ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH
|
|
- Marta Janik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 YH JJ, MiF UP 13
2 D BL PÓL FGUR PYŹ e wszystkich wzorach zakładamy, że funkcje: f (x), g(x), r(ϕ), x(t), y(t) sa cia głe w odpowiednich przedziałach oraz że r(ϕ).
3 D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D = {(x, y) : a x b, g(x) y f (x)}, gdzie a < b oraz g(x) f (x) dla x [a, b] wynosi P = b a [f (x) g(x)]dx. y y = f (x) D y = g(x) a b x
4 PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x 2, y = x 3 jest równe y y = x 2 y = x 3 1 x P = 1 ( x 2 x 3) [ 1 dx = 3 x x 4] 1 = ( ) = = 1 12
5 PRYD Pole koła o promieniu R (obszaru ograniczonego krzywą x 2 + y 2 = R 2 ) jest równe πr 2. R y = R 2 x 2 y R y = R 2 x 2 R x P = R R [ R 2 x 2 ( R 2 x 2)] dx = 2 R R [ 1 = 2 2 x R 2 x R2 arc sin x ] R R R = 2 [ R2 arc sin R2 arc sin( 1) ] [ 1 = 2 2 R2 π 2 1 ( 2 R2 π )] = πr 2. 2 R 2 x 2 dx
6 D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru opisanego we współrzȩdnych biegunowych: D = {(r, ϕ) : α ϕ β, r r(ϕ)}, gdzie α β 2π wynosi P = 1 2 β α r 2 (ϕ)dϕ. ϕ = π/2 ϕ = 3π/4 ϕ = β D ϕ = π ϕ = π/4 r = r(ϕ) ϕ = α ϕ =, ϕ = 2π ϕ = 5π/4 ϕ = 7π/4 ϕ = 3π/2
7 PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = R (koła o promieniu R) jest równe πr 2. R y R r(ϕ) = R R x P = 1 β r 2 (ϕ)dϕ = 1 2π R 2 dϕ = 1 2π 2 α 2 2 R2 1dϕ = 1 ] 2π 2 R2[ ϕ = 1 2 R2 (2π ) = πr 2.
8 D BL PÓL FGUR PYŹ Pole obszaru D ograniczonego: krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2, osia x oraz prostymi x = x(t 1 ), x = x(t 2 ) wynosi P = t2 t 1 y(t)x (t) dt. akładamy tu, że x (t) i y(t) sa cia głe i stałego znaku.
9 PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (pole koła o promieniu R) jest równe πr 2. dla t = π y dla t = π/2 dla t = dla t = 2π x dla t = 3π/2 P =
10 PRYD Pole obszaru ograniczonego krzywą o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (pole koła o promieniu R) jest równe πr 2. dla t = π y dla t = R x π P = 2P 1 = 2 R sin t ( R sin t) dt π [ 1 = 2R 2 sin 2 dt = 2 2 t 1 ] π 4 sin 2t = 2R 2[ 1 2 π 1 ] 4 sin 2π = πr 2.
11 D BL DUGŚ RYYH DFJ. ukiem gładkim nazywamy taka krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2, która nie ma punktów wielokrotnych (różnym wartościom t odpowiadaja różne punkty krzywej), dla której pochodne x (t) oraz y (t) sa ciagłe i dla której wszȩdzie [x (t)] 2 + [y (t)] 2. ukiem kawałkami gładkim nazywamy krzywa daja ca siȩ podzielić na skończona liczbȩ łuków gładkich.
12 PRYD YLD: x(t) = t sin t, y(t) = 1 cos t. y (π, 2) y(t) x(t) 2π x
13 PRYD ykloida (dwa pierwsze łuki) x(t) = t sin t, y(t) = 1 cos t, t 4π. y x 2π 4π
14 Długość krzywej D BL DUGŚ RYYH l = {(x, y) : a x b, y = f (x)}, gdzie a < b oraz f (x) jest cia gła wynosi d = b a 1 + [f (x)] 2 dx.
15 R = 4 = 4R Długość okręgu o promieniu R. y = R 2 x 2 y R d = 4d 1 = 4 R = f (x) = R 2 x 2 R x [ f (x)] 2dx [ 1 2 R 2 x 2 ( 2x) ] 2dx R 2 x 2 + x 2 R R 2 x 2 dx = 4R [ arc sin x R ] R 1 R 2 x 2 dx = 4R arc sin 1 = 4R π 2 = 2πR
16 D BL DUGŚ RYYH Długość krzywej opisanej we współrzȩdnych biegunowych: l = {(r, ϕ) : α ϕ β, r = r(ϕ)}, gdzie α β 2π oraz r (ϕ) jest cia gła, wynosi d = β α r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ.
17 PRYD Długość krzywej o równaniu biegunowym r(ϕ) = R (okręgu o promieniu R) to 2πR. r(ϕ) = R R d = β α r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ = = 2π 2π Rdϕ = [ Rϕ ] 2π = 2πR. R dϕ
18 D BL DUGŚ RYYH Długość łuku kawałkami gładkiego l o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 wynosi d = t2 t 1 [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt.
19 PRYD Długość krzywej o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (okręgu o promieniu R) to 2πR. y dla t = π/2 dla t = π dla t = dla t = 2π x dla t = 3π/2 d =
20 PRYD Długość krzywej o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (okręgu o promieniu R) to 2πR. y dla t = π dla t = R x π d = 2d 1 = 2 [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt π = 2 [ R sin t] 2 + [R cos t] 2 dt π = 2 R 2 (sin 2 t + cos 2 t)dt = 2 π Rdt = 2R [ t ] π = 2πR
21 D BL BJȨŚ BRY BRYH bjȩtość bryły powstałej przez obrót wokół osi x obszaru D ograniczonego: krzywa y = f (x), osia x i prostymi x = a, x = b, gdzie a < b, wynosi b V = π [f (x)] 2 dx. a
22 bjętość kuli o promieniu R
23 bjętość kuli o promieniu R
24 bjętość kuli o promieniu R y R x
25 bjętość kuli o promieniu R y R x
26 bjętość kuli o promieniu R y y = R 2 x 2 R x
27 bjętość kuli o promieniu R y y = R 2 x 2 R x V = π = 2π R [ R R 2 x 2] 2 ( dx = π 2 R 2 x 2) dx R [R 2 x 1 3 x 3] R [ = 2π R R3] = 4 3 πr3
28 D BL BJȨŚ BRY BRYH bjȩtość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru D opisanego we współrzȩdnych biegunowych: D = {(r, ϕ) : α ϕ β, r r(ϕ)}, gdzie α β π, wynosi V = 2 β 3 π r 3 (ϕ) sin ϕdϕ. α
29 PRYD bjętość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru ograniczonego krzywą o o równaniu biegunowym r(ϕ) = R (objętość kuli o promieniu R) to 4 3 πr3. y R r(ϕ) = R R R x V = 2 β 3 π r 3 (ϕ) sin ϕdϕ = 2 π 3 π R 3 sin ϕdϕ α = 2 3 πr3[ cos ϕ ] π = 2 3 πr3 [ cos π ( cos )] = 2 3 πr3 [ ( 1) ( 1)] = 4 3 πr3.
30 D BL BJȨŚ BRY BRYH bjȩtość bryły powstałej przez obrót wokół osi x obszaru D ograniczonego (zakładamy tu, że x (t) jest cia gła i stałego znaku): krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2, osia x oraz prostymi x = x(t 1 ), x = x(t 2 ) wynosi t2 V = π y 2 (t) x (t) dt. t 1
31 PRYD bjętość bryły powstałej przez obrót wokół osi biegunowej obszaru ograniczonego krzywą o o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t 2π (objętość kuli o promieniu R) to 4 3 πr3. dla t = π y dla t = x t2 π V = π y 2 (t) x (t) dt = π R 2 sin 2 (t) R sin t dt t 1 π = πr 3 sin 3 tdt = πr 3[ 1 ] π 3 cos3 t cos t = πr 3[1 3 ( 1)3 ( 1) ( 1) ] = 4 3 πr3
32 D BL PÓL PRH BRYH Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi x krzywej l = {(x, y) : a x b, y = f (x)}, gdzie a < b oraz f (x) jest cia gła, wynosi b = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx. a
33 R Pole sfery o promieniu R y f (x) = R 2 x 2 b = 2π f (x) 1 + [f (x)] 2 dx a R [ = 2π R 2 x R 2 ] 2dx R 2 x ( 2x) 2 R = 2π R 2 x 2 R R x R 2 x 2 + x 2 R 2 x 2 dx R [ ] R = 2π Rdx = 2πR x = 2π[R ( R)] = 4πR2 R R
34 D BL PÓL PRH BRYH Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej opisanej we współrzȩdnych biegunowych: l = {(r, ϕ) : α ϕ β, r = r(ϕ)}, gdzie α β π oraz r (ϕ) jest cia gła, wynosi β = 2π r(ϕ) sin ϕ r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ. α
35 PRYD Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej o o równaniu biegunowym r(ϕ) = R to 4πR 2. R y R r(ϕ) = R R x β = 2π r(ϕ) sin ϕ r 2 (ϕ) + [r (ϕ)] 2 dϕ α π = 2π R sin ϕ π R dϕ = 2πR 2 sin ϕdϕ = 2πR 2[ ] π cos ϕ = 2πR2 ( cos π + cos ) = 4πR 2
36 D BL PÓL PRH BRYH Pole powierzchni powstałej przez obrót wokół osi x łuku kawałkami gładkiego o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), t 1 t t 2 wynosi t2 = 2π y(t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt. t 1
37 PRYD Pole powierzchni powstałej powstałej przez obrót wokół osi biegunowej krzywej o o równaniu parametrycznym x(t) = R cos t, y(t) = R sin t, t π to 4πR 2. y dla t = π dla t = x t2 = 2π π = 2π π = 2π R sin t t 1 y(t) [x (t)] 2 + [y (t)] 2 dt R sin t [ R sin t] 2 + [R cos t] 2 dt π R 2 (sin 2 t + cos 2 t)dt = 2πR 2 sin tdt = 2πR 2[ ] π cos t = 2πR2 [ cos π + cos ] = 4πR 2
38 D LURUJ Dwa ciała rozpoczynaja (w chwili t = ) ruch prostoliniowy z jednego punktu z prȩdkościami v 1 (t) = 2t 2 m/s, v 2 (t) = (5t 2 + 1) m/s. Jaka bȩdzie odległość miȩdzy nimi po sześciu sekundach?
39 D LURUJ Dwa ciała rozpoczynaja (w chwili t = ) ruch prostoliniowy z jednego punktu z prȩdkościami v 1 (t) = 2t 2 m/s, v 2 (t) = (5t 2 + 1) m/s. Jaka bȩdzie odległość miȩdzy nimi po sześciu sekundach? Podstawiamy do wzoru s = t1 t v(t)dt, otrzymuja c s 2 s 1 = v 2 (t)dt v 1 (t)dt = (5t t 2 )dt = 222, zatem szukana odległość to 222 metry.
40 bliczyć moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x y 2 3 = 1 dla x, y, jeśli gȩstość liniowa ϱ = 3 8.
41 bliczyć moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x y 2 3 = 1 dla x, y, jeśli gȩstość liniowa ϱ = 3 8. y 1 x
42 bliczyć moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x y 2 3 = 1 dla x, y, jeśli gȩstość liniowa ϱ = 3 8. y 1 x
43 Podstawiamy do wzoru: Moment bezwładności wzglȩdem osi x łuku asteroidy x y 2 3 = 1, dla x, y, gdy gȩstość liniowa ϱ = 3 8. x = b a ϱf 2 (x) 1 + [f (x)] 2 dx wartości f (x) = y = (1 x 2 3 ) 3 2, f (x) = 3 2 (1 x 2 3 ) 1 2 ( 2 3 x 1 3 ) = (1 x 2 3 ) 1 2 x 1 3 otrzymuja c x = 1 3[ 2 (1 x ) 2 1 ] 2 1 x dx = 1. x 2 3
44 naleźć współrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3).
45 naleźć współrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3). Podstawiamy do wzoru na współrzȩdne środka masy ( M y M, ) Mx M trapezu krzywoliniowego D = {(x, y); a x b, y f (x)} (zakładamy, że f (x) ), gdzie masa M = ϱ b a f (x)dx, moment statyczny wzglȩdem osi x to M x = 1 2 ϱ b a f 2 (x)dx, moment statyczny wzglȩdem osi y to M y = ϱ b a xf (x)dx. atem, M = ϱ 6 ( 1 2 x + 3) dx = 9ϱ, M y = ρ 6 x ( 1 2 x + 3) dx = 18ϱ, M x = ϱ ( 1 2 x + 3) 2 dx = 9ϱ, (2, 1).
46 spółrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3). x y 6 3 y = 1 2 x + 3 D = {(x, y); x 6, y 1 2 x + 3}
47 spółrzȩdne środka ciȩżkości jednorodnego trójka ta o wierzchołkach (, ), (6, ), (, 3). 3 1 y 2 6 x przypadku jednorodnego trójkąta położenie środka ciężkości jest oczywiste: (2, 1).
48 biornik w kształcie walca o promieniu podstawy r = 2 m i wysokości H = 3 m jest wypełniony do wysokości h = 1 m ciecza o masie właściwej γ = 7 kg/m 3. bliczyć pracȩ potrzebna do wypompowania (góra ) tej cieczy.
49 biornik w kształcie walca o promieniu podstawy r = 2 m i wysokości H = 3 m jest wypełniony do wysokości h = 1 m ciecza o masie właściwej γ = 7 kg/m 3. bliczyć pracȩ potrzebna do wypompowania (góra ) tej cieczy. Podstawiamy do wzoru = πr 2 γg H H h xdx, gdzie g = 9, , 81. [ atem = π 2 7 9, x 2] [J]. 2
50 aga ludzi w pewnej populacji ma rozkład (65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży miȩdzy 65 kg a 7 kg.
51 aga ludzi w pewnej populacji ma rozkład (65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży miȩdzy 65 kg a 7 kg. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny (m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość miȩdzy a i b wynosi P(a X b) = b a f (x)dx, gdzie f (x) = 1 σ (x m) 2 2π e 2σ 2.
52 aga ludzi w pewnej populacji ma rozkład (65, 5). Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba waży miȩdzy 65 kg a 7 kg. Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny (m, σ), to prawdopodobieństwo tego, że przyjmie wartość miȩdzy a i b wynosi P(a X b) = b a f (x)dx, gdzie f (x) = 1 σ (x m) 2 2π e 2σ 2. atem, P(65 X 7) = (x 65) 2 2π e 2 25 dx, wykle zamiast liczyć przybliżona wartość tej całki standaryzujemy rozkład do (, 1) i korzystamy z tablic.
Analiza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Zastosowania Całek
Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdańsk 9 maja 217
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej
Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoZastosowania geometryczne całek
Matematyka Zastosowania geometryczne całek Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-3 Elblag Matematyka p. 1 Zastosowania geometryczne całek
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Analizy Matematycznej II 18/19. Konwencja: pierwsze litery alfabetu są parametrami, do tego zazwyczaj dodatnimi
Literatura pomocnicza Zestaw zadań z Analizy Matematycznej II 8/9 G.M. Fichtenholz - Rachunek różniczkowy i całkowy. B. Demidowicz - Zbiór zadań z analizy matematycznej. T 2,3 Krysicki, Włodarski - Analiza
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoARKUSZ II
www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 6, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 6, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 6 Badanie
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 6 Ciągłe zmienne losowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zmienna losowa ciągła jest
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Do kg roztworu soli
Bardziej szczegółowo1 x + 1 dxdy, gdzie obszar D jest ograniczo-
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Zad.1 Całkę podwójną przez: a) y =, y =, = 1; b) y =, y =, y = 1; c) y =, y = 1, y = 5; d) y = ln, y = + 1, y = 1; e) y = ln, = e, y = 1;
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Bardziej szczegółowoWykłady 11 i 12: Całka oznaczona
Wykłady 11 i 12: Całka oznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy; rok akademicki 2016/2017 Pole trójkata parabolicznego Problem. Chcemy obliczyć
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 11 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej dodatniej
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 5 KWIETNIA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Która z liczb jest
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI ZESTW PRZYGOTOWNY PRZEZ SERWIS WWW.ZDNI.INFO POZIOM PODSTWOWY 24 MRC 2018 CZS PRCY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZDNIE 1 (1 PKT) Niech a = 2, b = 1 i c = 3. Wartość wyrażenia
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 147380 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) W trójkacie prostokatnym
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 28 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 3 3 10 3 2
Bardziej szczegółowov = v i e i v 1 ] T v = = v 1 v n v n [ ] U [x y z] T (X,Y,Z)
v U = e i,..., e n ) v = n v i e i i= e i i U = {X i } i=,n v T v = = v v n v n U x y z T X,Y,Z) v v v = 2 T A, ) b = 3 4 T B, ) c = + b b d = b c c d d 2 + 3b e b c = 5 3 T b d = 5 T c c = 34 d = 26 d
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład III: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoTYCZENIE OSI TRASY W 2 R 2 SŁ KŁ W 1 W 3
TYCZENIE TRAS W procesie projektowania i realizacji inwestycji liniowych (autostrad, linii kolejowych, kanałów itp.) materiałem źródłowym jest mapa sytuacyjno-wysokościowa w skalach 1:5 000; 1:10 000 lub
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 3 Specjalne metody elektrostatyki 3 3.1 Równanie Laplace
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 5 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Cena towaru bez podatku
Bardziej szczegółowoBLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoCOMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY. Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów.
COMENIUS PROJEKT ROZWOJU SZKOŁY Sezamie, otwórz się! - rozwijanie zdolności uczenia i myślenia uczniów. GIMNAZJUM 20 GDAŃSK POLSKA Maj 2007 SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI Z WYKORZYSTANIEM METODY STOLIKÓW
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoLista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }
Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone
Bardziej szczegółowoPRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI
Zadania zamknięte (0- pkt) Zadanie Jeżeli a = log 6 to a jest równe: 4 A. B. C. - Zadanie Warunek x ; 8 jest rozwiązaniem nierówności: A. x + 5 > B. x 5 C. x 5 x + 5 Zadanie Wskaż warunek, który opisuje
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY II R
EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 MARCA 2019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena towaru bez podatku
Bardziej szczegółowoRok akademicki 2005/2006
GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2005/2006 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni
Bardziej szczegółowoRuch jednostajnie zmienny prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na
Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na www.swiatmatematyki.pl 1. Wypiszmy początkowe potęgi liczby Zestaw podstawowy
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne
Zadania optymalizacyjne Zadania optymalizacyjne, to zadania, w których należy obliczyć, jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna wielkość osiągała największą lub najmniejszą wartość Żeby żądane warunki
Bardziej szczegółowoOpracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska
Opracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska Redaktor serii: Marek Jannasz Ilustracje: Magdalena Wójcik Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio Projekt makiety
Bardziej szczegółowo