Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Transkrypt

1 Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx = lim n agłej f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem [ b a n f n k=1 ( a + (k 1) b a ) ]. (1) n Korzystając z wprowadzonej notacji, pole trójkąta parabolicznego można wyrazić następująco: 1 x 2 dx. 1

2 Zastosowania całki oznaczonej pole trapezu krzywoliniowego Figurę ograniczoną: wykresem funkcji f, gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [a, b], prostymi x = a, x = b oraz prostą y = będziemy nazwywać trapezem krzywoliniowym. 2

3 y y = f(x) a b x Rysunek 1: Trapez krzywoliniowy 3

4 Zastosowania całki oznaczonej obliczanie pola figur Chcemy obliczyć pole figury ograniczonej przez: wykres funkcji f(x) = sin x oraz proste: x =, x = π i y =, tj. chcemy znaleźć pole trapezu krzywoliniowego odpowiadającego funkcji f(x) = sin x i odcinkowi [, π]. Pole to jest równe: π sin xdx = [ ] π cos x = cos π ( cos ) = = 2. 4

5 Zastosowania całki oznaczonej obliczanie pola figur Chcemy obliczyć pole figury ograniczonej przez: wykres funkcji f(x) = sin 2x oraz proste: x =, x = π 2 i y =, tj. chcemy znaleźć pole trapezu krzywoliniowego odpowiadającego funkcji f(x) = sin 2x i odcinkowi [, π 2 ]. Pole to jest równe: π/2 sin 2xdx = [ 1 2 cos 2x ] π/2 = 1 2 cos π 1 ( cos ) =

6 Zastosowania całki oznaczonej obliczanie pola figur c.d. Chcemy obliczyć pole figury ograniczonej przez: wykres funkcji f(x) = 1 x oraz proste: x = 1, x = b i y =, gdzie b > 1, tj. chcemy znaleźć pole trapezu krzywoliniowego odpowiadającego funkcji f(x) = 1 x i odcinkowi [1, b]. Pole to jest równe: b 1 1 x dx = [ln x]b 1 = ln b ln 1 = ln b. 6

7 Zastosowania całki oznaczonej obliczanie pola figur c.d. y y = 1 x 1 b x Rysunek 2: Logarytm naturalny liczby b > 1 jako pole trapezu krzywoliniowego odpowiadającemu funkcji f(x) = 1 x i odcinkowi [1, b]. 7

8 Zastosowania całki oznaczonej droga przebyta przez punkt materialny Punkt materialny porusza się z prędkością v(t) = cos t. Chcemy znaleźć s(t ), położeniu punktu w czasie T = π. Zakładamy, że s() =. Mamy s(π) = π cos tdt = [ sin t] π = =. 8

9 Zastosowania całki oznaczonej droga przebyta przez punkt materialny c.d. Zenek podczas zawodów biegnie z prędkością v Z (t) = 8e.1t [m/sek], t. Chcemy znaleźć dystans przebyty przez Zenka do chwili T = 1. Droga przebyta przez Zenka (chwili T = 1) jest równa: 1 v Z (t)dt = [ e.1t] 1 = = [ 8.1 e.1t] 1 = 8(e 1 1) = 8(1 e 1 ) 55,

10 Zastosowania całki oznaczonej środek ciężkość pręta Rozważmy cieńki pręt. Skierujmy oś OX wzdłuz pręta. ρ = ρ(x) masa przypadająca na jednostkę długosci pręta. Na odcinku [x, x + x] znajduje się (w przybliżeniu): masa: m = ρ x ρ - gęstość na jednostkę długości (lub krócej gęstość). 1

11 Masa pręta Problem: chcemy obliczyć masę pręta Pręt- wzdłuż osi OX a- lewy koniec; b- prawy koniec. Przybliżona wartość masy pręta: M n = h n ρ((i 1)h), i=1 gdzie h = b a n. Jeśli założymy, że ρ = ρ(x) jest ciągła, to masa pręta jest równa: m = lim n M n = b a ρ(x)dx. 11

12 Środek ciężkości układu punktów materialnych Środek ciężkości układu dwóch punktów Punkty P 1 i P 2 leżą na prostej OX; P 1 waga w 1 ; współrzędna x 1 ; P 2 waga w 2 ; współrzędna x 2. Środek ciężkości: w 1x 1 +w 2 x 2 w 1 +w 2 Środek ciężkości układu punktów P 1, P 2,..., P n o współrzędnych x 1, x 2,..., x n i wagach w 1, w 2,..., w n : n i=1 w ix i n i=1 w. i 12

13 Pręt leżący na osi OX ; a i b; a < b; ρ - gęstość (na jednostkę długości) Środek ciężkości pręta Przybliżona wartość współrzędnej poziomej środka cięzkości: S n = gdzie h = (b a)/n. n i=1 [a + (i 1)h]ρ(a + (i 1)h)h n i=1 ρ(a + (i 1)h)h S n jest środkiem ciężkości układu punktów o wspołrzędnych a, a + h, a + 2h,..., a + (n 1)h o wagach hρ(a), hρ(a + h),..., hρ(a + (n 1)h). 13

14 Środek ciężkości pręta c.d. Można pokazać, że środek ciężkości pręta (jego współrzędna pozioma) jest równy: b s = lim S a n = xρ(x)dx n b a ρ(x)dx. 14

15 Przykład Chcemy obliczyć środek ciężkości pręta położonego wzdłuż osi OX o końcach a =, b = 1 [jednostka: m] o gęstości ρ(x) = x 2 [jednostka: kg/m]. Rozwiązanie b a xρ(x)dx b a ρ(x)dx = 1 x3 dx 1 x2 dx = 1/4 1/3 =

16 Moment bezwładności pręta Można pokazać, że moment bezwładności pręta o końcach a i b względem osi x = c jest równy: b a (x c) 2 ρ(x)dx. Przykład Moment bezwładności pręta o końcach: a =,5 i b =,5 [jednostka: m] względem osi przechodzącej przez środek pręta (tzn. względem osi x = ), dla gęstości ρ(x) = 1 [jednostka: kg/m], jest równy:,5,5 (x ) 2 ρ(x)dx =,5,5 x 2 dx = [ x 3 3 ],5,5 = 1 ( 24 1 ) 24 = 1 [ ] m 2 kg 12 16