1 x + 1 dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-

Transkrypt

1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Zad.1 Całkę podwójną przez: a) y =, y =, = 1; b) y =, y =, y = 1; c) y =, y = 1, y = 5; d) y = ln, y = + 1, y = 1; e) y = ln, = e, y = 1; f) y = arctg, y = π 4 ; g) + y = 9; h) y = 1, y = 1 ; i) y =, y =, = y, = y. f(, y) ddy zamień na całki iterowane, jeżeli obszar jest ograniczony Zad. Oblicz: a) y ddy, gdzie obszar jest ograniczony przez y =, y =, = 1, = ; b) y ddy, gdzie obszar jest ograniczony krzywymi y =, = y ; c) ( + y) ddy, gdzie obszar jest ograniczony przez =, y =, + y = 3; d) sin( + y) ddy, gdzie obszar jest ograniczony przez y =, y =, y + = π; e) f) + y ddy, gdzie obszar jest ograniczony przez y =, = y, =. 1 ( 3 + )ye y + 1 ddy, gdzie obszar jest ograniczo- [3 3 ( π + 1) + π 3 3 (arcsin y + 1) 4 (arcsin y) ] ny przez y =, y = sin dla π; g) ln(1 + + y ) ddy, gdzie = {(, y) : + y 5, }; h) i) ln( + y ) ddy, gdzie = {(, y) : + y e, + y 1}; + y + y ddy, gdzie = {(, y) : + y 1, y }; j) 4 y ddy, gdzie = {(, y) : + y, y }; k) l) m) ddy + y, gdzie = {(, y) : + y 1, + y 4, y }; y ddy, gdzie = {(, y) : y, + y }; y y 4 e 1 +1 (1 3 )( + 1) ddy;

2 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - n) y y 4 ye 4 8 ddy; o) 3 + y dyd; 3 1 p) 9 3 sin (π 3 ) ddy. y Zad.3 Za pomocą całki podwójnej oblicz pole obszaru ograniczonego przez: a) y = + 4; y = 3 ; y = dla ; b) y =, y = 1, y = ; c) = 4 y, = y ; d) y =, y = + + 1; e) y = 3 4, = 1, = 1, y = ; f) y =, y =, y =, y = 4; g) + y = y, + y = 4y, y =, y = 3. Zad.4 Za pomocą całki podwójnej oblicz objętość bryły ograniczonej przez przez: a) z = + y, z = 4; b) z = + y = 4, z = 4; c) z = + y, z = + y ; d) z = + y, + y = 1, z = ; e) + y + z = 1 oraz płaszczyzny układu współrzędnych; f) + y = 1, z = y 1, z = ; g) z = 7, z =, y = 1, y = 4; h) z = + y, z = 6 y ; i) 16 + y = 1, z = y 9, z = ; j) z = + y, z = 1, z = ; k) z = + y, + y + z = 1; l) 9 + y 4 = 1, z = + y, z = + y + 4; m) + y 4z =, + y 8z = ; n) y + z = 1, =.

3 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 3 Zad.5 Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego: a) części stożka z = + y ograniczonego powierzchnią + y = 4; b) wyciętego walcem 9 + y = 1 z paraboloidy z = y 4 ; c) walca parabolicznego z = wyciętego płaszczyznami y =, y = 3, = ; d) paraboloidy z = + y zawartej wewnątrz walca + y = 4; e) wyciętego walcem + y = 4 ze sfery + y + z = 9; f) wyciętego walcem + y = ze sfery + y + z = 4. Zad.6 Oblicz masę obszaru o gęstości powierzchniowej ρ: a) + y, + y 1 y, ρ(, y) = (1 y ) ; b) 1 + y, ρ(, y) = 1. Zad.7 Oblicz: a) 1 ddydz, gdzie jest zawarty pomiędzy płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną + y + z = 1; ( + y + z) 3 ddydz b), gdzie obszar jest bryłą ograniczoną płaszczyznami + z = 3, y = ( + y + z + 1) 3 i płaszczyznami układu współrzędnych; c) ( + 3y z) ddydz, gdzie jest graniastosłupem ograniczonym płaszczyznami =, y =, z =, z = 3 i + y = ; d) (4 + z) ddydz, gdzie jest obszarem 1 1, y y 1, z ; e) ( + y ) ddydz, gdzie jest obszarem + y + z a i z ; f) ( + y ) ddydz, gdzie jest obszarem 1 + y + z 4, y ; g) h) i) ddydz + y + z, gdzie jest obszarem + y + z R,, y, z ; + y + z ddydz, gdzie bryła jest ograniczona powierzchnią + y + z = z; + y ddydz, gdzie bryła jest ograniczona powierzchnią + y = z i płaszczyznami z = 1, z = 1; j) + y ddydz, gdzie jest ograniczony przez z = + y, z = 1, z = 5; k) z ddydz, gdzie bryła jest ograniczona płaszczyzną z = h i powierzchnią z = h R ( + y );

4 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 4 l) z ddydz, gdzie jest częścią wspólną obszarów + y + z 4, + y + z 4z; m) z ddydz, gdzie jest obszarem + y + (z 1) 1; n) ddydz, gdzie jest ograniczony przez + y = z + 9, =, y =, z = (dla, y ); o) ddydz, gdzie jest ograniczony powierzchnią a + y b + z c = 1; p) ddydz, gdzie jest obszarem + y + z 4; r) yz ddydz 4 y, gdzie bryła jest ograniczona powierzchnią z = + y oraz płaszczyznami =, y = i z = dla, y i z. Zad.8 Korzystając z całki potrójnej oblicz objętość bryły: a) ograniczonej przez + y + z = 1, z =, y = 3, y = ; b) ograniczonej przez + y + z = 4, = 3, y = i płaszczyznami układu współrzędnych; c) ograniczonej przez + y = az i + y = z ; c) ograniczonej przez z = 4 + y, z = 4 3y ; d) ograniczonej przez + y = 1, z = y + 1, z = 1; e) ograniczonej przez a + y = 1, + z = a i z = a; b f) 4 + y 1, z y 9 ; g) + y = z (dla + y z ) i + y = 3 z (dla + y 3 z); h) ograniczonej przez 4 + 9y = 36z, 4 + 9y = 36 i płaszczyzną z = ; i) ograniczonej przez + y + z = ; j) + y + z R, + y a, gdzie a R; k) + y + z R, + y a, gdzie a R; l) ograniczonej przez + y + z = 4 i + y = 3z ; m) + y + z 4, + y + z 9, + y z ; n) ograniczonej przez z = + y, z = 4; o) ograniczonej przez z = + y, z = 4, z = 8; p) ograniczonej przez z = + y, z = + y ; r) zawartej wewnątrz + y = z oraz ograniczonej powierzchnią + y + z = 81; Zad.9 Korzystając z całki potrójnej oblicz masę obszaru o gętości ρ:

5 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 5 a) a, y b, z c (a, b, c > ), gdzie ρ(, y, z) = + y + z; b) + y 4, z + y, z, gdzie ρ(, y, z) = + y ; c) + y, z 1, y, gdzie ρ(, y, z) = z + y.