcję F X (t 1,t,...,t n ):IR n IRokreślonąwzorem F X (t 1,t,...,t n )=P(X 1 <t 1,X <t,...,x n <t n ) Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi. Dwuwymiarową zmienną losową(x,y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele wartości (x i,y j ):i I,j J} nazywamydwuwymiarowązmiennąlosowądyskretną. Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci ((x i,y j ),p ij )}, gdzie p ij =P(X=x i,y=y j ), dla i I,j J. Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w postaci tabeli X\Y y 1 y... y n x 1 p 11 p 1... p 1n x p 1 p... p n. x m p m1 p m... p mn Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcją schodkową F(x,y)=P(X<x,Y<y)= i,j;x i <x,y j <y p ij. Przykład 1.1. Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. Łączny rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego(x, Y) przedstawia następujaca tabela. X\Y
2 Mówimy, że zmienna losowa(x, Y) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja całkowalna f(x, y) taka, że dystrybuanta ma postać F(x,y)= x y Wpunktachciągłości(x 0,y 0 )funkcjif(x,y) f(u,v))dudv. F x y (x 0,y 0 )=f(x 0,y 0 ). DlaborelowskiegozbioruA IR mamy P((X,Y) A)= f(x,y))dxdy. Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej Twierdzenie 1.1. Funkcja F(x, y) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej(x, Y)wtedy itylkowtedy,gdy: F(x,y)jestniemalejącazewzględunakażdązezmiennych, F(x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych, dlakażdegoxikażdegoy lim F(x,y)=0, lim F(x,y)=0 x y oraz lim F(x,y)=1. x,y + dlakażdychx 1 <x,y 1 <y A F(x,y ) F(x 1,y ) F(x,y 1 )+F(x 1,y 1 ) 0. Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości. Twierdzenie 1.. Funkcja f(x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy: f(x,y) 0dlakażdego(x,y) IR, + + f(x,y)dxdy=1. Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora(x, Y) możemy wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X, Y. Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej(x, Y) są one określone wzorami: p i =P(X=x i )= j p ij, oraz p j =P(Y=y j )= i p ij Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej(x, Y) tzw. gęstości brzegowe są następujące: f X (x)= f(x,y)dy, f Y (y)= f(x,y)dx. Rozkład wektora losowego(mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.
3 Twierdzenie1.3.ZmiennelosoweX,Y sąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy F (X,Y) (x,y)=f X (x) F Y (y). W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi p ik =p i p k dlawszystkichi,k a dla zmiennych typu ciągłego warunkowi f (X,Y) (x,y)=f X (x)f Y (y) dlawszystkichx,y IR. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych X 1,X,...,X n. Przykład 1.. Zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. Łączny rozkład wektora losowego (X,Y)opisujetabela X\Y a)obliczyćp((x,y) (,0),(,1)}). b)wyznaczyćrozkładybrzegowezmiennejlosowejxorazy.ilewynosip(x =1), P(Y=0).ObliczyćEX, EY. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora(x, Y) mamy P((X,Y) (,0),(,1)})= =0.1. b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y) X\Y 0 1 r.brzegowy X r.brzegowy Y Mamywtedy:P(X=1)=0.07, P(Y=0)=0.8oraz EX= =0.31 EY= =0.18 c)w twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmiennych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład P(X=0,Y=0)= =P(X=0) P(Y=0). 3
4 Przykład 1.3. Wektorlosowy(X,Y)marozkładogęstości cxy dla 0 x 1,0 y x 0 poza tym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? d)obliczyćp(0.5<x<0.5,y>0.5). e)obliczyćp(0.5<x<1,y X). a)funkcjaf(x,y)jestgęstościąwtedyitylkowtedygdyf(x,y) 0dla(x,y) R i Mamyzatemc 0oraz f(x,y)dxdy=1. czylic=6. f(x,y)dxdy= 1 0 x 1 x dx cxydy=c 0 0 dx=c 6 =1 b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 0, x 0,x 1 x 0 6xydy=3x, gdy0<x<1, 0, y 0,y 1 1 y 6xydx=3y 3y5, gdy0<y<1 c)zmiennelosowex,yniesąniezależneboniejestspełnionywarunek f X (x) f Y (y)dlakażdego(x,y) R ; naprzykładf( 1,1 )= =f 3 X( 1) f Y( 1). d)p(0.5<x<0.5,y>0.5)= dx x 0.56xydy= x(x 0.5)dx= 5 18 e)p(0.5<x<1,y X)= dx x x 6xydy= xdx x x ydy= x(x x )dx= Przykład 1.4. Gęstośćwektoralosowego(X,Y)danajestwzorem 1 π e x a)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? b)obliczyćp(x>1). c)obliczyćp((x,y) A),gdzieA=(x,y):x +y <1}. a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X +y. f X (x)= 1 e x +y dy= 1 x 1 π π e e y dy= e x, x R π 4
5 Wobliczeniachwykorzystaliśmyznanynamfakt,że Podobnie obliczając mamy: e y f Y (y)= 1 π e y, y R. dy= π. Równośćf X (x) f Y (y)zachodzidlakażdego(x,y) R zatemzmiennelosowe X, Y sa niezależne. Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana gęstość wektora losowego(x, Y) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego. b)zmiennalosowaxmarozkładn(0,1)zatemp(x>1)=1 Φ(1)= A e x +y dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzy- c)p((x,y) A)= 1 mujemy π 1 e x +y dxdy= 1 π 1 1 dϕ re r dr=1 e. π A π Parametry rozkładu wektorów losowych Gdydanyjestrozkładwektoralosowego(X,Y)orazh:IR IRjestfunkcjącałkowalną, todlaz=h(x,y) h(x, y)f(x, y)dxdy dla wektora losowego typu ciągłego EZ=Eh(X,Y)= h(x i,y k )p i,k dlawektoralosowegotypudyskretnego i,k Definicja1.3. Dla wektora losowego(x,y) kowariancja zmiennychx,y nazywamy liczbe Cov(X,Y)=E(X EX)(Y EY)=EXY EXEY. Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem korelacji. ρ (X,Y) = Cov(X,Y) VarX VarY. Twierdzenie 1.4.(Własności współczynnika korelacji): 1. ρ(x,y) 1.Jeżelizmiennelosowesąniezależne,toρ(X,Y)=0. 3.ρ(aX+b,cY+d)=sgn(ac)ρ(X,Y). 4.ρ(X,Y)=±1wtedyitylkowtedy,gdyistniejąstałea,btakie,żeP(Y=aX+b)=1. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y. W przypadku, gdy ρ=0,zmiennelosowenazywamynieskorelowanymi.jeżeliρ(x,y)=0,tozmienne losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład. 5
6 Przykład 1.5. ZmiennalosowaXmarozkładN(0,σ)iniechY=X.Sprawdzić,żeCov(X,Y)=0,a zmiennex,ysązależne. Zmienna losowa o rozkładzie N(0, σ) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe 0.WszczególnościEX=0, EX 3 =0,zaśEY=VarX=σ.Mamyzatem Cov(X,Y)=Cov(X,X )=EX 3 EX EX =0. Definicja1.4.Dlawektoralosowego(X 1,X,...,X n )określamymacierzkowariacji C n n,wktórej c ij =Cov(X i,x j ), i,j=1,,...,n MacierzCjestmacierząsymetryczną,c ii 0. Przykład 1.6. Gęstość wektora losowego(x, Y) dana jest wzorem 3 8 y cosx dla π x π,0 y 0 poza tym a) Znaleźć rozkłady brzegowe b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. Czy X, Y są niezależne? a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 3 8 0, x π,x π 0 y cosxdy= cosx, gdy π<x<π, 3 8 ππ 0, y 0,y y cosxdx= 3 8 y, gdy0<y< b)zauważmy,żezmiennelosowex,y sąniezależne(ponieważf X (x) f Y (y) dlakażdego(x,y))zatemcov(x,y)=0orazρ(x,y)=0. Przykład 1.7. Wektor losowy(x, Y) ma następującą funkcję gęstości 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego(x, Y). 6
7 a)cov(x,y)=exy EX EY Obliczmy najpierw EXY. EXY= 0 x dx xy 1 0 xydy=1 x 5 dx= Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych XorazY. 0, x 0,x f X (x)= f(x,y)dy= x 0 1 xydy=1 4 x3, gdy0<x<, f Y (y)= Obliczmy jeszcze; EX= 0 x x3 4 dx=8 5 EY= 0 y(y y3 4 )dy= EX = 0 x x3 4 dx=8 3 VarX=EX (EX) = 8 75 EY = 0 y (y y3 4 )dy=4 3 VarY=EY (EY) = 44 5 Mamy zatem: Cov(X,Y)= 16 9 ρ(x,y)= Cov(X,Y) VarX VarY = = 16 5 f(x,y)dx= 66. 0, y 0,y y 1 xydx=y 1 4 y3, gdy0<y< b)macierzkowariancjicwektoralosowegox,y,gdzie c 1 =c 1 =Cov(X,Y),c 11 =VarX,c =VarY jestnastepująca: C= Przykład 1.8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacjimajązmiennelosowe4x 3oraz Y+4? Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy ρ(4x 3, Y+4)=sgn( 8)ρ(X,Y)= 0.5 7
8 1..1 Rozkładywarunkowe W rozdziale rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe( warunek był zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego(x, Y) interesujące jest pytanie jak wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe. Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego(x, Y) warunkowy rozkład zmiennejxprzywarunku(y=y k ),P(Y=y k ) 0określamyjako i analogicznie. (x i,p(x=x i Y=y k )),i I warunkowyrozkładzmiennejyprzywarunku(x=x i ),P(X=x i ) 0to (y k,p(y=y k X=x i )),k J Definicja 1.6. Dla wektora losowego(x, Y) typu ciągłego gęstością warunkową zmiennejlosowejxprzywarunku(y=y),f Y (y)>0nazywamyfunkcję f X Y (x y)= f(x,y) f Y (y) i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku(x = x), f X (x)>0nazywamyfunkcję f Y X (y x)= f(x,y) f X (x). Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobieństwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych losowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gęstości warunkowe są gęstościami brzegowymi. Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego. Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy warunku(y=y k )określamynastępujaco: E(X Y=y k )= i Ix i P(X=x i Y=y k ), gdy(x,y)jestdyskretny xf(x y k)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego i analogicznie warunkowąwartośćoczekiwanązmiennejlosowejy przywarunku(x=x i ) określamy następujaco: E(Y X=x i )= k Jy k P(Y=y k X=x i ), gdy(x,y)jestdyskretny yf(y x i)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego 8
9 Twierdzenie1.5.JeśliistniejeEXtoistniejeE(X Y=y). W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X, oznaczanej przez E(Y X). E(Y X)tonowazmiennalosowapostacim Y (X).Najczęściejpodajemywarunkowąwartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję : m Y (x)=e(y X=x). Funkcjęm Y (X)nazywamyfunkcjąregresjizmiennejlosowjYwzględemzmiennej losowej X. Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X Y). Twierdzenie1.6.JeśliVarX<, VarY< todlam Y (X)=E(Y X)zachodzi min h E(Y h(x)) =E(Y m Y (X)), gdzieh(x)jestdowolnąfunkcjąborelowską,żeeh (X)<. Twierdzenie1.7.Niech(X,Y)będziewektoremlosowymiistniejeEXto: 1.E(E(X Y))=EX.dlaniezależnychzmiennychX,Y mamye(x Y)=EX. Przykład 1.9. Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć: a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku(x = k), b) rozkład łączny wektora(x, Y), rozkłady brzegowe, c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres. Przykład Dwuwymiarowazmiennalosowa(X,Y)marozkładjednostajnynazbiorzeD=(x,y): x +y 9,y 0},toznaczy c, gdy(x,y) D 0, pozatym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y. c)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X. d)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X. 9
10 Przykład Gęstością wektora losowego(x, Y) jest funkcja 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X.CzyzmiennelosoweX,Ysąniezależne. b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. Definicja 1.8. Mówimy,że wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli jego funkcja gęstości ma postać gdzie 1 πσ x σ y 1 ρ e 1 [(x mx) (1 ρ ) σx ρ(x mx)(y my) σxσy ] + (y my) σy EX=m X, EY=m Y, VarX=σ X, VarY=σ Y, ρ(x,y)=ρ. Jeśli wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny icov(x,y)=0tozmiennelosowex,y sąniezależne. Przykład 1.1. Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna losowa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych (X,Y)dobrzeopisujedwuwymiarowyrozkładnormalnyoparametrachm X =3,m Y = 1.6,σ X =1, σ Y =0.4,ρ=0.9. a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X. b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość tworzywa Y przekroczy, z prawdopodobieństwem 0.9? W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszystkich prostych leżących na płaszczyżnie xoy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od tej prostej jest najmniejsze. Definicja1.9.Prostąy=a 0 x+b 0 dlaktórejzachodzi E(Y (a 0 X+b 0 )) =min a,b E(Y (ax+b)) nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X. 10
11 Nietrudno uzasadnić następujący fakt. JeśliVarX,VarY sąskończonetoprostay=a 0 x+b 0 gdzie a 0 = Cov(X,Y) VarX,b 0=EY a 0 EX jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X. Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać y EY VarX =ρ(x,y) x EX VarY Dla wektora losowego(x, Y) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji pokrywaja się z prostymi regresji. Przykład Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y. 11
Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoRozkłady dwóch zmiennych losowych
Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.4. Momenty zmiennych losowych Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Rzucamy raz kostką Ile wynosi średnia liczba oczek, jaka
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoSIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania
SIMR 7/8, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania. Dana jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X : { a( x) dla x [, ] f(x) = dla pozostałych x Znaleźć: i) Wartość parametru
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRozkłady łaczne wielu zmiennych losowych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 3 Motywacje Przykłady sytuacji z kilkoma zmiennymi losowymi: Antropometria: wzrost, waga ciała i grubość skóry przedramienia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych. Wykład dr inż. Łukasz Graczykowski
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 9.03.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Dwuwymiarowe rozkłady zmiennych losowych Jednoczesne pomiary
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. { 1, jeżeli ˆr(x) > 0, pozatym. Regresja liniowa Regresja logistyczne Jądrowe estymatory gęstości. Metody regresyjne
Wprowadzenie Prostym podejściem do klasyfikacji jest estymacja funkcji regresji r(x) =E(Y X =x)zpominięciemestymacjigęstościf k. Zacznijmyodprzypadkudwóchgrup,tj.gdy Y = {1,0}. Wówczasr(x) =P(Y =1 X =x)ipouzyskaniuestymatora
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoPodstawowe modele probabilistyczne
Wrocław University of Technology Podstawowe modele probabilistyczne Maciej Zięba maciej.zieba@pwr.edu.pl Rozpoznawanie Obrazów, Lato 2018/2019 Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo reprezentuje
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )
Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW. BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ.
BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH. ANALIZA KORELACJI PROSTEJ. IDEA OPISU WSPÓŁZALEśNOŚCI CECH X, Y cechy obserwowane w doświadczeniu, n liczba jednostek doświadczalnych, Wyniki doświadczenia: wartości
Bardziej szczegółowoFunkcja tworząca Funkcja charakterystyczna. Definicja i własności Funkcja tworząca momenty
momenty Oprócz omówionych już do tej pory charakterystyk rozkładów bardzo wygodnym i skutecznym narzędziem badanie zmiennej losowej są tzw. transformaty jej rozkładu: funkcje tworzące i funkcje charakterystyczne.
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 12.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 12. Rachunek prawdopodobieństwa Dariusz Wrzosek Zajęcia nr 12. 9 stycznia 2019 1 / 32 Zmienne losowe Przebieg różnych zjawisk losowych wygodnie jest opisywać za pomoca
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa II
Leszek Słomiński achunek prawdopodobieństwa II Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki przygotowane w ramach projektu IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowo