1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Zmienne losowe wielowymiarowe."

Transkrypt

1 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n, X(ω)=(X 1 (ω),x (ω),...,x k (ω)) Definicja1.. Dystrybuanta n-wymiarowejzmiennejlosowejxnazywamyfunkcję F X (t 1,t,...,t n ):IR n IRokreślonąwzorem F X (t 1,t,...,t n )=P(X 1 <t 1,X <t,...,x n <t n ) Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi. Dwuwymiarową zmienną losową(x,y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele wartości (x i,y j ):i I,j J} nazywamydwuwymiarowązmiennąlosowądyskretną. Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci ((x i,y j ),p ij )}, gdzie p ij =P(X=x i,y=y j ), dla i I,j J. Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w postaci tabeli X\Y y 1 y... y n x 1 p 11 p 1... p 1n x p 1 p... p n. x m p m1 p m... p mn Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcją schodkową F(x,y)=P(X<x,Y<y)= i,j;x i <x,y j <y p ij. Przykład 1.1. Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. Łączny rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego(x, Y) przedstawia następujaca tabela. X\Y

2 Mówimy, że zmienna losowa(x, Y) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja całkowalna f(x, y) taka, że dystrybuanta ma postać F(x,y)= x y Wpunktachciągłości(x 0,y 0 )funkcjif(x,y) f(u,v))dudv. F x y (x 0,y 0 )=f(x 0,y 0 ). DlaborelowskiegozbioruA IR mamy P((X,Y) A)= f(x,y))dxdy. Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej Twierdzenie 1.1. Funkcja F(x, y) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej(x, Y)wtedy itylkowtedy,gdy: F(x,y)jestniemalejącazewzględunakażdązezmiennych, F(x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych, dlakażdegoxikażdegoy lim F(x,y)=0, lim F(x,y)=0 x y oraz lim F(x,y)=1. x,y + dlakażdychx 1 <x,y 1 <y A F(x,y ) F(x 1,y ) F(x,y 1 )+F(x 1,y 1 ) 0. Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości. Twierdzenie 1.. Funkcja f(x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy: f(x,y) 0dlakażdego(x,y) IR, + + f(x,y)dxdy=1. Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora(x, Y) możemy wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X, Y. Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej(x, Y) są one określone wzorami: p i =P(X=x i )= j p ij, oraz p j =P(Y=y j )= i p ij Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej(x, Y) tzw. gęstości brzegowe są następujące: f X (x)= f(x,y)dy, f Y (y)= f(x,y)dx. Rozkład wektora losowego(mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.

3 Twierdzenie1.3.ZmiennelosoweX,Y sąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy F (X,Y) (x,y)=f X (x) F Y (y). W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi p ik =p i p k dlawszystkichi,k a dla zmiennych typu ciągłego warunkowi f (X,Y) (x,y)=f X (x)f Y (y) dlawszystkichx,y IR. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych X 1,X,...,X n. Przykład 1.. Zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. Łączny rozkład wektora losowego (X,Y)opisujetabela X\Y a)obliczyćp((x,y) (,0),(,1)}). b)wyznaczyćrozkładybrzegowezmiennejlosowejxorazy.ilewynosip(x =1), P(Y=0).ObliczyćEX, EY. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora(x, Y) mamy P((X,Y) (,0),(,1)})= =0.1. b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y) X\Y 0 1 r.brzegowy X r.brzegowy Y Mamywtedy:P(X=1)=0.07, P(Y=0)=0.8oraz EX= =0.31 EY= =0.18 c)w twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmiennych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład P(X=0,Y=0)= =P(X=0) P(Y=0). 3

4 Przykład 1.3. Wektorlosowy(X,Y)marozkładogęstości cxy dla 0 x 1,0 y x 0 poza tym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? d)obliczyćp(0.5<x<0.5,y>0.5). e)obliczyćp(0.5<x<1,y X). a)funkcjaf(x,y)jestgęstościąwtedyitylkowtedygdyf(x,y) 0dla(x,y) R i Mamyzatemc 0oraz f(x,y)dxdy=1. czylic=6. f(x,y)dxdy= 1 0 x 1 x dx cxydy=c 0 0 dx=c 6 =1 b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 0, x 0,x 1 x 0 6xydy=3x, gdy0<x<1, 0, y 0,y 1 1 y 6xydx=3y 3y5, gdy0<y<1 c)zmiennelosowex,yniesąniezależneboniejestspełnionywarunek f X (x) f Y (y)dlakażdego(x,y) R ; naprzykładf( 1,1 )= =f 3 X( 1) f Y( 1). d)p(0.5<x<0.5,y>0.5)= dx x 0.56xydy= x(x 0.5)dx= 5 18 e)p(0.5<x<1,y X)= dx x x 6xydy= xdx x x ydy= x(x x )dx= Przykład 1.4. Gęstośćwektoralosowego(X,Y)danajestwzorem 1 π e x a)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? b)obliczyćp(x>1). c)obliczyćp((x,y) A),gdzieA=(x,y):x +y <1}. a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X +y. f X (x)= 1 e x +y dy= 1 x 1 π π e e y dy= e x, x R π 4

5 Wobliczeniachwykorzystaliśmyznanynamfakt,że Podobnie obliczając mamy: e y f Y (y)= 1 π e y, y R. dy= π. Równośćf X (x) f Y (y)zachodzidlakażdego(x,y) R zatemzmiennelosowe X, Y sa niezależne. Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana gęstość wektora losowego(x, Y) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego. b)zmiennalosowaxmarozkładn(0,1)zatemp(x>1)=1 Φ(1)= A e x +y dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzy- c)p((x,y) A)= 1 mujemy π 1 e x +y dxdy= 1 π 1 1 dϕ re r dr=1 e. π A π Parametry rozkładu wektorów losowych Gdydanyjestrozkładwektoralosowego(X,Y)orazh:IR IRjestfunkcjącałkowalną, todlaz=h(x,y) h(x, y)f(x, y)dxdy dla wektora losowego typu ciągłego EZ=Eh(X,Y)= h(x i,y k )p i,k dlawektoralosowegotypudyskretnego i,k Definicja1.3. Dla wektora losowego(x,y) kowariancja zmiennychx,y nazywamy liczbe Cov(X,Y)=E(X EX)(Y EY)=EXY EXEY. Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem korelacji. ρ (X,Y) = Cov(X,Y) VarX VarY. Twierdzenie 1.4.(Własności współczynnika korelacji): 1. ρ(x,y) 1.Jeżelizmiennelosowesąniezależne,toρ(X,Y)=0. 3.ρ(aX+b,cY+d)=sgn(ac)ρ(X,Y). 4.ρ(X,Y)=±1wtedyitylkowtedy,gdyistniejąstałea,btakie,żeP(Y=aX+b)=1. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y. W przypadku, gdy ρ=0,zmiennelosowenazywamynieskorelowanymi.jeżeliρ(x,y)=0,tozmienne losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład. 5

6 Przykład 1.5. ZmiennalosowaXmarozkładN(0,σ)iniechY=X.Sprawdzić,żeCov(X,Y)=0,a zmiennex,ysązależne. Zmienna losowa o rozkładzie N(0, σ) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe 0.WszczególnościEX=0, EX 3 =0,zaśEY=VarX=σ.Mamyzatem Cov(X,Y)=Cov(X,X )=EX 3 EX EX =0. Definicja1.4.Dlawektoralosowego(X 1,X,...,X n )określamymacierzkowariacji C n n,wktórej c ij =Cov(X i,x j ), i,j=1,,...,n MacierzCjestmacierząsymetryczną,c ii 0. Przykład 1.6. Gęstość wektora losowego(x, Y) dana jest wzorem 3 8 y cosx dla π x π,0 y 0 poza tym a) Znaleźć rozkłady brzegowe b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. Czy X, Y są niezależne? a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 3 8 0, x π,x π 0 y cosxdy= cosx, gdy π<x<π, 3 8 ππ 0, y 0,y y cosxdx= 3 8 y, gdy0<y< b)zauważmy,żezmiennelosowex,y sąniezależne(ponieważf X (x) f Y (y) dlakażdego(x,y))zatemcov(x,y)=0orazρ(x,y)=0. Przykład 1.7. Wektor losowy(x, Y) ma następującą funkcję gęstości 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego(x, Y). 6

7 a)cov(x,y)=exy EX EY Obliczmy najpierw EXY. EXY= 0 x dx xy 1 0 xydy=1 x 5 dx= Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych XorazY. 0, x 0,x f X (x)= f(x,y)dy= x 0 1 xydy=1 4 x3, gdy0<x<, f Y (y)= Obliczmy jeszcze; EX= 0 x x3 4 dx=8 5 EY= 0 y(y y3 4 )dy= EX = 0 x x3 4 dx=8 3 VarX=EX (EX) = 8 75 EY = 0 y (y y3 4 )dy=4 3 VarY=EY (EY) = 44 5 Mamy zatem: Cov(X,Y)= 16 9 ρ(x,y)= Cov(X,Y) VarX VarY = = 16 5 f(x,y)dx= 66. 0, y 0,y y 1 xydx=y 1 4 y3, gdy0<y< b)macierzkowariancjicwektoralosowegox,y,gdzie c 1 =c 1 =Cov(X,Y),c 11 =VarX,c =VarY jestnastepująca: C= Przykład 1.8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacjimajązmiennelosowe4x 3oraz Y+4? Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy ρ(4x 3, Y+4)=sgn( 8)ρ(X,Y)= 0.5 7

8 1..1 Rozkładywarunkowe W rozdziale rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe( warunek był zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego(x, Y) interesujące jest pytanie jak wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe. Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego(x, Y) warunkowy rozkład zmiennejxprzywarunku(y=y k ),P(Y=y k ) 0określamyjako i analogicznie. (x i,p(x=x i Y=y k )),i I warunkowyrozkładzmiennejyprzywarunku(x=x i ),P(X=x i ) 0to (y k,p(y=y k X=x i )),k J Definicja 1.6. Dla wektora losowego(x, Y) typu ciągłego gęstością warunkową zmiennejlosowejxprzywarunku(y=y),f Y (y)>0nazywamyfunkcję f X Y (x y)= f(x,y) f Y (y) i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku(x = x), f X (x)>0nazywamyfunkcję f Y X (y x)= f(x,y) f X (x). Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobieństwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych losowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gęstości warunkowe są gęstościami brzegowymi. Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego. Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy warunku(y=y k )określamynastępujaco: E(X Y=y k )= i Ix i P(X=x i Y=y k ), gdy(x,y)jestdyskretny xf(x y k)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego i analogicznie warunkowąwartośćoczekiwanązmiennejlosowejy przywarunku(x=x i ) określamy następujaco: E(Y X=x i )= k Jy k P(Y=y k X=x i ), gdy(x,y)jestdyskretny yf(y x i)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego 8

9 Twierdzenie1.5.JeśliistniejeEXtoistniejeE(X Y=y). W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X, oznaczanej przez E(Y X). E(Y X)tonowazmiennalosowapostacim Y (X).Najczęściejpodajemywarunkowąwartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję : m Y (x)=e(y X=x). Funkcjęm Y (X)nazywamyfunkcjąregresjizmiennejlosowjYwzględemzmiennej losowej X. Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X Y). Twierdzenie1.6.JeśliVarX<, VarY< todlam Y (X)=E(Y X)zachodzi min h E(Y h(x)) =E(Y m Y (X)), gdzieh(x)jestdowolnąfunkcjąborelowską,żeeh (X)<. Twierdzenie1.7.Niech(X,Y)będziewektoremlosowymiistniejeEXto: 1.E(E(X Y))=EX.dlaniezależnychzmiennychX,Y mamye(x Y)=EX. Przykład 1.9. Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć: a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku(x = k), b) rozkład łączny wektora(x, Y), rozkłady brzegowe, c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres. Przykład Dwuwymiarowazmiennalosowa(X,Y)marozkładjednostajnynazbiorzeD=(x,y): x +y 9,y 0},toznaczy c, gdy(x,y) D 0, pozatym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y. c)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X. d)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X. 9

10 Przykład Gęstością wektora losowego(x, Y) jest funkcja 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X.CzyzmiennelosoweX,Ysąniezależne. b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. Definicja 1.8. Mówimy,że wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli jego funkcja gęstości ma postać gdzie 1 πσ x σ y 1 ρ e 1 [(x mx) (1 ρ ) σx ρ(x mx)(y my) σxσy ] + (y my) σy EX=m X, EY=m Y, VarX=σ X, VarY=σ Y, ρ(x,y)=ρ. Jeśli wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny icov(x,y)=0tozmiennelosowex,y sąniezależne. Przykład 1.1. Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna losowa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych (X,Y)dobrzeopisujedwuwymiarowyrozkładnormalnyoparametrachm X =3,m Y = 1.6,σ X =1, σ Y =0.4,ρ=0.9. a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X. b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość tworzywa Y przekroczy, z prawdopodobieństwem 0.9? W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszystkich prostych leżących na płaszczyżnie xoy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od tej prostej jest najmniejsze. Definicja1.9.Prostąy=a 0 x+b 0 dlaktórejzachodzi E(Y (a 0 X+b 0 )) =min a,b E(Y (ax+b)) nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X. 10

11 Nietrudno uzasadnić następujący fakt. JeśliVarX,VarY sąskończonetoprostay=a 0 x+b 0 gdzie a 0 = Cov(X,Y) VarX,b 0=EY a 0 EX jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X. Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać y EY VarX =ρ(x,y) x EX VarY Dla wektora losowego(x, Y) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji pokrywaja się z prostymi regresji. Przykład Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y. 11

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej: Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa. Stanisław Jaworski

Rachunek prawdopodobieństwa. Stanisław Jaworski Rachunek prawdopodobieństwa Stanisław Jaworski Rachunek prawdopodobieństwa: dział matematyki zajmujący się badaniem modeli zjawisk losowych (przypadkowych) i praw nimi rządzących (Encyklopedia Popularna

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska

WYKŁAD 2 i 3. Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne. autor: Maciej Zięba. Politechnika Wrocławska Wrocław University of Technology WYKŁAD 2 i 3 Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Podstawy teoretyczne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Diagramy Venna. Uwagi:

Diagramy Venna. Uwagi: Wykład 3: Prawdopodobieństwopodstawowe pojęcia i modele Często modelujemy zmienność używając rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo opadów deszczu wynosi 80%. (zinterpretuj) Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)!

A = {dostęp do konta} = {{właściwe hasło,h 2, h 3 }} = 0, 0003. (10 4 )! 2!(10 4 3)! 3!(104 3)! Rachunek prawdopodobieństwa MAP34, WPPT/FT, wykład dr hab. A. Jurlewicz Przykłady - Lista nr : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.. Hasło potrzebne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy

Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa 1 ] 2016/2017 Zimowy. [ Laboratorium Grupa 2 ] 2016/2017 Zimowy Elektrotechnika II [ Laboratorium Grupa ] 206/207 Zimowy Lp Numer indeksu Pkt Kol Suma Popr Ocena Data Uwagi 97574 6 7 Db + 2 9758 ++0,9 5 7,9 Db + 3 99555 0,9+0,9 2,8 Dst + 4 97595 0,8++ 0 2,8 Dst + 5

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A. Semestr letni 2014. Poniedziałki 12:15-15:00, sala HS. Wykładowca: Ryszard Szekli, pok. 514, konsultacje: poniedziałki 10-12, terminy egzaminów: I termin 18.06.2014, (ŚRODA)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW - 2

STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW - 2 STATYSTYCZNE METODY OPRACOWANIA POMIARÓW - 2 B. Kamys Spis tre±ci 1 Wstep - podstawowe poj cia 4 2 Wielowymiarowe zmienne losowe 11 2.1 Rozkªad prawdopodobie«stwa funkcji wielowymiarowej zmiennej losowej..

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna dla kierunku Zarządzanie na studiach drugiego stopnia Wojciech Kordecki Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu Wrocław 2012 Materiał wyłącznie do użytku edukacyjnego. Reprodukcja do

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cieciura, Janusz Zacharski PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ III RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na prawach rękopisu Warszawa, wrzesień 0 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Bardziej szczegółowo

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x

x y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x . Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5 Warunki zaliczenia

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPDODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA

RACHUNEK PRAWDOPDODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA RACHUNEK PRAWDOPDODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA OKNO - Ośrodek Kształcenia na Odległość Politechnika Warszawska Krystyna Lipińska Dominik Jagiełło Rafał Maj 200 Spis treści Zdarzenia elementarne 9. Elementy

Bardziej szczegółowo

Estymacja w regresji nieparametrycznej

Estymacja w regresji nieparametrycznej Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Zadania do realizacji na ćwiczeniach

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Zadania do realizacji na ćwiczeniach Dr inż. Małgorzata Krętowska Wydział Informatyki PB METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Zadania do realizacji na ćwiczeniach Zajęcia nr 2 Teoria: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa; Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi.

Algorytmy, które estymują wprost rozkłady czy też mapowania z nazywamy algorytmami dyskryminacyjnymi. Spis treści 1 Wstęp: generatywne algorytmy uczące 2 Gaussowska analiza dyskryminacyjna 2.1 Gaussowska analiza dyskryminacyjna a regresja logistyczna 3 Naiwny Klasyfikator Bayesa 3.1 Wygładzanie Laplace'a

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

0, 4 0, 3 A = 0, 4 0, 7. Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, 1 0, 2 0, 9 0, 6

0, 4 0, 3 A = 0, 4 0, 7. Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, 1 0, 2 0, 9 0, 6 Zastosowania Zadanie. Macierz migracji między dwoma miastami ma postać: 0, 0, 3 0, 4 0, 7 Wyznaczyć rozkład ludności po roku oraz po trzech latach wiedzac, że stan poczatkowy jest następujacy: 0, x(0)

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo