FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

Transkrypt

1 FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element y Y. Wtedy x nazywamy argumentem (zmienną) funkcji f, y wartością funkcji f dla argumentu x, zbiór X dziedziną funkcji (oznaczany także jako D lub D f ), a zbiór Y przeciwdziedziną funkcji. DEFINICJA. Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór par uporządkowanych (x; y) takich, że x X i y Y oraz y = f(x). DEFINICJA 3. Funkcja różnowartościowa nazywamy funkcję, która dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości. Zatem funkcja f : X Y jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy: x,x X x x f(x ) f(x ) Funkcję różnowartościową inaczej nazywamy injekcja. DEFINICJA 4. Funkcja na, inaczej suriekcja, to taka funkcja, która przyjmuje jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny. Funkcja f : X Y jest na wtedy i tylko wtedy, gdy: y Y x X f(x) = y DEFINICJA 5. Funkcja wzajemnie jednoznaczna (tzw. bijekcja) to funkcja, która jest jednocześnie funkcją różnowartościową i na. DEFINICJA 6. Funkcja odwrotna do funkcji f : X Y jest to funkcja f : Y X, taka że x X,y Y f (y) = x f(x) = y Dziedziną funkcji f jest przeciwdziedzina (zbiór wartości) funkcji f, zaś przeciwdziedziną funkcji f jest dziedzina funkcji f. Funkcja f : X Y posiada funkcję odwrotną f wtedy i tylko wtedy, gdy f jest bijekcją (czyli funkcją różnowartościową i "na"). Wykres funkcji f jest odbiciem wykresu funkcji f względem prostej y = x. DEFINICJA 7. Obrazem zbioru X X nazywamy zbiór Y Y taki, że Y = {y Y : y = f(x), x X } czyli obrazem jest zbiór wszystkich wartości funkcji y = f(x) przyjmowanych dla każdego argumentu z danego podzbioru jej dziedziny (tj. zbioru X X). DEFINICJA 8. Przeciwobrazem zbioru Y Y nazywamy zbiór X X taki, że X = {x X : f(x) Y } czyli przeciwobrazem zbioru Y jest zbiór wszystkich argumentów funkcji f(x), dla których wartości funkcji f należą do zbioru Y.

2 DEFINICJA 9. Złożeniem (superpozycja) funkcji f : X Y i g : Y Z, co zapisujemy jako g f, nazywamy funkcję h: X Z taką, że h(x) = (g f)(x) = g[f(x)]. W ogólności f g g f. Przykład: Niech f(x) = x oraz g(x) = x +. Wtedy: (f g)(x) = (x + ) = x + x +, (g f)(x) = (x ) + = x +.. Symetrie funkcji i jej monotoniczność DEFINICJA 0. Funkcja f : X Y gdzie X, Y R jest parzysta gdy x X f( x) = f(x). DEFINICJA. Funkcja f : X Y gdzie X, Y R jest nieparzysta gdy x X f( x) = f(x). DEFINICJA. Funkcja f : X Y gdzie X, Y R jest okresowa gdy T R x X Liczbę T nazywamy okresem funkcji. f(x+t ) = f(x). DEFINICJA 3. Funkcja y = f(x) jest monotoniczna gdy jest: rosnąca, malejąca, stała, nierosnąca lub niemalejąca. Funkcja jest: rosnąca, gdy x,x X x > x f(x ) > f(x ) malejąca, gdy x,x X x > x f(x ) < f(x ) stała, gdy x,x X x > x f(x ) = f(x ) nierosnąca, gdy x,x X x > x f(x ) f(x ) niemalejąca, gdy x,x X x > x f(x ) f(x ) Pojęcie monotoniczności można stosować w ujęciu do całej dziedziny lub tylko do jej podzbioru (np. wybranego przedziału). 3. Własności funkcji Przykład : Zbadaj własności funkcji y = x. Dziedzina funkcji: D f = R ; przeciwdziedzina funkcji: Y = 0; + ). Funkcja nie jest różnowartościowa, ale jest funkcją na. Nie posiada ona funkcji odwrotnej, ponieważ nie jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Obrazem np. zbioru ; jest zbiór ; 4. Przeciwobrazem zbioru ; 4 jest zbiór ; ;. Funkcja jest parzysta, bo ( x) = x. Funkcja nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie, ale jest malejąca w przedziale ( ; 0 oraz rosnąca w przedziale 0; + ).

3 Przykład : Zbadaj własności funkcji y = x określonej na zbiorze D f = (0; + ). Przeciwdziedzina funkcji: Y = (0; + ). Funkcja jest różnowartościowa i na, jest więc także funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). Posiada zatem funkcję odwrotną y = x. Obrazem np. zbioru ; jest zbiór ; 4. Przeciwobrazem zbioru ; 4 jest zbiór ;. Nie można określić parzystości funkcji, ponieważ x Df x / D f. Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie. Przykład 3: Zbadaj własności funkcji f : R R, y = x. Dziedzina funkcji: D f = R ; przeciwdziedzina funkcji: Y = R. Funkcja nie jest różnowartościowa i nie jest funkcją na, ponieważ y Y x Df f(x) y (np. dla y = nie istnieje takie x D f, dla którego f(x) = x = ). Funkcja nie jest więc wzajemnie jednoznaczna i nie posiada funkcji odwrotnej. Obrazem np. zbioru ; jest zbiór ; 4. Przeciwobrazem zbioru ; 4 jest zbiór ; ;. Funkcja jest parzysta, ponieważ f( x) = ( x) = x = f(x). Funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, ale jest malejąca w przedziale ( ; 0 oraz rosnąca w przedziale 0; + ). Przykład 4: Zbadaj własności funkcji y = x. Dziedzina funkcji: D f = R/{0} ; przeciwdziedzina funkcji: Y = R/{0}. Funkcja jest różnowartościowa i na, jest więc także funkcją wzajemnie jednoznaczną. Posiada zatem funkcję odwrotną x = y. Obrazem np. zbioru ; jest zbiór ;. Przeciwobrazem zbioru ; jest zbiór ;. Funkcja jest nieparzysta, ponieważ f( x) = x = x = f(x). Funkcja jest malejąca w całej dziedzinie. Przykład 5: Zbadaj własności funkcji y = ( ) x gdy x N. Dziedzina funkcji: D f = N ; przeciwdziedzina funkcji: Y = { ; }. Funkcja nie jest różnowartościowa, ale przy tak określonej przeciwdziedzinie jest funkcją na. Nie posiada funkcji odwrotnej, ponieważ nie jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Obrazem np. zbioru {; ; 3} jest zbiór { ; }. Przeciwobrazem np. zbioru {} jest zbiór {x: x = k, k N}. Nie można określić parzystości funkcji, ponieważ x Df x / D f. Funkcja nie jest monotoniczna. Funkcja jest okresowa, ponieważ f(x+) = ( ) x+ = ( ) x = f(x), czyli jej okres wynosi. 3

4 Przykład 6: Wykazać, że funkcja f : R R, f(x) = x x jest różnowartościowa. Z definicji funkcja jest różnowartościowa, gdy x,x X warunkowi, że x,x X więc sprawdzić wartość różnicy f(x ) f(x ): x x f(x ) f(x ), co odpowiada x x 0 f(x ) f(x ) 0 (w naszym przypadku X = R). Należy f(x ) f(x ) = x x ( x x ) = x x x + x = x x x + = x x x +x x + x = ( ) ( ) x +x x + x +x x + x +x = = ( x x ) ( + (x +x ) ) = x ( x x ) ( + (x +x ) ) Dla każdego x, x R prawdą jest, że x x = 0 oraz (x +x ) > 0. Dodatkowo jeśli x x to x x czyli x x 0. Wtedy x ( x x ) ( + (x +x ) ) 0, czyli oznacza to, że funkcja f(x) = x x jest różnowartościowa. Przykład 7: Wykazać, że funkcja f : R + R +, f(x) = x jest malejąca. Z definicji, funkcja jest malejąca gdy x,x R + x > x f(x ) < f(x ), co jest równoważne warunkowi: x,x R + f(x ) f(x ), przy założeniu x x > 0: x x > 0 f(x ) f(x ) < 0. Należy więc sprawdzić znak wyrażenia x x = x x x x x x = x x x x = (x x )(x + x ) x x = (x x )(x + x ) x x Dla każdego x, x R + zachodzi x + x > 0 oraz x x > 0. Wtedy, przy założeniu x x > 0 wyrażenie x x = (x x )(x +x ) x x < 0, czyli funkcja f(x) = x jest malejąca w R Przekształcenia wykresów funkcji Translacje y = f(x) y = f(x) + a Wykres funkcji y = f(x) przesuwa się o a w kierunku dodatnich wartości osi OY jeśli a > 0 oraz o a w kierunku ujemnych wartości osi OY jeśli a < 0. y = f(x) y = f(x + a) Wykres funkcji y = f(x) przesuwa się o a w kierunku ujemnych wartości osi OX jeśli a > 0 oraz o a w kierunku dodatnich wartości osi OX jeśli a < 0. Odbicia symetrie y = f(x) y = f(x) Odbicie lustrzane wykresu funkcji y = f(x) względem osi OX. y = f(x) y = f( x) Odbicie lustrzane wykresu funkcji y = f(x) względem osi OY. y = f(x) y = f( x) Odbicie symetryczne wykresu funkcji y = f(x) względem punktu (0, 0), czyli początku układu współrzędnych. 4

5 f(x) = e x f(x) 3 f(x) = e x f(x) = e (x ) x f(x) = e x f(x) = e x 3 f(x) = e x Rysunek : Wykres funkcji f(x) = e x oraz jej przekształcenia (translacje i odbicia). Skalowanie y = f(x) y = a f(x) Wykres funkcji y = f(x) zostaje przeskalowany a-krotnie wzdłuż osi OY (jeśli a > wykres funkcji zostaje "rozciągnięty" a razy wzdłuż OY, jeżeli a < wykres funkcji zostaje "ściśnięty" a razy wzdłuż OY ). y = f(x) y = f(a x) Wykres funkcji y = f(x) zostaje przeskalowany a-krotnie wzdłuż osi OX (jeśli a > wykres funkcji zostaje "ściśnięty" a razy wzdłuż OX, jeżeli a < wykres funkcji zostaje "rozciągnięty" a razy wzdłuż OX). f(x) f(x) = sin x f(x) = sin x π 3π π π 0 π π 3π π 5π x 3π f(x) = sin x Rysunek : Wykresy funkcji f(x) = sin(x), f(x) = sin(x) i f(x) = sin(x). 5

6 5. Zadania Zadanie Naszkicować wykresy funkcji a) x +, 3x, (x), b) x, x + gdy x 0, c) x, x+ 4 gdy x 0, d) sin x, sin x, 3 sin x. Zadanie Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x 3 + jest różnowartościowa. Zadanie 3 Sprawdzić, czy funkcja f(x) = x 3 jest rosnąca w przedziale (0; ). 6