SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA
|
|
- Łucja Pietrzak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA Rozważmy ciag funkcji: 1, cos πx πx 2πx, sin, cos, sin 2πx,..., cos nπx, sin nπx,...}, gdzie jest pewną iczbą dodatnią. Zauważmy, że na przedziae <, >, da dowonych dwóch różnych wyrazów tego ciagu k m oraz k, m 1, 2,...} zachodzi: cos kπx sin mπx dx =, cos kπx cos mπx dx =, ponadto sin kπx sin mπx dx =, cos 2 kπx dx =, sin 2 kπx dx =. Ciąg funkcji spełniający powyższe warunki nazywamy ciagiem ortogonanym. Definicja Niech f(x) będzie funkcją całkowaną na przedziae<, >. Szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji f(x) nazywamy szereg postaci gdzie a 2 + n=1 ( a n cos nπx a = 1 + b n sin nπx ), f(x)dx, a n = 1 f(x) cos nπx dx, b n = 1 f(x) sin nπx dx, n = 1, 2,... 1
2 2 Jeśi f(x) jest funkcją parzystą to b n = oraz a n = 2 nπx f(x) cos dx. Jeśi f(x) jest funkcją nieparzystą to a n = oraz b n = 2 nπx f(x) sin dx. Naturanym wydaje się pytanie: da których funkcji szereg trygonometryczny Fouriera jest zbieżny do funkcji? Warunki wystarczające podane są w twierdzeniu Diricheta. Twierdzenie Diricheta Jeśi funkcja f(x) ograniczona na przedziae <, > jest: 1. przedziałami monotoniczna na (, ) 2. jest ciągła na (, ), z wyjątkiem co najwyżej skończonej iczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju; przy czym w każdym punkcie nieciągłości x spełniony jest warunek f(x ) = 1 ( f(x 2 ) + f(x + ) ), 3. to f( ) = f() = 1 2 f(x) = a 2 + n=1 ( f( + ) + f( ) ) ( a n cos nπx + b n sin nπx ), da każdego x <, >. Jeśi ponadto funkcja f(x) jest okresowa i jej okres wynosi 2 to ostatnia równość zachodzi da wszystkich x z dziedziny f(x). Przykład Wyznaczyć szereg trygonometryczny Fouriera funkcji a) f(x) = a, gdy x (, ] c gdy x / [, )., b) f(x) = x 2, x [, ], c) f(x) = sin 4 x, x [ π, π]. Przykład Wyznaczyć szereg trygonometryczny Fouriera funkcji a następnie obiczyć f(x) = x, n=1 x [ π, π], 1 (2n 1) 2.
3 3 Tabea współczynników Fouriera niektórych funkcji f(x) przedział a a n b n a, gdy < x c, gdy x < <, > a + c (a c)(1 ( 1) n ) nπ x <, > ( 1) n+1 2 nπ x <, 2 > 2 2 nπ x 2 <, > ( 1) n ( 2 nπ) 2 x 2 <, 2 > ( 2 ) nπ nπ n 3 π 3 x 3 <, > ( 1) n (12 2n 2 π 2 ) n 3 ( ) 3 π sin x <, π > 4 π 4 π(4n 2 1) cos x <, π > 4 π 4( 1) n+1 π(4n 2 1) sin cx, c / C <, >, c π ( 1) n+1 2nπ sin c n 2 π 2 c 2 2 cos cx, c / C <, >, c π 2 sin c c ( 1) n+1 2c sin c n 2 π 2 c 2 2 e cx <, > 2 sinh c c ( 1) n 2c sinh c n 2 π 2 +c 2 2 ( 1) n+1 2nπ sinh c n 2 π 2 +c 2 2
4 1. TRANSFORMATA FOURIERA Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do anaizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eeektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Diricheta. Funkcja f(x) spełnia warunki Diricheta gdy: 1. dziedzinę f(x) można rozłożyć na skończoną sumę przedziałów, w których f(x) jest monotoniczna i ciągła 2. w każdym punkcie nieciągłości x, granice jednostronne im x x f(x) i im x x + f(x) są skończone. Twierdzenie 1 (wzór całkowy Fouriera) Jeśi f(x) spełnia na każdym przedziae skończonym (a, b) warunki Diricheta i f(x) < to wzór gdzie f(x) = (a(ω) cos(ωx) + b(ω) sin ωx) dω (1) a(ω) = 1 f(t) cos ωtdt, b(ω) = 1 f(t) sin ωtdt, (2) π π zachodzi we wszystkich punktach, w których f(x) jest ciągła. W każdym punktcie nieciągłości x funkcji f(x) całka po prawej stronie wzoru jest równa 1 2 (f(x+ ) + f(x )). Jeśi f(x) jest funkcją parzystą to b(ω) = oraz a(ω) = 2 f(t) cos ωtdt, π Jeśi f(x) jest funkcją nieparzystą to a(ω) = oraz b(ω) = 2 f(t) sin ωtdt. π Wykorzystując wzory Euera, tożsamości trygonometryczne oraz to, że da funkcji h(x) = r(x) + ip(x) zmiennej rzeczywistej x mamy d h(x)dx = d r(x) + i d p(x), możemy równanie ( 1) zapisać w c c c wygodnej postaci tzw. zespoonego wzoru całkowego Fouriera f(x) = 1 ( ) e iωx f(t)e iωt dt dω (3) 2π W ostatnim wzorze,który przedstawia funkcję f(x) za pomocą iterowanej całki niewłaściwej, całka niewłaściwa zewnętrzna po zmiennej ω jest częścią głowną całki. Część głowna g(ω)dω to im T T g(ω)dω. T
5 5 Przykład 1 Napisać wzór całkowy Fouriera da funkcji f(x) = cos x, gdy x π 2 gdy x > π 2. Przykład 2 Przedstawić funkcję f(x) = e x, gdy x > za pomocą sinusowego wzoru całkowego Fouriera. Przykład 3 Napisać zespoony wzór całkowy Fouriera da funkcji c, gdy x < a c f(x) =, gdy x = a 2 gdy x > a. Wykorzystując ten wzór uzasadnić, że 1.2 Transformata Fouriera sin x x dx = π 2. Definicja 1.2 Niech funkcja f(x) spełnia założenia twierdzenia 1. Funkcję ˆf(ω) = f(t)e iωt dt, ω (, ) nazywamy transformatą Fouriera funkcji f(x). Przykład 4 Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji a) f(x) = 1, gdy x [, 1] gdy x / [, 1]. b) f(x) = e x, gdy x > gdy x <. c) f(x) = e c x, x R, c >. d) f(x) = e x2, x R
6 6 Zauważmy, że na podstawie wzoru (3) mamy parę przekształceń ˆf(ω) = e iωt f(t)dt, f(x) = 1 e iωx ˆf(ω)dω (4) 2π Te przekształcenia całkowe ustanawiają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między funkcjami f(x) i ˆf(ω). Datego też przyjmijmy oznaczenia ˆf(ω) = F[f(x)], f(x) = F 1 [ ˆf(ω)]. Funkcję f(x) nazywamy też transformatą odwrotną Fouriera funkcji ˆf(ω). Funkcję ˆf(ω) nazywamy widmem (charakterystyką widmową) funkcji f(x). Ponadto jeśi ˆf(ω) zapiszemy w postaci ˆf(ω) = ˆf(ω) e iθ(ω), θ(ω) [ π, π] to ˆf(ω) nazywamy widmem ampitudowym funkcji f(x), a θ(ω) nazywamy widmem fazowym funkcji f(x). Widmo ampitudowe jest funkcją parzystą zmiennej ω, Ponadto gdy mamy ˆf(ω) = π(a(ω) ib(ω)) to ˆf(ω) = π a 2 (ω) + b 2 ω). Widmo fazowe jest okresowe i gdy ˆf(ω) > to ω R.. cos(θ(ω)) = πa(ω) ˆf(ω) oraz sin(θ(ω)) = πb(ω) ˆf(ω). Widmo fazowe jest nieparzystą funkcją zmiennej ω. Da cos(θ(ω)) = 1 oraz sin(θ(ω)) = przyjmujemy θ(ω) = π sgn(ω). Przykład 5 Znaeźć i narysować widmo ampitudowe oraz widmo fazowe da funkcji opisanej w przykładzie 4b) Własności transformaty Fouriera Twierdzenie 2 Jeśi funkcje f 1 (x) oraz f 2 (x) spełniają założenia twierdzenia 1, c 1, c 2 są dowonymi iczbami to F[c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x)] = c 1 F[f 1 (x)] + c 2 F[f 2 (x)].
7 7 Twierdzenie 3 Jeśi funkcja f(x), spełnia założenia twierdzenia 1 oraz x R to F[f(x x )] = e iωx F[f(x)], F[f(ax)] = 1 a ˆf( ω ), a >. a Przykład 6 Wyznaczyć transformaty Fouriera podanych funkcji, wykorzystując twierdzenia o własnosciach transformat: cos x, gdy x π a) f(x) = 2 gdy x > π. 2 b) f(x) = e 2 x+4, x R. Twierdzenie 4 Jeśi funkcja x n f(x), n N spełnia założenia twierdzenia 1 oraz F[f(x)] = ˆf(ω) to d k dω k ˆf(ω) = ( i) k F[x k f(x)], k = 1, 2,..., n Twierdzenie 5 Jeśi funkcja f(x) i jej pochodne f (n) (x) k = 1, 2,..., n spełniają założenia twierdzenia 1, są funkcjami ciągłymi oraz im x f (k) (x) = im x f (k) (x) = da k = 1, 2,..., n 1 to F[f (n) (x)] = (iω) n F[f(x)]. Przykład 7 Wyznaczyć transformaty Fouriera podanych funkcji, wykorzystując twierdzenia o własnosciach transformat oraz tabeę transformat: x, gdy x < 2 a) f(x) = 1, gdy x = 2, gdy x > 2. b) f(x) = xe x, gdy x > gdy x <. c) f(x) = x n e x, gdy x >, gdy x <. d) f(x) = 2xe x2, x R
8 8 e) f(x) = 1 x 2, gdy x 2 < 1, gdy x 2 > 1. f) f (5) (x), gdy f(x) = xe x, x > g) f (3) (x), gdy f(x) = e 4x2 Tabea transformat Fouriera niektórych funkcji f(x) 1, gdy x < a gdy x > a. ˆ f(ω) 2 sin aω ω 1, gdy < x < 1, poza sinω + i (cos ω 1) ω ω 1 x, gdy x < 1, gdy x > 1 2 (1 cos ω) ω 2 e cx, x >, c > 1 iω+c e c x 2c ω 2 +c 2 e x2 ω πe 2 4 cos x, x < π 2 2 cos π 2 ω 1 ω 2 ) 1 1+x 2 πe ω δ(x) 1
9 Przykład 8 Wyznaczyć funkcję f(x), jeśi jej transformata Fouriera f(ω) ˆ ma postać a) ˆ f(ω) = ω 2 9 b) ˆ f(ω) = iω c) ˆ f(ω) = 4 sin 3ω, ω ω d) f(ω) ˆ = iωe ω Spot funkcji. Własności spotu. Definicja 1.4 Spotem funkcji f(x) oraz g(x) całkowanych bezwzgędnie na R, w przedziae (, ) nazywamy funkcję oznaczaną f g(x), okreśoną następująco f g(x) = f(t)g(x t)dt Przykład 9 Wyznaczyć, z definicji, spot funkcji f g(x): a)f(x) = sin x, gdy x >, gdy x <., g(x) = 1, gdy < x < π, da pozostałych. b)f(x) = 1, gdy < x < 1, gdy x <, x > 1., g(x) = 1, gdy 1 < x <, x < 1, x >. c)f(x) = e x, gdy x >, gdy x <., g(x) = e 2x, gdy x >, x <.
10 Da funkcji ciągłych f(x), g(x) spot f g(x) ma własności: a) f g(x) = g f(x), (przemienność), b) (f g) h(x) = f (g h)(x), (łączność) c) f (g 1 + g 2 )(x) = f g 1 (x) + f g 2 (x),(rozdzieność spotu wzgędem dodawania). O ważnych własnościach spotu, wykorzystywanych np. w wyznaczaniu transformaty Fouriera, mówi następujące twierdzenie. Twierdzenie 6 Jeśi funkcje f(x), g(x) spełniają założenia tw.fouriera to 1 F[f(x) g(x)] = F[f(x)] F[g(x)]. oraz F[f(x) g(x)] = F[f(x)] F[g(x)]. Czyi transformata Fouriera spotu funkcji jest ioczynem transformat oraz transformata Fouriera ioczynu funkcji jest spotem ich transformat. Przykład 1 Wykorzystując ostatnie twierdzenie wyznaczyć transformatę Fouriera f g(x), a następnie f g(x): a)f(x) = g(x) = e x2 b)f(x) = g(x) = x 2 W opisach niektórych modei fizycznych używa się pseudofunkcji zwanej detą Diraca δ(x) i okreśonej następująco: δ(x) =, gdy x gdy x =. oraz δ(x) = 1 Nie jest to funkcja. Warunki (niepoprawne), które okreśają detę Diraca wyrażają następujacą intuicję fizyczną: δ(x) reprezentuje nieskończenie wieki impus pojawiający się w chwii x = i trwający nieskończenie krótko, przy czym efekt działania impusu, mierzony całką,jest równy jeden. Teoria matematyczna, na gruncie której można wprowadzić detę Diraca nazywa się teorią dystrybucji. Traktuje δ(x) jako granicę pewnych ciągów funkcji (f n (x)).jednym takich z ciągów jest np. (f n (x)); gdzie
11 , gdy x > 1 n f n (x) = n n 2 x, gdy < x 1 n n + n 2 x gdy 1 x <. n Da dowonej funkcji f(x) zachodzi f(x)δ(x x )dx = f(x ). Mamy zatem,że transformata Fouriera dety Diraca wynosi zatem 1, bo ˆδ(ω) = e iωt δ(t)dt = 1 2. TRANSFORMATA LAPLACE A Transformata Lapace a jest koejnym przekształceniem całkowym wykorzystywanym w teorii obwodów eektrycznych. Definicja 2.1 Niech f(x) będzie okreśona da x. Transformatą Lapace a funkcji f(x) nazywamy funkcję f(s), s R okreśoną następującą f(s) = e st f(t)dt Stosuje się także zapis L[f(x)] = f(s). Zdefiniowane pojęcie można rozszerzyć da s C. 11 Przykład 11 Wyznaczyć, z definicji, transformaty Lapace a funkcji: 1, gdy x > a) funkcji Heaviside 1 a : f(x) =, gdy x = 2, gdy x <., b)f(x) = cos ax, gdy x >, x <. c)f(x) = e ax, gdy x >, x <. Zauważmy, że funkcje opisane w punkcie a), b) nie miały transformat Fouriera. Naturanym jest pytanie, da któtych funkcji istnieje transformata Lapace a. A oto warunki wystarczające. Da funkcji f(x) spełniającej podane warunki: 1 o. f(x) = da x <, 2 o. f(x) spełnia warunki Diricheta na każdym przedziae (a, b),a, b R, 3 o. M> d> x f(x) < Me dx, istnieje f(s), da każdego s > d.
12 12 Funkcję spełniająca warunki 1 o 3 o nazywa się oryginałem. Fakt Jeśi funkcje,będące oryginałami, mają takie same transformaty Lapace a to są równe. Transformata Lapace a oryginału wyznacza oryginał w punktach ciągłości jednoznacznie. Przyporządkowanie f(s) funkcji f(x) nazywa się transformatą odwrotną Lapace a. Twierdzenie 7 Jeśi funkcje f(x), g(x) mają transformaty Lapace a to: 1. L[af(x) + bg(x)] = al[f(x)] + bl[g(x)]. 2. L[f(x x )] = e sx f(s). 3. L[e ax f(x)] = f(s + a). Twierdzenie 8 Jeśi f(x) jest oryginałem to L(x n f(x)) = ( 1) n dn ds n f(s). Przykład 12 Wyznaczyć transformaty Lapace a podanych funkcji: a)f(x) = x 2, gdy x >, gdy x <., b)f(x) = x n, gdy x >, x <. sin(2x + π), gdy x > c)f(x) = 3, x <., d)f(x) = cos 2 x, x >, e)f(x) = sin x cos x, x >
13 Tabea transformat Lapace a niektórych funkcji,f(x) = da x < 13 f(x) f(s) 1 1 s x n n! s n+1 e ax 1 s a x n ax n! e (s a) n+1 sin ax cos ax a s 2 +a 2 s s 2 +a 2 e ax sin bx b (s a) 2 +b 2 e ax cos bx s a (s a) 2 +b 2 Przykład 13 Wyznaczyć funkcję ciągłą, której transformata Lapace a podana jest wzorem: a) f(s) 1 = s , b) f(s) = s s 2 + 4, c) f(s) 1 = s 2 s 2, d) f(s) = e 4s 1 s 4 Twierdzenie 9 Jeśi f(x) oraz jej pochodne do rzędu (n 1) włącznie są oryginałami oraz istnieje f (n) (x) i jest ciągła na (, ) to n L[f (n) (x)] = s n f(s) s n k f (k 1) ( + ). k=1
14 14 W szczegóności da n=1 mamy L[f (x)] = s f(s) f( + ), zaś da n=2 mamy L[f (x)] = s 2 f(s) sf( + ) f ( + ). Transformatę Lapace a i jej własności wykorzystujemy w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Mówimy wtedy o metodzie operatorowej rozwiazywania równań. Przykład 14 Wykorzystując transformatę Lapace a wyznaczyć funkcję y(x) spełniającą podane równania różniczkowe i warunki początkowe: a) y + y = e x, y() = 1 2 b) y + 6y = cos 3x, y() = 1, y () = c) y 3y + 2y = e 3x, y() = 1, y () =
TRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład 7 1 / 11 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoWykład 2: Szeregi Fouriera
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład : Szeregi Fouriera Definicja. Niech f(t) będzie funkcją określoną na R, okresową
Bardziej szczegółowoLista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę
MATEMATYKA Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1),
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoKURS SZEREGI. Lekcja 10 Szeregi Fouriera ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS SZEREGI Lekcja 1 Szeregi Fouriera ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Zaznacz poprawną odpowiedź: a) Szereg Fouriera
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Metoda operatorowa Transformata Laplace a
Matematyka 2 Metoda operatorowa Transformata Laplace a Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999 D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz;
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoWykład 2. Transformata Fouriera
Wykład 2. Transformata Fouriera Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)
Temat 3 Metoda Fouriera da równań hiperboicznych 3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe da struny ograniczonej Rozważać będziemy następujące zagadnienie. Znaeźć funkcję u (x, t) spełniającą równanie wraz
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja
Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)
Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoFunkcja tworząca Funkcja charakterystyczna. Definicja i własności Funkcja tworząca momenty
momenty Oprócz omówionych już do tej pory charakterystyk rozkładów bardzo wygodnym i skutecznym narzędziem badanie zmiennej losowej są tzw. transformaty jej rozkładu: funkcje tworzące i funkcje charakterystyczne.
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo