Lista 0 wstęp do matematyki

Transkrypt

1 dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p] q..2. Uzasadnij, że funktory alternatywy i koniunkcji mają własność łączności oraz przemienności. Czy tak jest w przypadku funktora implikacji?.3. Przy pomocy kwantyfikatorów i form zdaniowych zapisz zdania: Nieprawda, że każda liczba naturalna jest liczbą parzystą. Dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba całkowita od niej mniejsza. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną..4. Podaj różne definicje zbiorów: {, } A= zbiór liczb naturalnych nieparzystych [,]..5. Sprawdź, czy dla dwóch dowolnych zbiorówa,b prawdziwe są zdania: A B A B=B A B B c A c A B= A\B=A d)a B= A c B c =U..6. * Przy pomocy zasady indukcji matematycznej sprawdź, czy prawdziwe są zdania: n N n+)=n+) 2 n N n+ + n n+ > n N,n 4 2 n n 2 d) n N liczba 3 jest dzielnikiem liczby n +4 n 2.

2 Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 dr Karol Selwat Lista wstęp do teorii funkcji.. Określ dziedziny naturalne i wyznacz zbiory wartości funkcji: fx)= 2sinx gx)= 2x 2 +2x 4 hx)= 3 x Zbadaj, czy podane funkcje są ograniczone z dołu lub z góry: fx)= 2sinx gx)=2x 2 +2x 4 hx)=log 2 x..3. Korzystając z definicji uzasadnij, że podane funkcje są monotoniczne na podanych zbiorach: fx)=3x+5, R gx)= 7 x, R hx)= x 2,,)..4. Uzasadnij, że podane funkcje są różnowartościowe na podanych zbiorach: fx)= x, R\{} gx)= 4 x, [, ) hx)=5x 6, [, )..5. Dokonaj złożeńf g,g f,f f,g g: fx)=sinx, gx)= x fx)= x, gx)=x4 fx)=log 3 x, gx)=3 x..6. Znajdź funkcje odwrotne do podanych: fx)=x gx)=3 3 x+2 hx)= 3 x. 2

3 dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista 2 ciągi liczbowe i ich granice 2.. Zbadaj monotoniczność i ograniczoność ciągów: a n = 3 2n+ b n =4+ ) n c n = n 2 n d)d n =sin nπ Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów oblicz granice: lim n2 +4n 3n 3 +2n 2 4 lim n 2 4 n 2 3) lim n n Korzystając z twierdzenia o ciągach z granicąeoblicz granice: lim lim lim + ) 3n n+2 ) 2n+ n 2 ) 2n+ 2n. 2n Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granice: lim n 2 n +3 n +4 n lim n cos n lim )n n Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach oblicz granice: lim[ ) n 4 n ] lim[3+sinn] n lim 2n n+2) 2n +. 3

4 Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 dr Karol Selwat Lista 3 szeregi liczbowe 3.. Korzystając z kryterium ilorazowego d Alemberta zbadaj zbieżność szeregów: d) e) 4 n n 4 n! n 2n)! n 2n n )! n n+ n!2n)! 3n)! Korzystając z kryterium pierwiastkowego Cauchy ego zbadaj zbieżność szeregów: d) e) n=2 n 3 n n ) 5n n 7n+3 ) n 2 ) n n 2 π n n n 2 +4n+ 3n 3 +2n 2 +4 ) 2n+ 2n 2. 2n+2 ) n 4

5 dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista 4 granica i ciągłość funkcji 4.. Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnij, że: lim x 2 x 2 2x+7)=7 lim x x 2 x+3 = 2 3 lim x x+2 = d) lim x x2 +4x 3)= Korzystając z twierdzeń o granicach funkcji oblicz granice: lim x 3x 5 +3x 4 2x 2 7x 4x 5 +6x 3 9x+6 lim x x 2 x 3 e) lim x x cosx lim x 3x 5 +3x 4 2x 2 7x 4x 5 +6x 3 9x+6 d) lim x sinx e x ) 4.3. Znajdź asymptoty pionowe i ukośne funkcji: fx)= x3 x 2 fx)= lnx x fx)= e x Dobierz współczynniki a, b R tak, aby funkcja f była ciągła, jeśli x 2 +bx+ gdyx< fx)= a gdyx= x+2 gdyx> asinx gdyx< x fx)= b+ gdyx= x a gdyx> fx)= d)fx)= ax 2 +3x+) gdyx< 5 gdyx= b3 x +2) gdyx> a2 x +3) gdyx<2 7 gdyx=2 b2x 2 x+) gdyx> Uzasadnij, że równanie2x 3 +x 2 +3x 2= ma rozwiązanie w przedziale,). Czy jest ono jedyne? 5

6 Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 dr Karol Selwat Lista 5 pochodne funkcji 5.. Korzystając z definicji sprawdź, czy następujące funkcje mają pochodne w podanych punktach: fx)= x, x = fx)=x x, x = fx)=cosx, x R Korzystając z odpowiednich reguł różniczkowania oblicz pochodne następujących funkcji: fx)= e x + ) x 3 x fx)= 2x2 4x+5 x 3 +2 fx)= cosx lnx x 2 +4 d)fx)=lntgx 3 x e)fx)= 2x Napisz równanie stycznej do wykresu funkcjif w punkciex,fx )), jeśli: fx)=x 2 +3x+7, x = fx)=2x 2 3x 7, x =2 fx)=e x, x = Korzystając z reguł de L Hospitala oblicz granice wyrażeń nieoznaczonych: lim x 2 x 2 5x+6 x 2 7x+ lim x sin7x sin5x 3 x 2 x lim x x a x d) lim, gdziea> x x ln+x) e) lim x x f) lim x lnx g)* lim x x + x) x. 6

7 dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista 6 rachunek różniczkowy 6.. Oblicz pochodne trzeciego rzędu funkcji: fx)=x 7 +3x 4 fx)= x x+ fx)=3x )e x Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: fx)=x 3 +3x 2 24x 72 fx)= 2x x 2 fx)= x2 3x+4 x 3 d)fx)=xlnx Wyznacz ekstrema globalne podanych funkcji na wskazanych przedziałach: fx)=x 3 3x, [ 2,4] fx)=x 2 x, [,5] fx)=2sinx+sin2x, [, 3π 2 ] d)fx)= x2 3+x, [,4] Określ przedziały wypukłości i punkty przegięcia następujących funkcji: fx)=x 3 +5x 2 +3x+5 fx)= +x 2 fx)=xe x d)fx)=x 2lnx Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykresy paru funkcji, wybranych z zadań

8 Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 dr Karol Selwat Lista 7 całki nieoznaczone 7.. Korzystając z liniowości całki nieoznaczonej oblicz podane całki: 5x 3 +2x 2 4x+8)dx 3 x 3 + ) x 2 x x dx x 4 x 2 + dx Całkując przez części oblicz podane całki: xsinxdx x 2 e x dx e x cosxdx xlnxdx d) e) xarctgxdx Całkując przez podstawienie oblicz podane całki: x 2 +4) 5 xdx lnx x dx cos x dx x d) e) 2x ) x 2 x+dx x 2 cos 2 x 3 +) dx Oblicz podane całki z funkcji wymiernych: x+2) xx 2) dx dx x 2 7x+ dx x 2 x+ 3x d) x 2 +6x+ dx. 8

9 dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista 8 całki oznaczone 8.. Korzystając z tw. Newtona Leibniza oblicz podane całki oznaczone: 5 π 2 2 5x 3 +2x 2 4x+8)dx xsinxdx x 2 +4) 5 xdx Całkując przez części oblicz podane całki oznaczone: π 2 π π xsinxdx x 2 e x dx e x cosxdx Całkując przez podstawianie oblicz podane całki oznaczone: 2 e 4 x 2 +4) 5 xdx lnx x dx cos x x dx Wyznacz wartości średnie z podanych funkcji na danych przedziałach: fx)=e x, [ 2,2] gx)= x x, [,] hx)= x 2 +4, [,π 2 ] Oblicz pole obszarudograniczonego: wykresami funkcjiy=x 2 orazy=2x+3 wykresami funkcjiy=sinx,y=cos2x oraz osiąoy x ). 9