Lista 1. (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę. (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę

Transkrypt

1 MATEMATYKA

2 Lista 1 1. Zbadać liniową niezależność wektorów. (a) (1, 2, 3), (3, 4, 5), V = R 3 ; (b) (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), V = R 3 ; (c) (1, 0, 0, 0), ( 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), ( 1, 1 1, 1), V = R 4 ; (d) (1, 0, 2, 2, 0), ( 1, 1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 5, 7), V = R 5 2. Zbadaj czy układy niezależne w poprzednim zadaniu tworzą bazdy danej przestrzeni. 3. Sprawdzić, że podane zbiory wraz z określonymi działaniami są przestrzeniami/podprzestrzeniami liniowymi. (a) R[x] zbiór wszystkich wielomianów rzeczywistych z naturalnymi działaniami; (b) R n [x] zbiór wszystkich wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej n N z naturalnymi działaniami. (c) C(R) zbiór wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych na R z naturalnymi działaniami; (d) C 1 (R) zbiór wszystkich funkcji różniczkowalnych na R z naturalnymi działaniami; (e) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę } l 1 = a = (a 1, a 2, a 3,...) R : szereg a k jest zbieżny ; (f) z działaniem dodawania ciągów i mnożeniem ciągu przez liczbę } l 2 = a = (a 1, a 2, a 3,...) R : szereg a k 2 jest zbieżny ; (g) z działaniem dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez liczbę 2π } L 1 = f funkcja: f(x) dx jest skończona ; 0 (h) z działaniem dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez liczbę 2π } L 2 = f funkcja: f(x) 2 dx jest skończona ; 0

3 4. Wyznacz wymiar podanych przestrzeni liniowych, (a) V = (x, y, z) R 3 : x + y + z = 0 } ; (b) V = (x, y, z, t) R 4 : x = 2y = 3z = 4t } ; (c) V = (t, x, y, z) R 4 : t + x = 0, 2t + y z = 0 } ; (d) V = (x, y, z) R 3 : x 4y + 2z = 0, 3x + y z = 0 } ; (e) Przestrzenie z zadania 3.

4 Lista 2 1. Korzystając ze wzoru de Moirve a i dwumianu Newtona znajdź szeregi Fouriera funkcji sin 4 (x), sin 5 (x), cos 3 (x), cos 4 (x), cos 5 (x). 2. Wyznacz szeregi Fouriera funkcji 1 dla x [ π, 0), (a) f(x) = 1 dla x [0, π). f(x) 4 π sin((2k 1)x) 2k 1 (b) f(x) = x 2, x [ π, π]. f(x) π ( 1) n cos(nx) n 2 (c) f(x) = x, x [ π, π]. f(x) π 2 4 π cos((2k 1)x) (2k 1) 2 (d) z wykładu: Znajdź rozwinięcia trygonometryczne funkcji (a) f(x) = sin(x), x [0, π] względem cosinusów. f(x) 2 π 4 π cos(2kx) (2k) 2 1

5 (b) f(x) = cos(x), x (0, π) względem sinusów. f(x) 8 π k sin(2kx) (2k) 2 1 (c) f(x) = x 2, x [0, π] względem sinusów. f(x) 2 π ( ) 2n (( 1) n 2 π2 2 n 2 ) sin(nx) n (link do sum częściowych) Kilka dodatkowych przykładów do policzenia 4. Naszkicuj poniższe funkcje, wyznacz ich szeregi Fouriera i (korzystając z kryterium) wskaż do czego są one zbieżne. 1 dla x [ π, π/2), (a) f(x) = 0 dla x [ π/2, π/2], 1 dla x (π/2, π). f(x) 2 π ( ( nπ cos 2 ) ) sin(nx) cos (nπ) n 1 dla x [ π, π/2), (b) f(x) = 1 dla x [ π/2, 0], 0 dla x (0, π]. f(x) 1 π lub f(x) 1 π ( 2 sin( π 2 x) cos(nx) + 2 ) cos(π 2n) 1 ( 1)n sin(nx) n n ( ( 1) k k 1/2 cos((2k 1)x) + 1 ( 1)k k ) sin(2kx) (link d (link do su

6 (c) f(x) = wsk. 0 dla x ( π, 0), cos(x) dla x [0, π]. cos(a) cos(b) = 1 (cos(a b) + cos(a + b)), 2 sin(a) cos(b) = 1 (sin(a + b) + sin(a b)). 2 f(x) 1 2 cos(x) + 4 π k sin(2kx) (2k) Funkcja f dana jest wzorem 2x dla x ( π, 2π/3], f(x) = 0 dla x ( 2π/3, π/3), x 2 dla x [π/3, π]. Do jakiej funkcji będzie zbiegał jej szereg Fouriera (nie wyznaczać tego szeregu)?

7 Lista 3 1. Obliczyć transformaty Fouriera poniższych funckji (a) f(x) = 1 [a,b] (x), a < b. W szczególności dla i) f(x) = 1 [ c,c] (x), c > 0. ii) f(x) = 1 [0,c] (x), c > 0. (b) f(x) = e ax 1 [0, ) (x), a > 0. (c) f(x) = e a x, a > 0. (d) f(x) = e x2 (wykład). (e) f(x) = cos(x)1 [ π,π] (x). (f) f(x) = cos(x)1 [ π/2,π/2] (x). 2. Korzystając z własności transformaty Fouriera wyznaczyć transformaty następujących funkcji (a) f(x) = e 2 x+4 (x) cos(x) dla x < π 2 (b) f(x) =, 0 dla x π 2. xe x x > 0, (c) f(x) = 0 x 0. x n e x x > 0, (d) f(x) = 0 x 0. 1 x dla x < 1, (e) f(x) = 0 dla x 1. x dla x < 2, (f) f(x) = 1 dla x = 2, 0 dla x > 2. (g) f(x) = 2xe x2. (h) f(x) = pochodna funkcji x 2 e x 1 [0, ) (x). (i) f(x)= trzecia pochodna funkcji e 4x2. 3. Znaleźć (korzystając z własności transformaty Fouriera i ze znanych transformat) funkcje f o podanych transformatach Fouriera

8 (a) F(f)(s) = 3 25+s 2, (b) F(f)(s) = 4 1+2is, (c) F(f)(s) = 4 sin(3s) s, (d) F(f)(s) = is e s Oblicz następujące sploty (a) (f f)(x) oraz (f f f)(x), gdzie f(x) = 1 ( 1,1) (x). (b) (f g)(x), gdzie sin(x) dla x > 0, f(x) = 0 dla x < 0, 1 dla 0 < x < π, g(x) = 0 dla pozostałych x. (c) (f g)(x), gdzie 1 dla 0 < x < 1, f(x) = 0 dla pozostałych x, 1 dla 1 < x < 0, g(x) = 0 dla pozostałych x. 5. Znaleźć funkcje f o podanych transformatach Fouriera (a) F(f)(s) = 1 (1+s 2 ) 3, (b) F(f)(s) = 1 cos2 (s) s Korzystając z transformaty Fouriera i jednoznaczności wyznaczyć poniższe sploty (a) (f f)(x), gdzie f(x) = e x2, (b) (g g)(x), gdzie g(x) = 1 1+9x Korzystając z odwrotnej transformaty Fouriera wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji (a) f(x) = 1 1+x 2, (b) f(x) = sin2 (x) x 2.

9 f(t) 1 [a,b] (t), a < b ˆf(ω) e iaω e ibω iω 1 [ c,c] (t), c > 0 2 sin(c ω) ω e at 1 [0, ) (t), a > 0 1 iω + a e a t, a > 0 2a ω 2 + a t 2? e t2 πe ω 2 /4 cos(t)1 [ π,π] (t) 2ω 1 ω 2 sin(πω) cos(t)1 [ π/2,π/2] (t) 2 1 ω 2 cos(πω/2) (2 t ) 1 [ 2,2] (t) 4 sin 2 (ω) ω 2 sin 2 (t) t 2?

10 f(t) ˆf(ω) liniowość αf(t) + βg(t) α ˆf(t) + βĝ(t) przesunięcie w czasie f(t + a) e iaω ˆf(ω) modulacja f(t)e iat ˆf(ω + a) skalowanie, a 0 f(at) 1 a ˆf ( ) ω a pochodna w spektrum, m N ( it) m f(t) ˆf (m) (ω) pochodna w czasie, m N f (m) (t) (iω) m ˆf(ω) splot (f g)(t) ˆf(ω) ĝ(ω)