Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Transkrypt

1 Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x ( ln x (e 2 2 ( 2x x 2 2 x ( 4 dx dy, y 2 (f ( x 2 x 3 ( 2 x 2 q x (g 2 ( y y z dx dy. 3. Obliczyć całkę podwójną f(x, y(dxdy, gdzie (a f(x, y = x y i D jest prostokątem ograniczonym krzywymi x =, x = a, y =, y = b, f(x, y = 2x + y i D jest obszarem trójkąta o wierzchołkach A(,, B(5, 3, C(5, 5, f(x, y = sin(x + y i D jest obszarem ograniczonym prostymi y =, y = x, x + y = π 2, (d f(x, y = cos(x + y i D = [, π] [, π], (e f(x, y = max(2x, y i D = [, 2] [, ], (f f(x, y = [y] i D = {(x, y R 2 ; x 2 y 5 2 }, (g f(x, y = [x + y] i D = [, 2] [, 2], (h f(x, y = sgn(x 2 y i D = {(x, y R 2 ; x 2 + y 2 4}, (i f(x, y = x 2 i D = {(x, y R 2 ; x + y }, (j f(x, y = i A = { (x, y R 2, < x 2 + y 2 4}, x 2 +y 2 (k f(x, y = x 2 + y 2 4 i A = { (x, y R 2, x 2 + y 2 2x, x, y > }, (l f(x, y = y x 2 + y 2 i A = { (x, y R 2, x 2 + y 2 < 9, x <, y < }, (m f(x, y = x i A = { (x, y R 2, x 2 + y 2, x }, (n f(x, y = xy i A = {(x, y R 2 ; x, x 2 + y 2 2}, (o f(x, y = y 2 e x2 +y 2 i A = {(x, y R 2 ; x 2 + y 2, x, y }, (p f(x, y = x 2 + y 2 i A = {(x, y R 2 ; y x 2 + y 2 x, y }. 4. Obliczyć pole figury ograniczonej: (a prostymi y 2 = x, x 2 = 8y, parabolą y = x 2 2x + 2, styczną do niej w punkcie (3, 5, osiąoy i osią OX, 3x 2 = 25y, 5y 2 = 9x, (d lemniskatą (x 2 + y 2 2 = 2a 2 (x 2 y Obliczyć objętość figury ograniczonej powierzchniami: (a x 2 + z 2 =, x + y =, z =, y =, przy czym z, y,

2 2z = x 2 + y 2 i y + z = 4, x + z = 2, y z = 2 oraz walcem x 2 + y 2 = 4, (d z = x 2 + y 2, x + y = 4, x =, y =, z =, (e x 2 + y 2 + z 2 =, x 2 + y 2 = 2x. Całka krzywoliniowa. 6. Obliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane (I rodzaju: (a (x 2 + y 2 dl, gdzie jest krzywą o równaniach x = a(cos t + t sin t, y = a(sin t t cos t, t [, 2π], a >, (y xdl, gdzie jest łukiem krzywej y = x 3 zawartym między punktami A(, i B(2, 8, dl x y, gdzie jest odcinkiem prostej y = 2x 2 zawartym między punktami A(, 2 i B(4,, (d ydl, gdzie jest łukiem paraboli y 2 = 2px od punktu (, do punktu (2, 2 p, (e 2yds, gdzie jest łukiem cykloidy o równaniach parametrycznych x = y sin t, y = cos t, t [, 2π], (f (x + ydl, gdzie jest obwodem trójkąta o wierzchołkach A(,, B(,, C(,, (g x 2 ydl, gdzie jest częścią okręgu leżącą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. 7. Znaleźć współrzędne środka ciężkości ćwiartki elipsy x = a cos t, y = b sin t znajdujacej się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, jeżeli gęstość w każdym punkcie krzywej jest równa rzędnej tego punktu. ( 8. Znaleźć współrzędne środka ciężkości linii łańcuchowej y = a 2 e x a + e x a między jej punktami o odciętych x =, x 2 = a, jeżeli gęstość krzywej w każdym punkcie jest odwrotnie proporcjonalna do rzędnej punktu. 9. Obliczyć momenty bezwładności jednorodnego łuku półkola o równaniach x = a cos t, y = sin t, t [, π].. Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane (II rodzaju (a xdy, gdzie jest obwodem trójkąta utworzonego przez osie współrzędnych i prostą x 2 + x 3 = w kierunku dodatnim, x 2 y 2 dx, gdzie AB to łuk paraboli y = x 2 od punktu A(, do punktu B(2, 4, (d (e AB (, (, (π,2π (, xydx + (y xdy, po krzywej y = x 3, x cos ydx + y sin xdy, po odcinku łączącym punkty (, i (π, 2π, (x 2 + y 2 dy, gdzie jest brzegiem prostokąta opisanego prostymi x =, y =, x = 3, y = 5, (orientacja dodatnia, (f 2x(y dx + x 2 dy, gdzie jest konturem figury ograniczonej liniami y = x 2, y = 9.. W każdym punkcie elipsy działa siła F o współrzędnych F x = x 2 i F y = y 2. Znaleźć prace wykonaną przez tą siłę przy przesunięciu punktu materialnego P o masie m po całej elipsie. 2. Dane jest pole się o składowych F x = xy y, F y = 2x + y 2. Wyznaczyć jaką pracę trzeba wykonać, aby pokonać siły pola wzdłuż drogi łuku y = x 3 od punktu A(, do B(,. 3. Obliczyć przy pomocy całki krzywoliniowej pola figur ograniczonych danymi krzywymi zamkniętymi (a asteroidą x = a cos 3 t, y = a sin 3 t,

3 lemniskatą x = a cos t 2 cos(2t, y = a sin t 2 cos(2t, t [ π 4, π 4 ]. 4. prawdzić, czy dane całki obliczone po krzywej zamkniętej są równe zeru (a 2xydx + x 2 dy, xdx + ydy x 2 + y 2, przy czym początek układu współrzędnych leży poza linią, ydx + (x + ydy, po krzywej określonej równaniami y = x 2, y = Wykazać, że następujące wyrażenia są różniczkami funkcji F (x, y oraz wyznaczyć tę funkcję (a (x 2 y 2 (xdx ydy, (3y xdx+(y 3xdy, (x+y 3 (y 2 e xy 3dx + e xy ( + xydy, (d (2x cos y y 2 sin xdx + (2y cos x x 2 sin ydy. 6. orzystając z Twierdzenia Greena obliczyć całki (a (2y 2 +dx+(y 2 +2xdy, gdzie jest konturem trójkąta o wierzchołkach A(,, B(2, 2, C(,, 2 3 (x3 dy y 3 dx, gdzie jest górną połową okręgu x 2 + y 2 = 2x, (x 2 + dx + x 2 + y 2 dy, gdzie jest okręgiem x 2 + y 2 = a Obliczyć całki iterowane Całka potrójna. (a (d 2 x 2 x 2 2x 2π a (4 + zdzdydx, x h 2 ydzdydx, h 2 e e x x+y+e y 3 sin z cos zdxdydz, e ln(z x y (x e(x + y e dzdydx. 8. Obliczyć całkę potrójną G f(x, y, z(dxdydz, gdzie (a f(x, y, z = x y, a G jest obszarem ograniczonym płaszczyznami x + y + z =, x =, y =, z =, f(x, y, z = (8x 2 + 8y 2 e z, a G = {(x, y, z R 3 x ; y2 9 <, z < 2}, f(x, y, z = 2x + 3y z, a G jest graniastosłupem ograniczonym płaszczyznami x =, y =, z =, z = 3, x + y = 2, (d f(x, y, z = z sin(x 2 + y 2 oraz G jest bryłą ograniczoną płaszczyznami x =, y =, z =, z =, x 2 + y 2 =, (e f(x, y, z = ze 9x2 +4y 2 2, a G = {(x, y, z R 3 x, v2 9, z }, (f f(x, y, z = x 2 + y 2, oraz G jest ograniczone powierzchniami: stożkiem x 2 + y 2 = z 2 i płaszczyzną z =, (g f(x, y, z = xyz, a G jest bryłą ograniczoną płaszczyznami x 2 + y 2 + z 2 =, x =, y =, z =. 9. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami (a x 2 + y 2 + z 2 = x,

4 elipsoidą trójwymiarową x2 4 + y2 9 + z2 =, x =, x =, y = 2, y = 5, z = 2, z = 4, (d x + y + z =, x =, y =, z =, (e x2 4 + y2 9 <, z < 2, (f x =, y =, z =, z =, x 2 + y 2 2y = 3, (g x 2 + y 2 + z 2 =, x, y, z R. Całka powierzchniowa. 2. Obliczyć całki powierzchniowe (a (8 2zds, gdzie : z = 4 2 x2 2 y2 dla z >, yds, gdzie jest powierzchnią półkuli: z = a 2 x 2 y 2, ds (+x+z 2, gdzie jest częścią powierzchni x + y + z = zawartej w pierwszej ósemce, (d (x2 + y 2 ds, gdzie : x 2 + y 2 z. 2. Obliczyć całkowity ładunek elektryczny rozmieszczony na części powierzchni 2x + y + 5z 5 = zawartej w pierwszej ósemce, jeżeli gęstość ładunku jest wprost proporcjonalna do 3x + 2y + 5z. 22. Obliczyć masę tej części paraboloidy z = 2 (x2 + y 2, która zawarta jest między płaszczyznami z = i z = i której gęstość w każdym punkcie równa się trzeciej współrzędnej punktu powierzchni. 23. Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane: (a xdydz + ydzdx + zdxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni sfery x2 + y 2 + z 2 = R 2, x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni stożka x 2 + y 2 = z 2 dla z h, x3 dydz + x 2 ydzdx + x 2 zdxdy, gdzie jest zewnętrzną stroną tej powierzchni walca x 2 + y 2 = a 2, która jest ograniczona płaszczyznami z =, i z = h. 24. Wykazać, ze objętość V bryły ograniczonej powierzchnią zamknięta, gładką i zorientowaną może być wyrażona wzorem: V = 3 xdydz + ydzdx + zdxdy. 25. Obliczyć za pomocą twierdzenia tokesa pracę wykonaną przez siłę F = (x+z, x y+2z, y 4x działającą wzdłuż obwodu ABCA trójkąta o wierzchołkach A(,,, B(,,, C(,,.

5 I. Całka krzywoliniowa I rodzaju (nieskierowana. Teoria. Całkę krzywoliniową nieskierowaną funkcji f(x, y oznaczamy: f(x, ydl. Jeżeli równanie łuku zadane jest w postaci jawnej y = y(x dla a x b, to dl = + ( dy 2dx oraz f(x, ydl = dx b a f(x, y(x + ( dy 2dx. dx Jeżeli krzywa jest dana równaniami parametrycznymi tzn. x = x(t, y = y(t dla α t β, to (dx 2 ( dy 2dt β (dx 2 ( dy 2dt. dl = + oraz f(x, ydl = f(x(t, y(t + dt dt α dt dt Jeżeli równanie krzywej jest dane w układzie biegunowym r = r(φ dla φ φ φ 2, to ( dr 2dφ φ2 ( dr 2dφ. dl = r 2 + oraz f(x, ydl = f(r cos φ, r sin φ r dφ 2 + φ dφ II. Całka krzywoliniowa II rodzaju. Całkę krzywoliniową skierowaną oznaczamy: F (x, ydx lub P (x, ydx + Q(x, ydy. Jeżeli równanie łuku zadane jest w postaci jawnej y = y(x dla a x b, to P (x, ydx + Q(x, ydy = b a ( P (x, y(x + Q(x, y(xy (x dx. Jeżeli łuk jest dany równaniami parametrycznymi tzn. x = x(t, y = y(t dla α t β, to P (x, ydx + Q(x, ydy = β α ( P (x(t, y(tx (t + Q(x(t, y(ty (t dt. Analogiczne twierdzenia istnieją dla całek krzywoliniowych w przestrzeni. III. Całka powierzchniowa niezorientowana. Jeżeli funkcja F (x, y, z jest ciągła i płat jest gładki (regularny, to całka powierzchniowa F (x, y, zds istnieje i wyraża się za pomocą całki podwójnej następującym wzorem: F (x, y, zds = F (x, y, f(x, y + f 2 x (x, y + f 2 y (x, ydxdy, gdzie D jest rzutem płata na płaszczyznę Oxy. D Jeżeli płat powierzchniowy dany jest równaniami parametrycznymi: x = φ(u, v, y = ψ(u, v, z = χ(u, v, gdzie punkty (u, v należą do obszaru jednospójnego, to całka krzywoliniowa niezorientowana funkcji ciągłej na gładkim płacie wyraża sie wzorem: F (x, y, zds = (D(x, y 2 F (φ(u, v, ψ(u, v, χ(u, v + D(u, v ( D(y, z 2 + D(u, v ( D(z, x 2 dudv. D(u, v Interpretacja fizyczna: Jeżeli F (x, y, z jest gęstością powierzchniową masy rozpostartej na płacie gładkim, to F (x, y, zds jest masą powierzchni. Jeżeli F (x, y, z jest gęstością ładunku elektrycznego, to F (x, y, zds przedstawia całkowity ładunek znajdujący się na powierzchni. III. Całka powierzchniowa zorientowana. Całka powierzchniowa zorientowana płata powierzchni

6 wyraża się wzorem: P dydz + Qdzdx + Rdxdy = D (P cos α + Q cos β + R cos γd, gdzie [cos α, cos β, cos γ] jest wektorem jednostkowym na osi normalnej zgodnie z nią skierowanym. Jeżeli powierzchnia jest zadana równaniami parametrycznymi : x = φ(u, v, y = ψ(u, v, z = χ(u, v, gdzie (u, v (obszar płaski, to mamy cos α = D(y, z D(z, x D(x, y, cos β =, cos γ = D(u, v D(u, v D(u, v. Wówczas P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ( D(y, z x y P + QD(z, + RD(x, dudv, D(u, v D(u, v D(u, v Twierdzenie Greena. Jeżeli funkcje P (x, y oraz Q(x, y są ciągłe wraz z pochodnymi P x wewnątrz i na brzegu obszaru D normalnego względem obu osi współrzędnych, przy czym brzeg obszaru D jest skierowany dodatnio, to: ( Q P (x, ydx + Q(x, ydy = x P dxdy. y D y, Q Twierdzenie Gaussa-Ostrogradzkiego. Niech F = (P (x, y, z, Q(x, y, z, R(x, y, z, gdzie P, Q, R C (V, V jest obszarem domkniętym i normalnym względem wszystkich płaszczyzn układu współrzędnych oraz niech będzie powierzchnią zamkniętą, gładką, zorientowaną na zewnątrz ograniczającą obszar V. Wówczas, (P dydz + Qdzdx + Rdxdy = V ( P x + Q y + R dxdydz. z Uogólnienie.Twierdzenie tokesa. Niech F = (P (x, y, z, Q(x, y, z, R(x, y, z, gdzie P, Q, R C (V, V jest obszarem przestrzennym zawierającym powierzchnię gładką i jej brzeg Wówczas, ( R (P dx + Qdy + Rdzd = y Q ( P dydz + z z R ( Q dzdx + x x P dxdy. y ( Uwaga. rot(p, Q, R = R y Q z, P z R x, Q x P y.