Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
|
|
- Renata Kaźmierczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x) = sin(sin(sin(x))),. f(x) = ex, f(x) = e x. Zadanie Dla jakiego zestawu parametrów a, b, c funkcja kwadratowa f(x) = ax + bx + c jest wypukła. Kiedy jest ona wklęsła? Zadanie 3 Stosując test drugiej pochodnej wyznacz lokalne ekstrema następujących funkcji oraz wyznacz na jakich przedziałach są one wypukłe oraz wklęsłe:. f (x) = x + 4x +,. f (x) = xe x, f 3 (x) = sin(x), 4. f 4 (x) = x 3, 5. f 5 (x) = x 3 + x 50. Zadanie 4 Zastosuj regułę de Hospitala do wyznaczenia następujących granic:. lim x 0 sin(x) x,. lim x 0 x ln(x), lim n e x x 5, 4. lim x 0 x x, 5. lim x x x. Zadanie 5 (Róg Gabriela) Niech f(x) = x oraz G = {(x, y, z) R3 : x y + z f(x)}. Oblicz objętość i powierzchnię bryły G. Wskazówka: Niech G a = {(x, y, z) R 3 : x a y + z f(x)}. Oblicz objętość V a bryły G a i następnie oblicz granicę lim a V a. Następnie znajdź rozsądne oszacowanie dolne na powierzchnie boczną S a bryły G a : np. zauważ, że + x.. 4 Zadanie 6 Niech f(x) = x 3 + x + 3x +.. Zastosuj wzór Taylora do rozwinięcia funkcji f(x) w punkcie a = 0.. Zastosuj wzór Taylora do rozwinięcia funkcji f(x) w punkcie a =. Zadanie 7 Wyznacz pierwsze 0 wyrazów rozwinięcia funkcji f(x) = sin(x) w szereg Maclaurin a. Narysuj wykresy kilku kolejnych przybliżeń funkcji sin(x) dla x [0, π]. Zadanie 8 Zbadaj przebieg zmienności funkcji zadanej wzorem f(x) = (x ) 3 (x + ) z uwzględnieniem przedziałów wypukłości, wklęsłości i punktów przegięcia.
2 Zadanie 9 Pokaż, że jeśli funkcje f i g są wypukłe to również funkcja f + g jest wypukła. Zadanie 0 Zastosuj nierówność Jensena do pokazania, że jeśli α, β, γ są kątami wewnętrzymi pewnego trójkąta, to sin(α) + sin(β) + sin(γ) 3 3 Wskazówka: Skorzystaj z tego, że funkcja f(x) = sin(x) jest wklęsła na odcinku [0, π]. Szeregi Zadanie Pokaż, że szereg n= n n jest rozbieżny. Zadanie Pokaż, że jeśli szeregi n=0 a n i n=0 b n są zbieżne oraz a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, to szereg n=0 (a a n + b b n ) jest zbieżny oraz (a a n + b b n ) = a a n + b b n. n=0 n=0 n=0 Zadanie 3 Oblicz sumy:. n=0 qn, dla q <,. n= ( 3 + n 3 ), n ) n, 5 ( n= k= k Zadanie 4 Oblicz następujące sumy.. n n n(n+), n(n+3). Wskazówka: Znajdź liczby A i B takie, że n(n+) = A n + Zadanie 5 Zbadaj zbieżność następujących szeregów:. n n,. n n, 3 n n. B n+. Zadanie 6 Zastosuj kryterium zbieżności d Alamberta do zbadania zbieżności następujących szeregów:. n n + 3 n +, (n!). n n, n (n!) (n)!. Zadanie 7 Pokaż, że. sin(x) = x x3 3! + x5 5! +... = n=0 ( ) n (n+)! xn+,. cos(x) = x! + x4 4! +... = ( ) n n=0 (n)! xn, ln( + x) = x x + x = n= ( )n+ n xn dla x <. 4. ln x = x + x + x = n= n xn dla x <. Zadanie 8 Zbadaj zbieżność następujących szeregów: k. +. k k (k+) k k + 3 k +k k ( )k k k+
3 4. 5. k k! k k k ( k k+ )k Zadanie 9 Podaj możliwie prosty dowód wzoru + q + q q n qn+ q, prawdziwego dla wszystkich q. * Zadanie 0 Załóżmy, że a 0 a a a oraz lim n a n = 0. Niech s n = n k=0 ( )k a k.. Pokaż, że s 0 s s 4... s n..... Pokaż, że s s 3 s 5... s n+.... Zauważ, że s + s n. 4. Pokaż, że dla dowolnych n i m mamy s n+ s m. 5. Pokaż, że lim n s n+ = lim n s n 6. Wywnioskuj z tego, że szereg n ( )n a n jest zbieżny. 3 Przestrzeń euklidesowa Niech d(x, y) oznacza odległość euklidesową w przestrzeni R n. Udowodnij Zadanie Narysuj następujące podzbiory płaszczyzny:. A = {P R : d(p, (, )) < }. A = {P R : < d(p, (, )) < } A = {P R : d(p, (, ) = d(p, (, 0)} Zadanie Niech A = {(x, y) R : x + y < }. Narysuj zbiór A oraz wyznacz liczbę sup{d(p, Q) : P, Q A}). Zadanie 3 Niech x, y = n k= x ky k oznacza iloczyn skalarny w przestrzeni R n. Niech x = x, x. Pokaż, że d(x, y) = x y. * Zadanie 4 Pokaż następujące właściwości odległość euklidesowej:. (d(x, y) = 0) (x = y). d(x, y) = d(y, x) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Zadanie 5 Wpisz w pasku wyszukiwarki Google wzory. x +y,. x -y, x*y, 4. sin(x+y), 5. sin(x-y ), 6. /(x +y ) 7. /(x -y ) (-sqrt(-x -(y-abs(x)) ))*cos(30*((-x -(y-abs(x)) ))), x is from - to, y is from - to.5, z is from to 6 Postaraj się zrozumieć te wykresy (poza ostatnim). Uwaga: Musisz mieć stosunkowo nową kartę graficzną aby móc wygenerować te wykresy. Zadanie 6 Wyznacz wnętrza, domknięcia, wnętrza domknięć i domknięcia wnętrz następujących podzbiorów prostej rzeczywistej:. A = [0, ] \ Q. 3
4 . B = N C = { n+ : n N} 4. D = [0, ] (, 3) ([4, 5] Q) 5. E =, F = R. Zadanie 7 Kulą otwartą o środku w punkcie x R n i promieniu r > 0 nazywam zbiór K(x, r) = {y R n : d(x, y) < r}.. Pokaż, że K(x, r) jest zbiorem otwartym.. Wyznacz cl(k(x, r)). Niech a R n. Rozważamy zbiór K(x, r) + a = {y + a : y R n }. Pokaż, że K(x, r) + a = K(x + a, r). Zadanie 8 Pokaż, że suma i przekrój dwóch podzbiorów otwartych przestrzeni R n jest zbiorem otwartym. Pokaż, że suma i przekrój dwóch podzbiorów domkniętych przestrzeni R n jest zbiorem domkniętym. Zadanie 9 Załóżmy, że A, B R są zbiorami otwartymi. Pokaż, że A B jest podzbiorem otwartym przestrzeni R. Pokaż, że jeśli A, B R są zbiorami domkniętymi, to A B jest podzbiorem domkniętym przestrzeni R. Samodzielnie uogólnij to zadanie na podzbiory przestrzeni R n i R m. Zadanie 30 Niech F : R n R będzie funkcją ciągłą. Pokaż, że zbiór {x R n : F (x) = 0} jest zbiorem domkniętym. Zadanie 3 Pokaż, że zbiór {(x, x ) : x R \ {0}} jest zbiorem domkniętym przestrzeni R. Wskazówka: Skorzystaj z poprzedniego zadania. Zadanie 3 Niech F : R n R m będzie funkcją ciągłą. Pokaż, że {(x, F (x)) : x R n } jest domkniętym podzbiorem przestrzeni R n R m. Zadanie 33 Niech f(t) = (v x t + x, g t + v y t + y) dla pewnych stałych x, y, v x, v y, g. Oblicz f (t) oraz f (t). Podaj interpretacją fizyczną tego zadania. Zadanie 34 Załóżmy, że f : R R n jest funkcją różniczkowalną, taką, że ( t)( f(t) = ) (uwaga: tu był błąd!!!). Pokaż, że ( t R)(f (t) f(t)). Podaj interpretację fizyczną tego faktu. Wskazówka: Zapisz funkcję f w postaci f(t) = (f (t),..., f n (t)) i następnie zauważ, że (f (t)) (f n (t)) = dla każdego t. 4 Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych Zadanie 35 Załóżmy, f : R n R m jest ciągła w punkcie a R n oraz, że funkcja g : R m R k jest ciągła w punkcie f(a). Pokaż, że funkcja g f : R m R k jest ciągła w punkcie a. Zadanie 36 Niech f(x, y) = { xy x +y : x + y > 0 0 : (x, y) = (0, 0) Pokaż, że dla każdego a [, ] (UWAGA: tu był błąd; było a [, ]) istnieje taki ciąg punktów P n = (x n, y n ) zbieżny do punktu (0, 0) taki, że lim n f(x n, y n ) = a. Zadanie 37 Niech f(x, y) = { x y x 4 +y : x + y > 0 0 : (x, y) = (0, 0). Pokaż, że dla dowolnego wektora (a, b) (0, 0) mamy lim t 0 f(ta, tb) = 0. Znajdź taki ciąg punktów P n = (x n, y n ) zbieżny do punktu (0, 0), że lim n f(x n, y n ) =. 4
5 Zadanie 38 Niech f(x, y) = { sin(xy) x : x 0 0 : x. Pokaż, że f jest ciągła w punkcie (0, 0). Pokaż, że f jest ciągła w każdym punkcie płaszczyzny Zadanie 39 Wyznacz pochodne cząstkowe następujących funkcji. f(x, y) = x (x + y) 3. f(x, y) = sin(x + y ) f(x, y) = xy cos(x y) 4. f(x, y, z) = xy z 3 + xe y+z 5. f(x, y, z) = x +y +z 6. f(x, y, z) = xy + yz + zx 7. f(x, y, z) = y(y z) x określonej na zbiorze otwartym U = {(x, y, z) : y z > 0} 8. f(x, y, z) = ln(x + x + y + z ) Zadanie 40 Wyznacz gradienty f następujących funkcji. f(x, x,..., x n ) = n k= a kx k. f(x, x,..., x n ) = n k= a k(x k ) f(x, y) = x y 4. f(x, y, z) = xy z 3 5. f(x, y, z) = xyz 6. f(x, y, z) = + x + 3xy + x z 7. f(x, y, z) = (xy) z Zadanie 4 Wyznacz pochodne kierunkowe następujących funkcji w zadanych punktach P i kierunkach a:. f(x, y, z) = x + y + z 3, P = (,, ); a = [,, ]. f(x, y, z) = xyz, P = (,, ), a = [,, ] f(x, y, z) = x cos(yz), P = (0, 0, 0), a = [,, ] Zadanie 4 Wyznacz macierze Jacobiego następujących funkcji: [ ] x + y. f(x, y) = x + y xy. f(x, y) = sin(x + y) e x y [ ] xyz f(x, y, z) = sin(x + yz) Zadanie 43 Wyznacz pochodne wszystkie cząstkowe drugiego stopnia wszystkich funkcji z Zadania 39 oraz wyznacz ich Hesjany. Zadanie 44 Jak wygląda Jakobian funkcji f : R R w punkcie x? Jak się mnoży macierze o wymiarach? Porównaj wzór (g f) (x) = g (f(x)) f (x) dla funkcji rzeczywistych jednej zmiennej ze wzorem J g f ( x) = J g (f( x)) J f (x). Zadanie 45 Wyznacz macierz Jacobiego funkcji f(r, t) = (r cos(t), r sin(t)) oraz f(r, t, h) = (r cos(t), r sin(t), h). Zadanie 46 Zbadaj ekstrema podanych funkcji:. f(x, y) = x 4 x + 4xy + y 4 y 5
6 . f(x, y) = xy + x + y f(x, y) = x y ( x y + 5) 4. f(x, y) = xy ( x y + 4) 5. f(x, y) = cos(x y) + sin(x) + cos(y) 6. f(x, y) = (x ) y Zadanie 47 Niech f(x, y) = (x y, x + y) oraz g(x, y) = (e x, x y). Wyznacz złożenie g f. Oblicz macierze Jacobiego J f, J g oraz J g f Wyznacz J g (f(x, y)) 4. Oblicz J g (f(x, y)) J f (x, y). Zadanie 48 Znajdź wymiary otwartego zbiornika prostopadłościennego o objętości 4 m 3 o najmniejsze powierzchni bocznej. Zadanie 49 Niech g(x, y, z) = x y +z, x(t) = sin(t), y(t) = cos(t) i z(t) = t. Oblicz d dtf(x(t), y(t), z(t)). Zadanie 50 Niech g(x, y, z, u) = e x y z, x(t) = t, y(t) = + t, z(t) = t, u(t) = ln(t). Oblicz f(x(t), y(t), z(t), y(t)). d dt Zadanie 5 Wyznacz równanie stycznej do hiperboli zadanej równaniem x a (leżącym na tej hiperboli). y b = w punkcie (x 0, y 0 ) Zadanie 5 Wyznacz ekstrema warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 dla następujących funkcji. f(x, y) = x + y, g(x, y) = xy. f(x, y) = x 3 + y 3, g(x, y) = x + y f(x, y) = x + y, g(x, y) = e x+y xy 4. f(x, y) = x a y b, g(x, y) = x + y (a, b są ustalonymi liczbami dodatnimi). 5 Całki wielokrotne Zadanie 53 Oblicz następujące całki podwójne: 4. dx 4 xydy a. 0 dx b xy(x y)dy 0 x= y=3 (x + xy)dxdy x= y= 4. P (x y + xy 3 )dxdy, gdzie P = [, ] [, 4] 5. x sin(xy)dxdy. gdzie P = [0, ] [π, π] P 0 0 x y dxdy A e x y dxdy, gdzie A = {(x, y) : 0 x x y } Zadanie 54 Oblicz całkę sin(x) cos(y)dxdy, gdzie obszarem całkowania jest trójkąt o wierzchołkach P = P (0, 0), Q = (0, π/) i R = (π/, 0). Zadanie 55 Oblicz następujące całki po obszarach ograniczonych wskazanymi krzywymi:. D xy dxdy, D: y = x, y = x. A e x y dxdy, D: x = 0, y = x, y = B ex dxdy, D: x = 0, x = ln( ), y = 0 y = x Zadanie 56 Niech A = {(x, y) R : 0 x sin(y) 0 y π}. 6
7 . Oblicz powierzchnię zbioru A. Oblicz A xdxdy Oblicz A ydxdy 4. Oblicz A xydxdy Zadanie 57 Prostopadłościan o podstawie P = [0, a] [0, b] położonej w płaszczyźnie 0XY został ścięty od góry powierzchnią z = x + y. Oblicz objętość tak powstałej bryły. Zadanie 58 Pokaż, że x=b ( y=d ) ( x=a y=c f(x)g(y)dxdy = b a f(x)dx d ). c g(y)dy Zadanie 59 Oblicz π π 0 0 sin(x) sin(y)dxdy. Zadanie 60 Oblicz objętość przekroju dwóch walców V = {(x, y, z) : x + z r } oraz V = {(x, y, z) : y + z r }. Zadanie 6 Znajdź objętość bryły ograniczonej powierzchniami:. y = x, z = x + y, y =, z = 0. z = xy, x + y =, x + y = 4 z = x + y, xy =, xy =, y = x, y = x Zadanie 6 Oblicz następujące całki potrójne:. ( + x + xy)dxdydz x=0 y= z=. (xyz)dxdydz, gdzie P = [0, a] [0, b] [0, c] P (x + y + z)dxdydz, gdzie P = [0, a] [0, b] [0, c] P Zadanie 63 Wyznacz masę prostopadłościanu P = [0, a] [0, b] [0, c] wiedząc, że gęstość masy w punkcie (x, y, z) wyraża się wzorem ρ(x, y, z) = + x + y + z. Zadanie 64 Niech Σ n = {(x,..., x n ) R n : 0 x,... x n x x n }. Wyznacz Σ n x x... x n dx dx... dx n. Wskazówka: Rozwiąż to zadanie dla n=, n= i n=3 i spróbuj na postawie tych wyników postawić ogólna hipotezę. Zadanie 65 Oblicz wartość średnią funkcji f(x, y) = sin(x) cos(y) na obszarze [0, π] [0, π ]. 5. Zamiana zmiennych Zadanie 66 Niech Φ b (x, y) = (x + by, y).. Niech a, h > 0 oraz T = {(x, y) : 0 x a 0 y h h a x}. Naszkicuj obszar T. Jaka jest jego powierzchnia?. Wyznacz Jakobian funkcji Φ b. Pokaż, że dla dowolnej figury A R mamy pow(a) = pow(φ b [A]). 4. Wyznacz obraz Φ b [T ]. 5. Jakie jest pole figury Φ b [T ]? Zadanie 67 Niech [ ] [ cos(φ) sin(φ) x O φ (x, y) = sin(φ) cos(φ) y] (to jest obrót płaszczyzny względem środka układu współrzędnych o kąt φ. Pokaż, że dla dowolnej figury A mamy pow(a) = pow(o φ (A)). Zadanie 68 Pokaż, że jeśli T v jest przesunięciem przestrzeni R n o wektor v, to dla dowolnej n-wymiarowej bryły A mamy λ n (A) = λ n (T v (A)). 7
8 Zadanie 69 Pokaż, że objętość elipsoidy zadanej równaniem x a + y b + x c wyraża się wzorem 4 3 πabc. Wskazówka: Rozważ odwzorowanie liniowe R 3 w R 3 zadane wzorem Ψ(x, y, z) = (ax, by, cz). Zadanie 70 Niech T będzie niezdegenerowanym trójkątem na płaszczyźnie o wierzchołkach A = (a, a ), B = (b, b ) i C = (c, c ). Załóżmy, że wszystkie współrzędne a, a, b, b, c, c są liczbami całkowitymi. Pokaż, że pow(t ). Wskazówka: Zapisz powierzchnię trójkąta T za pomocą pewnego wyznacznika. Zadanie 7 Oblicz następujące całki po wskazanych obszarach:. K sin(x + y )dxdy, K = {(x, y) R : π x + y π},. D ( x y)dxdy, D = {(x, y) : 0 x 0 y x + y 5 }, +y ) K e (x dxdy, K = {(x, y) R : x + y }, 4. R x dxdy, R = {(x, y) R : 0 x, y 4 x + y 9}. Zadanie 7 Znajdź powierzchnię obszaru R ograniczonego przez krzywe r = +sin(3θ) and r = 4 cos(3θ). Zadanie 73 Oblicz następujące całki po wskazanych bryłach:. K (0 x y z )dzdydz, K = {(x, y, z) R 3 : x + y + z }. V dxdydz, V = {(x, y, z) R 3 : z x + y x + y + z } Zadanie 74 Niech V będzie bryłą która powstała z usunięcia z połowy kuli K = {(x, r, z) : x + y + z 4 z 0} kuli A = {(x, y, z) R 3 : x + y + (z ) } (czyli V = K \ A). Oblicz objętość V. Wskazówka: Pokaż najpierw, że równanie r = cos(θ) (we współrzędnych sferycznych) wyznacza brzeg kuli A: ze wzoru r = cos(θ) wywnioskuj, że r = z, czyli, że x + y + z = z. Zadanie 75 Niech L będzie stożkiem lodów ograniczonym z dołu przez powierzchnię z = (x + y ) oraz z góry przez powierzchnię x + y + z = 4. Wyznacz objętość bryły L. Zadanie 76 Zastosuj współrzędne cylindryczne do wyprowadzenia wzoru na objętość walca o promieniu podstawy r i wysokości h. Zadanie 77 Zastosuj współrzędne cylindryczne do wyprowadzenia wzoru na objętość stożka o promieniu podstawy r i wysokości h. Zadanie 78 Załóżmy, że σ > 0. Oblicz następujące całki:. e x σ dx σ π. σ π σ π xe x σ dx x e x σ dx Zadanie 79 Na wykładzie pokazaliśmy, że n-wymiarowa objętość n-wymiarowej kuli o promieniu R wyraża się wzorem a n R n, gdzie liczby a n spełniają następującą rekurencyjną zależność a n+ = π n+ a n. Stosując ten wzór wyznacz objętości n-wymiarowych kul o promieniu R dla wszystkich n {,,..., 0}. Zadanie 80 Niech F, G : R R n. Niech oznacza iloczyn skalarny. Pokaż, że d dt (F (t) G(t)) = ( d dt F (t)) G(t)) + F (t) ( d dt G(t)) Zadanie 8 Niech F, G : R R 3. Niech oznacza iloczyn wektorowy. Pokaż, że d dt (F (t) G(t)) = ( d dt F (t)) G(t)) + F (t) ( d dt G(t)) 8
9 6 Elementy Analizy Wektorowej Zadanie 8 Niech F (x, y) = (x + y, xy), φ(t) = (t, t) oraz η(t) = (t, t ) dla t [0, ].. Oblicz φ F dl.. Oblicz η F dl. Niech γ(t) = ( t, t) dla t [0, ]. Oblicz γ F dl. 4. Wyjaśnij otrzymane wyniki. Zadanie 83. Niech α : [a, b] [c, d], α(a) = c, α(b) = d. Niech β : [c, d] R n oraz niech F : R n R n będzie polem wektorowym. Niech γ = β α. Pokaż, że F dl = F dl. ( x y Zadanie 84 Niech F (x, y) =,. (x +y +). Pokaż, że F jest polem potencjalnym. Niech γ(t) = e t (cos(t), sin(t)) dla t [0, π]. Oblicz F dl. γ γ β (x +y +) ) Zadanie 85 Pokaż, że suma dwóch pól potencjalnych jest polem potencjalnym. Zadanie 86 Niech U(x, y) = arctan( y x ).. Wyznacz F = U.. Naszkicuj pole wektorowe F Oblicz F i wyjaśnij otrzymany wynik. Zadanie 87 Niech F : R 3 R 3 będzie polem potencjalnym. Pokaż, że F = 0. Zadanie 88 Pokaż, że następujące dwa warunki są równoważne:. Całka γ F dl nie zależy od drogi łączącej punkty γ(0) i γ() (zakładamy, że γ : [0, ] R n ). Dla dowolnej drogi zamkniętej (czyli takiej, że jej koniec pokrywa się z początkiem) mamy γ F dl = 0. Zadanie 89 Niech F (x, y, z) = (xy + z 3, x, 3xz ).. Pokaż, że F jest polem potencjalnym. Znajdź jego potencjał. c.d.n. Powodzenia, Jacek Cichoń 9
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Praca domowa
Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoJacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej
Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej MAP1156: Analiza Matematyczna II Wykład przeznaczony jest dla studentów I roku I stopnia Inżynierii Biomedycznej
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Zadanie 1. Oblicz: a) ( 3+i)( 1 3i) b) (3+i)2 (4i+1) i
Zadanie. Oblicz: a) ( 3+i)( 3i) +i b) (3+i)2 (4i+) i (2+i) 3 Liczby zespolone Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór: a) {z : z > 3} b) {z : z i } c) {z : 4 z + + i < 9} Zadanie 3. Wykaż, że suma
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Lista zadań 10
Analiza Matematyczna Lista zadań 10 Zadanie 1 pole figury ograniczonej krzywymi y 2 = 2x, x + y = 1. Zadanie 2 objȩtość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox powierzchni ograniczonej krzyw a o równaniu
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Przestrzenie liniowe Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Przestrzenie liniowe 0 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Liczby zespolone 8 6 Wielomiany 7 Całki nieoznaczone 8 Zastosowania
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoZestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści I Elementy logiki, zbiory, funkcje 3 Zadania................................ 3....................... 4 II Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowo